文献あり

mod 5のRogers-Ramanujan型恒等式

Rogers-Ramanujanの恒等式は
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}}}{(q; q)_{n}} & = \frac{1}{(q, q^{4}; q^{5})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + n}}{(q; q)_{n}} & = \frac{1}{(q^{2}, q^{3}; q^{5})_{\infty}} \end{aligned}$

今回はそのいくつかの類似を示す. 以下の両側Bailey対に関する定理を用いる.

Berkovich-McCoy-Schilling(1996)

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関する両側Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} α_{n} & = \frac{(a q, a q / b c; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} (b, c; q)_{n} {(\frac{a q}{b c})}^{n} β_{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

特に, $a = 1, b = - q^{\frac{1}{2}}, c \to \infty$ とすると以下を得る.

$(α_{n}, β_{n})$ が $1$ に関する両側Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} q^{\frac{n^{2}}{2}} α_{n} & = \frac{(q; q)_{\infty}}{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} (- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n} q^{\frac{n^{2}}{2}} β_{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

また, $a = 1, b, c \to \infty$ とすると以下を得る.

$(α_{n}, β_{n})$ が $1$ に関する両側Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} q^{n^{2}} α_{n} & = (q; q)_{\infty} \sum_{n \in Z} q^{n^{2}} β_{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty} (q^{2}, q^{3}, q^{5}; q^{5})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + 2 n}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty} (q, q^{4}, q^{5}; q^{5})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

前の記事における定理1の1つ目の両側Bailey対に系1を適用して $q \mapsto q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \frac{(q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{\frac{5}{2} n^{2} + \frac{n}{2}} \\ = (q^{2}, q^{3}, q^{5}; q^{5})_{\infty} \end{aligned}$
を得る. また, 前の記事における2つ目の両側Bailey対に系1を適用すると,
$\begin{aligned} \frac{(q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + 2 n}}{(q^{4}; q^{4})_{n}} & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{\frac{5}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n} \\ = (q, q^{4}, q^{5}; q^{5})_{\infty} \end{aligned}$
となって示される.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{3 n^{2}}}{(q^{4}; q^{4})_{n} (- q; q^{2})_{n}} & = \frac{(q^{2}, q^{3}, q^{5}; q^{5})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{3 n^{2} - 2 n}}{(q^{4}; q^{4})_{n} (- q; q^{2})_{n}} & = \frac{(q, q^{4}, q^{5}; q^{5})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

前の記事
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(1 - q^{4 k + 1}) (b, c; q^{2})_{k} q^{2 k^{2}}}{(q^{3} / b, q^{3} / c; q^{2})_{k} (q; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k}} {(\frac{q^{2}}{b c})}^{k} & = \frac{(q^{3} / b c; q^{2})_{n}}{(q^{2} / b, q^{2} / c; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
において, $b = - q^{\frac{3}{2}}, c \to 0$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(1 - q^{4 k + 1}) q^{k^{2} - \frac{3}{2} k}}{(q; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k}} & = \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{n^{2}}{2} - n}}{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
ここで, $1 - q^{4 k + 1} = (1 - q^{n + 2 k + 1}) - q^{4 k + 1} (1 - q^{n - 2 k})$ と $q^{n} (1 - q^{4 k + 1}) = q^{2 k} (1 - q^{n + 2 k + 1}) - q^{2 k} (1 - q^{n - 2 k})$ を用いると, 2つの式
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} (\frac{q^{k^{2} - \frac{3}{2} k}}{(q; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} - \frac{q^{k^{2} + \frac{5}{2} k + 1}}{(q; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k - 1}}) & = \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{n^{2}}{2} - n}}{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \\ \sum_{k \in Z} (\frac{q^{k^{2} + \frac{1}{2} k}}{(q; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} - \frac{q^{k^{2} + \frac{1}{2} k}}{(q; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k - 1}}) & = \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{n^{2}}{2}}}{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
これらは
$\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{(- 1)^{k} q^{\frac{1}{4} k^{2} + \frac{3}{4} k}}{(q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} & = \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{n^{2}}{2} - n}}{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \\ \sum_{k \in Z} \frac{(- 1)^{k} q^{\frac{1}{4} k^{2} + \frac{1}{4} k}}{(q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} & = \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{n^{2}}{2}}}{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
と書き表される. よって, これらに系2を用いて $q \mapsto q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} (q^{2}; q^{2})_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{3 n^{2} - 2 n}}{(- q; q^{2})_{n} (q^{4}; q^{4})_{n}} & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{\frac{5}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n} = (q, q^{4}, q^{5}; q^{5})_{\infty} \\ (q^{2}; q^{2})_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{3 n^{2}}}{(- q; q^{2})_{n} (q^{4}; q^{4})_{n}} & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{\frac{5}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n} = (q^{2}, q^{3}, q^{5}; q^{5})_{\infty} \end{aligned}$