超幾何微分方程式のモノドロミー行列とWronskian

前の記事 で一般超幾何微分方程式のFrobenius級数解
\begin{align} f_1(x)=x^{1-c}\F21{1+a-c,1+b-c}{2-c}{x},\qquad f_2(x)=\F21{a,b}c{x} \end{align}
のモノドロミー行列を計算した. しかし, それは$c\in\ZZ$の場合にはそのままでは使えないという問題があった. 一方, 別の記事 で計算した一般超幾何微分方程式の解
\begin{align} I_j(x)&:=\int_{\substack{0< t_j<\cdots< t_r< t_{r+1}=x\\t_j< t_{j-1}<\cdots< t_1< t_0=1}}\prod_{i=1}^rt_i^{a_{i+1}-b_i}\prod_{i=1}^{r+1}|t_{i-1}-t_i|^{b_i-a_i-1}\,dt_1\cdots dt_r\\ &\qquad (j=1,2,\dots,r+1\qquad b_{r+1}:=1) \end{align}
は$b_1,\dots,b_r$の差が整数である場合にも適用できるという利点がある. 今回は特に$r=1$の場合について考えたいと思う. そのとき,
\begin{align} I_1(x)&=\int_0^xt^{b-c}(1-t)^{c-a-1}(x-t)^{-b}\,dt\\ I_2(x)&=\int_x^1t^{b-c}(1-t)^{c-a-1}(t-x)^{-b}\,dt \end{align}
と書ける. 超幾何関数のEuler積分表示より,
\begin{align} I_1(x)&=\int_0^xt^{b-c}(1-t)^{c-a-1}(x-t)^{-b}\,dt\\ &=x^{1-c}\int_0^1t^{b-c}(1-xt)^{c-a-1}(1-t)^{-b}\,dt\\ &=\frac{\Gamma(1+b-c)\Gamma(1-b)}{\Gamma(2-c)}\F21{1+a-c,1+b-c}{2-c}x\\ I_2(x)&=\int_x^1t^{b-c}(1-t)^{c-a-1}(t-x)^{-b}\,dt\\ &=\int_0^{1-x}(1-t)^{b-c}t^{c-a-1}(1-x-t)^{-b}\,dt\\ &=(1-x)^{c-a-b}\int_0^1(1-(1-x)t)^{b-c}t^{c-a-1}(1-t)^{-b}\,dt\\ &=\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+c-a-b)}(1-x)^{c-a-b}\F21{c-a,c-a}{1+c-a-b}{1-x} \end{align}
とシンプルに書くことができる.

モノドロミー行列

前の記事 の定理3より, $x=0$における$I_1(x),I_2(x)$のモノドロミー行列は
\begin{align} \left(\begin{matrix}e^{-2\pi ic} & 0\\ e^{\pi i(b-1)}(e^{-2\pi ic}-e^{-2\pi i b}) & 1\end{matrix}\right)&=\left(\begin{matrix}e^{-2\pi ic} & 0\\ 2ie^{-\pi ic}\sin\pi(c-b) & 1\end{matrix}\right) \end{align}
と表される. また, 前の記事の定理5より, $x=1$における$I_1(x),I_2(x)$のモノドロミー行列は
\begin{align} \left(\begin{matrix}1 & (e^{2\pi i(c-a)}-1)e^{\pi i(1-b)}\\0 &e^{2\pi i(c-a-b)}\end{matrix}\right)&=\left(\begin{matrix}1 & 2ie^{\pi i(c-a-b)}\sin\pi(a-c)\\0 &e^{2\pi i(c-a-b)}\end{matrix}\right) \end{align}
となる. まとめると以下のようになる.

特に, $c=1, b=1-a$の場合は興味深い. そのとき, 2つのモノドロミー行列は
\begin{align} \left(\begin{matrix} 1 & 0\\ -2i\sin\pi a & 1\end{matrix}\right),\qquad \left(\begin{matrix}1 & -2i\sin\pi a\\0 &1\end{matrix}\right) \end{align}
となって対角成分が1となる. また, そのとき
\begin{align} I_1(x)&=\frac{\pi}{\sin\pi a}\F21{a,1-a}{1}x\\ I_2(x)&=\frac{\pi}{\sin\pi a}\F21{a,1-a}{1}{1-x} \end{align}
とシンプルに表される. 定数倍によって,
\begin{align} J_1(x)&=\F21{a,1-a}{1}x\\ J_2(x)&=\frac{i}{2\sin\pi a}\F21{a,1-a}1{1-x} \end{align}
とすると,
\begin{align} \left(\begin{matrix} 1 & 0\\ 1 & 1\end{matrix}\right),\qquad \left(\begin{matrix}1 & -4\sin^2\pi a\\0 &1\end{matrix}\right) \end{align}
となる. 特に, $a=\frac 12,\frac 13,\frac 14,\frac 16$のとき全て成分が整数になる. これはalternative basesに関するRamanujanの楕円関数論と関係しているようである.

Wronskian

通常のFrobenius級数解のWronskianは 前の記事 で既に計算した. 一方, 前の記事 の定理1より, $I_1,I_2$のWronskianは以下のようになる.

特に, 先ほど考察した$c=1, b=1-a$の場合
\begin{align} W(I_1,I_2;x)&=-\frac{\pi}{x(1-x)\sin\pi a} \end{align}
となる. また, 先ほど定義した$J_1,J_2$のWronskianは以下のようになる.
\begin{align} W(J_1,J_2;x)&=\frac{1}{2\pi ix(1-x)} \end{align}
このように, Wronskianとして綺麗に円周率が現れるのは面白いと思う.