文献あり

被覆の自己同型群の部分群について

自己同型群の部分群

　この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。

　以下、 $X$ を局所連結位相空間とします。

Note

　 $G := Aut (Y / X)$ の部分群 $H$ に対して次の可換図式がある。ただし $p_{H}$ は標準全射、 ${\overset{―}{p}}_{H}$ は $p$ によって誘導される全射連続開写像である。（被覆の自己同型について）

$Y p_{H} p Y / H {\overset{―}{p}}_{H} ↻ X$

　次の補題 1 より $Aut (Y / X)$ の部分群の作用から中間被覆が得られます。補題 1、2 は参考文献 [1] Theorem 2.2.10 を参考にさせていただきました。

　 $(Y, p)$ を $X$ 上の被覆、 $G = Aut (Y / X)$ とする。このとき、 $G$ の部分群 $H$ に対して $(Y / H, {\overset{―}{p}}_{H})$ は $Y / X$ の中間被覆である。

概略

　自明な被覆を用いる。

詳細

　中間被覆についてより、 $(Y / H, {\overset{―}{p}}_{H})$ が $X$ 上の被覆であることを示せばよい。
　任意の $x \in X$ をとる。 $F := p^{- 1} (x)$ とおく。 $V$ を $x$ の被覆近傍、 $V$ の $Y$ におけるシートの族を ${U_{i}}_{i \in I}$ とすると ${\overset{―}{p}}_{H}^{- 1} (V) = ⋃_{i \in I} H (U_{i})$ が成り立つ。 $U_{i} \cap F$ に含まれるただ一つの点を $u_{i}$ とすると

$f : p^{- 1} (V) \to V \times F, u \mapsto (p (u), u_{i})$

は $X$ 上の同型写像であり、 $p^{- 1} (V) ≃_{X} V \times F$ となる（被覆についての命題 1 ）。また、

$q_{H} : V \times F \to V \times H (F), (v, u_{i}) \mapsto (v, H (u_{i}))$

とすると $q_{H} \circ f = \overset{―}{f} \circ p_{H}$ となる。

$\overset{―}{f} : {\overset{―}{p}}_{H}^{- 1} (V) \to V \times H (F), H (y) \mapsto ({\overset{―}{p}}_{H} (H (y)), H (u_{i})),$
$\overset{―}{q} : V \times H (F) \to V, (v, H (u_{i})) \mapsto v$
とすると $(V \times H (F), \overset{―}{q})$ は $V$ 上の自明な被覆であり、 ${\overset{―}{p}}_{H} = \overset{―}{q} \circ \overset{―}{f}$ が成り立つ。ただし $\overset{―}{f}$ の定義中の $u_{i}$ は $y \in U_{i}$ となる $U_{i}$ 成分における $p^{- 1} (x)$ の点である。

$p^{- 1} (V) f p_{H} V \times F q_{H} ↻ {\overset{―}{p}}_{H}^{- 1} (V) \overset{―}{f} {\overset{―}{p}}_{H} V \times H (F) \overset{―}{q} ↻ V$

　 $\overset{―}{f}$ は同相写像であるから $({\overset{―}{p}}_{H}^{- 1} (V), {\overset{―}{p}}_{H}) ≃_{X} (V \times H (F), \overset{―}{q})$ となり、再び被覆についての命題 1 より主張がしたがう。

　補題 1 においてさらに $H$ が $G$ の正規部分群ならば、 $G / H$ を $Aut ((Y / H) / X)$ に埋め込むことができる。

　 $σ H \in G / H, H (y) \in Y / H$ に対して
$σ H \cdot H (y) := H (σ (y))$
と定義することによって $G / H$ は $Y / H$ に作用する $(* 1)$ 。
　 $σ \in G$ に対して $φ_{σ} : Y / H \to Y / H, H (y) \mapsto σ H \cdot H (y)$ と定義すると $φ_{σ}$ は同相写像である $(* 2)$ 。さらに $p \circ σ = p$ より ${\overset{―}{p}}_{H} \circ φ_{σ} = {\overset{―}{p}}_{H}$ であるから、単射群準同型写像
$φ : G / H \to Aut ((Y / H) / X), σ \mapsto φ_{σ}$
が定まる。

Memo

　補題 2 中の $(* 1), (* 2)$ に関する補足を記載する。
$(* 1)$
　 $σ_{1} H = σ_{2} H$ ならば $σ_{1} = σ_{2} τ$ となるような $τ \in H$ が存在する。 $H$ は $G$ の正規部分群であるから $σ_{2} τ = τ^{'} σ_{2}$ となるような $τ^{'} \in H$ が存在する。よって $H (σ_{1} (y)) = H (σ_{2} (τ (y))) = H (τ^{'} (σ_{2} (y))) = H (σ_{2} (y))$ となるから作用は $well-defined$ である。

$(* 2)$
　 $φ_{σ}^{- 1} = φ_{σ^{- 1}}$ より $φ_{σ}$ は全単射である。 $Y / H$ の任意の開集合 $W$ に対して次の可換図式より $σ^{- 1} (p_{H}^{- 1} (W)) = p_{H}^{- 1} (φ_{σ}^{- 1} (W))$ が成り立つ。

$Y σ p_{H} Y p_{H} ↻ Y / H φ_{σ} Y / H$

左辺は $Y$ の開集合であるから、商位相の定義より $φ_{σ}^{- 1} (W)$ は $Y / H$ の開集合である。よって $φ_{σ}$ は連続である。 $σ^{- 1} (p_{H}^{- 1} (W)) = p_{H}^{- 1} (φ_{σ}^{- 1} (W))$ が任意の $σ \in G$ に対して成り立つから、特に $σ^{- 1}$ の場合を考えると $p_{H} (σ (p_{H}^{- 1} (W))) = φ_{σ} (W)$ となり、よって $φ_{σ}^{- 1}$ は連続である。