自然密度と確率の似ている部分

自然密度,確率論,確率

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はじめに

こんにちは、AGAです。
今回は自然密度と確率について語っていきたいと思います。

注意

確率「任意に選んだ2数が互いに素である確率」を成り立たせる確率測度は存在するか？」
自然密度「素数と平方数どっちのほうが多いのか」
を参照してください。

確率の標本空間(上記事では $Ω$ )を $N$ とする
また $A \subset N$ の
確率を $p (A)$ 、自然密度を $d (A)$ のように表すことにする

$A, B \subset N$ は確率、自然密度が存在するものとする

追記
$A \cup B$ もしくは $A \cap B$ の自然密度が存在することも仮定しないと、加法定理以降の議論はできないらしいです。
詳しくはコメントでの話を参考にしてください。

自明な法則

$0 \leq p (A) \leq 1$
$p (N) = 1$
$p (\emptyset) = 0$
$p (A^{c}) = 1 - p (A)$

$0 \leq d (A) \leq 1$
$d (N) = 1$
$d (\emptyset) = 0$
$d (A^{c}) = 1 - d (A)$

加法定理

$p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B)$
$d (A \cup B) = d (A) + d (B) - d (A \cap B)$

1.

$p (A \cup B) + p (A \cap B) = p (A ∖ B) + p (B) + p (A \cap B)$
$= p (A \cap B^{c}) + P (B) + p (A \cap B)$
$= p (A) + P (B)$
$∴ p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B) ◼$

2.

$d (A \cup B) = lim_{n \to \infty} \frac{| {x \in N | x \leq n} \cap (A \cup B) |}{n}$
$= lim_{n \to \infty} \frac{| {x \in N | x \leq n} \cap A \cup {x \in N | x \leq n} \cap B |}{n}$
$= lim_{n \to \infty} \frac{| {x \in N | x \leq n} \cap A \cup {x \in N | x \leq n} \cap B |}{n}$
$= lim_{n \to \infty} \frac{| {x \in N | x \leq n} \cap A |}{n} + \frac{| {x \in N | x \leq n} \cap B |}{n} - \frac{| {x \in N | x \leq n} \cap (A \cap B) |}{n}$
$∴ d (A \cup B) = d (A) + d (B) - d (A \cap B) ◼$

乗法定理

条件付き

$p (A) \neq 0$ について、
条件付き確率 $p (B | A)$ は
$p (B | A) = \frac{p (A \cap B)}{p (A)}$
で定義される。

これにならって条件付き自然密度 $d (B | A)$ を
$d (B | A) = \frac{d (A \cap B)}{d (A)} (d (A) \neq 0) \dots (1)$
で定義したいところだが、
自然密度の場合は $d (B | A) = lim_{n \to \infty} \frac{| {x \in N | x \leq n} \cap A \cap B |}{| {x \in N | x \leq n} \cap A |}$ と定義すれば、 $d (A) \neq 0$ のとき(1)と一致し、 $d (A) = 0$ のときも定義できる。(これは有限の確率と同じ議論である)

乗法定理

$p (A) \neq 0$ について

$p (A \cap B) = p (A) p (B | A)$
$d (A \cap B) = d (A) d (B | A)$

1.

自明

2.

$d (A) d (B | A) = lim_{n \to \infty} \frac{| {x \in N | x \leq n} \cap A \cap B |}{| {x \in N | x \leq n} \cap A |} \frac{| {x \in N | x \leq n} \cap A |}{n} lim_{n \to \infty} \frac{| {x \in N | x \leq n} \cap A \cap B |}{n} = d (A \cap B)$