フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想(その4・証明完成)

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はじめに

この記事は先に投稿した記事
・　フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想
・　フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想(その2)
・　フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想(その3)

の続きになります。まだ読んでいない方はそちらを先に読んでみてください。

今回、ついに予想が正しかったことが証明できました!
私一人ではとうてい証明できなかったと思いますが、私の予想にたくさんの方が考察や情報を寄せていただいたおかげで証明することができました。特に、 H.O. 　さん、 kzaukzau さんから教えていただいた複素解析の手法や、子葉さんがほとんどの $n$ について予想が成立していることを証明していただいたことにより、私は最後のピースをはめるだけで証明を完成させることができました。皆様のご協力に大いに感謝いたします。

この記事では、以前の記事と同様に四捨五入を表す関数として　 $⌊ x ⌉$ 　を使います。すなわち
　　　　 $⌊ x ⌉ = ⌊ x + \frac{1}{2} ⌋$

ということです。
以下では特に断りがない限り $k$ は２以上の自然数とします。 $(2 ≦ k, k \in N)$
また、 $n$ は非負整数とします。 $(n \in Z_{\geq 0})$

予想の内容

k-ナッチ数列の一般項(予想)

k-ナッチ数列の第 $n$ 項を $a_{k} (n)$ と表記する。このとき、 $a_{k} (n)$ 　は次の式で求めることができる。

　　　　 $a_{k} (n) = ⌊ \frac{A_{k}^{n}}{B_{k}} ⌉$
ただし、 $A_{k}, B_{k}$ は次の定数である。
　　　　 $f_{k} (x) = x^{k} - x^{k - 1} - x^{k - 2} - \dots - x^{2} - x - 1$
として、

　　　　 $A_{k} \dots \dots f_{k} (x) = 0 の正の実数解$

　　　　 $\begin{aligned} B_{k} & = f_{k}^{'} (A_{k}) \end{aligned}$

差の数列

$k$ -ナッチ数列と $\frac{A_{k}^{n}}{B_{k}}$ との差の数列を次のように $R_{k} (n)$ と定義します。

$R_{k} (n) := a_{k} (n) - \frac{A_{k}^{n}}{B_{k}}$

そうすると、次のことを示せば私の予想を証明できることになります。

示すべきこと

全ての $n$ に対して　 $| R_{k} (n) | < \frac{1}{2}$ が成り立つ

$R_{k} (n)$ については、次の漸化式が成り立つことがわかっています。
参考: フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想(その3)

$R_{k} (n + k) = R_{k} (n + k - 1) + \dots + R_{k} (n + 1) + R_{k} (n)$

証明

証明の方針

　
①　まず $0 \leq n < k$ のとき $| R_{k} (n) | < \frac{1}{2}$ であることを示します。
②　次に $2 k - 1 \leq n$ のとき $| R_{k} (n) | < \frac{1}{2}$ であることを示します。
③　最後に、 $k \leq n < 2 k - 1$ のとき $| R_{k} (n) | < \frac{1}{2}$ であることを示します。

$0 \leq n < k$ のときの証明

子葉さんの記事「 k-ナッチ数列の四捨五入表示についての考察(ほぼ証明) 」で証明済みですのでこの記事では省略します。

$2 k - 1 \leq n$ のときの証明

子葉さんの記事「 k-ナッチ数列の四捨五入表示についての考察(ほぼ証明) 」で証明済みですのでこの記事では省略します。

$k \leq n < 2 k - 1$ のときの証明

$n \geq k$ のとき
$R_{k} (n) = \frac{R_{k} (n + 1) + R_{k} (n - k)}{2}$ が成り立つ。

　
$R_{k} (n + 1) = R_{k} (n) + R_{k} (n - 1) + \dots + R_{k} (n - k + 1) \dots ①$
$R_{k} (n) = R_{k} (n - 1) + \dots + R_{k} (n - k + 1) + R_{k} (n - k) \dots ②$

①-②より
$R_{k} (n + 1) - R_{k} (n) = R_{k} (n) - R_{k} (n - k)$

$∴ R_{k} (n) = \frac{R_{k} (n + 1) + R_{k} (n - k)}{2}$

ここから数学的帰納法のように補題を使って、ドミノ倒しで証明していきます。順番は $n$ が大きい順で、 $R_{k} (2 k - 2), R_{k} (2 k - 3), \dots R_{k} (k + 1), R_{k} (k)$ の順番に証明していきます。

$| R_{k} (2 k - 2) | = | \frac{R_{k} (2 k - 1) + R_{k} (k - 2)}{2} | < \frac{1}{2}$
　 $(∵ | R_{k} (2 k - 1) | < \frac{1}{2}, | R_{k} (k - 2) | < \frac{1}{2})$

$| R_{k} (2 k - 3) | = | \frac{R_{k} (2 k - 2) + R_{k} (k - 3)}{2} | < \frac{1}{2}$
　 $(∵ | R_{k} (2 k - 2) | < \frac{1}{2}, | R_{k} (k - 3) | < \frac{1}{2})$

$⋮$

$| R_{k} (k) | = | \frac{R_{k} (k + 1) + R_{k} (0)}{2} | < \frac{1}{2}$
　 $(∵ | R_{k} (k + 1) | < \frac{1}{2}, | R_{k} (0) | < \frac{1}{2})$

以上より、
　　 $| R_{k} (n) | < \frac{1}{2} (k \leq n < 2 k - 1)$

これですべてのパーツが揃いました！

予想の証明の完成

全ての $n$ に対して　 $| R_{k} (n) | < \frac{1}{2}$ が成り立つから、

　 $\begin{aligned} ⌊ \frac{A_{k}^{n}}{B_{k}} ⌉ & = ⌊ a_{k} (n) - R_{k} (n) ⌉ \\ = a_{k} (n) \end{aligned}$
となる。
　　　 $∴ a_{k} (n) = ⌊ \frac{A_{k}^{n}}{B_{k}} ⌉$

これで証明の完成です!
予想は正しかった!

おわりに

数値計算で私の予想が正しいことはほぼ確信していましたが、実際に数式で正しいことを証明できてこんなうれしいことはありません。しかも、とてもシンプルで美しい式ができたと思います。
証明完成までおつきあいいただきありがとうございました。

投稿日：2021年1月2日

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差の数列
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証明の方針
$0\le n< k$ のときの証明
$2k-1\le n$ のときの証明
$k\le n < 2k-1$ のときの証明
予想の証明の完成
おわりに

フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想(その4・証明完成)

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予想の内容

差の数列

証明

証明の方針

0≤n<k のときの証明

2k−1≤n のときの証明

k≤n<2k−1 のときの証明

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