自然密度と確率の似ている部分

自然密度,確率論,確率

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はじめに

こんにちは、AGAです。
今回は自然密度と確率について語っていきたいと思います。

注意

確率「任意に選んだ2数が互いに素である確率」を成り立たせる確率測度は存在するか？」
自然密度「素数と平方数どっちのほうが多いのか」
を参照してください。

確率の標本空間(上記事では$\Omega$)を$\mathbb{N}$とする
また$A\subset\mathbb{N}$の
確率を$p(A)$、自然密度を$d(A)$のように表すことにする

$A,B\subset\mathbb{N}$は確率、自然密度が存在するものとする

追記
$A\cup B$もしくは$A\cap B$の自然密度が存在することも仮定しないと、加法定理以降の議論はできないらしいです。
詳しくはコメントでの話を参考にしてください。

自明な法則

$0\leq p(A) \leq1$
$p(\mathbb{N})=1$
$p(\emptyset)=0$
$p(A^c)=1-p(A)$

$0\leq d(A) \leq1$
$d(\mathbb{N})=1$
$d(\emptyset)=0$
$d(A^c)=1-d(A)$

加法定理

$\ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
$\ d(A\cup B)=d(A)+d(B)-d(A\cap B)$

1.

$p(A\cup B)+p(A\cap B)=p(A\setminus B)+p(B)+p(A\cap B)$
$=p(A\cap B^c)+P(B)+p(A\cap B)$
$=p(A)+P(B)$
$\therefore p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\blacksquare$

2.

$$d(A\cup B)=\lim_{n\to\infty}\frac{|\lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap(A\cup B)|}{n}$$
$$=\lim_{n\to\infty}\frac{|\lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap A\cup \lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap B|}{n}$$
$$=\lim_{n\to\infty}\frac{|\lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap A\cup \lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap B|}{n}$$
$$=\lim_{n\to\infty}\frac{|\lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap A|}{n}+\frac{|\lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap B|}{n}-\frac{|\lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap(A\cap B)|}{n}$$
$$\therefore d(A\cup B)=d(A)+d(B)-d(A\cap B)\blacksquare$$

乗法定理

条件付き

$p(A)\neq0$について、
条件付き確率$p(B|A)$は
$$p(B|A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}$$
で定義される。

これにならって条件付き自然密度$d(B|A)$を
$$d(B|A)=\frac{d(A\cap B)}{d(A)} \ (d(A)\neq0)\cdots(1)$$
で定義したいところだが、
自然密度の場合は$$d(B|A)=\lim_{n\to\infty}\frac{|\lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap A\cap B|}{|\lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap A|}$$と定義すれば、$d(A)\neq0$のとき(1)と一致し、$d(A)=0$のときも定義できる。(これは有限の確率と同じ議論である)

乗法定理

$p(A)\neq0$について

$\ p(A\cap B)=p(A)p(B|A)$
$\ d(A\cap B)=d(A)d(B|A)$

1.

自明

2.

$$d(A)d(B|A) \\ =\lim_{n\to\infty}\frac{|\lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap A\cap B|}{|\lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap A|}\frac{|\lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap A|}{n} \\ \lim_{n\to\infty}\frac{|\lbrace x\in\mathbb{N}|x\leq n\rbrace\cap A\cap B|}{n}=d(A\cap B)$$

ベイズの定理

$p(A)\neq0,p(B)\neq0,d(B)\neq0$について
$$p(A|B)=\frac{p(A)p(B|A)}{p(B)}$$
$$d(A|B)=\frac{d(A)d(B|A)}{d(B)}$$