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ζ’(1/2)/ζ(1/2) ゼータ関数のあまり知られていない特殊値

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定義

記号	名称、Wikipedia
$δ_{a, b}$	クロネッカーのデルタ
$L (s, f)$	L関数
$χ (n)$	ディリクレ指標
$G (χ)$	ガウス和
$τ (n)$	ラマヌジャンのタウ関数

ディリクレのL関数

$χ$ を法 $N$ の原始ディリクレ指標とする。

$χ (- 1) \in {1, - 1}$

関数等式

$a : = \frac{1 - χ (- 1)}{2}$
${(\frac{π}{N})}^{- \frac{s}{2}} Γ (\frac{s + a}{2}) L (s, χ) = \frac{G (χ)}{i^{a} \sqrt{N}} {(\frac{π}{N})}^{- \frac{1 - s}{2}} Γ (\frac{1 - s + a}{2}) L (1 - s, \overset{―}{χ})$

$χ$ が法 $1$ の自明な指標である時、リーマンゼータ関数の関数等式そのものになります。
ディリクレのL関数(英語版Wikipedia) 、特殊関数グラフィックスライブラリー、『ディリクレのL関数の特殊値と関数等式』より。

$n \in N_{0}$
$\begin{aligned} R e [{{(\frac{L^{'} (s, χ)}{L (s, χ)})}^{(2 n)} |}_{s = \frac{1}{2}}] & = \frac{δ_{n, 0}}{2} \ln \frac{π}{N} - 2^{- 2 n - 1} ψ^{(2 n)} (\frac{2 - χ (- 1)}{4}) \\ I m [{{(\frac{L^{'} (s, χ)}{L (s, χ)})}^{(2 n + 1)} |}_{s = \frac{1}{2}}] & = 0 \end{aligned}$

関数等式を対数微分し移項すれば、
$\frac{L^{'} (s, χ)}{L (s, χ)} + \frac{L^{'} (1 - s, \overset{―}{χ})}{L (1 - s, \overset{―}{χ})} = \ln \frac{π}{N} - \frac{1}{2} (ψ (\frac{s + a}{2}) + ψ (\frac{1 - s + a}{2}))$
$k$ 階微分して $s = \frac{1}{2}$ を代入すれば、
${{(\frac{L^{'} (s, χ)}{L (s, χ)})}^{(k)} |}_{s = \frac{1}{2}} + (- 1)^{k} {{(\frac{L^{'} (s, \overset{―}{χ})}{L (s, \overset{―}{χ})})}^{(k)} |}_{s = \frac{1}{2}} = δ_{k, 0} \ln \frac{π}{N} - [1 + (- 1)^{k}] 2^{- k - 1} ψ^{(k)} (\frac{2 - χ (- 1)}{4})$
${{(\frac{L^{'} (s, \overset{―}{χ})}{L (s, \overset{―}{χ})})}^{(k)} |}_{s = \frac{1}{2}} = \overset{―}{{{(\frac{L^{'} (s, χ)}{L (s, χ)})}^{(k)} |}_{s = \frac{1}{2}}}$ であるため、
${{(\frac{L^{'} (s, χ)}{L (s, χ)})}^{(k)} |}_{s = \frac{1}{2}} + (- 1)^{k} \overset{―}{{{(\frac{L^{'} (s, χ)}{L (s, χ)})}^{(k)} |}_{s = \frac{1}{2}}} = δ_{k, 0} \ln \frac{π}{N} - [1 + (- 1)^{k}] 2^{- k - 1} ψ^{(k)} (\frac{2 - χ (- 1)}{4})$
$R e z = \frac{z + \overset{―}{z}}{2}, I m z = \frac{z - \overset{―}{z}}{2}$ を適用する。

$n = 0$ の時は、
$ψ (\frac{2 \pm 1}{4}) = - γ - 3 \ln 2 \pm \frac{π}{2}$ であるため、
$\begin{aligned} R e \frac{L^{'} (\frac{1}{2}, χ)}{L (\frac{1}{2}, χ)} & = \frac{1}{2} (\ln \frac{π}{N} - ψ (\frac{2 - χ (- 1)}{4})) \\ = \frac{1}{2} (γ + \ln \frac{8 π}{N}) + χ (- 1) \frac{π}{4} \end{aligned}$
$n \geq 1$ の時は、
$ψ^{(2 n)} (\frac{2 \pm 1}{4}) = 2^{2 n - 1} [- 2 (2^{2 n + 1} - 1) (2 n)! ζ (2 n + 1) \pm | E_{2 n} | π^{2 n + 1}]$ であるため、
$\begin{aligned} R e [{{(\frac{L^{'} (s, χ)}{L (s, χ)})}^{(2 n)} |}_{s = \frac{1}{2}}] & = - 2^{- 2 n - 1} ψ^{(2 n)} (\frac{2 - χ (- 1)}{4}) \\ = \frac{(2^{2 n + 1} - 1) (2 n)! ζ (2 n + 1)}{2} + χ (- 1) \frac{| E_{2 n} | π^{2 n + 1}}{4} \end{aligned}$
$χ$ が法 $1$ の自明な指標の場合は $L (s, χ) = ζ (s)$ なので、
$\begin{aligned} \frac{ζ^{'} (\frac{1}{2})}{ζ (\frac{1}{2})} & = \frac{γ + \ln (8 π)}{2} + \frac{π}{4} \\ {{(\frac{ζ^{'} (s)}{ζ (s)})}^{″} |}_{s = \frac{1}{2}} & = 7 ζ (3) + \frac{π^{3}}{4} \\ {{(\frac{ζ^{'} (s)}{ζ (s)})}^{⁗} |}_{s = \frac{1}{2}} & = 372 ζ (5) + \frac{5 π^{5}}{4} \end{aligned}$
となります。 $0$ 階微分の値は英語版Wikipediaの
『 Particular values of the Riemann zeta function 』にも載っています。
ポリガンマ関数の特殊値: 英語版Wikipedia 、『ポリガンマ関数の特殊値(1/2,1/4,3/4,1/3,2/3) 』

ラマヌジャンのL関数

関数等式

$(2 π)^{- s} Γ (s) L (s, τ) = (2 π)^{- 12 + s} Γ (12 - s) L (12 - s, τ)$

ラマヌジャンのL関数(英語版Wikipedia) 、特殊関数グラフィックスライブラリーより。

${{(\frac{L^{'} (s, τ)}{L (s, τ)})}^{(2 n)} |}_{s = 6} = δ_{n, 0} \ln (2 π) - ψ^{(2 n)} (6)$

関数等式を対数微分し移項すれば、
$\frac{L^{'} (s, τ)}{L (s, τ)} + \frac{L^{'} (12 - s, τ)}{L (12 - s, τ)} = 2 \ln (2 π) - ψ (s) - ψ (12 - s)$
これを $2 n$ 階微分して $s = 6$ を代入する。

$ψ^{(2 n)} (6) = ψ^{(2 n)} (1) + (2 n)! \sum_{k = 1}^{5} k^{- 2 n - 1}$ であるため、
$\begin{aligned} {{(\frac{L^{'} (s, τ)}{L (s, τ)})}^{(2 n)} |}_{s = 6} & = δ_{n, 0} \ln (2 π) - ψ^{(2 n)} (1) - (2 n)! \sum_{k = 1}^{5} k^{- 2 n - 1} \\ = (2 n)! (ζ (2 n + 1) - \sum_{k = 1}^{5} k^{- 2 n - 1}) (n \geq 1) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{L^{'} (6, τ)}{L (6, τ)} & = γ + \ln (2 π) - \frac{137}{60} \\ {{(\frac{L^{'} (s, τ)}{L (s, τ)})}^{″} |}_{s = 6} & = 2 ζ (3) - \frac{256103}{108000} \\ {{(\frac{L^{'} (s, τ)}{L (s, τ)})}^{⁗} |}_{s = 6} & = 24 ζ (5) - \frac{806108207}{32400000} \end{aligned}$