この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。
以下、$X$ を局所連結位相空間とします。
$G:=\text{Aut}(Y/X)$ の部分群 $H$ に対して次の可換図式がある。ただし $p_H$ は標準全射、$\overline{p}_H$ は $p$ によって誘導される全射連続開写像である。（ 被覆の自己同型について ）
$$ \xymatrix{ \large{Y} \ar[rr]^-{\Large{p_H}} \ar[rrdd]_-{\Large{p}} & & \large{Y/H} \ar[dd]^-{\Large{\overline{p}_H}}\\ & \ar@{}[r]^{\LARGE\circlearrowright} & \\ & & \large{X} \\ } $$
次の補題 1 より $\text{Aut}(Y/X)$ の部分群の作用から中間被覆が得られます。補題 1、2 は参考文献 [1] Theorem 2.2.10 を参考にさせていただきました。
$(Y,\ p)$ を $X$ 上の被覆、$G = \text{Aut}(Y/X)$ とする。このとき、$G$ の部分群 $H$ に対して $(Y/H,\ \overline{p}_H)$ は $Y/X$ の中間被覆である。
自明な被覆を用いる。
中間被覆について
より、$(Y/H,\ \overline{p}_H)$ が $X$ 上の被覆であることを示せばよい。
任意の $x\in X$ をとる。$F:=p^{-1}(x)$ とおく。 $V$ を $x$ の被覆近傍、$V$ の $Y$ におけるシートの族を $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ とすると $\overline{p}_H^{-1}(V) = \displaystyle\bigcup_{i\in I}H(U_i)$ が成り立つ。$U_i\cap F$ に含まれるただ一つの点を $u_i$ とすると
$$ f:p^{-1}(V)\to V\times F,\ u\mapsto (p(u),\ u_i)$$
は $X$ 上の同型写像であり、$p^{-1}(V) \simeq_X V\times F$ となる（ 被覆について の命題 1 ）。また、
$$ q_H:V\times F\to V\times H(F),\ (v,\ u_i)\mapsto (v,\ H(u_i))$$
とすると $q_H\circ f = \overline{f}\circ p_H$ となる。
$$\overline{f}:\overline{p}_H^{-1}(V)\to V\times H(F),\ H(y)\mapsto (\overline{p}_H(H(y)),\ H(u_i)),$$
$$\overline{q}:V\times H(F)\to V,\ (v,\ H(u_i))\mapsto v$$
とすると $(V\times H(F),\ \overline{q})$ は $V$ 上の自明な被覆であり、$\overline{p}_H = \overline{q}\circ\overline{f}$ が成り立つ。ただし $\overline{f}$ の定義中の $u_i$ は $y\in U_i$ となる $U_i$ 成分における $p^{-1}(x)$ の点である。
$$ \xymatrix{ \large{p^{-1}(V)} \ar[rr]^-{\Large{f}} \ar[dd]_-{\Large{p_H}} & & \large{V\times F} \ar[dd]^-{\Large{q_H}} \\ & \ar@{}[]|{\LARGE\circlearrowright} & \\ \large{\overline{p}_H^{-1}(V)} \ar[rr]^-{\Large{\overline{f}}} \ar[rdd]_-{\Large{\overline{p}_H}} & & \large{V\times H(F)} \ar[ldd]^-{\Large{\overline{q}}} \\ & \ar@{}[]^{\LARGE\circlearrowright} & \\ & \large{V} & \\ } $$
$\overline{f}$ は同相写像であるから $(\overline{p}_H^{-1}(V),\ \overline{p}_H)\simeq_X (V\times H(F),\ \overline{q})$ となり、再び 被覆について の命題 1 より主張がしたがう。
補題 1 においてさらに $H$ が $G$ の正規部分群ならば、$G/H$ を $\text{Aut}((Y/H)/X)$ に埋め込むことができる。
$\sigma H\in G/H,\ H(y)\in Y/H$ に対して
$$\sigma H\cdot H(y):=H(\sigma(y))$$
と定義することによって $G/H$ は $Y/H$ に作用する $(*1)$。
$\sigma\in G$ に対して $\varphi_\sigma:Y/H\to Y/H,\ H(y)\mapsto \sigma H\cdot H(y)$ と定義すると $\varphi_\sigma$ は同相写像である $(*2)$。さらに $p\circ\sigma = p$ より $\overline{p}_H\circ\varphi_\sigma = \overline{p}_H$ であるから、単射群準同型写像
$$ \varphi:G/H\to \text{Aut}((Y/H)/X),\ \sigma\mapsto \varphi_\sigma$$
が定まる。
補題 2 中の $(*1),\ (*2)$ に関する補足を記載する。
$(*1)$
$\sigma_1 H = \sigma_2 H$ ならば $\sigma_1 = \sigma_2\tau$ となるような $\tau\in H$ が存在する。$H$ は $G$ の正規部分群であるから $\sigma_2\tau = \tau'\sigma_2$ となるような $\tau'\in H$ が存在する。よって $$ H(\sigma_1(y)) = H(\sigma_2(\tau(y))) = H(\tau'(\sigma_2(y))) = H(\sigma_2(y))$$ となるから 作用は $\text{well-defined}$ である。
$(*2)$
$\varphi_\sigma^{-1} = \varphi_{\sigma^{-1}}$ より $\varphi_\sigma$ は全単射である。$Y/H$ の任意の開集合 $W$ に対して次の可換図式より $\sigma^{-1}(p_H^{-1}(W)) = p_H^{-1}(\varphi_\sigma^{-1}(W))$ が成り立つ。
$$ \xymatrix{ \large{Y} \ar[rr]^-{\Large{\sigma}} \ar[dd]_-{\Large{p_H}} & & \large{Y} \ar[dd]^-{\Large{p_H}} \\ & \ar@{}[]|{\LARGE\circlearrowright} & \\ \large{Y/H} \ar[rr]_-{\Large{\varphi_\sigma}} & & \large{Y/H} } $$
左辺は $Y$ の開集合であるから、商位相の定義より $\varphi_\sigma^{-1}(W)$ は $Y/H$ の開集合である。よって $\varphi_\sigma$ は連続である。$\sigma^{-1}(p_H^{-1}(W)) = p_H^{-1}(\varphi_\sigma^{-1}(W))$ が任意の $\sigma\in G$ に対して成り立つから、特に $\sigma^{-1}$ の場合を考えると $p_H(\sigma(p_H^{-1}(W))) = \varphi_\sigma(W)$ となり、よって $\varphi_\sigma^{-1}$ は連続である。