k-ナッチ数列の部分和からなる数列の一般項についての予想(その4・証明の完成と別表現)

(i) $k=2$ のとき
${\displaystyle Q_2(0)=\frac{\varphi^2}{\sqrt{5}}-1 =0.17\cdots >-\frac{1}{2}}$

(ii) $k\ge 3$ のとき
${\displaystyle \frac{A_k}{C_k}>0}$ であり、${\displaystyle \frac{1}{k-1}<\frac{1}{2}}$ であるから、

${\displaystyle Q_k(0)=\frac{A_k}{C_k} -\frac{1}{k-1}>-\frac{1}{2}}$

したがってすべての $k$ について $-\frac{1}{2}\le Q_k(0)$ が成り立つ。

(i)$k=2$ のとき
$Q_2(0)=0.17\cdots<\frac{1}{2}$
(i)$k=3$ のとき
$Q_3(1)=0.23\cdots<\frac{1}{2}$
(i)$k\ge4$ のとき

　${\displaystyle \begin{align} C_k &=(A_k-1)f_k'(A_k)\\ &=(A_k-1)\cdot\frac{(k+1)A_k^k-2kA_k^{k-1}}{A_k-1}\\ &=((k+1)A_k-2k)A_k^{k-1} \end{align} }$

${\displaystyle \begin{align} Q_k(k-2)&=\frac{A_k^{k-1}}{C_k}-\frac{1}{k-1}\\ &=\frac{1}{((k+1)A_k-2k)}-\frac{1}{k-1}\\ &=\frac{(k-1)-((k+1)A_k-2k)}{((k+1)A_k-2k)(k-1)}\\ \end{align} }$

ここで
$(k+1)A_k-2k>0$
であることはわかっているから、
(参考: k-ナッチ数列の四捨五入表示についての考察(ほぼ証明) )

${((k+1)A_k-2k)(k-1)}>{2((k-1)-((k+1)A_k-2k))}$
を示せばよい。
左辺－右辺は

${\displaystyle \begin{align} &((k+1)A_k-2k)(k-1)-2((k-1)-((k+1)A_k-2k))\\ &= A_k (k + 1)^2-2 (k^2 + 2 k - 1) \\ &=(k+1)^2\left( A_k-\left(2-\frac{4}{(k+1)^2}\right) \right) \end{align}}$
となるから、結局

${\displaystyle A_k>2-\frac{4}{(k+1)^2}}$
を示せばよい。
$k\ge4$ のときは
$2(1-2^{-k})>2-\frac{4}{(k+1)^2}$ であり、
$A_k>2(1-2^{-k})$ とわかっているから、
(参考: k-ナッチ数列の四捨五入表示についての考察(ほぼ証明) )

${\displaystyle A_k>2(1-2^{-k})>2-\frac{4}{(k+1)^2}}$
となり、これが示すべきことであった。

(i)$k=2$ のとき
$Q_2(1)=0.89\cdots>\frac{1}{2}$

(ii)$k\ge3$ のとき
${\displaystyle \begin{align} Q_k(k-1)&=\frac{A_k}{((k+1)A_k-2k)}-\frac{1}{k-1}\\ &=\frac{2(k-A_k)}{((k+1)A_k-2k)(k-1)}\\ \end{align} }$

したがって
$((k+1)A_k-2k)(k-1)<4(k-A_k)$
を示せばよい。
左辺－右辺は
${\displaystyle \begin{align} &((k+1)A_k-2k)(k-1)-4(k-A_k)\\ &=A_k (k^2 + 3)-2 k (k + 1)\\ &= (k^2 + 3)\left( A_k-\left(2+\frac{2k-6}{k^2+3} \right) \right)\\ &<0 \end{align} }$
となり、これが示すべきことであった。

(i)$k\le4$ のとき
$Q_2(1)=0.89\cdots<1$
$Q_3(2)=0.85\cdots<1$
$Q_4(3)=0.84\cdots<1$

(ii)$k\ge5$ のとき
${\displaystyle \begin{align} Q_k(k-1) &=\frac{2(k-A_k)}{((k+1)A_k-2k)(k-1)}\\ \end{align} }$

であるから
$((k+1)A_k-2k)(k-1)>2(k-A_k)$
を示せばよい。
左辺－右辺は
${\displaystyle \begin{align} &((k+1)A_k-2k)(k-1)-2(k-A_k)\\ &=A_k (k^2 + 1) - 2 k^2\\ &= (k^2 + 1)\left( A_k-\left(2-\frac{2}{k^2 + 1} \right) \right)\\ \end{align} }$
となるから、結局

${\displaystyle A_k>2-\frac{2}{k^2 + 1}}$
を示せばよい。
$k\ge5$ のときは
${\displaystyle 2(1-2^{-k})>2-\frac{2}{k^2 + 1}}$ であり、
$A_k>2(1-2^{-k})$ とわかっているから、
(参考: k-ナッチ数列の四捨五入表示についての考察(ほぼ証明) )

${\displaystyle A_k>2(1-2^{-k})>2-\frac{2}{k^2 + 1}}$
となり、これが示すべきことであった。

以上より、命題３が真であるから、命題２も真であり、さらには命題1も真である。
したがって、確率論からのアプローチにより、予想が正しいことが証明された。