文献あり

はじめに

位相空間論

2074

これは位相の（余）誘導まわりの話を私なりに整理することを目的としたノートです．
- 具体的な（反）例はあまり書いてありません．
- 位相的性質の遺伝についても同様です．
現在，とくに断りなく加筆・訂正しています．“工事中”の記事ということでご寛恕ください．
何かお気づきの際はコメント欄で教えてくださると嬉しいです．

記号

対角集合

$X$ を集合とする．

$Δ_{X} := {(x, y) \in X \times X | x = y}$ .

写像の制限・余制限

$f : X \to Y$ を写像とし， $A \subset X, B \subset Y$ とする．

$f | A : A \to Y; x \mapsto f (x)$ ：制限;
$f (A) \subset B$ のとき， $f |_{A}^{B} : A \to B; x \mapsto f (x)$ ;
$f^{B} := f |_{f^{- 1} (B)}^{B} : f^{- 1} (B) \to B$ ：余制限？.

恒等写像・包含写像

$X$ を集合とし， $A \subset B \subset X$ とする．

$id = {id}_{X} : X \to X; x \mapsto x$ ：恒等写像；
${id}_{A}^{B} := {id}_{X} |_{A}^{B} : A \to B$ ：包含写像．

開集合系・閉集合系・開近傍系

$X$ を位相空間とし， $A \subset X, x \in X$ とする．

$τ (X)$ ： $X$ の開集合系；
$τ^{c} (X) = τ (X)^{c}$ ： $X$ の閉集合系；
$τ (A, X) := {U \in τ (X) | A \subset U}$ ： $A$ の開近傍系;
$τ (x, X) := τ ({x}, X)$ ： $x$ の開近傍系.

直積・直和

$(X_{λ})_{λ \in Λ}$ を集合族とする．集合
$\prod X_{∙} := \prod_{λ \in Λ} X_{λ} := {x : Λ \to ⋃_{λ \in Λ} X_{λ} | \forall λ \in Λ, x_{λ} := x (λ) \in X_{λ}}$
を $(X_{λ})_{λ \in Λ}$ の直積，積集合などという．各 $λ \in Λ$ に対して，写像
$\prod X_{∙} \to X_{λ}; x \mapsto x_{λ}$
を自然な射影といい， $p_{λ}, p_{X_{λ}}$ で表わす．

$f, g : X \to \prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ を写像とする．このとき，任意の $λ \in Λ$ に対して $p_{λ} \circ f = p_{λ} \circ g$ が成り立つならば， $f = g$ である．

$x \in X$ とする．このとき，仮定より
$\forall λ \in Λ, f (x) (λ) = p_{λ} (f (x)) = p_{λ} \circ f (x) = p_{λ} \circ g (x) = p_{λ} (g (x)) = g (x) (λ)$
が成り立つので，
$f (x) = g (x) : Λ \to ⋃_{λ \in Λ} X_{λ}$
が成り立つ．

$(X_{λ})_{λ \in Λ}$ を集合族とする．集合
$∐ X_{∙} := \underset{λ \in Λ}{∐} X_{λ} := ⋃_{λ \in Λ} {λ} \times X_{λ}$
を $(X_{λ})_{λ \in Λ}$ の直和，余積集合などという．各 $λ \in Λ$ に対して，写像
$X_{λ} \to ∐ X_{∙}; x_{λ} \mapsto (λ, x_{λ})$
を自然な入射といい， $i_{λ}, i_{X_{λ}}$ で表わす．

$f, g : \underset{λ \in Λ}{∐} X_{λ} \to X$ を写像とする．このとき，任意の $λ \in Λ$ に対して $f \circ i_{λ} = g \circ i_{λ}$ が成り立つならば， $f = g$ である．

$ξ \in ∐ X_{∙}$ とする．このとき， $λ \in Λ$ と $x_{λ} \in X_{λ}$ であって $ξ = i_{λ} (x_{λ})$ となるものが存在する．よって
$f (ξ) = f (i_{λ} (x_{λ})) = f \circ i_{λ} (x_{λ}) = g \circ i_{λ} (x_{λ}) = g (i_{λ} (x_{λ})) = g (ξ)$
が成り立つ．

同値関係と商集合

同値関係

$X$ を集合とする．直積 $X \times X$ の部分集合を $X$ 上の関係という．関係 $R \subset X \times X$ に対して

$R^{T} = {(x, y) \in X \times X ∣ (y, x) \in R}$
$R^{Δ T} = Δ_{X} \cup R \cup R^{T}$
$R \circ R = {(x, z) \in X \times X ∣ \exists y \in X, (x, y), (y, z) \in R}$

とおく． $X$ 上の関係 $R \subset X \times X$ が3条件

$Δ_{X} \subset R$ ：反射律
$R^{T} \subset R$ ：対称律
$R \circ R \subset R$ ：推移律

を満たすとき， $R$ を $X$ 上の同値関係（equivalence relation）という．

集合 $X$ 上の関係 $R \subset X \times X$ について，定義3の条件はそれぞれ以下の条件のそれぞれと同値である：

反射律： $\forall x \in X, (x, x) \in R$ ;
対称律： $\forall x, y \in X [(x, y) \in R ⟹ (y, x) \in R]$ ;
推移律： $\forall x, y, z \in X [(x, y) \in R \land (y, z) \in R ⟹ (x, z) \in R]$ .

$X$ を集合とし， $R_{0} \subset X \times X$ を $X$ 上の関係とする．このとき，
$\overset{―}{R} (R_{0}) := {(x, x^{'}) \in X \times X ∣ \exists (x_{i})_{0 \leq i \leq n}, x = x_{0}, x^{'} = x_{n}, \forall i \in [n], (x_{i - 1}, x_{i}) \in R_{0}^{Δ T}}$
は $R_{0}^{Δ T}$ を含む $X$ 上の同値関係である． $\overset{―}{R} (R_{0})$ を $R_{0}$ によって生成される同値関係という．

$R_{0}^{Δ T} \subset \overset{―}{R} (R_{0})$ は明らか．

$Δ_{X} \subset R_{0}^{Δ T} \subset \overset{―}{R} (R_{0})$ が成り立つ．
$(x, y) \in \overset{―}{R} (R_{0})$ とする．定義より $X$ の点列 $(x_{i})_{0 \leq i \leq n}$ であって
$x = x_{0}, y = x_{n}, \forall i \in [n], (x_{i - 1}, x_{i}) \in R_{0}^{Δ T}$
を満たすものが存在する．このとき $X$ の点列 $(x_{n - i})_{0 \leq i \leq n}$ について
$y = x_{n - 0}, x = x_{n - n}, \forall i \in [n], (x_{n - (i - 1)}, x_{n - i}) = (x_{(n - i) + 1}, x_{n - i}) \in (R_{0}^{Δ T})^{T} = R_{0}^{Δ T}$
が成り立つ．よって $(y, x) \in \overset{―}{R} (R_{0})$ を得る．
$(x, y), (y, z) \in \overset{―}{R} (R_{0})$ とする．このとき $X$ の点列 $(x_{i})_{0 \leq i \leq n}, (x_{n + i})_{0 \leq i \leq m - n}$ であって
$x = x_{0}, y = x_{n}, z = x_{m}, \forall i \in [m], (x_{i - 1}, x_{i}) \in R_{0}^{Δ T}$
を満たすものが存在する．よって $(x, z) \in \overset{―}{R} (R_{0})$ が成り立つ．

$X$ を集合とし， $R_{0} \subset X \times X$ を $X$ 上の関係とする．このとき，
$\overset{―}{R} (R_{0}) = ⋂ {S \subset X \times X ∣ S : equiv. rel., R_{0} \subset S}$
が成り立つ．

補題3より $\overset{―}{R} (R_{0}) \supset RHS$ は明らか．
$S \subset X \times X$ を $R_{0}$ を含む同値関係とする．
- $Δ_{X} \subset S$ および $R_{0}^{T} \subset S^{T} \subset S$ より $R_{0}^{Δ T} \subset S$ を得る．
- したがって $R_{0}^{Δ T} \circ R_{0}^{Δ T} \subset S \circ S \subset S$ が成り立つので， $n \in Z_{\geq 2}$ に関する数学的帰納法により $\overset{―}{R} (R_{0}) \subset S$ が成り立つことがわかる．
よって $\overset{―}{R} (R_{0}) \subset RHS$ が成り立つ．

$X$ を集合とし， $(A_{λ})_{λ \in Λ}, (B_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ の非空部分集合からなる族とする．このとき，任意の $(λ, μ) \in (Λ \times Λ) ∖ Δ_{Λ}$ に対して
$(A_{λ} \cup B_{λ}) \cap (A_{μ} \cup B_{μ}) = \emptyset$
が成り立つならば， $R_{0} := ⋃_{λ \in Λ} A_{λ} \times B_{λ}$ によって生成される同値関係 $\overset{―}{R} (R_{0})$ は
$R_{1} := Δ_{X} \cup ⋃_{λ \in Λ} (A_{λ} \cup B_{λ}) \times (A_{λ} \cup B_{λ})$
に一致する．とくに任意の（非空）部分集合 $A \subset X$ に対して $Δ_{X} \cup (A \times A)$ は同値関係である．
!FORMULA[116][116448837][0] $\overset{―}{R} (⋃_{λ \in Λ} A_{λ} \times B_{λ})$

$\overset{―}{R} (R_{0})$ は各 $A_{λ} \cup B_{λ}$ を“一点につぶす”同値関係である（cf. 定義4）．

$R_{1}$ は $R_{0}$ を含む同値関係である

明らかに $R_{0} \subset R_{1}$ が成り立つ．

$Δ_{X} \subset R_{1}$ は明らか．
$R_{1}^{T} \subset R_{1}$ も明らか．
$(x, y), (y, z) \in R_{1}$ とする．
- $(x, y) \in Δ_{X} \lor (y, z) \in Δ_{X}$ のとき， $(x, z) \in R_{1}$ が成り立つ．
- $(x, y) \in (A_{λ} \cup B_{λ}) \times (A_{λ} \cup B_{λ}) \land (y, z) \in (A_{μ} \cup B_{μ}) \times (A_{μ} \cup B_{μ})$ のとき，仮定より $λ = μ$ となるので， $(x, z) \in (A_{λ} \cup B_{λ}) \times (A_{λ} \cup B_{λ}) \subset R_{1}$ が成り立つ．

$\overset{―}{R} (R_{0}) = R_{1}$ が成り立つ

$S \subset X \times X$ を $R_{0}$ を含む同値関係とする．また， $λ \in Λ$ とし $b_{λ, 0} \in B_{λ}$ を取る．このとき，任意の $(a_{λ}, a_{λ}^{'}) \in A_{λ} \times A_{λ}$ に対して
$(a_{λ}, b_{λ, 0}) \in R_{0} \subset S, (b_{λ, 0}, a_{λ}^{'}) \in R_{0}^{T} \subset S^{T} \subset S$
より $(a_{λ}, a_{λ}^{'}) \in S$ が成り立つ．したがって $A_{λ} \times A_{λ} \subset S$ を得る．同様に $B_{λ} \times B_{λ} \subset S$ も成り立つ．よって
$R_{1} = R_{0}^{Δ T} \cup ⋃_{λ \in Λ} (A_{λ} \times A_{λ}) \cup ⋃_{λ \in Λ} (B_{λ} \times B_{λ}) \subset S$
が成り立つので，前段と補題4より
$R_{1} = ⋂ {S \subset X \times X ∣ S : equiv. rel., R_{0} \subset S} = \overset{―}{R} (R_{0})$
を得る．

集合 $X$ 上の関係 $⋃_{λ \in Λ} A_{λ} \times B_{λ}$ によって生成される同値関係のことを指して，「関係
$a \sim b, a \in A_{λ}, b \in B_{λ}$
によって生成される同値関係」などと書くことがある．

商集合

$X$ を集合とし， $R \subset X \times X$ を同値関係とする．各 $x \in X$ に対して
$R (x) = {y \in X ∣ (y, x) \in R}$
とおく．このとき，以下は同値である：

$(x, y) \in R$ ;
$R (x) \cap R (y) \neq \emptyset$ ;
$R (x) = R (y)$ .

各 $x \in X$ に対して $(x, x) \in R$ より $x \in R (x) \neq \emptyset$ が成り立つ．したがって $X$ はいくつかの $R (x)$ たちの非交和として表わせる．

(i) $⟹$ (ii)

仮定より $x \in R (x) \cap R (y) \neq \emptyset$ が成り立つ．

(ii) $⟹$ (iii)

仮定より $z \in R (x) \cap R (y)$ が取れる．

任意の $w \in R (x)$ に対して， $(w, x), (x, z), (z, y) \in R$ より， $(w, y) \in R$ すなわち $w \in R (y)$ が成り立つ．したがって $R (x) \subset R (y)$ が成り立つ．
同様に $R (y) \subset R (x)$ も成り立つ．

(iii) $⟹$ (i)

$x \in R (x) = R (y)$ より $(x, y) \in R$ が成り立つ．

$X$ を集合とし， $R \subset X \times X$ を同値関係とする．冪集合 $P (X)$ の部分集合
$X / R := {R (x) \in P (X) ∣ x \in X}$
を（ $R$ による）商集合（quotient set）という．全射
$X \to X / R; x \mapsto R (x)$
を（ $R$ による）商写像（quotient map）といい， $q_{R}, q_{X / R}$ などで表わす．また，商写像による $x \in X$ の像 $R (x)$ をしばしば $[x]$ で表わす．

$X$ を集合とし， $R \subset X \times X$ を同値関係とする．部分集合 $S \subset X$ であって商写像の $S$ への制限 $q_{R} | S : S \to X / R$ が全単射となるものを，同値関係 $R$ の完全代表系（complete set of representatives）という．

$X$ 上の同値関係 $R$ の完全代表系 $S \subset X$ に対して
$X = ⨆_{x \in S} R (x)$
が成り立つ．
（選択公理のもとで）全射 $q_{R} : X \to X / R$ は切断 $s : X / R \to X$ を持つ：
$q_{R} \circ s = {id}_{X / R} .$
単射 $s$ の像 $s (X / R) \subset X$ は同値関係 $R$ の完全代表系である．

参考文献

[1]

N. Bourbaki, General Topology Chapters 1--4

[2]

J. Dugundji, Topology

[3]

小松醇郎，中岡稔，菅原正博, 『位相幾何学 I』, 岩波書店

投稿日：2023年10月29日

更新日：2023年12月1日

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同値関係と商集合

同値関係

R1はR0を含む同値関係である

R―(R0)=R1が成り立つ

商集合

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(iii)

(iii)⟹(i)

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$R_{1}$ は $R_{0}$ を含む同値関係である

$\overset{―}{R} (R_{0}) = R_{1}$ が成り立つ

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (iii)

(iii) $⟹$ (i)