はじめに
- これは位相の（余）誘導まわりの話を私なりに整理することを目的としたノートです．
- 具体的な（反）例はあまり書いてありません．
- 位相的性質の遺伝についても同様です．
- 現在，とくに断りなく加筆・訂正しています．“工事中”の記事ということでご寛恕ください．
- 何かお気づきの際はコメント欄で教えてくださると嬉しいです．
記号
$X$を集合とする．
- $\Delta_{X} := \{(x,y) \in X \times X\ |\ x = y\}$.
$f \colon X \to Y$を写像とし，$A \subset X, B \subset Y$とする．
- $f|A \colon A \to Y;\ x \mapsto f(x)$：制限;
- $f(A) \subset B$のとき，$f|_{A}^{B} \colon A \to B;\ x \mapsto f(x)$;
- $f^{B} := f|_{f^{-1}(B)}^{B} \colon f^{-1}(B) \to B$：余制限？.
$X$を集合とし，$A \subset B \subset X$とする．
- $\id = \id_{X} \colon X \to X;\ x \mapsto x$：恒等写像；
- $\incl{A}{B} := \id_{X}|_{A}^{B} \colon A \to B$：包含写像．
$X$を位相空間とし，$A \subset X, x \in X$とする．
- $\tau(X)$：$X$の開集合系；
- $\tau^{c}(X) = \tau(X)^{c}$：$X$の閉集合系；
- $\tau(A,X) := \{U \in \tau(X)\ |\ A \subset U\}$：$A$の開近傍系;
- $\tau(x,X) := \tau(\{x\},X)$：$x$の開近傍系.
直積・直和
$(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を集合族とする．集合
$$
\prod X_{\bullet} := \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} := \left\{x \colon \Lambda \to \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}\ \middle|\ \forall \lambda \in \Lambda,\ x_{\lambda} := x(\lambda) \in X_{\lambda}\right\}$$
を$(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$の直積，積集合などという．各$\lambda \in \Lambda$に対して，写像
$$
\prod X_{\bullet} \to X_{\lambda};\ x \mapsto x_{\lambda}$$
を自然な射影といい，$p_{\lambda},p_{X_{\lambda}}$で表わす．
$f,g \colon X \to \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}$を写像とする．このとき，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して$p_{\lambda} \circ f = p_{\lambda} \circ g$が成り立つならば，$f = g$である．
$x \in X$とする．このとき，仮定より
$$
\forall \lambda \in \Lambda,\ f(x)(\lambda) = p_{\lambda}(f(x)) = p_{\lambda} \circ f(x) = p_{\lambda} \circ g(x) = p_{\lambda}(g(x)) = g(x)(\lambda)$$
が成り立つので，
$$
f(x) = g(x) \colon \Lambda \to \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}$$
が成り立つ．
$(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を集合族とする．集合
$$
\coprod X_{\bullet} := \coprod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} := \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \{\lambda\} \times X_{\lambda}$$
を$(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$の直和，余積集合などという．各$\lambda \in \Lambda$に対して，写像
$$
X_{\lambda} \to \coprod X_{\bullet};\ x_{\lambda} \mapsto (\lambda,x_{\lambda})$$
を自然な入射といい，$i_{\lambda},i_{X_{\lambda}}$で表わす．
$f,g \colon \coprod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \to X$を写像とする．このとき，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して$f \circ i_{\lambda} = g \circ i_{\lambda}$が成り立つならば，$f = g$である．
$\xi \in \coprod X_{\bullet}$とする．このとき，$\lambda \in \Lambda$と$x_{\lambda} \in X_{\lambda}$であって$\xi = i_{\lambda}(x_{\lambda})$となるものが存在する．よって
$$
f(\xi) = f(i_{\lambda}(x_{\lambda})) = f \circ i_{\lambda}(x_{\lambda}) = g \circ i_{\lambda}(x_{\lambda}) = g(i_{\lambda}(x_{\lambda})) = g(\xi)$$
が成り立つ．
同値関係と商集合
同値関係
$X$を集合とする．直積$X \times X$の部分集合を$X$上の関係という．関係$R \subset X \times X$に対して
- $R^{\mathsf{T}} = \{(x,y) \in X \times X \mid (y,x) \in R\}$
- $R^{\Delta\mathsf{T}} = \Delta_{X} \cup R \cup R^{\mathsf{T}}$
- $R \circ R = \{(x,z) \in X \times X \mid \exists y \in X,\ (x,y),(y,z) \in R\}$
とおく．$X$上の関係$R \subset X \times X$が3条件
- $\Delta_{X} \subset R$：反射律
- $R^{\mathsf{T}} \subset R$：対称律
- $R \circ R \subset R$：推移律
を満たすとき，$R$を$X$上の同値関係（equivalence relation）という．
集合$X$上の関係$R \subset X \times X$について，定義3の条件はそれぞれ以下の条件のそれぞれと同値である：
- 反射律：$\forall x \in X, (x,x) \in R$;
- 対称律：$\forall x,y \in X\ [\ (x,y) \in R \implies (y,x) \in R\ ]$;
- 推移律：$\forall x,y,z \in X\ [\ (x,y) \in R \land (y,z) \in R \implies (x,z) \in R\ ]$.
$X$を集合とし，$R_{0} \subset X \times X$を$X$上の関係とする．このとき，
$$
\overline{R}(R_{0}) := \{(x,x') \in X \times X \mid \exists (x_{i})_{0 \leq i \leq n},\ x = x_{0},x' = x_{n}, \forall i \in [n],(x_{i-1},x_{i}) \in R_{0}^{\Delta\mathsf{T}}\}$$
は$R_{0}^{\Delta\mathsf{T}}$を含む$X$上の同値関係である．$\overline{R}(R_{0})$を$R_{0}$によって生成される同値関係という．
$R_{0}^{\Delta\mathsf{T}} \subset \overline{R}(R_{0})$は明らか．
- $\Delta_{X} \subset R_{0}^{\Delta\mathsf{T}} \subset \overline{R}(R_{0})$が成り立つ．
- $(x,y) \in \overline{R}(R_{0})$とする．定義より$X$の点列$(x_{i})_{0 \leq i \leq n}$であって
$$ x = x_{0},y = x_{n}, \forall i \in [n], (x_{i-1},x_{i}) \in R_{0}^{\Delta\mathsf{T}}$$
を満たすものが存在する．このとき$X$の点列$(x_{n-i})_{0 \leq i \leq n}$について
$$ y = x_{n-0}, x = x_{n-n}, \forall i \in [n], (x_{n-(i-1)},x_{n-i}) = (x_{(n-i)+1},x_{n-i}) \in (R_{0}^{\Delta\mathsf{T}})^{\mathsf{T}} = R_{0}^{\Delta\mathsf{T}}$$
が成り立つ．よって$(y,x) \in \overline{R}(R_{0})$を得る． - $(x,y),(y,z) \in \overline{R}(R_{0})$とする．このとき$X$の点列$(x_{i})_{0 \leq i \leq n},(x_{n+i})_{0 \leq i \leq m-n}$であって
$$ x = x_{0},y= x_{n},z = x_{m}, \forall i \in [m], (x_{i-1},x_{i}) \in R_{0}^{\Delta\mathsf{T}}$$
を満たすものが存在する．よって$(x,z) \in \overline{R}(R_{0})$が成り立つ．
$X$を集合とし，$R_{0} \subset X \times X$を$X$上の関係とする．このとき，
$$
\overline{R}(R_{0}) = \bigcap \{S \subset X \times X \mid S:\text{equiv. rel.},\ R_{0} \subset S\}$$
が成り立つ．
- 補題3より$\overline{R}(R_{0}) \supset \mathrm{RHS}$は明らか．
- $S \subset X \times X$を$R_{0}$を含む同値関係とする．
- $\Delta_{X} \subset S$および$R_{0}^{\mathsf{T}} \subset S^{\mathsf{T}} \subset S$より$R_{0}^{\Delta\mathsf{T}} \subset S$を得る．
- したがって$R_{0}^{\Delta\mathsf{T}} \circ R_{0}^{\Delta\mathsf{T}} \subset S \circ S \subset S$が成り立つので，$n \in \mathbb{Z}_{\geq 2}$に関する数学的帰納法により$\overline{R}(R_{0}) \subset S$が成り立つことがわかる．
- よって$\overline{R}(R_{0}) \subset \mathrm{RHS}$が成り立つ．
$X$を集合とし，$(A_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda},\,(B_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$X$の非空部分集合からなる族とする．このとき，任意の$(\lambda,\mu) \in (\Lambda \times \Lambda) \smallsetminus \Delta_{\Lambda}$に対して
$$
(A_{\lambda} \cup B_{\lambda}) \cap (A_{\mu} \cup B_{\mu}) = \varnothing$$
が成り立つならば，$R_{0} := \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda} \times B_{\lambda}$によって生成される同値関係$\overline{R}(R_{0})$は
$$
R_{1} := \Delta_{X} \cup \bigcup_{\lambda \in \Lambda} (A_{\lambda} \cup B_{\lambda}) \times (A_{\lambda} \cup B_{\lambda})$$
に一致する．とくに任意の（非空）部分集合$A \subset X$に対して$\Delta_{X} \cup (A \times A)$は同値関係である．
![!FORMULA[116][116448837][0]](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2FWrRRL9vbN3pur2VjsmaD.jpeg?alt=media)
$\overline{R}\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda} \times B_{\lambda}\right)$
$\overline{R}(R_{0})$は各$A_{\lambda} \cup B_{\lambda}$を“一点につぶす”同値関係である（cf. 定義4）．
$R_{1}$は$R_{0}$を含む同値関係である
明らかに$R_{0} \subset R_{1}$が成り立つ．
- $\Delta_{X} \subset R_{1}$は明らか．
- $R_{1}^{\transpose} \subset R_{1}$も明らか．
- $(x,y),(y,z) \in R_{1}$とする．
- $(x,y) \in \Delta_{X} \lor (y,z) \in \Delta_{X}$のとき，$(x,z) \in R_{1}$が成り立つ．
- $(x,y) \in (A_{\lambda} \cup B_{\lambda}) \times (A_{\lambda} \cup B_{\lambda}) \land (y,z) \in (A_{\mu} \cup B_{\mu}) \times (A_{\mu} \cup B_{\mu})$のとき，仮定より$\lambda = \mu$となるので，$(x,z) \in (A_{\lambda} \cup B_{\lambda}) \times (A_{\lambda} \cup B_{\lambda}) \subset R_{1}$が成り立つ．
$\overline{R}(R_{0}) = R_{1}$が成り立つ
$S \subset X \times X$を$R_{0}$を含む同値関係とする．また，$\lambda \in \Lambda$とし$b_{\lambda,0} \in B_{\lambda}$を取る．このとき，任意の$(a_{\lambda},a_{\lambda}') \in A_{\lambda} \times A_{\lambda}$に対して
$$
(a_{\lambda},b_{\lambda,0}) \in R_{0} \subset S,\ (b_{\lambda,0},a_{\lambda}') \in R_{0}^{\transpose} \subset S^{\transpose} \subset S$$
より$(a_{\lambda},a_{\lambda}') \in S$が成り立つ．したがって$A_{\lambda} \times A_{\lambda} \subset S$を得る．同様に$B_{\lambda} \times B_{\lambda} \subset S$も成り立つ．よって
$$
R_{1} = R_{0}^{\Delta\transpose} \cup \bigcup_{\lambda \in \Lambda} (A_{\lambda} \times A_{\lambda}) \cup \bigcup_{\lambda \in \Lambda} (B_{\lambda} \times B_{\lambda}) \subset S$$
が成り立つので，前段と補題4より
$$
R_{1} = \bigcap \{S \subset X \times X \mid S:\text{equiv. rel.},\ R_{0} \subset S\} = \overline{R}(R_{0})$$
を得る．
集合$X$上の関係$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda} \times B_{\lambda}$によって生成される同値関係のことを指して，「関係
$$
a \sim b,\ a \in A_{\lambda},\,b \in B_{\lambda}$$
によって生成される同値関係」などと書くことがある．
商集合
$X$を集合とし，$R \subset X \times X$を同値関係とする．各$x \in X$に対して
$$
R(x) = \{y \in X \mid (y,x) \in R\}$$
とおく．このとき，以下は同値である：
- $(x,y) \in R$;
- $R(x) \cap R(y) \neq \varnothing$;
- $R(x) = R(y)$.
各$x \in X$に対して$(x,x) \in R$より$x \in R(x) \neq \varnothing$が成り立つ．したがって$X$はいくつかの$R(x)$たちの非交和として表わせる．
(i)$\implies$(ii)
仮定より$x \in R(x) \cap R(y) \neq \varnothing$が成り立つ．
(ii)$\implies$(iii)
仮定より$z \in R(x) \cap R(y)$が取れる．
- 任意の$w \in R(x)$に対して，$(w,x),(x,z),(z,y) \in R$より，$(w,y) \in R$すなわち$w \in R(y)$が成り立つ．したがって$R(x) \subset R(y)$が成り立つ．
- 同様に$R(y) \subset R(x)$も成り立つ．
(iii)$\implies$(i)
$x \in R(x) = R(y)$より$(x,y) \in R$が成り立つ．
$X$を集合とし，$R \subset X \times X$を同値関係とする．冪集合$\mathcal{P}(X)$の部分集合
$$
X/R := \{R(x) \in \mathcal{P}(X) \mid x \in X\}$$
を（$R$による）商集合（quotient set）という．全射
$$
X \to X/R;\ x \mapsto R(x)$$
を（$R$による）商写像（quotient map）といい，$q_{R},q_{X/R}$などで表わす．また，商写像による$x \in X$の像$R(x)$をしばしば$[x]$で表わす．
$X$を集合とし，$R \subset X \times X$を同値関係とする．部分集合$S \subset X$であって商写像の$S$への制限$q_{R}|S \colon S \to X/R$が全単射となるものを，同値関係$R$の完全代表系（complete set of representatives）という．
- $X$上の同値関係$R$の完全代表系$S \subset X$に対して
$$ X = \bigsqcup_{x \in S} R(x)$$
が成り立つ． - （選択公理のもとで）全射$q_{R} \colon X \to X/R$は切断$s \colon X/R \to X$を持つ：
$$ q_{R} \circ s = \id_{X/R}.$$
単射$s$の像$s(X/R) \subset X$は同値関係$R$の完全代表系である．
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