微分演算子Introduction

こんにちは。
今日は微分演算子の計算に関する基本的な事柄と記法の準備について話そうと思います。そこまで解析学的にillな対象は扱わない(意図的に避けてる)つもりなので、計算の正当性や厳密な構成の仕方は代数的な考え方を一通り話した後にやるほうがいいと思っています。群,環,加群の定義と具体例を押さえて1年の線形代数がわかれば流れが追える、そんな記事集を目指します(微積の計算の詳細はEulerの公式等ある程度計算力を要求しそうですが)。
続編:
Lie環・群抄録/Heisenberg代数
sl2表現
Weierstrass変換exp(a∇^2)とそのイメージ

この記事では演算子の感覚を掴んでください。

隣接３項間漸化式$a_{n+2}=b{a}_{n+1}+c{a}_n(n\in \mathbb{Z})$をシフト演算子$S$とよばれる$S\cdot a_n=a_{n+1}$となるような形式的な「数」$S$を使って書き換える。$S^2\cdot a_n=a_{n+2}$だから$S^2\cdot a_n-bS\cdot a_n-c{a}_n=0$だが、「$a_n$で括れて因数分解できる」と仮定すると$$(S-\alpha )(S-\beta )\cdot a_n=(S^2-bS-c)\cdot a_n=0(n\in \mathbb{Z})$$というような形になる。つまり線形演算子$S$からつくられた演算子$(S-\alpha )(S-\beta )$を掛けると0になる、核(kernel)に相当する数列$a_n$を求めると言う問題意識に行き着く。

$a_n=k{\beta }^n(k\in \mathbb{C})$とすれば$(S-\beta )\cdot a_n=S\cdot a_n-\beta a_n=0$となるので漸化式の解であることが確かめられる。この形式的に定めた$S$を加群の作用として正確に捉えることを考える。漸化式は$n$に関する恒等式であるが、$n$を$a_n$にうつす関数$a$に関する方程式$(S-\alpha )(S-\beta )\cdot a=0$と捉え直すことで、作用,被作用の構造がわかりやすくなる。$S$は「$n$を$a_n$にうつす関数」を「$n$を$a_{n+1}$にうつす関数」にうつす関数である。

一般に隣接$N+1$項間漸化式では$S$の$N$次式を関数に作用させたものとなる。なので漸化式(方程式)の左辺は$S$の多項式の環$\mathbb{C}[S]$を関数$a:\mathbb{Z}\to \mathbb{C}$の成す環(群)${\mathbb{C}}^{\mathbb{Z}}$に作用させた、$\mathbb{C}[S]$加群${\mathbb{C}}^{\mathbb{Z}}$の式となっている。「$a_n$で括れて因数分解できる」と言ったのは加群として結合的かつ分配的な環の群への乗法的作用"$\cdot$"を備えている、ということを意味する。これが演算子法の根本的な考え方である。

漸化式の特性方程式というのは、線形演算子$S$の最小多項式に相当していて、これを解けば固有値が求められるから対角化して行列のべき乗をもとめられるという線形代数の流れを踏むように、特性方程式の解から漸化式の一般項を求めることができるのである。
環としての乗法(通常省略する)と加群としての乗法"$\cdot$"は区別しなくてはならない。

今まではシフト演算子で説明してきたが、微分演算子についても全く同様の論理展開を行う事ができる。
定数係数線形微分方程式$c_n\frac{d^{n}f}{d{x}^n}+\cdots +c_0\frac{d^{0}f}{d{x}^0}=0$の左辺も微分演算子$\partial =\frac{d}{dx}$の多項式環$\mathbb{C}[\partial ]$の$C^{\mathrm{\infty }}$級関数の加法群$C^{\mathrm{\infty }}$への作用$F(\partial )\cdot f=(c_n{\partial }^n+\cdots +c_0{\partial }^0)\cdot f$と考えられる。

係数$c_i\in \mathbb{C}$を定数ではなく$\mathbb{C}[x]$の元に拡張する、つまり多項式係数の線形微分方程式を考えたとき、$F(\partial )$全体をWeyl代数と呼び、$\mathbb{C}[x,\partial ]$と書く。$\partial x$と書いた場合は演算子を意味し、関数$f(x)$への作用は$x\partial \cdot f(x)=x{f}^{\prime }(x)$となり、Weyl代数の元$g(x)$(多項式)の関数への作用は通常の乗法$g(x)\cdot f(x)=g(x)f(x)$である。$\partial x$の作用を加群の定義を参照しながら計算すると$$(\partial x)\cdot f(x)=\partial \cdot (x\cdot f(x))=f(x)+x{f}^{\prime }(x)=(1+x\partial )\cdot f(x)$$となるが、演算子は「関数から関数への関数」で、任意の関数にたいして同じ結果の関数を返す演算子があったらその演算子同士は等しいと考えるべきである(外延性)。つまりWeyl代数としての等式$\partial x=1+x\partial$が成立して、これは$F(\partial )$において$c_0=1,c_1=x$とした場合に該当して、$\partial x$もWeyl代数の元である事がわかる。

$\partial \cdot x=1$と$\partial x$の違いには注意してほしい(そもそも型がちがう)。
物理的には、$x,\partial$が$\partial x-x\partial =1$を満たして非可換であることは正準交換関係と呼ばれ、位置と運動量を同時に確定することができないという量子力学の実験事実を定式化したものであると解釈できる(heisenbergの不確定性原理、より厳密にはKennardの不等式)。

一般に$\partial g(x)-g(x)\partial =g^{\prime }(x)$が成立することを確かめるとよい。次のような面白い式もある:$${\partial }^n{x}^m=\sum _{l=0}^{min(n,m)}l!(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{l})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{l})x^{m-l}{\partial }^{n-l}$$
微分演算子は線形演算子なので行列表現として表せる。$N$次多項式の基底$[x^0,\dots ,x^N]$での$\partial$の作用の表現行列は次のようになる:
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cccc}0& 1& & \\ & & 2\\ & & & \ddots \\ & & & & N\\ & & & & 0\end{array}\right)(未表示は0)\end{array}$$
$N\to \mathrm{\infty }$として、微分演算子を上の行列として扱うことができる。$x$という演算子の表現行列は$(i+1,i)$成分が$1$の行列である。なのでWeyl代数は実質ただの行列である。

次は微分演算子が並進移動の生成子であるということを様々な観点から見ていこう。Taylor展開を演算子の見方で書き換えると
$$f(x+y)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}{y}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(y\partial {)}^n}{n!}\cdot f(x)=e^{y\partial }\cdot f(x)$$
というふうになる。途中$$\exp z=e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$$を使った。あっけないが指数関数の肩に微分演算子を乗せることで並進移動をする演算子を作れるのである。言い換えるとシフト演算子は微分演算子の一種であり、(厳密には有限和に限定したが拡張された)Weyl代数の元として考えられる。

微分演算子の相等を「任意の多項式への作用が一致する」というように定めたとすると、基底$x^N(N\in \mathbb{N})$に対する作用だけを調べたら基底の変換行列が求まり、等しいかどうかを決定することができる。これは二項定理の形が出現する形で証明できる:
$$e^{y\partial }\cdot x^N=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(y\partial {)}^n}{n!}\cdot x^N=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{y}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})x^{N-n}=(x+y{)}^N$$
これは$y=1$のとき表現行列として次のような等式を意味する:
$$\begin{array}{r}\exp \left(\begin{array}{cccc}0& 1& & \\ & & 2\\ & & & \ddots \\ & & & & N\\ & & & & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})& (\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0})& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{0})\\ (\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1})& (\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})& & \\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ (\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{N})& & \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{N})\end{array}\right)\end{array}$$ただし、$0\leqq i<j$に対して$(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})=0$と定める。

線形空間として同型なので微分演算子で考えても行列で考えても全く同じことである。また、次のような微小平行移動を繰り返したものと考えることで指数関数が出てくるのは自然だと考えることができる。微分の定義式${\displaystyle f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$において極限を外して誤差項にLandau記号をつかうと$$f(x+h)=f(x)+h{f}^{\prime }(x)+o(h)=(1+h\partial )\cdot f(x)+o(h)$$という式変形ができる。つまり$1+h\partial$は関数$f(x)$を$h$だけシフトする演算子である。誤差の問題からこれは微小距離$h$の分の並進移動しかできないが、有限距離$y$だけ並進移動する場合は$N$等分して$N$回微小平行移動すると$$f(x+y)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{y}{N}\partial +o\left(\frac{y}{N}\right))}^N\cdot f(x)=e^{y\partial }\cdot f(x)+Nf(x)\times o\left(\frac{y}{N}\right)=e^{y\partial }\cdot f(x)$$というようにできる。誤差は$N\times o\left(\frac{y}{N}\right)=o(y)$なので無視できる。これは指数写像として一般の多様体上の並進移動を定めることができる。
むしろ、$\partial$を形式的な数として扱って、$e^{a\partial }\cdot f(x)=f(x+a)$を定義として扱うと言う考え方も一応可能である。

微分演算子の利点は変数変換を行うことができるということである。
今並進移動演算子について見たので次はEuler演算子について見ることにする。$x=e^z$という変数変換をすると${\partial }_z=\frac{\partial }{\partial z}$として$x{\partial }_x={\partial }_z$なので$$e^{yx{\partial }_x}\cdot f(x)=e^{y{\partial }_z}\cdot f(e^z)=f(e^{z+y})=f(e^{y}x)$$よりEuler演算子は関数の乗法的作用の生成子と考えることができる。

基底を取って考えると、$x^N$は$x{\partial }_x$の固有値$N$の固有関数なので$$e^{y{\partial }_x}\cdot x^N=e^{yN}{x}^N=(e^{y}x{)}^N$$だから同じような結果を得る。

　演算子の相等として先の議論では多項式に対する作用が等しいとして定義したが、一般の演算子を扱う上で関数のクラスを限定して議論するということが必要になるので演算子の同値類$\equiv$の定義をここで導入しておく。特定の関数の集合を$F$としてそれに対応する演算子$G_1,G_2$の同値${\equiv }_F$を$(\mathrm{\forall }f\in F,G_1\cdot f,G_2\cdot fが存在するならばG_1\cdot f=G_2\cdot f)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{\iff }{G}_1{\equiv }_F{G}_2$と定める。例えば$F_1=\mathbb{C}[x],F_2=\mathbb{C}[\sqrt{x}]$としたら$e^{2\pi ix\partial }{\equiv }_{F_1}1$であるが、$e^{2\pi itx\partial }\cdot \sqrt{x}=e^{i\pi t}\sqrt{x}$なので$t:0\to 1$と変化させると$e^{2\pi ix\partial }\cdot \sqrt{x}=-\sqrt{x}$となり、$e^{2\pi ix\partial }{\equiv }_{F_2}1$は偽となる。

微分演算子の公式を紹介して終わりとしよう。
$\theta =x\partial$とすると、多項式に作用する演算子として$\theta x\equiv x(\theta +1)$となる。つまり$x$が$\theta$を右から左に移動すると$\theta$が1増えるのである。なので帰納的に
$$\begin{gathered} x^n{\partial }^n=x^{n-1}\theta {\partial }^{n-1}=(\theta -(n-1))x^{n-1}{\partial }^{n-1} \\ ={\theta }^{\underset{―}{n}} \end{gathered}$$
となる。ただし$y^{\underset{―}{n}}=(y-0)(y-1)\cdots (y-(n-1))$は下降ベキの記号で、$y=\theta$を代入したと思える。
第二種Stirling数$S_{n,k}$は
$$y^n=\sum _{k=0}^n{S}_{n,k}{y}^{\underset{―}{k}}$$
をみたす整数である(これで一意的に定まる)。差分の言葉で言うと、差分版Taylor展開で$y$の累乗を展開した展開係数である。なお
$$S_{n,m}=\frac{1}{m!}\sum _{k=0}^n(-1{)}^{m-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})k^n$$という公式がある。$y=\theta$を代入することで
$$(x\partial {)}^n=\sum _{k=0}^n{S}_{n,k}{x}^k{\partial }^k$$
となる。