Xを集合とする.
f:X→Yを写像とし,A⊂X,B⊂Yとする.
Xを集合とし,A⊂B⊂Xとする.
Xを位相空間とし,A⊂X,x∈Xとする.
(Xλ)λ∈Λを集合族とする.集合∏X∙:=∏λ∈ΛXλ:={x:Λ→⋃λ∈ΛXλ | ∀λ∈Λ, xλ:=x(λ)∈Xλ}を(Xλ)λ∈Λの直積,積集合などという.各λ∈Λに対して,写像∏X∙→Xλ; x↦xλを自然な射影といい,pλ,pXλで表わす.
f,g:X→∏λ∈ΛXλを写像とする.このとき,任意のλ∈Λに対してpλ∘f=pλ∘gが成り立つならば,f=gである.
x∈Xとする.このとき,仮定より∀λ∈Λ, f(x)(λ)=pλ(f(x))=pλ∘f(x)=pλ∘g(x)=pλ(g(x))=g(x)(λ)が成り立つので,f(x)=g(x):Λ→⋃λ∈ΛXλが成り立つ.
(Xλ)λ∈Λを集合族とする.集合∐X∙:=∐λ∈ΛXλ:=⋃λ∈Λ{λ}×Xλを(Xλ)λ∈Λの直和,余積集合などという.各λ∈Λに対して,写像Xλ→∐X∙; xλ↦(λ,xλ)を自然な入射といい,iλ,iXλで表わす.
f,g:∐λ∈ΛXλ→Xを写像とする.このとき,任意のλ∈Λに対してf∘iλ=g∘iλが成り立つならば,f=gである.
ξ∈∐X∙とする.このとき,λ∈Λとxλ∈Xλであってξ=iλ(xλ)となるものが存在する.よってf(ξ)=f(iλ(xλ))=f∘iλ(xλ)=g∘iλ(xλ)=g(iλ(xλ))=g(ξ)が成り立つ.
Xを集合とする.直積X×Xの部分集合をX上の関係という.関係R⊂X×Xに対して
とおく.X上の関係R⊂X×Xが3条件
を満たすとき,RをX上の同値関係(equivalence relation)という.
集合X上の関係R⊂X×Xについて,定義3の条件はそれぞれ以下の条件のそれぞれと同値である:
Xを集合とし,R0⊂X×XをX上の関係とする.このとき,R―(R0):={(x,x′)∈X×X∣∃(xi)0≤i≤n, x=x0,x′=xn,∀i∈[n],(xi−1,xi)∈R0ΔT}はR0ΔTを含むX上の同値関係である.R―(R0)をR0によって生成される同値関係という.
R0ΔT⊂R―(R0)は明らか.
Xを集合とし,R0⊂X×XをX上の関係とする.このとき,R―(R0)=⋂{S⊂X×X∣S:equiv. rel., R0⊂S}が成り立つ.
Xを集合とし,(Aλ)λ∈Λ,(Bλ)λ∈ΛをXの非空部分集合からなる族とする.このとき,任意の(λ,μ)∈(Λ×Λ)∖ΔΛに対して(Aλ∪Bλ)∩(Aμ∪Bμ)=∅が成り立つならば,R0:=⋃λ∈ΛAλ×Bλによって生成される同値関係R―(R0)はR1:=ΔX∪⋃λ∈Λ(Aλ∪Bλ)×(Aλ∪Bλ)に一致する.とくに任意の(非空)部分集合A⊂Xに対してΔX∪(A×A)は同値関係である. R―(⋃λ∈ΛAλ×Bλ)
R―(R0)は各Aλ∪Bλを“一点につぶす”同値関係である(cf. 定義4).
明らかにR0⊂R1が成り立つ.
S⊂X×XをR0を含む同値関係とする.また,λ∈Λとしbλ,0∈Bλを取る.このとき,任意の(aλ,aλ′)∈Aλ×Aλに対して(aλ,bλ,0)∈R0⊂S, (bλ,0,aλ′)∈R0T⊂ST⊂Sより(aλ,aλ′)∈Sが成り立つ.したがってAλ×Aλ⊂Sを得る.同様にBλ×Bλ⊂Sも成り立つ.よってR1=R0ΔT∪⋃λ∈Λ(Aλ×Aλ)∪⋃λ∈Λ(Bλ×Bλ)⊂Sが成り立つので,前段と補題4よりR1=⋂{S⊂X×X∣S:equiv. rel., R0⊂S}=R―(R0)を得る.
集合X上の関係⋃λ∈ΛAλ×Bλによって生成される同値関係のことを指して,「関係a∼b, a∈Aλ,b∈Bλによって生成される同値関係」などと書くことがある.
Xを集合とし,R⊂X×Xを同値関係とする.各x∈Xに対してR(x)={y∈X∣(y,x)∈R}とおく.このとき,以下は同値である:
各x∈Xに対して(x,x)∈Rよりx∈R(x)≠∅が成り立つ.したがってXはいくつかのR(x)たちの非交和として表わせる.
仮定よりx∈R(x)∩R(y)≠∅が成り立つ.
仮定よりz∈R(x)∩R(y)が取れる.
x∈R(x)=R(y)より(x,y)∈Rが成り立つ.
Xを集合とし,R⊂X×Xを同値関係とする.冪集合P(X)の部分集合X/R:={R(x)∈P(X)∣x∈X}を(Rによる)商集合(quotient set)という.全射X→X/R; x↦R(x)を(Rによる)商写像(quotient map)といい,qR,qX/Rなどで表わす.また,商写像によるx∈Xの像R(x)をしばしば[x]で表わす.
Xを集合とし,R⊂X×Xを同値関係とする.部分集合S⊂Xであって商写像のSへの制限qR|S:S→X/Rが全単射となるものを,同値関係Rの完全代表系(complete set of representatives)という.
バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。
現在のページ