三角形の中心　という分野にかかわる知識が幅広く学べます。

三角形のあらゆる点の紹介

第0章　三角形の面積公式
a,b,cを三角形の各辺、Sを三角形の面積、Rを外接円の半径、
rを内接円の半径、s=(a+b+c)/2とすると、次の4つの式が成立する。
![画像の名前](/uploads/mathdown/BSOZrvOO8orN2Xm1Cn8L.png)

第0章　三角形の面積公式

第1章　三角形の基本の点まとめ
※ここからは特に言及しない場合、点をこのように示す。
![点の一覧](/uploads/mathdown/cZpJjTG0WSWdYpnl0zl6.png)

## ①五心とオイラー線
内心、外心、重心、垂心、傍心に関する知識を前提に話を進める。[4]

&&&thm
三角形の外心、重心、垂心は同一直線上であり、OG:GH=1:2である。外心、重心、垂心を通る直線をオイラー線という。(証明 [5])
&&&


## ②九点円の定理(既知)
![赤い円が九点円である。ピンクの線分は九点円の直径である。](/uploads/mathdown/R9S7qmdXTuvaYkj3Wtw9.png)

ΔDEFをΔABCの中点三角形、ΔPQRをΔABCの垂足三角形、ΔXYZをΔABCのオイラー三角形という。この定理より、中点三角形、垂足三角形、オイラー三角形のそれぞれの外心は元の三角形の九点円の中心と一致する。
![オイラー線上の線分比を表す[7]](/uploads/mathdown/LBVq5ezR9pMR7lTDrgFx.png)

&&&thm 九点円の性質①
九点円の中心NはOHの中点であり、オイラー線上にある。(証明[8])
&&&

&&&thm 九点円の性質②(フォイエルバッハの定理)
三角形において その九点円は 内接円に内接し 傍接円に外接する。(証明[9])
フォイエルバッハ点(X(11))の定義
九点円と内接円の接点を、フォイエルバッハ点とする。
&&&

![九点円（紫）は内接円（赤）と傍接円（青）に接する。[10]](/uploads/mathdown/64yMDlWP5Jt69H5QAo6c.png)

★3つの円に接する円をアポロニウス円という
(アポロニウス円の定義は沢山あるためややこしい)
九点円は、3つの傍接円に内接するため、3つの傍接円のアポロニウス円の一つである。
ということは、3つの傍接円に外接する円もかける。その中心はX(970)である。

![赤がアポロニウス円である。[11]](/uploads/mathdown/vYGLqT75Z1axG8KmAboO.png)

他にも九点円にはシムソン線や直交双曲線に関わる面白い性質がある。[12]


## ③中点三角形
![図1-5　緑色の三角形が中点三角形である。](/uploads/mathdown/7qlw9iRKCWkYI7jupWqa.png)

&&&def
中点三角形の定義
三角形の各辺の中点をつないだ三角形を中点三角形とする。
&&&


&&&thm 重心の特性定理①(新概念)
ある三角形の重心とその中点三角形の重心は一致する。
ある三角形とその中点三角形は相似(homostic)であり、相似比は2:1、相似の中心は重心である。
&&&
証明は第5章のはじめを参照


この定理から分かること
①ある三角形ABCのP,Q (「三角形の中心」)について、ΔDEFが中点三角形のとき、
　ΔDEFのPがΔABCのQであること、PG:GQ=2:1は同値である。
②ある三角形とその中点三角形のそれぞれの線ℓが一致することと、
　ℓが重心を通ることは同値である。

重心の特性定理①の活用

&&&thm
中点三角形の垂心は元の三角形の外心である。
&&&


【証明】　HG:GO=2:1だから、重心の特性定理①より示された。


&&&thm
九点円の半径はR/2である。ただしRは外接円の半径
&&&


【証明】　ある三角形とその中点三角形は相似であり、相似比は2:1だから、示される。


## ④垂足三角形(だいたい既知)

## 
&&&thm 垂足三角形の定義
ΔABCについて、D,E,FをA,B,Cの垂足とすると、ΔDEFをΔABCの垂足三角形という。
&&&

垂足三角形には面白い性質が沢山ある。順番に紹介しよう。
※ΔABCについて、「AからBCに下した垂線の足」を省略して「Aの垂足」としている。
![青い三角形が垂足三角形[13]](/uploads/mathdown/f2KzLQOjyhSLfFc4NwNN.png)

&&&thm 垂足三角形の性質①
鋭角三角形の垂心 は，その垂足三角形の内心と一致する。
垂足三角形の性質②
鈍角三角形の垂心は，その垂足三角形の傍心と一致する。
(両方とも証明[13])
&&&
![青い三角形が垂足三角形である。[13]](/uploads/mathdown/dQccQYOfoLfwPY7EYk9W.png)


&&&prf 【性質①の証明】 
△ABCの垂足三角形を△DEF, 垂心をHとする。 △ABD∽△CBFより∠BAD＝∠BCF …(1) □AFHEは円に内接するから、∠BAD＝∠HEF …(2) □HDCEは円に内接するから、∠BCF＝∠HED …(3) (1), (2), (3) より∠HEF＝∠HED 同様に、∠HFE＝∠HFD, ∠HDF＝∠HDE であることが示されるから、 △ABCの垂心Hは△DEFの内心と一致する。 　
&&&
![青い三角形が垂足三角形である。[13]](/uploads/mathdown/rrNrLOhw5pbt16IwLcNR.png)

&&&prf 【性質②の証明】 
△ABCの垂足三角形を△DEF, 垂心をHとする。 △ABDは∠ADB＝90°の直角三角形より∠BAD ＜90° △ABEは∠AEB＝90°の直角三角形より∠ABE ＜90° △BHDは∠BDH＝90°の直角三角形より∠BHD ＜90° よって△ABHは鋭角三角形で、△DEFはその垂足三角形になっているから、 FC, EC, DCはそれぞれ∠EFD, ∠FED, ∠FDEの内角の二等分線で、 また、EC⊥EH, DC⊥DHよりEH, DHはそれぞれ∠FED, ∠FDEの外角の二等分線であるから、Hは△DEFの傍心となる。
鋭角三角形に内接する三角形のうち、周の長さが最小になるものは垂足三角形である。

&&&thm 垂足三角形の性質③
鋭角三角形に内接する三角形のうち、周の長さが最小になるものは垂足三角形である。(証明[13])
&&&

&&&prf
BC上に点Dを固定し、ABに関してDと対称な点をP, ACに関して対称な点をQとすると、DF＋FE＋ED＝PF＋FE＋EQ よりP, F, E, Qが一直線になるとき△DEFの周は最小になる。
次に、点DがBC上を動くとき△DEFの周（＝PQ）を最小にするには、
∠PAQ＝2∠BAC（一定）, AP＝AQ＝ADより、ADを最小にすればよく、それはAD⊥BCとなるときである。
同様に、E, FについてもBE⊥CA, CF⊥ABとなるとき△DEFの周の長さを最小にするから、
△ABCの垂足三角形が求める三角形となる。
&&&
![[13]](/uploads/mathdown/UMTovglrwnFj0tO259aR.png)


&&&thm 垂足三角形の性質④
鋭角三角形△ABCの面積をS, 外接円の半径をRとすると、
ΔABCの垂足三角形の周の長さは2S/Rに等しい。
&&&

納得のいく証明が見つからなかったから自力で証明した。

![](/uploads/mathdown/sAS3pnjpynBVcvZHqqvf.png)


## ⑤傍心三角形

## 
![(左)DEFが傍心三角形である。(右)垂足三角形との関連性の証明](/uploads/mathdown/A38gpQAnWSsItkzFcJUy.png)


&&&def 傍心三角形の定義
三角形の3つの傍心がなす三角形を、傍心三角形という。
傍心三角形の性質　三角形ABCの傍心三角形を三角形DEFとすると、ΔABCはΔDEFの垂足三角形である。
&&&

&&&prf (独自)
線分ABのA側の延長線上に点Pをとる。
傍心Dは∠BACの二等分線上で傍心Eは∠CAPの二等分線上にある。
90°=1/2∠BAP=1/2(∠BAC+∠CAP)＝1/2∠BAC+1/2∠CAP=∠DAC+∠EAC=∠CAE
よってAはDからEFに下した垂足である。同様の性質をB,Cで示し、ΔABCはΔDEFの垂足三角形であると分かる。
&&&


## ⑥オイラー三角形
![(左)オレンジの三角形がオイラー三角形である。(右)証明に用いる図](/uploads/mathdown/FPzhprLN9AvOkDTUfm3s.png)

&&&def オイラー三角形の定義
垂心と各頂点の中点をつないでできる三角形を、オイラー三角形とする。
&&&
&&&thm オイラー三角形の性質
ΔABCの垂足三角形をΔDEFとすると、ΔAEF、ΔBFD,ΔCDEの外心はオイラー三角形の頂点である。
&&&

&&&prf (独自)
∠AFH=∠AEH=90°　円周角の定理の逆よりA,E,F,Hは同一円上であり、その中心はA,Hの中点になる。この点はオイラー三角形の頂点だから、示せた。
&&&

&&&lem オイラー三角形の自明な性質
ある三角形とそのオイラー三角形は相似(homostic)であり、相似の中心は垂心である。
&&&
[証明]第5章参照

![三本のオイラー線が青線であり、青い点が X(125)である。[14]](/uploads/mathdown/7sKnspoIyHPJIdWLj7em.png)


&&&thm 九点円の性質③　
三角形ABCの垂足三角形をΔDEFとし、ΔAEF,ΔBFD,ΔCDEのオイラー線は九点円上の一点で交わる。この点はX(125)(Jerabek双曲線の中心)である。
&&&

Wolfram Mathworldには載っているが、「九点円」と調べても出てこない、九点円の隠された性質である。







第1章三角形の基本的な点(前半)


## ⑦ジュルゴンヌ点(X(7))とナーゲル点(X(8))
![赤い点がジュルゴンヌ点である。[15]](/uploads/mathdown/M60ch7hdJSiSEi0x4MZ6.png)

&&&def  ジュルゴンヌ点の定義
三角形の頂点と、対辺の内接円との接点を結んだ直線3つの交点をジュルゴンヌ点とする。(存在証明[15])
&&&


&&&prf (存在証明)
チェバの定理の逆より、AF/FB*BD/DC*CE/EA=1 を証明すればよい。
定点から一つの円に引いた二本の接線の長さは等しいので，
AE=AF,BF=BD,CD=CEとなるので上式は確かに成立する。
&&&



![青い線がsplitterである。](/uploads/mathdown/NHPt8pRUdcJQ6KNdcaiN.png)


&&&def   splitterの定義
三角形の頂点と、その対辺の傍接円との接点を結んだ直線を、splitterとする。
&&&

&&&thm  splitterの性質
splitterは三角形の周の長さを等分する。
&&&

![[16]　](/uploads/mathdown/p0q14WrPg3v4VCpzDNAx.png)



&&&prf 
傍心から各辺に下した垂足をD,E,Fとする。傍心が∠EAF,∠FBD,∠DCEの二等分線上にあるため、AE=AF,BF=BD,CE=CD　よって、
AF=AE　　AB+BF=AC+CE　AB+BD=AC+CD よって、示せた。
&&&



![赤い点がナーゲル点[15]](/uploads/mathdown/Uq2uMBPBoPDSbADaTmvK.png)


&&&prf (存在証明)
チェバの定理の逆より、AF/FB*BD/DC*CE/EA=1 を証明すればよい。
splitterの性質より、FB+BC=CE+BC
FB=CE   同様に　CD=AF,AE=BD  チェバの定理の逆が成立する。
&&&


![緑の三角形が内接三角形である。](/uploads/mathdown/wnRpnUOnf2wXqjZYtD3V.png)


&&&def 内接三角形の定義
三角形の内接円と各辺の接点をつないでできる三角形を内接三角形とする。
&&&

![紫の三角形が傍接三角形である。](/uploads/mathdown/pip1uSxlpHizDgDYMeud.png)


&&&def 傍接三角形の定義
三角形の傍接円と各辺の接点をつないでできる三角形を傍接三角形とする。
&&&



&&&thm uナーゲル点の性質①
中点三角形のナーゲル点は元の三角形の内心である。
&&&
私は初めは簡潔な証明が思いつかなかった。[17]を見て証明方法が分かった。

![中点三角形のナーゲル点Xが角の二等分線(橙)の交点になる。](/uploads/mathdown/8smkgNxuUGk1PETH6nLv.png)

&&&prf 
ΔABCの中点三角形をΔDEFとし、ΔDEFの各辺と傍接円との接点をP,Q,Rとし、
ナーゲル点の存在証明から、DP,CQ,FRの交点をXとする。
EQとABの交点をYとし、splitterの性質からEF+FQ=EF+ER,  FQ=ER
また、AE//FQ,   AB//ED　　これらの情報から、
EX:XY=ER:FY=FQ:FY=AE:AY    角の二等分線の定理の逆から、AXは∠Aの二等分線である。3つの二等分線の交点は内心であるから、XはΔABCにおける内心である。
&&&




## ⑧シュピーカー点

![赤い点がシュピーカー点である。[18]](/uploads/mathdown/wk1trbvQef5oef4F62aO.png)
&&&def シュピーカー点
中点三角形の内心をシュピーカー点とする。
また、中点三角形の内接円をシュピーカー円という。
&&&

シュピーカー点には面白い性質がいくつかあるが、三角形の中心の勉強を進めないと、面白さをすぐには実感できない。ここには載せないが具体例としては、
①三角形における「面の重心」「頂点の重心」が、重心であるのに対し、「辺の重心」がシュピーカー点である。
簡単に言うと、重さが無視できる三角形の板の周囲に、十分に重さがあり太さが無視できる枠組みをとりつける。板のある点から糸で吊したときに板が水平になるとき、その点は
シュピーカー点である。
②3本のクリバー線(辺の中点を通り三角形の周を二等分する線）の交点である。
③垂心、mittenpunkt、シュピーカー点は同一直線上である。
④テイラー点(六点円、すなわち垂足三角形の各頂点から元の三角形の各辺に下した垂足6つを通る円の中心)は、垂足三角形のシュピーカー点である。
⑤excircles radical circle(3つの傍接円に直交する円)の中心はシュピーカー点である。
⑥キーペルト双曲線上である。
⑦シュピーカー円はナーゲル点と各頂点の中点を結ぶ三角形の内接円である。
などが挙げられる。

⑨ナーゲル線
証明は三線座標やベクトルを用いることが多いが、煩雑！
しかし重心の特性定理を用いることで、簡単に示せる。


&&&def ナーゲル線の定義
重心、内心、ナーゲル点、シュピーカー点は同一直線上であり、ナーゲル線とする。
IG:GSp:SpNa=2:1:3
&&&
![ナーゲル線を表す。[19]](/uploads/mathdown/Uj43ebpxRgnOkEV5Ho4g.png)


&&&prf 
中点三角形のナーゲル点が内心であり、中点三角形の内心がシュピーカー点である。
重心の特性定理①より示される。
オイラー線、ナーゲル線を証明できたことで、次の章への土台が完成した！
&&&


## ⑩ド・ロンシャン点

![赤い点がド・ロンシャン点である。[20]](/uploads/mathdown/fOKAbhmg1VQiYgZ2KW2A.png)

&&&def ド・ロンシャン点の定義
三角形の外心に対して、垂心と対称な点を、ド・ロンシャン点とする。
&&&
定義から明らかに、ドロンシャン点はオイラー線上である。


&&&thm ド・ロンシャン点の性質①
中点三角形のド・ロンシャン点は元の三角形の垂心である。
&&&

&&&prf 
OG:GH=1:2より、LG:GH=2:1 
重心の特性定理①より示された。
&&&

![赤い直線が逆垂線](/uploads/mathdown/AFubePEO4qZrLkcJ1Anu.png)


&&&def 逆垂線の定義（新概念）
三角形のある頂点からの垂線を、対辺の垂直二等分線で鏡写しにした直線を、逆垂線とする。
&&&
![各辺に垂直な直線と三角形の中心が対応している。[21]](/uploads/mathdown/AX13zskg4PkkSZoyv2ZH.png)


&&&thm ド・ロンシャン点の性質②
3本の逆垂線は一点で交わり、交点はド・ロンシャン点である。
&&&


&&&prf 
ド・ロンシャン点と逆垂線の定義から、逆垂線はド・ロンシャン点を通る。
よって、3本の逆垂線は1点で交わる。
&&&


## ★中点三角形と元の三角形との対応関係
ウィキペディアの情報をもとに作成。[22]

![この表に掲載されている情報は全て証明済みである。](/uploads/mathdown/PCpdRAcb8auNqjfygqUA.png)






参考文献
これらの情報は全て2024年5月26日時点での情報である。
[1]  『外接円の半径と三角形の面積の関係』https://manabitimes.jp/math/577
[2]  『ヘロンの公式の証明と使用例』  https://manabitimes.jp/math/579
[3]　『三角形の外接円の半径、内接円の半径と面積の関係S=1/2r(a+b+c)』
https://examist.jp/mathematics/trigonometric-ratio/gaisetuen-naisetuen-hankei/#google_vignette
[4]『三角形の五心の覚えておくべき性質を整理』https://manabitimes.jp/math/628
[5]『三角形の重心・外心・垂心の位置関係(オイラー線)の幾何的証明』https://examist.jp/mathematics/plane-figure/euler-line-syoumei/
[6]『九点円の定理の証明と諸性質』https://manabitimes.jp/math/690
[7]『Euler Line』https://mathworld.wolfram.com/EulerLine.html
[8]『九点円の中心がオイラー線上にあることの初等的な証明』https://mathlog.info/articles/3336
[9]『フォイエルバッハ(Feuerbach)の定理』http://yosshy.sansu.org/theorem/feuerbach.htm
[10]『Tangent Circles』 https://mathworld.wolfram.com/TangentCircles.html
[11]『Apollonius circle』https://mathworld.wolfram.com/ApolloniusCircle.html
[12]『シムソン線であそぼう！』https://mathlog.info/articles/3778
[13]『垂足三角形』https://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/orthic_triangle.html
[14]『Orthic Triangle』https://mathworld.wolfram.com/OrthicTriangle.html
[15]『ジュルゴンヌ点とナーゲル点の存在証明』https://manabitimes.jp/math/912
[16]『傍心の意味と性質・内心との比較』https://manabitimes.jp/math/633
[17]『Why is the Incenter the Nagel Point of the Medial Triangle?』https://polymathematics.typepad.com/polymath/why-is-the-incenter-the-nagel-point-of-the-medial-triangle.html
[18]『シュピーカー点』https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%94%E3%83%BC%E3%82%AB%E3%83%BC%E7%82%B9
[19]『Nagel Line』https://mathworld.wolfram.com/NagelLine.html
[20]『ド・ロンシャン点』https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%B3%E7%82%B9
[21]『de Longchamps point』https://en.wikipedia.org/wiki/De_Longchamps_point
[22]『中点三角形』https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%82%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2#:~:text=%E4%B8%AD%E7%82%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%EF%BC%88%E3%81%A1%E3%82%85%E3%81%86%E3%81%A6%E3%82%93,%E3%81%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%A7%E3%81%82%E3%82%8B%E3%80%82
[23]『中線定理とスチュワートの定理』
https://gleamath.com/parallelogram-and-stewarts-thm/
[24]『Bevan Point』https://mathworld.wolfram.com/BevanPoint.html
[25]『五心間の距離等』https://masagon7.jimdo.com/6-%E4%BA%94%E5%BF%83%E9%96%93%E3%81%AE%E8%B7%9D%E9%9B%A2/
[26]『オイラーの定理（内心と外心の距離）とオイラーの不等式の証明を3通りずつ』https://manabitimes.jp/math/580
[27]『Fuhrmann Circle』https://mathworld.wolfram.com/FuhrmannCircle.html
[28]『ETC』https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
[29]『等角共役点の証明』https://su-hai.hatenablog.com/entry/6569200
[30]『等角共役線』https://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/isogonal_conjugate_lines.html
[31]『逆平行』 https://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/antiparallel.html
[32]『Symmedianまとめ(類似中線)』https://mathlog.info/articles/3400
[33]『Lemoine点(類似重心)』https://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/Lemoine_point.html
[34]『Gergonne点』https://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/Gergonne_point.html
[35]『等角共役点』https://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/isogonal_conjugate_points.html
[36]『Mandart Circle』https://mathworld.wolfram.com/MandartCircle.html
[37]『ONE LINE PROOF OF LEMOINE'S PEDAL TRIANGLE THEOREM』
https://www.researchgate.net/publication/312653562_ONE_LINE_PROOF_OF_LEMOINE%27S_PEDAL_TRIANGLE_THEOREM#:~:text=Lemoine%27s%20theorem%20states%20that%20the,72
[38]『Lemoine円』https://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/Lemoine_circles.html
[39]『デカルトの円定理と2通りの証明』https://manabitimes.jp/math/2867
[40]『デカルトの円定理』https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E5%86%86%E5%AE%9A%E7%90%86
[41]『Soddy Circles』https://mathworld.wolfram.com/SoddyCircles.html
[42]『三頂点からの距離の和、二乗の和が等しい点』https://masagon7.jimdo.com/8-%E4%B8%89%E8%BE%BA%E3%81%AE%E5%92%8C-%E4%BA%8C%E4%B9%97%E3%81%AE%E5%92%8C%E3%81%8C%E7%AD%89%E3%81%97%E3%81%84%E7%82%B9/
[43]『垂足三角形と相似な三角形』https://gleamath.com/pedal-triangle-and-similar-triangles01/
[44]『Adams’ Circles』https://mathworld.wolfram.com/AdamsCircle.html
[45]『perspector』https://mathworld.wolfram.com/Perspector.html


第1章(後半)


&&&thm スチュワートの定理　一番使いやすい形
![スチュワートの定理](/uploads/mathdown/NhLCwmRmZOZLhNhpJW9v.png)&&&


&&&prf 
∠B,∠C＜90°、AからBCに下した垂足をHとし、PがC,Hの(端点を含む)間だと仮定する。
(PがB,Hの間でもB,Cを入れ替えて同様の議論ができる)
c^2=(BP-PH)^2+AH^2=BP^2-2BP・PH+PH^2+AH^2=AP^2+BP^2-2BP・PH
b^2=(CP+PH)2+AH^2=BC^2+2CP・PH+PH^2+AH^2=AP^2+CP^2+2CP・PH
2PH=(AP^2+BP^2-C^2)/BP=(b^2-AP^2-CP^2)/CP
CP(AP^2+BP^2-C2)=BP(b^2-AP^2-CP^2)
(CP+BP)AP2+(CP+BP)CP・BP=b^2BP+c^2CP
AP^2=(BPb^2+CPc^2)/(BP+CP)-BP・CP
定義よりBP:CP=m:nだから、示せた。
&&&

![これこそがオイラー・ナーゲル座標である！](/uploads/mathdown/Z6SwbY2rwAVJsH6UJGkO.png)
&&&def オイラー・ナーゲル座標の定義
任意の三角形のオイラー線、ナーゲル線をそれぞれx軸、y軸として平面を作り、重心を(0,0),内心を(0,1),外心を(1,0)定義して得られる座標。
&&&
注意　EN座標は直交座標ではなく、斜交座標である。
これまでにでてきた点は、ほぼ全て座標上に表せる。
垂心(-2,0)　　九点円の中心(-0.5,0)　
ナーゲル点(0,-2)　　　シュピーカー点(0.-0.5)　　　ドロンシャン点(4,0)


## ①EN座標の活用その１
&&&def ベバン点の定義
ベバン点は傍心三角形の外心とする。
&&&


&&&thm ベバン点の性質　
①外心は内心とベバン点の中点
②ベバン点はナーゲル点とドロンシャン点の中点
③スピカー点は垂心とベバン点の中点      [24]
&&&
ベバン点はX(40)である。
この証明を愚直に行うのは困難だが、EN座標用いて容易に証明できる。


&&&prf ①の証明(独自)
ΔABCの傍心三角形をΔDEFとしたら、
ΔABCはΔDEFの垂足三角形である(傍心三角形の性質①)  よって、
ΔABCの内心=ΔDEFの垂心(垂足三角形の性質①)
ΔABCの外心=ΔDEFの九点円の中心(九点円の定義)
ΔABCのベバン点=ΔDEFの外心(ベバン点の定義)
ここでΔDEFにおいて九点円の中心は垂心と外心の中点だから、
ΔABCにおいて外心は内心とベバン点の中点である。
&&&

&&&prf ②③の証明(独自)
![Vがベバン点である。](/uploads/mathdown/Yi2nKid8zzwu2eFaHBPF.png)
①からEN座標においてベバン点が(2,-1)であると分かる。
EN座標のおかげで②③を証明できた。
&&&

## ②EN座標の活用その２

&&&thm 重心ありじごく　(重心の特性定理②)
三角形ABCの任意の点Pと重心Gの距離は,
PG^2=(PA^2+PB^2+PC^2)/3-(a^2+b^2+c^2)/9
で表せる。
&&&
[25]から着想をえた。重心のもう一つの強力な性質を用いて、EN座標上の任意の点同士の距離を導出できる。これが意味するのは
①各頂点との距離二乗の和が最小にする点は、重心である。
(PA^2+PB^2+PC^2を最小にするのはPG=0 よってPが重心のとき)

②Pと各頂点の距離が分かると、PGが分かる
③PA^2+PB^2+PC^2=(a^2+b^2+c^2)/3　等号成立条件は、Pが重心のとき。
④PA^2+PB^2+PC^2が一定の点の集合は、重心Gを中心とする。円になる。
⑤平面xyに対してPA^2+PB^2+PC^2を表すz座標を用意すると、重心を中心とするすり
鉢状の図形が生まれる。(重心ありじごくと呼んでいる理由)

![中線定理とスチュワートの定理が使える。](/uploads/mathdown/sUYWrkIQ0LVkNFFhKxVb.png)

&&&prf 
![証明の流れ](/uploads/mathdown/CPC1lcvdgadbBBfvroKp.png)
&&&

重心ありじごくの活用

①外心

&&&lem 
OG^2=R^2-(a^2+b^2+c^2)/9　　※外接円の半径を、Rとする。
&&&

&&&prf 
Pが外心のとき、PA^2=PB^2=PC^2=R^2
よってPG^2=R^2-(a^2+b^2+c^2)/9が成立する。
&&&

★参考　ライプニッツの不等式　a^2+b^2+c^2≦9R^2
もちろん重心ありじごくP=外心で導ける。

②内心

&&&lem 
※内接円の半径をrとする。

IG^2=(IA^2+IB^2+IC^2)/3-(a^2+b^2+c^2)/9
&&&



![補足](/uploads/mathdown/m1LnMfuLNhjpNzXZe2J9.png)



&&&prf 
AIとBCの交点をDとする。角の二等分線の公式よりAI:IP=b+c:a,AI^2:AP^2=(b+c)^2:(a+b+c)^2　　スチュワートの定理の角の二等分線版より、
AD^2=bc-a^2bc/(b+c)^2
AD^2=bc(a+b+c)(-a+b+c)/(b+c)^2　　IA^2=bc(-a+b+c)/(a+b+c)
IB,ICについても同様に示せる。
これよりIGの長さが分かるようになった。
&&&

③九点円の中心

&&&lem 
内接円の半径がr,九点円の半径がR/2,フォイエルバッハの定理より、

IN=R/2-r
&&&


&&&lem ★オイラーの定理（内心と外心の距離）
IO^2=R(R-2r)   (証明[26])
&&&
![二つの三角形が相似であることを利用して証明する。](/uploads/mathdown/JuLG2VruBSSgTOQQvyCp.png)

&&&prf 
MをAIと外接円の交点、DはOMと外接円の交点、NはABと内接円の接点、P,QをOIと外接円の交点とする。dをIOの長さとする。
①∠BIM=∠BAM+∠ABI=∠MAC+∠IBC
=∠MBC+∠IBC=∠IBM      よって△BIMは二等辺三角形であり、IM=BM
②円周角の定理より　 ∠NAI=∠BDM
   直径に対する円周角より　∠ANI=∠DBM=90°
二角相等より、ΔANI∽ΔDBM     よって　　AI:DM=NI:BM      AI×BM=DM×NI   
これらの議論から
(R-d)(R+d)=PI×IQ
=AI×IM    (方べきの定理)
=AI×BM  (①)
=DM×NI  (②)
=2Rr             R^2-d^2=2Rr　　OI^2=R(R-2Rr)
これらの情報と、EN座標を組み合わせて、EN座標上の任意の2点間の距離を求められる。
&&&
------------------------------------------------------------------------
EN座標上の任意の2点間の距離を求めるプロセス
1.外接円の半径と、内接円の半径を求める
2.①②とオイラーの等式をから導けたGO,GI,IOの値を余弦定理に代入し
　オイラー線とナーゲル線のなす角を求める
3.EN座標を用いて、余弦定理で2点間の距離を求める

（例）
![Fuがフールマン点である。](/uploads/mathdown/AK3j86tldhgWbykji3Iq.png)
&&&def フールマン点の定義
フールマン円は、垂心とナーゲル点を直径とする円である。
フールマン円の中心をフールマン点 Fuとする。 （X(355)) [27]
&&&

&&&prf 証明手法（任意）
フールマン点は垂心とナーゲル点の中点である。 EN座標が(-1,1)であることは
分かっているため、①から②、③を示せる。
&&&

&&&exc 
フールマン円の半径を求めよ。
&&&
![FuNaがフールマン円の半径にあたる。](/uploads/mathdown/te2UMoqV9P3fdDbkV1oU.png)

［解答］
 EN座標により FuNaとIOは同じ長さである。
オイラーの定理から　　**答え　√(R(R-2r))**


&&&exc 問題②
  次の長さを求めよ
1.ONaの長さ
2.VFuの長さ
&&&

［解答］
![ONaはINの二倍である。](/uploads/mathdown/5hqN5PYJctJuM8mLyUXX.png)
 1.EN座標を使うことで、ONaはINの倍の長さであることがわかる。
だから、2・R/2-r=R-2r　　　**答え　R-2r**

2.EN座標を使うことで、FuVとHOは平行かつ長さが等しいことがわかる。
![FuV=HO](/uploads/mathdown/ozZm3aceU73hl09QDmyT.png)
FuV=HO=3GO
GO=√(R^2-(a^2+b^2+c^2)/9) だから、
**答え　3√(R^2-(a^2+b^2+c^2)/9)**


## ★EN座標Extra

### ①出てくる直線
EN座標(x,y)において、
オイラー線　y=0
ナーゲル線 x=0
ソディ線     -x/4+1   と表せる。ソディ線はこの論文では紹介しない

### ②中点三角形、オイラー三角形とEN座標
1.EN座標(x,y)で表せる点が中点三角形にあるとき、それは元の三角形の(-x/2,-y/2)である。
2.EN座標(x,y)で表せる点は、中点三角形の(-2x,-2y)である。
3.EN座標(x,y)で表せる点がオイラー三角形にあるとき、それは元の三角形の(x/2-1,y/2)である。
4.EN座標(x,y)で表せる点は、オイラー三角形の(2x+2,2y)である。

### ③ EN座標とETC
[28]にいろいろな三角形の中心が掲載されている。実にEN座標はETCにのっているあらゆる点を表現できるのだ。

![これがEN座標の真髄である。](/uploads/mathdown/CH18lKDeKnkz41mABEqF.png)



第二章　オイラー・ナーゲル座標


## ①等角共役点

&&&lem 弦チェバの定理
円上の点A,B,C,D,E,Fについて、AD,BE,CFが一点で交わるとき、
         $\frac{AB}{DE}・\frac{CD}{FA}・\frac{EF}{BC} =1   $                            (証明[29])
&&&

![線分が一点で交わるとき成立する。[29]](/uploads/mathdown/QtSqJ1xVONaDJik9Zneg.png)
 証明
$$
\frac{AB}{DE}=\frac{XA}{XE},
\frac{CD}{FA}=\frac{XE}{XC},
\frac{EF}{BC}=\frac{XC}{XA}
$$
$$
\frac{AB}{DE}・\frac{CD}{FA}・\frac{EF}{BC}=\frac{XA}{XE}・\frac{XE}{XC}・\frac{XC}{XA}=1
$$
よって成立する。

&&&lem 弦チェバの定理の逆
円上の点A,B,C,D,E,Fについて、
         $\frac{AB}{DE}・\frac{CD}{FA}・\frac{EF}{BC} =1   $            
のときAD,BE,CFが一点で交わる。             (証明[29])
&&&

![証明に用いる図](/uploads/mathdown/qKvRTrG0yjaHPx5kVRZx.png)

AD,BE   CF,DA    EB,FCの交点をそれぞれP,Q,Rとし、並び順はこの通りとする。
(文字を入れ替えてこの形にできる)
   $\frac{AB}{DE}・\frac{CD}{FA}・\frac{EF}{BC} =1 $  
のとき、$$
\frac{AB}{DE}=\frac{PA}{PE},
\frac{CD}{FA}=\frac{QC}{QA},
\frac{EF}{BC}=\frac{RE}{RC}
$$だから、
$$
\frac{PA}{PE}・\frac{QC}{QA}・\frac{RE}{RC}=1,
\frac{PA}{QA}・\frac{QC}{RC}・\frac{RE}{PE}=1
$$図より、
$ \frac{PA}{QA}≦1,\frac{QC}{RC}≦1,\frac{RE}{PE}≦1$
等号成立のために、P,Q,Rは一致する。よって示せた。


&&&def 等角共役線の定義
角の頂点を通る直線 l と角の二等分線に関して対称な直線 m を l の等角共役線という。
&&&

&&&def 等角共役点の定義
AP,BP,CP の等角共役線は一点で交わり，これを P の等角共役点という。
&&&

![証明に用いる図　弦チェバをもちいる](/uploads/mathdown/FxDjjeqWmQavVEKf6dHR.png)

&&&prf 
AP,BP,CPと外接円の交点の、A,B,Cでない方をD,F,Hとする。
AP,BP,CPの等角共役線と外接円の交点の、A,B,Cでない方をE,G,Iとする。
弦チェバより
$\frac{BD}{DC}・\frac{CF}{FA}・\frac{AH}{HB}=1$
図より弦に対する角が等しいから、BD=EC,BE=DC,CG=FA,CF=GA,AI=HB,AH=IB
よって$\frac{EC}{BE}・\frac{GA}{CG}・\frac{IB}{AI}=1$
弦チェバの逆より、
AP,BP,CPの等角共役点は一点で交わる。
&&&


## ②逆並行

&&&def 逆並行の定義
三角形ABCについて、B,C,D,Eが同一円上であるとき、DEはBCに逆並行であるという。
これはΔABC∽ΔAEDと同値である。
&&&
![図3-5 DEはBCの逆平行線である。[31]](/uploads/mathdown/lBkpyvGvsnU6en4KR9jz.png)


&&&thm 逆平行の性質
ΔABCについて、Aを通るある直線は、ΔADEの等角共役線になる。
&&&


&&&prf
BC上にFをとり、AGをAFの等角共役線とし、H,IをBCとAF,AGとの交点とすると、ΔABC∽ΔAEDで、∠BAF=∠EAIより、ΔBAF∽ΔEAI
よって、AFとAIは相似より、対応する直線である。∠DAH=∠EAIよりAH,AIは等角共役線だから題義が示された。
&&&


&&&lem 垂足三角形の性質⑤
垂足三角形の各辺は、元の三角形の各辺と逆並行である。
&&&


&&&prf 
垂足三角形より、∠BEC=∠BFC=90°だから、円周角の定理の逆より、B,C,E,Fは同一円上であるため、EFはBCに逆平行である。FD,DEについても言える。よって示せた。
&&&

## ③類似中線
③類似中線はほとんど全て[32]から引用した項目である。


&&&def 類似中線の定義
類似中線は、中線の等角共役線である。
&&&


&&&thm 類似中線の性質①
三角形ABCについて、ADは類似中線である。
このとき、AD上に点Gを取るとGH:GI=AB:AC
&&&


&&&prf 
ADは類似中線だから、ΔAGI∽ΔAME、ΔAGH∽ΔAMFである。よって、GH:GI=MF:ME     Mは中点だから、ΔABM=ΔACMしたがってAB・EM=AC・FM　　　　 MF;ME=AB:AC
&&&

&&&thm 類似中線の性質②
三角形ABCについて、ADは類似中線であるとすると、
BD:CD=AB^2:AC^2
&&&

&&&prf
BD:CD=ΔABD:ΔACD=AB・DF:AC・DE
ここで類似中線の性質①より、
DF:DE=AB:AC　　よって成立
&&&










三角形のあらゆる点の紹介

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