重解のない固有方程式を持つ数列の行列表現とその成分

　$M^T$の固有値$\a=\a_1,\a_2,\ldots,\a_k$に対する固有ベクトルを考える。
$$\a I-M^T= \begin{pmatrix} \a&-1&\c&0\\ 0&\a&\c&0\\ \v&\v&\d&\v\\ -c_0&-c_1&\c&\a-c_{k-1} \end{pmatrix}$$
の第$k$行に第$1$行の$\frac{c_0}\a$倍を足し、また第$2$行の$\frac{c_1\a+c_0}{\a^2}$倍を足し、第$3$行の$\frac{c_2\a^2+c_1\a+c_0}{\a^3}$倍を足し、...と掃き出していくことで最終的に$(k,k)$成分は
$$\a-\frac{c_{k-1}\a^{k-1}+c_{k-2}\a^{k-2}+\cdots+c_0}{\a^{k-1}}=\a-\frac{\a^k}{\a^{k-1}}=0$$
となる。そしてその状態からさらに掃き出していくことで$\a I-M^T$の簡約化
$$\begin{pmatrix} 1&0&\c&0&-\frac{1}{\a^{k-1}}\\ 0&1&\c&0&-\frac{1}{\a^{k-2}}\\ \v&\v&\d&\v&\v\\ 0&0&\c&1&-\frac{1}{\a}\\ 0&0&\c&0&0 \end{pmatrix}$$
を得る。すなわち$\a$に対する固有ベクトルは
$$\begin{pmatrix}1&\a&\cdots&\a^{k-2}&\a^{k-1}\end{pmatrix}^T$$
と取れるので
$$P= \begin{pmatrix} 1&\a_1&\c&\a_1^{k-1}\\ 1&\a_2&\c&\a_2^{k-1}\\ \v&\v&\d&\v\\ 1&\a_k&\c&\a_k^{k-1}\\ \end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}\a_1\\&\a_2\\&&\d\\&&&\a_k\end{pmatrix}$$
とおくと対角化の理論から
$$(P^T)^{-1}(M^T)^nP^T=D^n$$
ひいては
$$PM^nP^{-1}=D^n$$
が成り立つことになる(ちなみに$\aa$の固有方程式が重解を持つときは$P$が正則にならないので広義固有空間$\mathrm{Ker}(\a I-M)^m$の基底を考える必要が出てくる)。
　そして$P$は$\a_1,\a_2,\ldots,\a_k$についてのヴァンデルモンド行列なので この記事 で解説したようにその逆行列は
$$P^{-1}=\left(\frac{\sum^{i-1}_{l=0}c_l\a_j^{l-i}}{f'(\a_j)}\right)_{1\leq i,j\leq k}$$
と求まることがわかる。

　いま
$$D^nP=(\a_i^{n+j-1})_{1\leq i,j\leq k}$$
に注意すると
\begin{eqnarray} (M^n)_{i,j} &=&\sum^k_{m=1}(P^{-1})_{i,m}(D^nP)_{m,j} \\&=&\sum^k_{m=1}\frac{\sum^{i-1}_{l=0}c_l\a_m^{l-i}}{f'(\a_m)}\cdot\a_m^{n+j-1} \\&=&\sum^{i-1}_{l=0}c_lA_{n+l-i+j-1} \\&=&\sum^{i-1}_{l=0}c_{i-1-l}A_{n+j-l-2} \end{eqnarray}
と計算できる。

　いま$g(x)=\sum^{d}_{t=0}C_tx^t$とおくと
\begin{eqnarray} (g(M))_{i,j}&=&\sum^{d}_{t=0}C_t(M^t)_{i,j} \\&=&\sum^{d}_{t=0}C_t\sum^k_{m=1}\frac{\sum^{i-1}_{l=0}c_{l}\a_m^{l-i}}{f'(\a_m)}\a_m^{t+j-1} \\&=&\sum^{i-1}_{l=0}c_l\sum^k_{m=1}\frac{\a_m^{j+l-i-1}}{f'(\a_m)}\sum^{d}_{t=0}C_t\a^t_m \\&=&\sum^{i-1}_{l=0}c_{i-1-l}\sum^k_{m=1}\frac{\a_m^{j-l-2}}{f'(\a_m)}g(\a_m) \\&=&\sum^{i-1}_{l=0}c_{i-1-l}A'_{j-l-2} \end{eqnarray}
と計算できる。