mod 5のRogers-Ramanujan型恒等式
Rogers-Ramanujanの恒等式
は
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(q;q)_n}&=\frac 1{(q,q^4;q^5)_{\infty}}\\
\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q)_n}&=\frac 1{(q^2,q^3;q^5)_{\infty}}
\end{align}
今回はそのいくつかの類似を示す. 以下の 両側Bailey対 に関する定理を用いる.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関する両側Bailey対であるとき,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\alpha_n&=\frac{(aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(b,c;q)_n\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\beta_n
\end{align}
が成り立つ.
特に, $a=1, b=-q^{\frac 12}, c\to\infty$とすると以下を得る.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$1$に関する両側Bailey対であるとき,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}q^{\frac{n^2}2}\alpha_n&=\frac{(q;q)_{\infty}}{(-q^{\frac 12};q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(-q^{\frac 12};q)_nq^{\frac {n^2}2}\beta_n
\end{align}
が成り立つ.
また, $a=1, b,c\to\infty$とすると以下を得る.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$1$に関する両側Bailey対であるとき,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}q^{n^2}\alpha_n&=(q;q)_{\infty}\sum_{n\in\ZZ}q^{n^2}\beta_n
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(q^4;q^4)_n}&=\frac{(-q;q^2)_{\infty}(q^2,q^3,q^5;q^5)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\\ \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2+2n}}{(q^4;q^4)_n}&=\frac{(-q;q^2)_{\infty}(q,q^4,q^5;q^5)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}} \end{align}
前の記事
における定理1の1つ目の両側Bailey対に系1を適用して$q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align}
\frac{(q^2;q^2)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(q^4;q^4)_n}&=\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{\frac 52n^2+\frac n2}\\
&=(q^2,q^3,q^5;q^5)_{\infty}
\end{align}
を得る. また, 前の記事における2つ目の両側Bailey対に系1を適用すると,
\begin{align}
\frac{(q^2;q^2)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2+2n}}{(q^4;q^4)_n}&=\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{\frac 52n^2+\frac 32n}\\
&=(q,q^4,q^5;q^5)_{\infty}
\end{align}
となって示される.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{3n^2}}{(q^4;q^4)_n(-q;q^2)_n}&=\frac{(q^2,q^3,q^5;q^5)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\\ \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{3n^2-2n}}{(q^4;q^4)_n(-q;q^2)_n}&=\frac{(q,q^4,q^5;q^5)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}} \end{align}
前の記事
\begin{align}
\sum_{k\in\ZZ}\frac{(1-q^{4k+1})(b,c;q^2)_kq^{2k^2}}{(q^3/b,q^3/c;q^2)_k(q;q)_{n+2k+1}(q;q)_{n-2k}}\left(\frac{q^2}{bc}\right)^k&=\frac{(q^3/bc;q^2)_n}{(q^2/b,q^2/c;q)_n(q^2;q^2)_n}
\end{align}
において, $b=-q^{\frac 32}, c\to 0$とすると,
\begin{align}
\sum_{k\in\ZZ}\frac{(1-q^{4k+1})q^{k^2-\frac 32k}}{(q;q)_{n+2k+1}(q;q)_{n-2k}}&=\frac{(-1)^nq^{\frac{n^2}2-n}}{(-q^{\frac 12};q)_n(q^2;q^2)_n}
\end{align}
ここで, $1-q^{4k+1}=(1-q^{n+2k+1})-q^{4k+1}(1-q^{n-2k})$と$q^n(1-q^{4k+1})=q^{2k}(1-q^{n+2k+1})-q^{2k}(1-q^{n-2k})$を用いると, 2つの式
\begin{align}
\sum_{k\in\ZZ}\left(\frac{q^{k^2-\frac 32k}}{(q;q)_{n+2k}(q;q)_{n-2k}}-\frac{q^{k^2+\frac 52k+1}}{(q;q)_{n+2k+1}(q;q)_{n-2k-1}}\right)&=\frac{(-1)^nq^{\frac{n^2}2-n}}{(-q^{\frac 12};q)_n(q^2;q^2)_n}\\
\sum_{k\in\ZZ}\left(\frac{q^{k^2+\frac 12k}}{(q;q)_{n+2k}(q;q)_{n-2k}}-\frac{q^{k^2+\frac 12k}}{(q;q)_{n+2k+1}(q;q)_{n-2k-1}}\right)&=\frac{(-1)^nq^{\frac{n^2}2}}{(-q^{\frac 12};q)_n(q^2;q^2)_n}
\end{align}
これらは
\begin{align}
\sum_{k\in\ZZ}\frac{(-1)^kq^{\frac 14k^2+\frac 34k}}{(q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}&=\frac{(-1)^nq^{\frac{n^2}2-n}}{(-q^{\frac 12};q)_n(q^2;q^2)_n}\\
\sum_{k\in\ZZ}\frac{(-1)^kq^{\frac 14k^2+\frac 14k}}{(q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}&=\frac{(-1)^nq^{\frac{n^2}2}}{(-q^{\frac 12};q)_n(q^2;q^2)_n}
\end{align}
と書き表される. よって, これらに系2を用いて$q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align}
(q^2;q^2)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{3n^2-2n}}{(-q;q^2)_n(q^4;q^4)_n}&=\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{\frac 52n^2+\frac 32n}=(q,q^4,q^5;q^5)_{\infty}\\
(q^2;q^2)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{3n^2}}{(-q;q^2)_n(q^4;q^4)_n}&=\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{\frac 52n^2+\frac 12n}=(q^2,q^3,q^5;q^5)_{\infty}
\end{align}
mod 5の恒等式はこれだけではなく, Slaterの1952年の論文には他にも2つの恒等式が載っている.
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