中国式剰余定理を理解する（第4回　中国式剰余定理）

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はじめに

なんとか第4回までこぎつけました。第1回に書いた計画とはだいぶずれてきましたが頑張って続けます。
第2回で群論を第3回で環論について勉強したので，今回はやっと中国式剰余定理の主張を述べる。

中国式剰余定理

可換環$R$のイデアル$I_1$，$I_2$，$\cdots$，$I_r$について，$i\neq j$のとき，$I_i+I_j =R$が成立しているとする。このとき，$I=\cap I_i$とおけば，同型$R/I \simeq R/I_1\times R/I_2 \times \cdots \times R/I_r$が成立する。

本来であれば，この定理の証明をするべきところではあるが，ここはいったん別のことをやってみようと思う。この定理を少しだけ書き換えると次のようになる。

可換環$R$のイデアル$I_1$，$I_2$について，$I_1+I_2 =R$が成立しているとする。このとき，$I=I_1\cap I_2$とおけば，同型$R/I \simeq R/I_1\times R/I_2$が成立する。

さらに，環$R$として$R=\mathbb Z$。その2つのイデアルとして，$2\mathbb Z$，$3\mathbb Z$を選ぶ。すると$2\mathbb Z + 3\mathbb Z = \mathbb Z$，$2\mathbb Z \cap 3\mathbb Z = 6\mathbb Z$であるから，定理2は次のようになる。

整数環$\mathbb Z$のイデアル$2\mathbb Z$，$3\mathbb Z$について，同型$\mathbb Z/6\mathbb Z \simeq \mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/3\mathbb Z $が成立する（これを$\mathbb Z_6 \simeq \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3$とかいていた）。

ここで，第1回の記事でかいた高校数学で出てくる中国式剰余定理を再掲する。

中国式剰余定理（高校数学　再掲）

$m,n$を互いに素な整数,$a,b$を任意の整数とする。このとき，次を満たす整数$x$が$0 \leq x < mn$にただ１つ存在する。
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x \equiv a \pmod m \\ x \equiv b \pmod n \end{array} \right. \end{eqnarray}$

この定理4において$m=2$，$n=3$としてみると次のようになる。

$a,b$を任意の整数とする。このとき，次を満たす整数$x$が$0 \leq x < 6$にただ１つ存在する。
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x \equiv a \pmod 2 \\ x \equiv b \pmod 3 \end{array} \right. \end{eqnarray}$

定理3と見比べてみてどうだろうか。定理3の主張は$\mathbb Z_6\simeq \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3$である。簡単に言えば$\mathbb Z_6$の任意の元$x$に対し，$\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3$の元がただ1つに決まると言っている（本当は元の対応よりもっと強い主張だが，，，）。