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大学数学基礎解説
文献あり

走る結合定数の計算(5/5): 結合定数のrunningの決定・漸近的自由性

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★ 本記事は 走る結合定数の計算(4/5): Yang-Mills理論におけるくりこみの具体的な計算 の続きです。
★ 表記の規約は 走る結合定数の計算(2/5): Yang-Mills理論のくりこみ概論 の冒頭の記述に従います。


はじめに

走る結合定数の計算の最終回です。

前回Yang-Mills(YM)理論のZgを求めました。本記事では、これにくりこみ群方程式を適用し、走る結合定数gR(μ)を求めます。

もともとLagrangianに入っている結合定数gは正則化により導入されたスケールファクターμに非依存であるという条件を、くりこみ群方程式により課します。これを解くと、次元のないくりこまれた結合定数gRμ依存性が求まります。その結果、エネルギースケールが大きくなる(=長さスケールが小さくなる)と、粒子間の相互作用が小さくなることがわかります。この性質は「漸近的自由性(asymptotic freedom)」と呼ばれます。これは非可換ゲージ理論の大きな特徴のひとつです。

以下これらの事実を、Ref.[1]に基づき見ていきます。

gRに対するくりこみ群方程式

まず、gRに対するくりこみ群方程式を構築します。

前回の結果のまとめ

前回の結果を改めて記しておきます:

SU(N)Yang-Mills理論におけるくりこみ定数Zg

Zg: 結合定数のくりこみ定数 (g=Zggr, gRμϵ=gr)
Z3: gluonの2点1PI頂点関数のくりこみ定数
Z~3: ghostの2点1PI頂点関数のくりこみ定数
Z~1: ghost-ghost-gluon3点1PI頂点関数のくりこみ定数

とすると、gR2のオーダーで各くりこみ定数は以下のように計算される
{Z3=1+gR2(4π)2{43NfTR+12CG(133αR)}1ϵ+O(gR4,ϵ0),Z~3=1+12gR2(4π)2CG(1+1αR2)1ϵ+O(gR4,ϵ0),Z~1=1gR2(4π)2CGαR2ϵ+O(gR4,ϵ0),
Zg=Z~1/(Z~3Z31/2)=1gR2(4π)216(11CG4TRNf)1ϵ+O(gR4,ϵ0)

ここでgR: 次元なしのくりこまれた結合定数、Nf: quarkのflavor数、TR=1/2CG=NαR: ゲージパラメータ

くりこみ群方程式の構築

前回、次元正則化における「質量次元合わせ」のためのファクターμを導入しました。これは質量次元1の任意量です。ただし、MS schemeではZgは顕わにはμに依存しないことを見ました。

μは人為的に導入した次元合わせファクターなので、元々Lagrangianに存在しているパラメータgはこれに依存することはない、という条件を課します。結合定数ggRで書くと
g=ZgμϵgR
なので、この条件式は
μdgdμ=0μdgRdμdZgdgRgR+ϵZggR+ZgμdgRdμ=0
となります(Zgはあらわなμ依存性を持たないことを用いた)。これはいわゆる「くりこみ群方程式」です。

β:=μdgRdμとすると以下を得ます:
β=ϵgRβgRZgdZgdgR
ここで前回求めたZgの表式
Zg=1gR2(4π)216(11CG4NFTR)1ϵ:=12β0gR21ϵ   (β0:=13(4π)2(11CG4NFTR))
を用いると
dZgdgR=gRβ01ϵ
となることがわかります。よって
β1ZgdZgdgR=β1β02gR21ϵ(gRβ01ϵ)(gRβ01ϵ)β
ゆえに
(1)β=gRϵ+β0βgR21ϵ
が成立します。

ここでβgRϵで展開します:
β=i,jBij(gR)i(ϵ)j
Bijはそれぞれの項の係数です。これをEq.(1)に代入すれば以下を得ます:
i,j(Bijβ0Bi2,j+1)(gR)i(ϵ)j=gRϵ
Eq.(1)よりβ(gR)1より始まります。上記の式の(gR)1(ϵ)1の項を見ると
B11=1
がわかります。B1jでノンゼロなのはこれだけです。次にノンゼロになるBijは、Bij=0 for i0であることから、i=3です。B11のみが(gR)1で残ることからB3jでノンゼロなのはB30のみであり、
B30β0B11=0B30=β0B11=β0
であることがわかります。

以上より、β関数をgRϵでべき展開したとき、ϵ0で有限となるgRの主要項は

β=B30(gR)3(ϵ)0+O(gR5,ϵ1)(2)=β0gR3+O(gR5,ϵ1),    β0:=13(4π)2(11CG4NFTR)

となります。

くりこみ群方程式の解・漸近的自由性

Eq.(2)
μdgRdμ=β0gR3
を解きます。ここで、μμ/λと書き換えます。λは次元なしのパラメータで、μのかわりにこれを動かします。μは質量次元1の量であり、固定して考えます。さらにt=lnλと置き換え、tを変数とします。g¯(t):=gR(μ/λ)とすると
μλdgRd(μ/λ)=β0gR3dg¯dt=β0g¯3
よって
t=gg¯(t)dgβ0g3t=12β0[1g¯21g2]g¯2=g21+2β0g2t
を得ます。ここに現れるgはLagranginaの中に現れるgとは関係なく、g¯の初期条件の値です。

図1の左図は、β(g¯)のグラフ、右図がg¯(t)のグラフです。今β=β0g¯3 (β0>0)なのでβは負であり、g¯がゼロでβもゼロになります。つまり、dg¯/dtは負なのでg¯t大で小さくなり、それにつれg¯の変化はどんどん小さくなり、g¯=0tに対する"running"が止まる点です。ここでt+μ/λ+です。つまり、tを大きくすることは、エネルギースケールを大きくすることに相当します。よって、Yang-Mills理論は、エネルギースケールが大きくなると、走る結合定数g¯は小さくなり、相互作用が弱くなります。この性質を「漸近的自由性(asymptotoc freedom)」と呼びます。t+におけるβ(g¯)のゼロ点は、ultraviolet fixed pointと呼ばれます。また、このg¯=0の点のように、相互作用のない自明な理論になるようなfixed pointをGaussian fixed pointと呼びます。

!FORMULA[99][317904508][0]関数(左図)と走る結合定数のグラフ(右図)。 β関数(左図)と走る結合定数のグラフ(右図)。

ここで更に
et=q2/μ,   Λ=μexp[1/(2β0g2)]
という変換を施すことで(qは系に入る典型的な運動量。運動学的な理由よりq2>0の場合を考える)、tq2gΛで書き直せば
g¯2=1β0ln(q2/Λ2)
となります。これもまた、典型的な運動量が大きくなると結合定数が小さくなるという漸近的自由性を表しています。ここでΛは、quark質量以外にYang-Mills理論がもつ唯一のスケールです。次元のない結合定数gが次元をもつΛで書き換えられています。これを「次元転移(dimensional transmutation)」と呼びます。このように、古典的にはスケール対称性が成立している(=スケールをもつ量が存在しない)のに、量子論ではそれが破れる現象をトレース・アノマリーと呼びます。これは、古典的対称性が量子論で破れる現象である量子アノマリーの一種です。

コメント

2つほどコメントです。

  1. Yang-Mills理論の漸近的自由性はRef.[2][3]により証明されました()。この発見により、Gross、Politzer、Wilczekらは2004年度ノーベル物理学賞を受賞しました。これは、漸近的自由性の発見が、強い相互作用の基礎理論がSU(3)のYang-Mills理論=量子色力学であることの強い証拠となったことによります。未だ強い相互作用がどのような理論により記述されるかわかっていなかった1970年初頭、Bjorken scalingという強い相互作用に関わる実験事実により、その理論が漸近的自由性を持たなければならないことはわかっていました。しかし、この性質を持つ理論というのがなかなか見つからず、ついにはno-go theorem (そんなものは存在しないという定理)まで提案されるという混沌とした状況になりました。その状況を一変させたのがRef.[2][3]です。
    このように混沌とした理由は、くりこみ可能な理論(=任意次数で発散をLagrangianのパラメータにくりこめる理論)で漸近的自由なのはYang-Mills理論しかないという事情が大きく関わっているかと思います(Ref.[4]参照のこと)。しかしこれは、逆に言えば強い相互作用の基礎理論がYang-Mills以外にありえないということであり、わかってしまえば歓迎すべきことなのかもしれません。
  2. 場の量子論のくりこみ群の物理的な側面は、時空を離散化して正則化する「格子正則化」を用いると大変理解しやすくなります。以前書いた記事 くりこみ群の応用:クォーク間ポテンシャルから「走る結合定数」を導く では、格子正則化においてくりこみ群方程式を用いて走る結合定数の計算を行っています。こちらを読んで頂けるとこのあたりのことが理解頂けるかと思います。

まとめ

全5回を通して、Yang-Mills(YM)理論の走る結合定数を計算し、この理論が漸近的自由性をもつことを見ました。これらは場の量子論のスタンダードかつ重要な計算であり、これが一通り理解できていれば、場の量子論のループ計算はとりあえずは理解したと言えるのではないかと思います。

ループ計算で足りないことがあるとすると、高次のダイアグラムのくりこみでしょうか。よりgの次数の高いくりこみを行う際には、部分ダイアグラムに発散が存在します。これを低次のくりこみ定数で打ち消し、それでも残った全体的な発散を高次のくりこみ定数でくりこむという作業が必要です。とりあえずはそういう話があるんだと思っておいて下さい。

ここで触れなかった場の量子論の重要な話題として、正準量子化、場の量子論における経路積分、Feynman則の作り方、散乱振幅の具体的な計算、くりこみの一般論 (=BPHZくりこみ)、Ward-Takahashi恒等式、量子アノマリー等があります。特に最後の2つ:Ward-Takahashi恒等式、量子アノマリーは重要ですので、そのうち記事にしたいと思います。

おしまい。



() Yang-Mills理論の漸近的自由性はGross、Politzer、Wilczek以前に3回発見されていた、という話があります。特に't Hooftが先に発見していたことは有名です。例えば以下の文献をご参照ください:
G. 't Hooft, "The Evolution of Quantum Field Theory -From QED to Grand Unification," arXiv:1503.05007.

参考文献

[1]
T. Muta, Foundation of Quantum Chromodynamics (Third edition), World Scientific Lecture Notes in Physics, World Scientific, 2009
[2]
H. David Politzer, Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?, Physical Review Letters, 1973, pp. 1346-1349・p.4
[3]
David J. Gross and Frank Wilczek, Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories, Physical Review Letters, 1973, pp.1343-1346・p.4
[4]
Sidney Coleman and David J. Gross, Price of Asymptotic Freedom, Physical Review Letters, 1973, pp.851-854・p.4
投稿日:2022816
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bisaitama
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  1. はじめに
  2. gRに対するくりこみ群方程式
  3. 前回の結果のまとめ
  4. くりこみ群方程式の構築
  5. くりこみ群方程式の解・漸近的自由性
  6. コメント
  7. まとめ
  8. 参考文献