k-ナッチ数列の部分和からなる数列の一般項についての予想(その4・証明の完成と別表現)

(i) $k=2$ のとき
${\displaystyle Q_2(0)=\frac{{\phi }^2}{\sqrt{5}}-1=0.17\cdots >-\frac{1}{2}}$

(ii) $k\ge 3$ のとき
${\displaystyle \frac{A_k}{C_k}>0}$ であり、${\displaystyle \frac{1}{k-1}<\frac{1}{2}}$ であるから、

${\displaystyle Q_k(0)=\frac{A_k}{C_k}-\frac{1}{k-1}>-\frac{1}{2}}$

したがってすべての $k$ について $-\frac{1}{2}\le Q_k(0)$ が成り立つ。

(i)$k=2$ のとき
$Q_2(0)=0.17\cdots <\frac{1}{2}$
(i)$k=3$ のとき
$Q_3(1)=0.23\cdots <\frac{1}{2}$
(i)$k\ge 4$ のとき

　${\displaystyle \begin{array}{rl}{C}_k& =(A_k-1)f_k^{\prime }(A_k)\\ & =(A_k-1)\cdot \frac{(k+1)A_k^k-2k{A}_k^{k-1}}{A_k-1}\\ & =((k+1)A_k-2k)A_k^{k-1}\end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}{Q}_k(k-2)& =\frac{A_k^{k-1}}{C_k}-\frac{1}{k-1}\\ & =\frac{1}{((k+1)A_k-2k)}-\frac{1}{k-1}\\ & =\frac{(k-1)-((k+1)A_k-2k)}{((k+1)A_k-2k)(k-1)}\end{array}}$

ここで
$(k+1)A_k-2k>0$
であることはわかっているから、
(参考: k-ナッチ数列の四捨五入表示についての考察(ほぼ証明) )

$((k+1)A_k-2k)(k-1)>2((k-1)-((k+1)A_k-2k))$
を示せばよい。
左辺－右辺は

${\displaystyle \begin{array}{rl}& ((k+1)A_k-2k)(k-1)-2((k-1)-((k+1)A_k-2k))\\ & =A_k(k+1{)}^2-2(k^2+2k-1)\\ & =(k+1{)}^2(A_k-(2-\frac{4}{(k+1{)}^2}))\end{array}}$
となるから、結局

${\displaystyle A_k>2-\frac{4}{(k+1{)}^2}}$
を示せばよい。
$k\ge 4$ のときは
$2(1-2^{-k})>2-\frac{4}{(k+1{)}^2}$ であり、
$A_k>2(1-2^{-k})$ とわかっているから、
(参考: k-ナッチ数列の四捨五入表示についての考察(ほぼ証明) )

${\displaystyle A_k>2(1-2^{-k})>2-\frac{4}{(k+1{)}^2}}$
となり、これが示すべきことであった。

(i)$k=2$ のとき
$Q_2(1)=0.89\cdots >\frac{1}{2}$

(ii)$k\ge 3$ のとき
${\displaystyle \begin{array}{rl}{Q}_k(k-1)& =\frac{A_k}{((k+1)A_k-2k)}-\frac{1}{k-1}\\ & =\frac{2(k-A_k)}{((k+1)A_k-2k)(k-1)}\end{array}}$

したがって
$((k+1)A_k-2k)(k-1)<4(k-A_k)$
を示せばよい。
左辺－右辺は
${\displaystyle \begin{array}{rl}& ((k+1)A_k-2k)(k-1)-4(k-A_k)\\ & =A_k(k^2+3)-2k(k+1)\\ & =(k^2+3)(A_k-(2+\frac{2k-6}{k^2+3}))\\ & <0\end{array}}$
となり、これが示すべきことであった。

(i)$k\le 4$ のとき
$Q_2(1)=0.89\cdots <1$
$Q_3(2)=0.85\cdots <1$
$Q_4(3)=0.84\cdots <1$

(ii)$k\ge 5$ のとき
${\displaystyle \begin{array}{rl}{Q}_k(k-1)& =\frac{2(k-A_k)}{((k+1)A_k-2k)(k-1)}\end{array}}$

であるから
$((k+1)A_k-2k)(k-1)>2(k-A_k)$
を示せばよい。
左辺－右辺は
${\displaystyle \begin{array}{rl}& ((k+1)A_k-2k)(k-1)-2(k-A_k)\\ & =A_k(k^2+1)-2k^2\\ & =(k^2+1)(A_k-(2-\frac{2}{k^2+1}))\end{array}}$
となるから、結局

${\displaystyle A_k>2-\frac{2}{k^2+1}}$
を示せばよい。
$k\ge 5$ のときは
${\displaystyle 2(1-2^{-k})>2-\frac{2}{k^2+1}}$ であり、
$A_k>2(1-2^{-k})$ とわかっているから、
(参考: k-ナッチ数列の四捨五入表示についての考察(ほぼ証明) )

${\displaystyle A_k>2(1-2^{-k})>2-\frac{2}{k^2+1}}$
となり、これが示すべきことであった。

以上より、命題３が真であるから、命題２も真であり、さらには命題1も真である。
したがって、確率論からのアプローチにより、予想が正しいことが証明された。