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大学数学基礎
文献あり

はじめに

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$$\newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{incl}[2]{\mathrm{id}_{#1}^{#2}} \newcommand{supp}[1]{\mathrm{supp}(#1)} \newcommand{transpose}[0]{\mathsf{T}} $$
  • これは位相の(余)誘導まわりの話を私なりに整理することを目的としたノートです.
    • 具体的な(反)例はあまり書いてありません.
    • 位相的性質の遺伝についても同様です.
  • 現在,とくに断りなく加筆・訂正しています.“工事中”の記事ということでご寛恕ください.
  • 何かお気づきの際はコメント欄で教えてくださると嬉しいです.

記号

対角集合

$X$を集合とする.

  • $\Delta_{X} := \{(x,y) \in X \times X\ |\ x = y\}$.
写像の制限・余制限

$f \colon X \to Y$を写像とし,$A \subset X, B \subset Y$とする.

  • $f|A \colon A \to Y;\ x \mapsto f(x)$:制限;
  • $f(A) \subset B$のとき,$f|_{A}^{B} \colon A \to B;\ x \mapsto f(x)$;
  • $f^{B} := f|_{f^{-1}(B)}^{B} \colon f^{-1}(B) \to B$:余制限?.
恒等写像・包含写像

$X$を集合とし,$A \subset B \subset X$とする.

  • $\id = \id_{X} \colon X \to X;\ x \mapsto x$:恒等写像;
  • $\incl{A}{B} := \id_{X}|_{A}^{B} \colon A \to B$:包含写像.
開集合系・閉集合系・開近傍系

$X$を位相空間とし,$A \subset X, x \in X$とする.

  • $\tau(X)$$X$の開集合系;
  • $\tau^{c}(X) = \tau(X)^{c}$$X$の閉集合系;
  • $\tau(A,X) := \{U \in \tau(X)\ |\ A \subset U\}$$A$の開近傍系;
  • $\tau(x,X) := \tau(\{x\},X)$$x$の開近傍系.

直積・直和

$(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を集合族とする.集合
$$ \prod X_{\bullet} := \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} := \left\{x \colon \Lambda \to \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}\ \middle|\ \forall \lambda \in \Lambda,\ x_{\lambda} := x(\lambda) \in X_{\lambda}\right\}$$
$(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$直積,積集合などという.各$\lambda \in \Lambda$に対して,写像
$$ \prod X_{\bullet} \to X_{\lambda};\ x \mapsto x_{\lambda}$$
自然な射影といい,$p_{\lambda},p_{X_{\lambda}}$で表わす.

$f,g \colon X \to \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}$を写像とする.このとき,任意の$\lambda \in \Lambda$に対して$p_{\lambda} \circ f = p_{\lambda} \circ g$が成り立つならば,$f = g$である.

$x \in X$とする.このとき,仮定より
$$ \forall \lambda \in \Lambda,\ f(x)(\lambda) = p_{\lambda}(f(x)) = p_{\lambda} \circ f(x) = p_{\lambda} \circ g(x) = p_{\lambda}(g(x)) = g(x)(\lambda)$$
が成り立つので,
$$ f(x) = g(x) \colon \Lambda \to \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}$$
が成り立つ.

$(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を集合族とする.集合
$$ \coprod X_{\bullet} := \coprod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} := \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \{\lambda\} \times X_{\lambda}$$
$(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$直和,余積集合などという.各$\lambda \in \Lambda$に対して,写像
$$ X_{\lambda} \to \coprod X_{\bullet};\ x_{\lambda} \mapsto (\lambda,x_{\lambda})$$
自然な入射といい,$i_{\lambda},i_{X_{\lambda}}$で表わす.

$f,g \colon \coprod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \to X$を写像とする.このとき,任意の$\lambda \in \Lambda$に対して$f \circ i_{\lambda} = g \circ i_{\lambda}$が成り立つならば,$f = g$である.

$\xi \in \coprod X_{\bullet}$とする.このとき,$\lambda \in \Lambda$$x_{\lambda} \in X_{\lambda}$であって$\xi = i_{\lambda}(x_{\lambda})$となるものが存在する.よって
$$ f(\xi) = f(i_{\lambda}(x_{\lambda})) = f \circ i_{\lambda}(x_{\lambda}) = g \circ i_{\lambda}(x_{\lambda}) = g(i_{\lambda}(x_{\lambda})) = g(\xi)$$
が成り立つ.

同値関係と商集合

同値関係

$X$を集合とする.直積$X \times X$の部分集合を$X$上の関係という.関係$R \subset X \times X$に対して

  • $R^{\mathsf{T}} = \{(x,y) \in X \times X \mid (y,x) \in R\}$
  • $R^{\Delta\mathsf{T}} = \Delta_{X} \cup R \cup R^{\mathsf{T}}$
  • $R \circ R = \{(x,z) \in X \times X \mid \exists y \in X,\ (x,y),(y,z) \in R\}$

とおく.$X$上の関係$R \subset X \times X$が3条件

  1. $\Delta_{X} \subset R$:反射律
  2. $R^{\mathsf{T}} \subset R$:対称律
  3. $R \circ R \subset R$:推移律

を満たすとき,$R$$X$上の同値関係(equivalence relation)という.

集合$X$上の関係$R \subset X \times X$について,定義3の条件はそれぞれ以下の条件のそれぞれと同値である:

  1. 反射律:$\forall x \in X, (x,x) \in R$;
  2. 対称律:$\forall x,y \in X\ [\ (x,y) \in R \implies (y,x) \in R\ ]$;
  3. 推移律:$\forall x,y,z \in X\ [\ (x,y) \in R \land (y,z) \in R \implies (x,z) \in R\ ]$.

$X$を集合とし,$R_{0} \subset X \times X$$X$上の関係とする.このとき,
$$ \overline{R}(R_{0}) := \{(x,x') \in X \times X \mid \exists (x_{i})_{0 \leq i \leq n},\ x = x_{0},x' = x_{n}, \forall i \in [n],(x_{i-1},x_{i}) \in R_{0}^{\Delta\mathsf{T}}\}$$
$R_{0}^{\Delta\mathsf{T}}$を含む$X$上の同値関係である.$\overline{R}(R_{0})$$R_{0}$によって生成される同値関係という.

$R_{0}^{\Delta\mathsf{T}} \subset \overline{R}(R_{0})$は明らか.

  1. $\Delta_{X} \subset R_{0}^{\Delta\mathsf{T}} \subset \overline{R}(R_{0})$が成り立つ.
  2. $(x,y) \in \overline{R}(R_{0})$とする.定義より$X$の点列$(x_{i})_{0 \leq i \leq n}$であって
    $$ x = x_{0},y = x_{n}, \forall i \in [n], (x_{i-1},x_{i}) \in R_{0}^{\Delta\mathsf{T}}$$
    を満たすものが存在する.このとき$X$の点列$(x_{n-i})_{0 \leq i \leq n}$について
    $$ y = x_{n-0}, x = x_{n-n}, \forall i \in [n], (x_{n-(i-1)},x_{n-i}) = (x_{(n-i)+1},x_{n-i}) \in (R_{0}^{\Delta\mathsf{T}})^{\mathsf{T}} = R_{0}^{\Delta\mathsf{T}}$$
    が成り立つ.よって$(y,x) \in \overline{R}(R_{0})$を得る.
  3. $(x,y),(y,z) \in \overline{R}(R_{0})$とする.このとき$X$の点列$(x_{i})_{0 \leq i \leq n},(x_{n+i})_{0 \leq i \leq m-n}$であって
    $$ x = x_{0},y= x_{n},z = x_{m}, \forall i \in [m], (x_{i-1},x_{i}) \in R_{0}^{\Delta\mathsf{T}}$$
    を満たすものが存在する.よって$(x,z) \in \overline{R}(R_{0})$が成り立つ.

$X$を集合とし,$R_{0} \subset X \times X$$X$上の関係とする.このとき,
$$ \overline{R}(R_{0}) = \bigcap \{S \subset X \times X \mid S:\text{equiv. rel.},\ R_{0} \subset S\}$$
が成り立つ.

  • 補題3より$\overline{R}(R_{0}) \supset \mathrm{RHS}$は明らか.
  • $S \subset X \times X$$R_{0}$を含む同値関係とする.
    • $\Delta_{X} \subset S$および$R_{0}^{\mathsf{T}} \subset S^{\mathsf{T}} \subset S$より$R_{0}^{\Delta\mathsf{T}} \subset S$を得る.
    • したがって$R_{0}^{\Delta\mathsf{T}} \circ R_{0}^{\Delta\mathsf{T}} \subset S \circ S \subset S$が成り立つので,$n \in \mathbb{Z}_{\geq 2}$に関する数学的帰納法により$\overline{R}(R_{0}) \subset S$が成り立つことがわかる.
  • よって$\overline{R}(R_{0}) \subset \mathrm{RHS}$が成り立つ.

$X$を集合とし,$(A_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda},\,(B_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$$X$の非空部分集合からなる族とする.このとき,任意の$(\lambda,\mu) \in (\Lambda \times \Lambda) \smallsetminus \Delta_{\Lambda}$に対して
$$ (A_{\lambda} \cup B_{\lambda}) \cap (A_{\mu} \cup B_{\mu}) = \varnothing$$
が成り立つならば,$R_{0} := \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda} \times B_{\lambda}$によって生成される同値関係$\overline{R}(R_{0})$
$$ R_{1} := \Delta_{X} \cup \bigcup_{\lambda \in \Lambda} (A_{\lambda} \cup B_{\lambda}) \times (A_{\lambda} \cup B_{\lambda})$$
に一致する.とくに任意の(非空)部分集合$A \subset X$に対して$\Delta_{X} \cup (A \times A)$は同値関係である.
!FORMULA[116][116448837][0] $\overline{R}\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda} \times B_{\lambda}\right)$

$\overline{R}(R_{0})$は各$A_{\lambda} \cup B_{\lambda}$を“一点につぶす”同値関係である(cf. 定義4).

$R_{1}$$R_{0}$を含む同値関係である

明らかに$R_{0} \subset R_{1}$が成り立つ.

  1. $\Delta_{X} \subset R_{1}$は明らか.
  2. $R_{1}^{\transpose} \subset R_{1}$も明らか.
  3. $(x,y),(y,z) \in R_{1}$とする.
    • $(x,y) \in \Delta_{X} \lor (y,z) \in \Delta_{X}$のとき,$(x,z) \in R_{1}$が成り立つ.
    • $(x,y) \in (A_{\lambda} \cup B_{\lambda}) \times (A_{\lambda} \cup B_{\lambda}) \land (y,z) \in (A_{\mu} \cup B_{\mu}) \times (A_{\mu} \cup B_{\mu})$のとき,仮定より$\lambda = \mu$となるので,$(x,z) \in (A_{\lambda} \cup B_{\lambda}) \times (A_{\lambda} \cup B_{\lambda}) \subset R_{1}$が成り立つ.

$\overline{R}(R_{0}) = R_{1}$が成り立つ

$S \subset X \times X$$R_{0}$を含む同値関係とする.また,$\lambda \in \Lambda$とし$b_{\lambda,0} \in B_{\lambda}$を取る.このとき,任意の$(a_{\lambda},a_{\lambda}') \in A_{\lambda} \times A_{\lambda}$に対して
$$ (a_{\lambda},b_{\lambda,0}) \in R_{0} \subset S,\ (b_{\lambda,0},a_{\lambda}') \in R_{0}^{\transpose} \subset S^{\transpose} \subset S$$
より$(a_{\lambda},a_{\lambda}') \in S$が成り立つ.したがって$A_{\lambda} \times A_{\lambda} \subset S$を得る.同様に$B_{\lambda} \times B_{\lambda} \subset S$も成り立つ.よって
$$ R_{1} = R_{0}^{\Delta\transpose} \cup \bigcup_{\lambda \in \Lambda} (A_{\lambda} \times A_{\lambda}) \cup \bigcup_{\lambda \in \Lambda} (B_{\lambda} \times B_{\lambda}) \subset S$$
が成り立つので,前段と補題4より
$$ R_{1} = \bigcap \{S \subset X \times X \mid S:\text{equiv. rel.},\ R_{0} \subset S\} = \overline{R}(R_{0})$$
を得る.

集合$X$上の関係$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda} \times B_{\lambda}$によって生成される同値関係のことを指して,「関係
$$ a \sim b,\ a \in A_{\lambda},\,b \in B_{\lambda}$$
によって生成される同値関係」などと書くことがある.

商集合

$X$を集合とし,$R \subset X \times X$を同値関係とする.各$x \in X$に対して
$$ R(x) = \{y \in X \mid (y,x) \in R\}$$
とおく.このとき,以下は同値である:

  1. $(x,y) \in R$;
  2. $R(x) \cap R(y) \neq \varnothing$;
  3. $R(x) = R(y)$.

$x \in X$に対して$(x,x) \in R$より$x \in R(x) \neq \varnothing$が成り立つ.したがって$X$はいくつかの$R(x)$たちの非交和として表わせる.

(i)$\implies$(ii)

仮定より$x \in R(x) \cap R(y) \neq \varnothing$が成り立つ.

(ii)$\implies$(iii)

仮定より$z \in R(x) \cap R(y)$が取れる.

  • 任意の$w \in R(x)$に対して,$(w,x),(x,z),(z,y) \in R$より,$(w,y) \in R$すなわち$w \in R(y)$が成り立つ.したがって$R(x) \subset R(y)$が成り立つ.
  • 同様に$R(y) \subset R(x)$も成り立つ.

(iii)$\implies$(i)

$x \in R(x) = R(y)$より$(x,y) \in R$が成り立つ.

$X$を集合とし,$R \subset X \times X$を同値関係とする.冪集合$\mathcal{P}(X)$の部分集合
$$ X/R := \{R(x) \in \mathcal{P}(X) \mid x \in X\}$$
を($R$による)商集合(quotient set)という.全射
$$ X \to X/R;\ x \mapsto R(x)$$
を($R$による)商写像(quotient map)といい,$q_{R},q_{X/R}$などで表わす.また,商写像による$x \in X$の像$R(x)$をしばしば$[x]$で表わす.

$X$を集合とし,$R \subset X \times X$を同値関係とする.部分集合$S \subset X$であって商写像の$S$への制限$q_{R}|S \colon S \to X/R$が全単射となるものを,同値関係$R$完全代表系(complete set of representatives)という.

  • $X$上の同値関係$R$の完全代表系$S \subset X$に対して
    $$ X = \bigsqcup_{x \in S} R(x)$$
    が成り立つ.
  • (選択公理のもとで)全射$q_{R} \colon X \to X/R$は切断$s \colon X/R \to X$を持つ:
    $$ q_{R} \circ s = \id_{X/R}.$$
    単射$s$の像$s(X/R) \subset X$は同値関係$R$の完全代表系である.

参考文献

[1]
N. Bourbaki, General Topology Chapters 1--4
[2]
J. Dugundji, Topology
[3]
小松醇郎,中岡稔,菅原正博, 『位相幾何学 I』, 岩波書店
投稿日:20231029
更新日:2023121

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投稿者

うすい
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