積分 bot の積分の若干の一般化

なお，

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rl}B(\alpha +1/2,1/2)& =\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1/2)\mathrm{\Gamma }(1/2)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(2\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(1/2)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)2^{2\alpha }}\frac{\mathrm{\Gamma }(1/2)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\\ & =\frac{\pi }{2^{2\alpha }}\frac{\mathrm{\Gamma }(2\alpha +1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\\ & =\frac{\pi }{2^{2\alpha }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\alpha }{\alpha })\text{if }\alpha \in \mathbb{N}\end{array}\end{array}$$

である。$\alpha \in \mathbb{N}$, $\beta =\alpha +1$のケースが 積分botの数式 , 積分botの問題を解いてみた2 , 積分botの数式を漸化式で解く議論 で扱われている。 竹村彰通先生との共著論文 では，$\alpha >-1/2$で ($\text{1}$)において$\beta =\alpha$のケースを扱った。従って，($\text{1}$)はこれらを含む統一的な結果である。もともとtwitterに 投稿 したのだが，Mathlog の方が興味を持つ人に直接届く気がして記事を書くことにする。

ところで($\text{2}$)において，第2の等号はルジャンドルの倍数公式 (5.5.5) ，第3の等号は$\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$ (5.4.6) を用いた。以上及び以下で，式番号$(\ell .m.n)$は NIST Digital Library of Mathematical Functions の公式番号である。

以下は($\text{1}$)の証明である。2倍角の公式，半角の公式より

$$\sin x=2\sin \left(x/2\right)\cos \left(x/2\right)1+\cos x=2{\cos }^2(x/2)$$

である。従って，

$$\begin{array}{rl}{\sin }^{2\alpha }x& =2^{2\alpha }{\sin }^{2\alpha }(x/2){\cos }^{2\alpha }(x/2)\\ 1-2r\cos x+r^2& =1+2r+r^2-2r(1+\cos x)\\ & =(1+r{)}^2-4r{\cos }^2(x/2)\end{array}$$

を得る。よって

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }\frac{{\sin }^{2\alpha }x}{(1-2r\cos x+r^2{)}^{\beta }}dx& =\frac{2^{2\alpha }}{(1+r{)}^{2\beta }}{\int }_0^{\pi }\frac{{\sin }^{2\alpha }(x/2){\cos }^{2\alpha }(x/2)}{(1-4R{\cos }^2(x/2){)}^{\beta }}dx\\ & =\frac{2^{2\alpha +1}}{(1+r{)}^{2\beta }}{\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sin }^{2\alpha }x{\cos }^{2\alpha }x}{(1-4R{\cos }^{2}x{)}^{\beta }}dx\\ & =\frac{2^{2\alpha }}{(1+r{)}^{2\beta }}{\int }_0^1\frac{t^{\alpha -1/2}(1-t{)}^{\alpha -1/2}}{(1-4Rt{)}^{\beta }}dt\end{array}$$

である。ただし，$R=4r/(1+r{)}^2$である。ここまでの式変形は， 積分botの問題を解いてみた2 の追記に書かれたアイデアである（ただし，追記には複数のタイポがある）。

さらにこの記事のアイデアに基づき，超幾何関数

$$F(\genfrac{}{}{0ex}{}{a,b}{c};z)=1+\frac{ab}{c}z+\frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)2!}{z}^2+\cdots$$

を用いて

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}& \frac{2^{2\alpha }}{(1+r{)}^{2\beta }}{\int }_0^1\frac{t^{\alpha -1/2}(1-t{)}^{\alpha -1/2}}{(1-4Rt{)}^{\beta }}dt\\ & =\frac{2^{2\alpha }B(\alpha +1/2,\alpha +1/2)}{(1+r{)}^{2\beta }}F(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta ,\alpha +1/2}{2\alpha +1};\frac{4r}{(1+r{)}^2})\text{(15.1.2)}\text{ \& }\text{(15.6.1)}\\ & =2^{2\alpha }B(\alpha +1/2,\alpha +1/2)F(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta ,\beta -\alpha }{\alpha +1};r^2)\text{(15.8.21)}\end{array}\end{array}$$

を得る。第2の等号は Bailey's transformation と呼ばれるらしい。さらに ($\text{3}$) の最右辺で

$$\begin{array}{}\text{(4)}& F(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta ,\beta -\alpha }{\alpha +1};r^2)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle (1-r^2{)}^{\alpha -\beta }F(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +1-\beta ,\beta -\alpha }{\alpha +1};\frac{r^2}{r^2-1})}\\ {\displaystyle (1-r^2{)}^{-\beta }F(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta ,2\alpha +1-\beta }{\alpha +1};\frac{r^2}{r^2-1})}\end{array}\text{(15.8.1)}\end{array}$$

である。($\text{3}$) の最右辺，及び ($\text{4}$) で超幾何関数の分子の引数が$0$の場合を考えると，

$$\begin{array}{}\text{(5)}& F(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta ,\beta -\alpha }{\alpha +1};r^2)=\{\begin{array}{ll}1& \beta =\alpha \\ (1-r^2{)}^{\alpha -\beta }& \beta =\alpha +1\\ (1-r^2{)}^{-\beta }& \beta =2\alpha +1\end{array}\end{array}$$

を得る。さらに ($\text{3}$) の最右辺の定数について

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}& 2^{2\alpha }B(\alpha +1/2,\alpha +1/2)=2^{2\alpha }\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1/2)\mathrm{\Gamma }(\alpha +1/2)}{\mathrm{\Gamma }(2\alpha +1)}\\ & =\frac{2^{2\alpha }\mathrm{\Gamma }(\alpha +1/2)\mathrm{\Gamma }(\alpha +1/2)}{{\pi }^{-1/2}{2}^{2\alpha }\mathrm{\Gamma }(\alpha +1/2)\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1/2)\mathrm{\Gamma }(1/2)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}=B(\alpha +1/2,1/2)\end{array}\end{array}$$

である。第2の等号はルジャンドルの倍数公式 (5.5.5) ，第3の等号は$\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$ (5.4.6) を用いた。($\text{3}$), ($\text{5}$), ($\text{6}$)より ($\text{1}$) が得られる。