重解のない固有方程式を持つ数列の行列表現とその成分

はじめに

この記事では重解を持たない固有方程式$f(x)=0$を持つ数列$\{a_n\}$の行列による表現をその各成分まで具体的に求めます。
まず色々と言葉と記号を定めておきます。

いま$\ab_n=M^T\ab_{n-1}=(M^T)^n\ab_0$より$a_n$は$\ab_0$と$M^n$の値によって定まることになるので、以下$M^n$の計算に焦点を当てます。
　ここで$\aa$の固有方程式が重解を持たない、つまりその解$x=\a_1,\a_2,\ldots,\a_k$がそれぞれ異なるものとすると以下のことが成り立ちます。

そして$P^{-1}D^nP$を実際に計算することで以下の公式を得ます。

この系として apu_yokai 氏が こちらの記事 で提起していた予想が解決されます。

$g(x)=x^n$とおくと$A'_{j-l-2}=A_{n+j-l-2}$なので定理3はこの系に埋め込まれることになります。
また$a_n=((M^n)^T\ab_0)_1=\sum^k_{i=1}(M^n)_{i,1}a_{i-1}$および
$\dis(M^n)_{i,1}=\sum^{i-1}_{l=0}c_{i-1-l}A_{n-l-1} =A_{n+k-i}-\sum^{k-i-1}_{l=0}c_{i+l}A_{n+l}$
から以下のように$\aa$の一般項が求まります。

ちなみに定理3を$n=0$において適応し$(k,j)$成分を比較すると漸化式から
$\dis (M^0)_{k,j}=(I)_{k,j}=\sum^{k-1}_{l=0}c_lA_{j-1-k+l}=A_{j-1}$
となるので$A_n$の一般項を漸化式で表すと以下のようになります。

$A_n$は定理3で示した定義では扱いづらいですがこうやって漸化式で表すと色々と便利です。特に$c_j$の取り方によらず初項が同じというのは扱いやすい事実ですね。

$M$の対角化

$M^T$の固有値$\a=\a_1,\a_2,\ldots,\a_k$に対する固有ベクトルを考える。
$\a I-M^T= \begin{pmatrix} \a&-1&\c&0\\ 0&\a&\c&0\\ \v&\v&\d&\v\\ -c_0&-c_1&\c&\a-c_{k-1} \end{pmatrix}$
の第$k$行に第$1$行の$\frac{c_0}\a$倍を足し、また第$2$行の$\frac{c_1\a+c_0}{\a^2}$倍を足し、第$3$行の$\frac{c_2\a^2+c_1\a+c_0}{\a^3}$倍を足し、...と掃き出していくことで最終的に$(k,k)$成分は
$\dis\a-\frac{c_{k-1}\a^{k-1}+c_{k-2}\a^{k-2}+\cdots+c_0}{\a^{k-1}}=\a-\frac{\a^k}{\a^{k-1}}=0$
となる。そしてその状態からさらに掃き出していくことで$\a I-M^T$の簡約化
$\begin{pmatrix} 1&0&\c&0&-\frac{1}{\a^{k-1}}\\ 0&1&\c&0&-\frac{1}{\a^{k-2}}\\ \v&\v&\d&\v&\v\\ 0&0&\c&1&-\frac{1}{\a}\\ 0&0&\c&0&0 \end{pmatrix}$
を得る。すなわち$\a$に対する固有ベクトルは
$\begin{pmatrix}\frac{1}{\a^{k-1}}\\\frac{1}{\a^{k-2}}\\\v\\\frac{1}{\a}\\1\end{pmatrix}$ひいては$\begin{pmatrix}1\\\a\\\v\\\a^{k-2}\\\a^{k-1}\end{pmatrix}$
と取れるので
$P= \begin{pmatrix} 1&\a_1&\c&\a_1^{k-1}\\ 1&\a_2&\c&\a_2^{k-1}\\ \v&\v&\d&\v\\ 1&\a_k&\c&\a_k^{k-1}\\ \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}\a_1\\&\a_2\\&&\d\\&&&\a_k\end{pmatrix}$
とおくと対角化の理論から
$(P^{T})^{-1}(M^T)^nP^T=D^n$
ひいては
$PM^nP^{-1}=D^n$
が成り立つことになる。
(ちなみに$\aa$の固有方程式が重解を持つときは$P$が正則にならないので広義固有空間$\mathrm{Ker}(\a I-M)^m$の基底を考える必要が出てくる)

そして$P$は$\a_1,\a_2,\ldots,\a_k$についてのヴァンデルモンド行列なので この記事 で解説したように逆行列が求められ、定理2を得る。

$P^{-1}D^nP$の計算

いま
$\dis D^nP=(\a_i^{n+j-1})_{1\leq i,j\leq k},\;P^{-1}=\left(\frac{\sum^{i-1}_{l=0}c_l\a_j^{l-i}}{f'(\a_j)}\right)_{1\leq i,j\leq k}$
であるので
\begin{eqnarray} (P^{-1}D^nP)_{i,j} &=&\sum^k_{m=1}(P^{-1})_{i,m}(D^nP)_{m,j} =\sum^k_{m=1}\frac{\sum^{i-1}_{l=0}c_l\a_m^{l-i}}{f'(\a_m)}\a_m^{n+j-1} \\&=&\sum^{i-1}_{l=0}c_lA_{n+l-i+j-1} =\sum^{i-1}_{l=0}c_{i-1-l}A_{n+j-l-2} \end{eqnarray}
と定理3を得る。

$g(M)$の計算

いま$\dis g(x)=\sum^{d}_{t=0}C_tx^t$とおくと
\begin{eqnarray} (g(M))_{i,j}&=&\sum^{d}_{t=0}C_t(M^t)_{i,j} \\&=&\sum^{d}_{t=0}C_t\sum^k_{m=1}\frac{\sum^{i-1}_{l=0}c_{l}\a_m^{l-i}}{f'(\a_m)}\a_m^{t+j-1} \\&=&\sum^{i-1}_{l=0}c_l\sum^k_{m=1}\frac{\a_m^{j+l-i-1}}{f'(\a_m)}\sum^{d}_{t=0}C_t\a^t_m \\&=&\sum^{i-1}_{l=0}c_{i-1-l}\sum^k_{m=1}\frac{\a_m^{j-l-2}}{f'(\a_m)}g(\a_m) \\&=&\sum^{i-1}_{l=0}c_{i-1-l}A'_{j-l-2} \end{eqnarray}
と定理3系を得る。