ゲージ対称性とは何か(12): Faddeev-Popovの方法とDiracの方法の整合性

Faddeev-Popovの方法はDiracの方法と無矛盾か？

(本記事は ゲージ対称性とは何か(11)：経路積分量子化におけるFaddeev-Popovの方法 の続きです。)

前回の終わりで述べたように、Faddeev-Popov(FP)の方法において、ゲージ固定を施したYang-Mills(YM)理論の分配関数は

と書けることを述べました。これはLagrange formalismに基づきます。

一方で、Diracの方法では「ゲージ固定は第１種拘束条件の数だけ必要」でした。YM理論では第１種拘束条件は2つ、それに応じて2つのゲージ固定が必要です。典型的に以下がよく用いられます：
$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(1)}& {\pi }^{0a}=0,D_{bi}^a{\pi }^{ib}=0, \\ {A}^{0a}=0,{\partial }_i{A}^{ai}=0\end{array} \end{gathered}$$
(このへんのことは ゲージ対称性とは何か(８)：Yang-Mills理論とDiracの方法 をご参照ください)
こちらはHamiltonian formalismで展開されます。

FPの方法ではEq.(1)の条件が課されているようには見えず、両者は不整合に見えます。しかし実は両者は整合的です。

今回はFPの方法とDiracの方法の整合性に関して述べます。
以下はRef.[1]P162-の議論に基づいています（今回ちょっとオリジナリティが低いです...。）。

他の参考文献としてRef.[2-4]をあげておきます。ちゃんと読んでないのですが、本記事の関連事項が扱われており、有用かと思います。

Diracの方法からFPの方法へ

以下、Diracの方法に基づいた分配関数の経路積分表示から出発して、公式1で示した、FPの方法における経路積分を導きます。

特異系における経路積分

ゲージ理論等特異系における経路積分において、次の遷移振幅を計算します：
$$\begin{array}{rl}T& :=⟨{\psi }_F,t_F=-\mathrm{\infty }|{\psi }_I,t_I=\mathrm{\infty }⟩\\ \text{(2)}& & =\int \mathcal{D}{p}^{\ast }\mathcal{D}{q}^{\ast }{\psi }_F^{\ast }{\psi }_I\exp i\int dt[p^{\ast }{\dot{q}}^{\ast }-H^{\ast }(p^{\ast },q^{\ast })]\end{array}$$
上記の$T$は無限遠の過去で$|{\psi }_I⟩$であり(${\psi }_I(\overrightarrow{x})=⟨\overrightarrow{x},t=-\mathrm{\infty }|{\psi }_I⟩$)、無限遠の未来で$|{\psi }_F⟩$となる(${\psi }_F(\overrightarrow{x})=⟨{\psi }_I|\overrightarrow{x},t=\mathrm{\infty }⟩$)確率振幅です。${\psi }_F,{\psi }_I$が真空なら$T$は分配関数です。 ただ、${\psi }_F^{\ast },{\psi }_I$は気にしなくてよいです。なぜなら、$t_I\to -\mathrm{\infty },t_F\to +\mathrm{\infty }$では、実質上初期・終状態に依存しなくなるからです(Ref.[1]P88)。すなわち、$T$は分配関数だと考えてよいです。以下${\psi }_F^{\ast }{\psi }_I$のファクターを落として議論します。

ここで、$q^{\ast },p^{\ast },H^{\ast }$は、拘束を用いて余分な自由度を消去した位置, 運動量, ハミルトニアンを表しています（${\psi }_F^{\ast }$の$\ast$は複素共役を表しています。念の為）。以前述べたように、Diracの方法とは、この縮約位相空間$q^{\ast },p^{\ast }$を用いた古典・量子力学を展開する方法ですから、Eq.(2)はDiracの方法に基づいた経路積分です。しかし拘束を解いて余計な変数を消去するのは一般に難しいし、見通しも悪いです。

そこで次の事実を用います。Eq.(2)と以下の経路積分は等価です：
$$\begin{array}{}\text{(3)}& T=\int \mathcal{D}p\mathcal{D}q\prod _t[\prod _{\alpha =1}^{2m}\delta ({\varphi }_{\alpha })\cdot {\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}}^{1/2}(\{{\varphi }_{\alpha },{\varphi }_{\beta }{\}}_{\mathrm{P}})]\exp i\int dt[p\dot{q}-H(p,q)]\end{array}$$

この式では$q^{\ast },p^{\ast }$が使われておらず、かわりに拘束とそのPoisson括弧の行列式が使われています。この表式ではDiracの方法で必要な拘束条件がすべて課されています。Eq.(2)と(3)の等価性の証明はAppendixにまわします。とりあえず特異系ではEq.(3)を計算すればよく、またこれはDiracの方法と整合的、と理解しておいてください。

以下、YM理論におけるEq.(3)から出発して、最初に示した「公式1(Faddeev-Popovの方法における分配関数)」を導きます。

Coulomb gaugeにおけるYang-Mills理論でのEq.(3)の計算

Eq.(3)をCoulombゲージのYM理論（拘束・ゲージ固定はEq.(1)）に適用すると以下になります：
$$\begin{array}{r}T=\int \mathcal{D}\pi \mathcal{D}A\prod _x[\prod _a\delta (A_0^a(x))\delta (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot {\overrightarrow{A}}^a(x))]\times \prod _x[\prod _a\delta ({\pi }_0^a(x))\delta (\overrightarrow{D}\cdot {\overrightarrow{\pi }}^a(x))]\prod _t(\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}M)\\ \text{(4)}& \times \exp i\int d^{4}x[{\pi }^{a\mu }{\dot{A}}_{\mu }^a-\tilde{\mathcal{H}}(\pi ,A)]\end{array}$$
ここで
$$\begin{array}{r}\tilde{\mathcal{H}}:=\frac{1}{2}[({\overrightarrow{\pi }}^a{)}^2+({\overrightarrow{B}}^a{)}^2]+{\overrightarrow{\pi }}^a\cdot (\mathrm{\nabla }{A}_0^a-g{f}^{abc}{\overrightarrow{A}}^a{A}_0^c)+{\pi }_0^a{\lambda }^a\end{array}$$
であり、${\pi }^{\mu a}$は$A^{\mu a}$の共役運動量で
$$\begin{array}{r}{\pi }^{\mu a}:=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{A}}_{\mu }},{\overrightarrow{\pi }}^a=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{A}^{0a}-{\dot{\overrightarrow{A}}}^a+g{f}^{abc}{\overrightarrow{A}}^b{A}^{0c}\end{array}$$
です。また$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}M$は以下の$M$:
$$M_{\overrightarrow{x}\overrightarrow{y}}^{ab}(t)={\mathrm{\nabla }}_{\overrightarrow{x}}\cdot ({\delta }^{ab}{\mathrm{\nabla }}_{\overrightarrow{x}}-g{f}_{abc}{\overrightarrow{A}}^c(x)){\delta }^3(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})$$
の汎関数行列式です。
Eq.(4)のデルタ関数を見ると、Eq.(3)の拘束・ゲージ固定が課されていることがわかります。つまりDiracの方法と整合的です。これを変形し、最終的にFPの方法と同じ表式を導きます。

まず
$$\begin{array}{r}\tilde{S}=i\int d^{4}x[{\pi }^{a\mu }{\dot{A}}_{\mu }^a-\tilde{\mathcal{H}}(\pi ,A)]\end{array}$$
を定義しておきます。

$\mathcal{D}{A}^{0a},\mathcal{D}{\pi }^{0a}$の積分をします。$\delta (A_0^a(x)),\delta ({\pi }_0^a(x))$により、これは自明に実行できます：
$$\begin{array}{r}\tilde{S}\to i\int d^{4}x[{\pi }^{ia}{\dot{A}}_i^a-\frac{1}{2}[({\overrightarrow{\pi }}^a{)}^2+({\overrightarrow{B}}^a{)}^2]]\end{array}$$

次に、以下の等式を用います：

この式を使って、デルタ関数を$\exp$の肩に乗せます。${\rho }^a$は物質場がもたらすカラー電荷の源ですが、いま物質場はないので、${\rho }^a$はゼロです。ここで、${\lambda }^a$を、既に積分した$A^{0a}$と改めて書き直しておきます：
$$\begin{array}{rl}& \to i\int d^{4}x[{\pi }^{ia}{\dot{A}}_i^a-\frac{1}{2}[({\overrightarrow{\pi }}^a{)}^2+({\overrightarrow{B}}^a{)}^2]+A^{0a}(\overrightarrow{D}\cdot {\overrightarrow{\pi }}^a)]\\ & =i\int d^{4}x[{\pi }^{ia}{\dot{A}}_i^a-\frac{1}{2}[({\overrightarrow{\pi }}^a{)}^2+({\overrightarrow{B}}^a{)}^2]+A^{0a}({\partial }_i{\pi }^{ia}-g{f}_{abc}{A}^{ib}{\pi }^{ic})]\\ & =i\int d^{4}x[{\pi }^{ia}{\dot{A}}_i^a-\frac{1}{2}[({\overrightarrow{\pi }}^a{)}^2+({\overrightarrow{B}}^a{)}^2]+(-{\pi }^{ia}{\partial }_i{A}^{0a}-g{f}_{abc}{A}^{0a}{A}^{ib}{\pi }^{ic})](部分積分)\\ & =i\int d^{4}x[{\pi }^{ia}({\dot{A}}_i^a-{\partial }_i{A}_0^a+g{f}_{abc}{A}_0^b{A}_i^c)-\frac{1}{2}[({\overrightarrow{\pi }}^a{)}^2+({\overrightarrow{B}}^a{)}^2]]\\ & =i\int d^{4}x[-\frac{1}{2}({\overrightarrow{\pi }}^a{)}^2+{\pi }^{ia}{F}_{0i}^a-\frac{1}{2}({\overrightarrow{B}}^a{)}^2](F_{0i}^a={\dot{A}}_i^a-{\partial }_i{A}_0^a+g{f}_{abc}{A}_0^b{A}_i^c\text{ はfield strength})\\ & =i\int d^{4}x[-\frac{1}{2}{({\pi }^{ia}-F_{0i}^a)}^2+\frac{1}{2}{F}_{0i}^a{F}_{0i}^a-\frac{1}{2}({\overrightarrow{B}}^a{)}^2]\end{array}$$
${\overrightarrow{\pi }}^a$に関して積分を実行すれば（Gauss積分）
$$\begin{array}{r}\to i\int d^{4}x[\frac{1}{2}{F}_{0i}^a{F}_{0i}^a-\frac{1}{2}({\overrightarrow{B}}^a{)}^2]\end{array}$$
磁場に関し、$({\overrightarrow{B}}^a{)}^2=\frac{1}{2}{F}_{ij}^a{F}^{ija}$なので
$$\begin{array}{rl}& =i\int d^{4}x[-\frac{1}{2}{F}_{0i}^a{F}^{0ia}-\frac{1}{4}{F}_{ij}^a{F}^{ija}]\\ & =i\int d^{4}x[-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^a{F}^{\mu \nu a}]\\ & =i\int d^{4}x\mathcal{L}(A)\end{array}$$
$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^a{F}^{\mu \nu a}$はYM理論のLagrangianです。

以上より

となります。
これがCoulomb gaugeにおける遷移振幅の経路積分表示です。
（注意：上記の計算で、${\dot{A}}_i^a$を、共役運動量の定義：${\pi }^{ia}=F^{0ia}={\dot{A}}_i^a-{\partial }_i{A}_0^a+g{f}_{abc}{A}_0^b{A}_i^c$を使って$\pi$で書いてはダメです。同様に$F^{0ia}$を${\pi }^{ia}$で書き直すのもいけません）

ここまでの計算で重要なことをまとめておきます：

ゲージ固定項、FP determinantの導出

ここまで導けば、あとは基本的に前回行った計算と同様です。

まずFPの方法におけるゲージ固定項$-\frac{1}{2\alpha }({\partial }^{\mu }{A}_{\mu a})$を導いておきます。

次の量を定義します：
$$\begin{array}{r}(\mathrm{\Delta }[A,f]{)}^{-1}:=\int \mathcal{D}\theta \prod _{x,a}\delta ({\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a-f^a)\end{array}$$
$\theta$はゲージ変換のパラメータです。$\mathcal{D}\theta$はHaar measure: $\mathcal{D}{\theta }^{\prime }=\mathcal{D}\theta$なので$\mathrm{\Delta }[A^{\theta },f]=\mathrm{\Delta }[A,f]$となりゲージ不変です（$A^{\theta }$は$A$を$\theta$だけゲージ変換した配位）。このことから
$$\begin{array}{}\text{(6)}& 1=\int \mathcal{D}\theta \prod _{x,a}\delta ({\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^{\theta }-f)\mathrm{\Delta }[A,f]\end{array}$$
です。これをEq.(5)にかければ
$$\begin{array}{r}T=\int \mathcal{D}A\prod _{x,a}\delta (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot {\overrightarrow{A}}^a(x))\prod _t(\text{Det}M)\exp [i\int d^{4}x\mathcal{L}]\int \mathcal{D}\theta \prod _{x,a}\delta ({\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^{\theta }-f)\mathrm{\Delta }[A,f]\end{array}$$
となります。

作用と$\mathrm{\Delta }$のgauge不変性を用い、$\int \mathcal{D}\theta$を外にもってくれば
$$\begin{array}{rl}T& =\int \mathcal{D}\theta \int \mathcal{D}A\prod _{x,a}\delta (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot {\overrightarrow{A}}^a(x)){\mathrm{\Delta }}_M[\overrightarrow{A}]\prod _{x,a}\delta ({\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^{\theta }-f)\mathrm{\Delta }[A^{\theta },f]\exp [iS[A^{\theta }]],\\ S[A]& :=\int d^{4}x\mathcal{L},{\mathrm{\Delta }}_M[A]:=\prod _t(\text{Det}M)\end{array}$$

ここで$A$の積分を$A^{\prime }:=A^{\theta }$の積分に変更します。このとき$A=A^{\prime {\theta }^{-1}}$です。$A^{\prime }$を改めて$A$と書き直せば
$$\begin{array}{r}=\int \mathcal{D}\theta \int \mathcal{D}A\prod _{x,a}\delta (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot {\overrightarrow{A}}^{{\theta }^{-1}a}(x)){\mathrm{\Delta }}_M[{\overrightarrow{A}}^{{\theta }^{-1}}]\prod _{x,a}\delta ({\partial }^{\mu }{A}_{\mu }-f)\mathrm{\Delta }[A,f]\exp [iS[A]]\end{array}$$
さらに$\mathcal{D}\theta$がHaar measureであることを使って書き直せば
$$\begin{array}{rl}T& =\int \mathcal{D}A(\int \mathcal{D}\theta \delta (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot {\overrightarrow{A}}^{\theta }){\mathrm{\Delta }}_M[A^{\theta }])\delta ({\partial }^{\mu }{A}_{\mu }-f)\mathrm{\Delta }[A,f]\exp (iS[A]),\end{array}$$
となります（$\prod _{x,a}$は省略しました）。

次に$\mathrm{\Delta }[A,f]=(\int \mathcal{D}\theta \prod _{x,a}\delta ({\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a-f^a){)}^{-1}$を評価します。これは前回の計算（ この記事 の「証明(${\mathrm{\Delta }}_F(A)$の計算)」）と同様です。積分変数が$\theta$なので、デルタ関数の中を$\theta$で書きます。${\partial }_{\mu }{A}^{\theta }$は
$${\partial }_{\mu }{A}^{\theta }={\partial }_{\mu }A+{\partial }_{\mu }{D}_{\mu b}^a{\theta }^b+\mathcal{O}({\theta }^2)$$
なので、デルタ関数の性質より$\theta$の係数行列の行列式の逆数が現れ、$(\mathrm{\Delta }[A,f]{)}^{-1}=(\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}({\partial }_{\mu }{D}_b^{\mu a}){\delta }^4(x-y){)}^{-1}$を得ます。ゆえに
$$\mathrm{\Delta }[A,f]=\text{Det}({\partial }_{\mu }{D}_b^{\mu a}{\delta }^4(x-y))$$
です。これはFP determinantです。

さらに
$$(\int \mathcal{D}\theta \delta (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot {\overrightarrow{A}}^{\theta }){\mathrm{\Delta }}_M[A^{\theta }])=1$$
であることが証明できます。これはEq.(6)の証明とほぼ同じなので省略します。

以上より
$$T=\int \mathcal{D}A\prod _{x,a}\delta ({\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a-f^a)\mathrm{\Delta }[A,f]\exp (iS[A])$$
とかけます。

あとは前回と同様、
$$\begin{array}{}\text{(7)}& 1=\int \mathcal{D}f\exp i\int d^{4}x[-\frac{1}{2\alpha }{f}^a{f}^a]\end{array}$$
を用いてデルタ関数部分を作用にとりこみ、さらにFP determinant $\mathrm{\Delta }[A,f]$をghost・anti-ghostで書き直せば
$$T=\int \mathcal{D}A\exp (\mathcal{L}-\frac{1}{2\alpha }{\left({\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a\right)}^2+i{\overline{c}}^a{\partial }^{\mu }{D}_{\mu }{c}^a)$$
となります（ 前記事 の「局所場の形で書き直す」をご参照ください）。

これは公式1と一致します。
よってDiracの方法とFPの方法の整合性が示されました。 ${}_{◼}$

Nakanishi-Lautrup場を使った表式

ここで、Eq.(7)の代わりに、以下の等式
$$1=\int \mathcal{D}B\mathcal{D}f\exp i\int d^{4}x[B^a{f}^a+\frac{\alpha }{2}{B}^a{B}^a]$$
を用いて変形すると、遷移振幅は
$$T=\int \mathcal{D}A\mathcal{D}B\exp i\int d^{4}x[\mathcal{L}(A)+B^a{\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a+\frac{\alpha }{2}{B}^a{B}^a]$$
とかけます。ここで導入された補助場$B^a$はNakanishi-Lautrup(NL)場と呼ばれます。この表式は有用で、今後の記事で出てきます。

まとめ

今回はDiracの方法とFaddeev-Popov(FP)の方法の整合性に関して議論しました。Eq.(3)から公式1を導くことで、両者の整合性を示しました。

正直この話は、両者の整合性が気にならない限りはあまり知る必要はないかもしれません。しかし本シリーズでは、Diracの方法をずっと話していたのにそこから突然FPの方法に話が移ったので、この点は気になるのではないかと思い、記事にすることにしました。

おしまい。${}_{◼}$

☆次の記事： ゲージ対称性とは何か(13): BRST対称性・BRST量子化

Appendix: 本文Eq.(3)とEq.(2)の等価性の証明

ここではRef[1]P155-に基づき、本文Eq.(3)がEq.(2)に等しいことを示します。
Eq.(3)に正準変換を施して$q,p\to q^{\ast },p^{\ast }$に書き直すとEq.(2)に帰着することを示す、という方針を取ります。