商空間

仮定より，商写像族の積
$$ q := \prod q_{\bullet} \colon \prod X_{\bullet} \to \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}/R_{\lambda}$$
は全射連続開写像であり，$R(q) = \prod R_{\bullet}$が成り立つ．

仮定より，連続写像$\overline{\id_{X}} \colon X/R \to X/S$が存在する：
$$ \xymatrix{ {X} \ar[r]^{\id_{X}} \ar[d]_{q_{R}} & {X} \ar[d]^{q_{S}} \\ {X/R} \ar@{.>}[r]_{\overline{\id_{X}}} & {X/S} }$$
いま，$\overline{\id_{X}} \circ q_{R} = q_{S}$は全射等化写像であるから，$\overline{\id_{X}}$も全射等化写像である（定理3.7の系）．そこで$S/R = R(\overline{\id_{X}})$とおくと，同相$(X/R)/(S/R) \approx X/S$が成り立つ．

仮定より$q^{C} \colon q^{-1}(C) \to C$は全射等化写像である（命題3.9）．よって
$$ q^{-1}(C)/R(q^{C}) \approx C$$
が成り立つ．ところで，任意の$x,x' \in q^{-1}(C)$に対して
$$ (x,x') \in R(q^{C}) \iff (x,x') \in R|q^{-1}(C)$$
が成り立つので，結論を得る．

連続写像
$$ f \colon D^{n} \to S^{n};\ x \mapsto \left(2x\sqrt{1-\|x\|^{2}},2\|x\|^{2}-1\right)$$
を考える．

• $x \in S^{n-1} \iff f(x) = (0,\ldots,0,1) =: N$が成り立つ；
• $f|_{D^{n} \smallsetminus S^{n-1}}^{S^{n} \smallsetminus\{N\}}$は同相写像
  $$ \mathrm{int}(D^{n}) \to \mathbb{R}^{n};\ x \mapsto \frac{x}{\sqrt{1-\|x\|^{2}}}$$
  と立体射影の逆写像
  $$ \mathbb{R}^{n} \to S^{n} \smallsetminus \{N\};\ y \mapsto \left(\frac{2y}{\|y\|^{2}+1},\frac{\|y\|^{2}-1}{\|y\|^{2}+1}\right)$$
  の合成ゆえ同相写像である．

したがって，任意の$x,x' \in D^{n}$に対して
$$ q_{D^{n}/S^{n-1}}(x) = q_{D^{n}/S^{n-1}}(x') \iff f(x) = f(x')$$
が成り立つので，$f$は全単射連続写像$\overline{f} \colon D^{n}/S^{n-1} \to S^{n}$を誘導する．いま$D^{n}/S^{n-1}$はコンパクトであり$S^{n}$はハウスドルフであるから，$\overline{f}$は同相写像である．

• $C = q_{X/A}(B) \subset X/A$とおくと，$A \subset B$より$B = (q_{X/A})^{-1}(C)$が成り立つ．
• $R(A)|B = \Delta_{B} \cup (A \times A)$が成り立つ．

商空間の推移性より
$$ (X/A)/(R(A \cup B)/R(A)) \approx X/(A \cup B)$$
が成り立つので，$R(A \cup B)/R(A) = R(q_{X/A}(B))$を示せばよい．

$R(A \cup B)/R(A) \subset R(q_{X/A}(B))$

$(q_{X/A}(x),q_{X/A}(y)) \in R(A \cup B)/R(A)$とする．このとき，$q_{X/A \cup B}(x) = q_{X/A \cup B}(y)$より
$$ (x,y) \in R(A \cup B) = \Delta_{X} \cup ((A \cup B) \times (A \cup B))$$
が成り立つ．

• $(x,y) \in \Delta_{X}$のとき，明らかに$(q_{X/A}(x),q_{XX/A}(y)) \in R(q_{X/A}(B))$が成り立つ．
• $(x,y) \in A \times A$のとき，$(q_{X/A}(x),q_{X/A}(y)) \in \Delta_{X/A} \subset R(q_{X/A}(B))$が成り立つ．
• $(x,y) \in A \times B$のとき，$z \in A \cap B$を取ると，
  $$ (q_{X/A}(x),q_{X/A}(y)) = (q_{X/A}(z),q_{X/A}(y)) \in q_{X/A}(B) \times q_{X/A}(B) \subset R(q_{X/A}(B))$$
  が成り立つことがわかる．
• $(x,y) \in B \times A$のときも同様．
• $(x,y) \in B \times B$のとき，明らかに$(q_{X/A}(x),q_{X/A}(y)) \in R(q_{X/A}(B))$が成り立つ．

$R(q_{X/A}(B)) \subset R(A \cup B)/R(A)$

$(q_{X/A}(x),q_{X/A}(y)) \in R(q_{X/A}(B))$とする．このとき，$q_{X/A \cup B}(x) = q_{X/A \cup B}(y)$が成り立つことを示せばよい．

• $(q_{X/A}(x),q_{X/A}(y)) \in \Delta_{X/A}$のとき，
  $$ (x,y) \in R(A) \subset R(A \cup B)$$
  より$q_{X/A \cup B}(x) = q_{X/ A \cup B}(y)$を得る．
• $(q_{X/A}(x),q_{X/A}(y)) \in q_{X/A}(B) \times q_{X/A}(B)$のとき，$x',y' \in B$であって$q_{X/A}(x) = q_{X/A}(x'),\, q_{X/A}(y) = q_{X/A}(y')$となるものが存在するので，前段と$x',y' \in A \cup B$より
  $$ q_{X/A\cup B}(x) = q_{X/A\cup B}(x') = q_{X/A \cup B}(y') = q_{X/A \cup B}(y)$$
  を得る．

任意の部分集合$B \subset X$に対して
$$ q^{-1}(q(B)) = \begin{cases} A \cup B &, A \cap B \neq \varnothing\\ B &, A \cap B = \varnothing \end{cases}$$
が成り立つので，等化位相の定義より結論を得る．後半は命題4の系よりしたがう．

仮定より$q := q_{X/A}$は開写像（resp. 閉写像）であるから，補題3.8より，$q^{(X/A) \smallsetminus q(A)}$は開写像（resp. 閉写像）である．また，$q^{(X/A) \smallsetminus q(A)}$は明らかに全単射である．よって，全単射連続開写像（resp. 閉写像）$q^{(X/A) \smallsetminus q(A)}$は同相写像である．

商写像を$q \colon X \to X/A$とおく．$X \smallsetminus A \in \tau(X)$より$(X/A) \smallsetminus q(A) \in \tau(X/A)$，したがって$\tau(X/A)|((X/A) \smallsetminus q(A)) \subset \tau(X/A)$となることに注意する（命題2.4の系）．
$x,y \in X$とし，$q(x) \neq q(y)$とする．

• $x,y \notin A$のとき，ハウスドルフ空間$X \smallsetminus A$における相異なる2点$x,y$の交わらない開近傍の$q$による像が，$(X/A) \smallsetminus q(A)$における，したがって$X/A$における$q(x),q(y)$の交わらない開近傍を与える．
• $x \notin A, y \in A$のとき，$U \in \tau(x,X),V \in \tau(A,X)$であって$U \cap V = \varnothing$となるものが存在する．
  $$ q^{-1}(q(U)) = U,\, q^{-1}(q(V)) = V$$
  より，$q(U),q(V)$が$X/A$における$q(x),q(y)$の交わらない開近傍を与える．

余積空間$Y \amalg X$の普遍性より，連続写像$\varphi \amalg \psi \colon Y \amalg X \to Z$であって
$$ (\varphi \amalg \psi) \circ i_{Y} = \varphi,\ (\varphi \amalg \psi) \circ i_{X} = \psi$$
を満たすものがただ一つ存在する．
$$ \xymatrix{ {Y} \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{i_{Y}} & {Z} & {X} \ar[r]^{\psi} \ar[d]_{i_{X}}& {Z}\\ {Y \amalg X} \ar@{.>}[ru]_{\varphi \amalg \psi} & {} & {Y \amalg X} \ar@{.>}[ur]_{\varphi \amalg \psi} }$$
仮定より，任意の$a \in A$に対して
$$ (\varphi \amalg \psi)(i_{Y}(f(a))) = \varphi(f(a)) = \psi(a) = (\varphi \amalg \psi)(i_{X}(a))$$
が成り立つので，商空間$Y \cup_{f} X$の普遍性より，連続写像$\varphi \cup_{f} \psi \colon Y \cup_{f} X \to Z$であって
$$ (\varphi \cup_{f} \psi) \circ q_{f} = \varphi \amalg \psi$$
を満たすものがただ一つ存在する．
$$ \xymatrix{ {Y \amalg X} \ar[r]^{\varphi \amalg \psi} \ar[d]_{q_{f}} & {Z}\\ {Y \cup_{f} X} \ar@{.>}[ur]_{\varphi \cup_{f} \psi} }$$
この写像が定理の主張を満たすことは明らかであろう．

$D = q_{f}^{-1}(q_{f}(C)) \subset Y \amalg X$とおく．

1. \begin{align} y \in i_{Y}^{-1}(D) &\iff q_{f}(i_{Y}(y)) \in q_{f}(C)\\ &\iff \exists c \in C,\ q_{f}(i_{Y}(y)) = q_{f}(c)\\ &\iff y \in i_{Y}^{-1}(C) \cup f(i_{X}^{-1}(C) \cap A). \end{align}
2. \begin{align} x \in i_{X}^{-1}(D) &\iff \exists c \in C, q_{f}(i_{X}(x)) = q_{f}(c)\\ &\iff x \in i_{X}^{-1}(C) \cup (i_{X}^{-1}(D) \cap A). \end{align}

$D = q_{f}^{-1}(q_{f}(C)) \subset Y \amalg X$とおく．$A \in \tau^{c}(X)$より$\tau^{c}(A) \subset \tau^{c}(X)$に注意する．
$$ i_{X}^{-1}(D) \cap A = (\incl{A}{X})^{-1}(i_{X}^{-1}(D)) = f^{-1}(i_{Y}^{-1}(D)) \subset A$$
より
$$ i_{X}^{-1}(D) = i_{X}^{-1}(C) \cup f^{-1}(i_{Y}^{-1}(D))$$
となるので，$i_{X}^{-1}(C) \in \tau^{c}(X)$のとき
\begin{align} q_{f}(C) \in \tau^{c}(Y \cup_{f} X) &\iff D \in \tau^{c}(Y \amalg X)\\ &\iff i_{Y}^{-1}(D) \in \tau^{c}(Y) \land i_{X}^{-1}(D) \in \tau^{c}(X)\\ &\iff i_{Y}^{-1}(D) \in \tau^{c}(Y) \end{align}
が成り立つことがわかる．

$V \amalg U \in \tau(Y \amalg X)$であるから，これが$q_{f}$飽和集合であることを示せばよい．ところで，$W = q_{f}^{-1}(q_{f}(V \amalg U)) \subset Y \amalg X$とおくと，補題9より
\begin{align} i_{Y}^{-1}(W) &= i_{Y}^{-1}(V \amalg U) \cup f(i_{X}^{-1}(V \amalg U) \cap A)\\ &= V \cup f(U \cap A)\\ &= V,\\ i_{X}^{-1}(W) &= i_{X}^{-1}(V \amalg U) \cup f^{-1}(i_{Y}^{-1}(W))\\ &= U \cup f^{-1}(V)\\ &= U \end{align}
が成り立つので，
\begin{align} W &= i_{Y}(i_{Y}^{-1}(W)) \cup i_{X}(i_{X}^{-1}(W))\\ &= i_{Y}(V) \cup i_{X}(U)\\ &= V \amalg U \end{align}
を得る．

1. 写像$(q_{f} \circ i_{Y})^{q_{f} \circ i_{Y}(Y)} \colon Y \to q_{f} \circ i_{Y}(Y)$は全単射連続写像であり$i_{Y} \colon Y \to Y \amalg X$は閉写像であるから，$q_{f}|i_{Y}(Y)$が閉写像であることを示せばよい．そこで$C \in \tau^{c}(i_{Y}(Y))$とすると，$i_{X}^{-1}(C) = \varnothing \in \tau^{c}(X)$であるから，
   $$ i_{Y}^{-1}(C) \cup f(i_{X}^{-1}(C) \cap A) = i_{Y}^{-1}(C) \in \tau^{c}(Y)$$
   と命題10より$q_{f}(C) \in \tau^{c}(Y \cup_{f} X)$を得る．
2. 写像$(q_{f} \circ i_{X})^{q_{f} \circ i_{X}(X \smallsetminus A)} \colon X \smallsetminus A \to q_{f} \circ i_{X}(X \smallsetminus A)$は全単射連続写像であり$i_{X}|(X \smallsetminus A) \colon X \smallsetminus A \to Y \amalg X$は開写像であるから，$q_{f}|i_{X}(X \smallsetminus A)$が開写像であることを示せばよい．そこで$U \in \tau(i_{X}(X \smallsetminus A))$とすると，$q_{f}^{-1}(q_{f}(U)) = U$より$q_{f}(U) \in \tau(Y \cup_{f} X)$を得る．
3. 同値関係の定義より明らか．

商空間$Y_{1} \cup_{f_{1}} X_{1}$の普遍性より，単射連続写像$\overline{g} \colon Y_{1} \cup_{f_{1}} X_{1} \to Y \cup_{f} X$であって$\overline{g} \circ q_{f_{1}} = q_{f} \circ \incl{Y_{1} \amalg X_{1}}{Y \amalg X}$を満たすものがただ一つ存在する．
$$ \xymatrix{ {Y_{1} \amalg X_{1}} \ar[r]^{\incl{Y_{1} \amalg X_{1}}{Y \amalg X}} \ar[d]_{q_{f_{1}}} & {Y \amalg X} \ar[d]^{q_{f}}\\ {Y_{1} \cup_{f_{1}} X_{1}} \ar@{.>}[r]_{\overline{g}} & {Y \cup_{f} X} }$$
あとは$\overline{g}$が閉写像であることを示せばよい（定理2.7の系）．そのためには任意の$q_{f_{1}}$飽和閉集合$C_{1} \subset Y_{1} \amalg X_{1}$に対して$q_{f}(\incl{Y_{1} \amalg X_{1}}{Y \amalg X}(C_{1})) \in \tau^{c}(Y \cup_{f} X)$が成り立つことを示せばよい（命題3.6）．そこで$C_{1} \subset Y_{1} \amalg X_{1}$を$q_{f_{1}}$飽和閉集合とする．このとき$i_{X_{1}}^{-1}(C_{1}) \in \tau^{c}(X_{1})$および$q_{f_{1}}(C_{1}) \in \tau^{c}(Y_{1} \cup_{f_{1}} X_{1})$が成り立つので，命題10より
$$ i_{Y_{1}}^{-1}(C_{1}) \cup f_{1}(i_{X_{1}}^{-1}(C_{1}) \cap A) \in \tau^{c}(Y_{1})$$
を得る．ところで
\begin{align} i_{X}^{-1}(\incl{Y_{1} \amalg X_{1}}{Y \amalg X}&(C_{1})) = i_{X_{1}}^{-1}(C_{1}) \in \tau^{c}(X),\\ i_{Y}^{-1}(j(C_{1})) \cup f(i_{X}^{-1}&(\incl{Y_{1} \amalg X_{1}}{Y \amalg X}(C_{1})) \cap A) \\ &= i_{Y_{1}}^{-1}(C_{1}) \cup f_{1}(i_{X_{1}}^{-1}(C_{1}) \cap A) \in \tau^{c}(Y_{1}) \subset \tau^{c}(Y) \end{align}
が成り立つので，再び命題10より$q_{f}(\incl{Y_{1} \amalg X_{1}}{Y \amalg X}(C_{1})) \in \tau^{c}(Y \cup_{f} X)$を得る．

命題13を$Y = Y_{1} = \{\ast\},\ f = c \colon A \to \{\ast\}$に対して適用すればよい．

• $X,Y$の$T_{1}$性より，任意の$y \in Y,a \in A,\,x \in X \smallsetminus A$に対して
  \begin{align} q_{f}^{-1}(q_{f}(i_{Y}(y))) &= i_{Y}(\{y\}) \cup i_{X}(f^{-1}(\{y\})),\\ q_{f}^{-1}(q_{f}(i_{X}(a))) &= i_{X}(f^{-1}(\{f(a)\})),\\ q_{f}^{-1}(q_{f}(i_{X}(x))) &= i_{X}(\{x\}) \end{align}
  はいづれも$Y \amalg X$の閉集合であるから，$Y \cup_{f} X$は$T_{1}$空間である．
• $C_{1},C_{2} \subset Y \cup_{f} X$を交わらない閉集合とする．
  • $F_{i} := i_{Y}^{-1}(q_{f}^{-1}(C_{i})) \subset Y$は交わらない閉集合であるから，$Y$の正規性より，$V_{i} \in \tau(F_{i},Y)$であって$\overline{V_{1}} \cap \overline{V_{2}} = \varnothing$となるものが存在する（命題2.28）．
  • 命題12より$q_{f} \circ i_{Y}(\overline{V_{i}}) \in \tau^{c}(Y \cup_{f} X)$であるから，$F_{i}' := i_{X}^{-1}(q_{f}^{-1}(C_{i} \cup q_{f} \circ i_{Y}(\overline{V_{i}}))) \in \tau^{c}(X)$となる．交わらない閉集合$F_{1}',F_{2}' \subset X$に対して，$X$の正規性より，$U_{i} \in \tau(F_{i}',X)$であって$U_{1} \cap U_{2} = \varnothing$となるものが存在する．
  • $W_{i} = q_{f}(i_{Y}(V_{i}) \cup i_{X}(U_{i} \smallsetminus A))$とおく．明らかに$W_{1} \cap W_{2} = \varnothing$であり，
    $$ f((\incl{A}{X})^{-1}(i_{X}^{-1}(q_{f}^{-1}(C_{i})))) \subset i_{Y}^{-1}(q_{f}^{-1}(C_{i})) \subset V_{i}$$
    より
    $$ C_{i} \subset q_{f}(i_{Y}(F_{i}) \cup i_{X}(F_{i}' \smallsetminus A)) \subset q_{f}(i_{Y}(V_{i}) \cup i_{X}(U_{i} \smallsetminus A)) = W_{i}$$
    が成り立つ．あとは$W_{i} \in \tau(Y \cup_{f} X)$を示せばよい．
  • 補題9より
    \begin{align} i_{Y}^{-1}(q_{f}^{-1}(W_{i})) &= i_{Y}^{-1}(i_{Y}(V_{i}) \cup i_{X}(U_{i} \smallsetminus A)) \cup f(i_{X}^{-1}(i_{Y}(V_{i}) \cup i_{X}(U_{i} \smallsetminus A)) \cap A)\\ &= V_{i} \in \tau(Y) \end{align}
    および
    \begin{align} i_{X}^{-1}(q_{f}^{-1}(W_{i})) &= i_{X}^{-1}(i_{Y}(V_{i}) \cup i_{X}(U_{i} \smallsetminus A)) \cup f^{-1}(i_{Y}^{-1}(q_{f}^{-1}(W_{i})))\\ &= (U_{i} \smallsetminus A) \cup f^{-1}(V_{i}) \end{align}
    が成り立つので，あとは
    $$ (U_{i} \smallsetminus A) \cup f^{-1}(V_{i}) \in \tau(X)$$
    を示せばよい．
  • $i_{X}^{-1}(q_{f}^{-1}(q_{f} \circ i_{Y}(V_{i}))) \subset F_{i}' \subset U_{i}$より
    $$ q_{f} \circ i_{X} \circ \incl{A}{X}(f^{-1}(V_{i})) = q_{f} \circ i_{Y} \circ f(f^{-1}(V_{i})) \subset q_{f} \circ i_{Y}(V_{i})$$
    となるので，$f^{-1}(V_{i}) \subset U_{i}$が成り立つ．
  • また，$f^{-1}(V_{i}) \in \tau(A)$より$U_{i}' \in \tau(X)$であって$f^{-1}(V_{i}) = U_{i}' \cap A$となるものが存在する．
  • よって
    $$ (U_{i} \smallsetminus A) \cup f^{-1}(V_{i}) = (U_{i} \smallsetminus A) \cup (U_{i} \cap U_{i}' \cap A) = (U_{i} \smallsetminus A) \cup (U_{i} \cap U_{i}') \in \tau(X)$$
    が成り立つ．

商写像を$q \colon A \amalg B \to A \cup_{A \cap B} B$とおく．連続写像

• $f_{A} := q \circ i_{A} \colon A \to A \cup_{A \cap B} B$
• $f_{B} := q \circ i_{B} \colon B \to A \cup_{A \cap B} B$

について$f_{A}|A \cap B = f_{B}|A \cap B$が成り立つ．命題4.9より$(A,B)$は$\tau(X)$と整合的な被覆であるから，命題$4.5$より連続写像$f \colon X \to A \cup_{A \cap B} B$が定まる．一方，包含写像について
$$ \incl{A}{X} \circ \incl{A \cap B}{A} = \incl{A \cap B}{X} = \incl{B}{X} \circ \incl{A \cap B}{B}$$
が成り立つので，接着空間の普遍性より，連続写像$g \colon A \cup_{A \cap B} B \to X$が定まる．
$$ \xymatrix{ {A \cap B} \ar[r]^{\incl{A \cap B}{B}} \ar[d]_{\incl{A \cap B}{A}} & {B} \ar[d]^{q \circ i_{B}} \ar@/^1.5pc/[rdd]^{\incl{B}{X}}\\ {A} \ar[r]_{q \circ i_{A}} \ar@/_1.5pc/[rrd]_{\incl{A}{X}} & {A \cup_{A \cap B} B} \ar@{.>}[rd]_{g}\\ {} & {} & {X} }$$
こうして定まる$f,g$が互いの逆写像であることは明らかであろう．

• $\tilde{x} \in \widetilde{X}$とする．このとき$\lambda \in \Lambda$であって$\tilde{x} \in X_{\lambda}$となるものが存在するので$f_{\lambda}^{\lambda}(\tilde{x}) = \tilde{x}$が成り立つ．したがって$(\tilde{x},\tilde{x}) \in R(\mathfrak{f})$を得る．
• $(\tilde{x},\tilde{x}') \in R(\mathfrak{f})$とする．このとき，$\lambda,\mu \in \Lambda$であって
  $$ \tilde{x} \in A_{\lambda}^{\mu},\,\tilde{x}' \in A_{\mu}^{\lambda},\,f_{\lambda}^{\mu}(\tilde{x}) = \tilde{x}'$$
  となるものが存在する．コサイクル条件において$\nu = \lambda$とすることで$f_{\mu}^{\lambda} \circ f_{\lambda}^{\mu} = \id_{A_{\lambda}^{\mu}}$となることがわかるので，
  $$ \tilde{x}' \in A_{\mu}^{\lambda},\,\tilde{x} \in A_{\lambda}^{\mu},\,f_{\mu}^{\lambda}(\tilde{x}') = \tilde{x}$$
  すなわち$(\tilde{x}',\tilde{x}) \in R(\mathfrak{f})$が成り立つ．
• $(\tilde{x},\tilde{x}'),\,(\tilde{x}',\tilde{x}'') \in R(\mathfrak{f})$とする．このとき，$\lambda,\mu,\nu \in \Lambda$であって
  $$ \tilde{x} \in A_{\lambda}^{\mu},\,\tilde{x}' = f_{\lambda}^{\mu}(\tilde{x}) \in A_{\mu}^{\lambda} \cap A_{\mu}^{\nu},\,\tilde{x}'' = f_{\mu}^{\nu}(\tilde{x}') \in A_{\nu}^{\mu}$$
  となるものが存在する．したがって
  $$ \tilde{x}'' = f_{\mu}^{\nu}(\tilde{x}') = f_{\lambda}^{\nu} \circ f_{\mu}^{\lambda}(\tilde{x}') = f_{\lambda}^{\nu}(\tilde{x}) \in A_{\nu}^{\lambda}$$
  が成り立つので，
  $$ \tilde{x} \in f_{\nu}^{\lambda}(A_{\nu}^{\lambda}) = A_{\lambda}^{\nu},\,\tilde{x}'' \in A_{\nu}^{\lambda},\,f_{\lambda}^{\nu}(\tilde{x}) = \tilde{x}''$$
  すなわち$(\tilde{x},\tilde{x}'') \in R(\mathfrak{f})$を得る．

$q_{\lambda}$が単射連続開写像であることを示せばよい（定理2.7の系）．

• 連続性は明らか．
• $x,x' \in X_{\lambda},\,q_{\lambda}(x) = q_{\lambda}(x')$とする．このとき，$x,x' \in X_{\lambda},\,(x,x') \in R(\mathfrak{f})$より$x' = f_{\lambda}^{\lambda}(x) = x$が成り立つ．
• $U \in \tau(X_{\lambda})$とする．このとき任意の$\mu \in \Lambda$に対して，$q_{\lambda} \circ f_{\mu}^{\lambda} = q_{\mu}|A_{\mu}^{\lambda}$および
  \begin{align} U \cap A_{\lambda}^{\mu} &= U \cap q_{\lambda}^{-1}(q_{\lambda}(X_{\lambda}) \cap q_{\mu}(X_{\mu}))\\ &= q_{\lambda}^{-1}(q_{\lambda}(U) \cap q_{\lambda}(X_{\lambda}) \cap q_{\mu}(X_{\mu}))\\ &= q_{\lambda}^{-1}(q_{\lambda}(U) \cap q_{\mu}(X_{\mu})) \end{align}
  より
  $$ q_{R(\mathfrak{f})}^{-1}(q_{\lambda}(U)) \cap X_{\mu} = q_{\mu}^{-1}(q_{\lambda}(U) \cap q_{\mu}(X_{\mu})) = f_{\lambda}^{\mu}(U \cap A_{\lambda}^{\mu}) \in \tau(X_{\mu})$$
  が成り立つ．$(X_{\mu})_{\mu \in \Lambda}$は$\widetilde{X}$の開被覆であるから，$q_{R(\mathfrak{f})}^{-1}(q_{\lambda}(U)) \in \tau(\widetilde{X})$を得る．よって$q_{\lambda}(U) \in \tau(X)$が成り立つ．

$q \colon \widetilde{E} \to E$を商写像とする．

射影

各$\lambda \in \Lambda$に対して
$$ p_{\lambda} = \incl{U_{\lambda}}{B} \circ p_{U_{\lambda}} \colon X_{\lambda} \to U_{\lambda} \subset B$$
とおくと，連続写像族$(p_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$は連続写像$\coprod p_{\bullet} \colon \widetilde{E} \to B$を誘導する．また，
$$ (\tilde{e},\tilde{e}') \in R(\mathfrak{f}) \implies \left(\coprod p_{\bullet}\right)(\tilde{e}) = \left(\coprod p_{\bullet}\right)(\tilde{e}')$$
が成り立つので，商空間の普遍性より連続写像$\pi \colon E \to B$が誘導される．
$$ \xymatrix{ {\widetilde{E}} \ar[r]^{\coprod p_{\bullet}} \ar[d]_{q} & {B}\\ {E} \ar@{.>}[ur]_{\pi} }$$

局所自明化

$b \in B$とする．このとき$\lambda \in \Lambda$であって$b \in U_{\lambda}$となるものが存在する．そこで，同相写像$(q_{\lambda})^{q(X_{\lambda})} \colon X_{\lambda} \to q(X_{\lambda}) = \pi^{-1}(U_{\lambda})$の逆写像を局所自明化
$$ \varphi_{\lambda} \colon \pi^{-1}(U_{\lambda}) \to X_{\lambda} = U_{\lambda} \times F$$
として取ればよい．これは$\pi^{-1}(U_{\lambda}) \cap \pi^{-1}(U_{\mu})$上で
$$ \varphi_{\lambda}([\mu,b,y]) = (b, g_{\mu}^{\lambda}(b) \cdot y)$$
によって与えられる写像である．

変換函数

任意の$\lambda,\mu \in \Lambda$と$(b,y) \in (U_{\lambda} \cap U_{\mu}) \times F$とに対して
$$ \varphi_{\lambda} \circ \varphi_{\mu}^{-1}(b,y) = (b,g_{\mu}^{\lambda}(b) \cdot y)$$
が成り立つ．