テスト期間中なので研究の進捗を生む

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少し前の記事でLTEの補題を一般の環に一般化しました.でも多項式とかだと自明なところが多いのでもう少し違った一般化してみようと思いました.以下, $R$ を環, $X$ を順序アーベル群, $v : R ⟶ X \cup {\infty}$ は
$(1) v (x y) \geq v (x) + v (y)$
$(2) v (x + y) \geq min (v (x), v (y))$
$(3) v (1) = v (- 1) = 0, v (0) = \infty$
$(4) n \in Z ⟹ v (n x) = v (x) + v (n)$
を満たすとし,さらに環 $R^{'}$ ,イデアル $I$ を $R^{'} = {x \in R | v (x) \geq 0}, I = {x \in R | v (x) > 0}$ で定めたとき,
$(5) \overset{―}{x} \in (R / I)^{*} ⟹ v (x y) = v (y x) = v (y)$
が成り立つとする.

簡単な考察

以下では $X = Z$ と仮定して考える.

$P = v^{- 1} (\infty)$ はイデアルであり $P \cap Z$ は素イデアルである.

前半の主張は $(1), (2), (3)$ から従う.後半は $(4)$ より $v |_{Z}$ が付値であることから従う.

よって $P \cap Z$ の生成元を $p$ とし付値 $v^{'}$ を $v_{p}$ で定める.次の補題は自明である.

$v (x) \in P$ とすると $v (x + y) = v (y), v (x y) = v (y x) = \infty$

LTEの補題

では昨日テストのやる気が失せて数学してたら見つけた定理を述べる.以下 $v$ は
$(6) v (x^{n}) = n v (x)$
を満たすとする.

LTEの補題(?)

$P \cap Z \neq (0)$ とする. $x \in R$ が $v (x - 1) > 0$ を満たすなら, $v (x^{n} - 1) = p^{v^{'} (n)} v (x - 1)$

$P \cap Z \neq (0)$ とする.まず $v |_{Z}$ が付値であることから $I \cap Z$ ( $v$ の定義の(4)参照)は素イデアルなので $P \cap Z$ と一致する. $k = v^{'} (n)$ に関する帰納法で示す.
$k = 0$ ,つまり $n \notin P$ のときイデアルにおけるLTEの補題の定理3から $v (x^{n} - 1) = v (x - 1)$ となり,示された.( $I \cap Z$ が素イデアルであることから $v (n) = 0$ なら $n^{- 1} \in R^{'} / I$ であることに注意.)
$k = i$ までで示されたとする. $n = a p^{i + 1}$ ただし $(a, p) = 1$ とすると, $v (p) = \infty$ であることから補題2から $v (x^{a p^{i + 1}} - 1) = v ((x^{a p^{i}} - 1)^{p}) = p v (x^{a p^{i}} - 1) = p p^{i} v (x - 1)$
となるので示された.

予想以上に簡潔になっちゃいました.

$x = 1 + t^{2} \in F_{p} [t]$ に対して $v$ を $t$ で割り切れる回数とすると $v (x^{2 p} - 1) = 2 p (p \neq 2$ のとき $), 8 (p = 2$ のとき $)$ .
実際 $F_{2}$ において $(t^{2} + 1)^{4} = t^{8} + 1$ なので定理が正しいことがわかる.