k-ナッチ数列の部分和からなる数列の一般項についての予想

はじめに

この記事は先に投稿した記事
・　フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想
・　フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想(その2)
・　フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想(その3)
・　フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想(その4・証明完成)

の続きになります。まだ読んでいない方はそちらを先に読んでみてください。

今回は、k-ナッチ数列の部分和からなる数列を考えます。
まず、部分和からなる数列 ${S_{k} (n)}$ を次の式で定義します。

$a_{k} (n)$ を $k$ -ナッチ数列の第 $n$ 項として、
$S_{k} (n) := \sum_{i = 0}^{n} a_{k} (i)$

このとき、 ${S_{k} (n)}$ が四捨五入を使った簡単な式で表現できるのではないか、というのが今回の予想です。

具体例

まず、具体的な値がどうなるか観察してみましょう。なお、 $n$ は非負整数とします。

${S_{2} (n)} = {0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, \dots}$
${S_{3} (n)} = {0, 0, 1, 2, 4, 8, 15, 28, 52, 96, 177, 326, \dots}$
${S_{4} (n)} = {0, 0, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 60, 116, 224, 432, \dots}$
${S_{5} (n)} = {\underset{4個}{\underset{⏟}{0, \dots, 0,}} 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 124, 244, 480, \dots}$
${S_{6} (n)} = {\underset{5個}{\underset{⏟}{0, \dots, 0,}} 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 252, 500, \dots}$

$k = 2$ 、つまりフィボナッチ数のときは、部分和は「フィボナッチ数-１」となっていて、簡単に計算できます。しかし、トリボナッチ数以上のときは、そのような単純な値とはなっていませんね。今回は、これらの値を四捨五入を使った表現で表せるのではないか、という予想を立てました。

予想の内容

k-ナッチ数列の部分和からなる数列の一般項についての予想

　　　　 $\begin{aligned} S_{k} (n) & = ⌊ \frac{A_{k}^{n + 1}}{C_{k}} - \frac{1}{k - 1} ⌉ \end{aligned}$

ただし、 $A_{k}, C_{k}$ は次の定数である。
　　　　 $f_{k} (x) = x^{k} - x^{k - 1} - x^{k - 2} - \dots - x^{2} - x - 1$
として、

　　　　 $A_{k} \dots \dots f_{k} (x) = 0 の正の実数解$

　　　　 $\begin{aligned} C_{k} & = (A_{k} - 1) f_{k}^{'} (A_{k}) \end{aligned}$

ここで　 $⌊ x ⌉$ は四捨五入を表す関数です。すなわち
　　　　 $⌊ x ⌉ = ⌊ x + \frac{1}{2} ⌋$

検算

$k = 5$ の場合、数値計算するとこうなります。

5-ナッチ数列の部分和からなる数列の検算

　　　　 $\begin{aligned} A_{5} = 1.96594823 \dots \\ C_{5} = 26.82375282 \dots \\ {⌊ \frac{A_{5}^{n + 1}}{C_{5}} - \frac{1}{4} ⌉} = {0, 0, 0, 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 124, 244, 480, \dots} \\ (n \geq 0) \end{aligned}$