文献あり

「限りなく広くした範囲から」任意に選んだ2数が互いに素である確率

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はじめに

こんにちは、AGAです
Mathlogで「「任意に選んだ2数が互いに素である確率」を成り立たせる確率測度は存在するか？」という記事を見かけました。　
この文の大半が難しかったのですが、
その最後に書かれてあった以下のことが気になりました。(書き方は少し変えてあります。)

$n$ 以下の自然数をランダムに2つ選ぶ(これは有限個のものから選ぶのでちゃんと選べる)ときにそれらが互いに素になる確率を $P_{n}$ とすれば，
限りなく広くした範囲から任意に選んだ2数が互いに素である確率 $P$ は
$P = lim_{n \to \infty} P_{n} = ζ (2)^{- 1} = \frac{6}{π^{2}}$
になるといえそうだ(？)

これを証明していきたいと思います。

なお、本記事は「「任意に選んだ2数が互いに素である確率」を成り立たせる確率測度は存在するか？」「任意に選んだ2数が互いに素である確率」を前提にしてあり、前者にならって、本記事も自然数に0は入れないものとします。

証明

床関数

$⌊ x ⌋ = M a x {n \in N | n \leq x}$

一応命題形式で述べたのち証明します。

$n$ 以下の自然数をランダムに2つ選ぶときに、それらが互いに素になる確率を $P_{n}$ とすると、
$n \to \infty$ のとき $P_{n}$ は収束し、
$lim_{n \to \infty} P_{n} = \frac{6}{π^{2}}$
となる

大文字は確率、小文字は自然数

$n$ 以下の自然数のうち $k$ の倍数である物の個数は、 $⌊ \frac{n}{k} ⌋$ 個である。
すなわち、 $n$ 以下の自然数から任意の数を選んだ時 $k$ の倍数である確率は $\frac{1}{n} ⌊ \frac{n}{k} ⌋$ .

任意に選んだ $2$ 数 $m_{1}, m_{2} \leq n$ の、最大公約数が $k$ である確率を $Q_{n, k}$ とする。このとき $P_{n} = Q_{n, 1}$

「 $m, n$ の最大公約数が $k$ である」 $⟺$ 「 $m, n$ が $k$ の倍数」かつ「 $\frac{m}{k}, \frac{n}{k}$ が互いに素」である。
すなわち $Q_{n, k} = \frac{Q_{n, 1}}{n^{2}} ⌊ \frac{n}{k} ⌋^{2} \dots (1)$

また $k$ について確率の総和は $1$ になってほしいので
$\sum_{k = 1}^{\infty} Q_{n, k} = 1$
になってほしいが、 $n < k$ のとき $⌊ \frac{n}{k} ⌋ = 0$ のため、上の式は
$\sum_{k = 1}^{n} Q_{n, k} = 1$
となる。また、(1)から
$\sum_{k = 1}^{n} \frac{Q_{n, 1}}{n^{2}} ⌊ \frac{n}{k} ⌋^{2} = 1$
$Q_{n, 1} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n^{2}} ⌊ \frac{n}{k} ⌋^{2} = 1$
$Q_{n, 1} = P_{n}$ から
$P_{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n^{2}} ⌊ \frac{n}{k} ⌋^{2} = 1$
$P_{n} = \frac{1}{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n^{2}} ⌊ \frac{n}{k} ⌋^{2}}$
$\frac{n}{k} - 1 < ⌊ \frac{n}{k} ⌋ \leq \frac{n}{k}$ から
$\frac{1}{k} - \frac{1}{n} < \frac{1}{n} ⌊ \frac{n}{k} ⌋ \leq \frac{1}{k}$
$\frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{n^{2}} - \frac{2}{n k} < \frac{1}{n^{2}} ⌊ \frac{n}{k} ⌋^{2} \leq \frac{1}{k^{2}}$
$\sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{n^{2}} - \frac{2}{n k}) < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n^{2}} ⌊ \frac{n}{k} ⌋^{2} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$
$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n^{2}} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{2}{n k} < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n^{2}} ⌊ \frac{n}{k} ⌋^{2} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$
$(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}) + \frac{1}{n} - \frac{2}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n^{2}} ⌊ \frac{n}{k} ⌋^{2} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$
$(左辺の第三項は調和数 / n)$
ハサミうちの原理から
$lim_{n \to \infty} P_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n^{2}} ⌊ \frac{n}{k} ⌋^{2}} = \frac{1}{lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n^{2}} ⌊ \frac{n}{k} ⌋^{2}}$
$= \frac{1}{\frac{π^{2}}{6}} = \frac{6}{π^{2}}$
したがって $lim_{n \to \infty} P_{n} = \frac{6}{π^{2}} ◼$