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大学数学基礎解説
文献あり

ζ’(1/2)/ζ(1/2) ゼータ関数のあまり知られていない特殊値

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$$\newcommand{acoloneqq}[0]{\ &\hspace{-2pt}\coloneqq} \newcommand{beginend}[2]{{\begin{#1}#2\end{#1}}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{hygeo}[6]{ {}_{#1}{#2}_{#3}\lr[{\beginend{matrix}{{#4}\\ {#5}}\ ;{#6}}]} \newcommand{kfrac}[0]{\mathop{\matrix{\huge\rm K}}} \newcommand{lr}[3]{{\left#1{#2}\right#3}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{P}[0]{\mathbb{P}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{range}[3]{\rangeex{}{#1}{}{#2}{#3}} \newcommand{rangeex}[5]{#1{#2}_{#4}#3,\cdots,#1{#2}_{#5}#3} \newcommand{sahen}[0]{(\text{左辺})} \newcommand{stirling}[3]{\lr[{\beginend{matrix}{{#1}\\ {#2}}{#3}}]} \newcommand{Stirling}[3]{\lr\{{\beginend{matrix}{{#1}\\ {#2}}{#3}}\}} \newcommand{uhen}[0]{(\text{右辺})} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

定義

ディリクレのL関数

$\chi$を法$N$の原始ディリクレ指標とする。

$\chi(-1)\in\{1,-1\}$

関数等式

$a\coloneqq\frac{1-\chi(-1)}2$
$\lr({\dfrac\pi N})^{-\frac s2} \Gamma\lr({\dfrac{s+a}2})L(s,\chi) = \dfrac{G(\chi)}{i^a\sqrt N}\lr({\dfrac\pi N})^{-\frac{1-s}2} \Gamma\lr({\dfrac{1-s+a}2})L(1-s,\overline\chi)$

$\chi$が法$1$の自明な指標である時、リーマンゼータ関数の関数等式そのものになります。
ディリクレのL関数(英語版Wikipedia) 特殊関数 グラフィックスライブラリー 、『 ディリクレのL関数の特殊値と関数等式 』より。

$n\in\N_0$
$\beginend{alignat}{2 &{\rm Re}\lr[{\lr.{\lr({\frac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}})^{(2n)}}|_{s=\frac12}}] &&= \frac{\delta_{n,0}}2\ln\frac\pi N - 2^{-2n-1}\psi^{(2n)}\lr({\frac{2-\chi(-1)}4}) \\ &{\rm Im}\lr[{\lr.{\lr({\frac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}})^{(2n+1)}}|_{s=\frac12}}] &&= 0 }$

関数等式を対数微分し移項すれば、
$\dfrac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)} + \dfrac{L'(1-s,\overline\chi)}{L(1-s,\overline\chi)} = \ln\dfrac\pi N - \dfrac12\lr({\psi\lr({\dfrac{s+a}2}) + \psi\lr({\dfrac{1-s+a}2})})$
$k$階微分して$s=\frac12$を代入すれば、
$\lr.{\lr({\dfrac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}})^{(k)}}|_{s=\frac12} + (-1)^k\lr.{\lr({\dfrac{L'(s,\overline\chi)}{L(s,\overline\chi)}})^{(k)}}|_{s=\frac12} = \delta_{k,0}\ln\dfrac\pi N - \lr[{1+(-1)^k}]2^{-k-1}\psi^{(k)}\lr({\dfrac{2-\chi(-1)}4})$
$\lr.{\lr({\dfrac{L'(s,\overline\chi)}{L(s,\overline\chi)}})^{(k)}}|_{s=\frac12} = \overline{\lr.{\lr({\dfrac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}})^{(k)}}|_{s=\frac12}}$であるため、
$\lr.{\lr({\dfrac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}})^{(k)}}|_{s=\frac12} + (-1)^k\overline{\lr.{\lr({\dfrac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}})^{(k)}}|_{s=\frac12}} = \delta_{k,0}\ln\dfrac\pi N - \lr[{1+(-1)^k}]2^{-k-1}\psi^{(k)}\lr({\dfrac{2-\chi(-1)}4})$
${\rm Re}\ z = \dfrac{z+\overline z}2,{\rm Im}\ z = \dfrac{z-\overline z}2$を適用する。

$n=0$の時は、
$\psi\lr({\dfrac{2\pm1}4}) = -\gamma-3\ln2\pm\dfrac\pi2$であるため、
$\beginend{align}{ {\rm Re}\frac{L'(\frac12,\chi)}{L(\frac12,\chi)} &= \frac12\lr({\ln\frac\pi N-\psi\lr({\frac{2-\chi(-1)}4})}) \\&= \frac12\lr({\gamma+\ln\frac{8\pi}N})+\chi(-1)\frac\pi4}$
$n\ge1$の時は、
$\psi^{(2n)}\lr({\dfrac{2\pm1}4}) = 2^{2n-1}\lr[{-2\lr({2^{2n+1}-1})(2n)!\zeta(2n+1)\pm|E_{2n}|\pi^{2n+1}}]$であるため、
$\beginend{align}{ {\rm Re}\lr[{\lr.{\lr({\frac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}})^{(2n)}}|_{s=\frac12}}] &= -2^{-2n-1}\psi^{(2n)}\lr({\frac{2-\chi(-1)}4}) \\&= \frac{\lr({2^{2n+1}-1})(2n)!\zeta(2n+1)}2 + \chi(-1)\frac{|E_{2n}|\pi^{2n+1}}4 }$
$\chi$が法$1$の自明な指標の場合は$L(s,\chi)=\zeta(s)$なので、
$\beginend{align}{ \frac{\zeta'\lr({\frac12})}{\zeta\lr({\frac12})} &= \frac{\gamma+\ln(8\pi)}2+\frac\pi4 \\ \lr.{\lr({\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}})''}|_{s=\frac12} &= 7\zeta(3)+\frac{\pi^3}4 \\ \lr.{\lr({\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}})''''}|_{s=\frac12} &= 372\zeta(5)+\frac{5\pi^5}4 }$
となります。$0$階微分の値は英語版Wikipediaの
Particular values of the Riemann zeta function 』にも載っています。
ポリガンマ関数の特殊値: 英語版Wikipedia 、『 ポリガンマ関数の特殊値(1/2,1/4,3/4,1/3,2/3)

ラマヌジャンのL関数

関数等式

$(2\pi)^{-s} \Gamma(s)L(s,\tau) = (2\pi)^{-12+s} \Gamma(12-s)L(12-s,\tau)$

ラマヌジャンのL関数(英語版Wikipedia) 特殊関数 グラフィックスライブラリー より。

$\lr.{\lr({\dfrac{L'(s,\tau)}{L(s,\tau)}})^{(2n)}}|_{s=6} = \delta_{n,0}\ln(2\pi)-\psi^{(2n)}(6)$

関数等式を対数微分し移項すれば、
$\dfrac{L'(s,\tau)}{L(s,\tau)} + \dfrac{L'(12-s,\tau)}{L(12-s,\tau)} = 2\ln(2\pi) - \psi(s) - \psi(12-s)$
これを$2n$階微分して$s=6$を代入する。

$\displaystyle \psi^{(2n)}(6) = \psi^{(2n)}(1) + (2n)!\sum_{k=1}^5 k^{-2n-1}$であるため、
$\beginend{align}{ \lr.{\lr({\frac{L'(s,\tau)}{L(s,\tau)}})^{(2n)}}|_{s=6} &= \delta_{n,0}\ln(2\pi) - \psi^{(2n)}(1) - (2n)!\sum_{k=1}^5 k^{-2n-1} \\&= (2n)!\lr({\zeta(2n+1) - \sum_{k=1}^5 k^{-2n-1}}) \quad(n\ge1) }$

$\beginend{align}{ \frac{L'(6,\tau)}{L(6,\tau)} &= \gamma+\ln(2\pi)-\frac{137}{60} \\ \lr.{\lr({\frac{L'(s,\tau)}{L(s,\tau)}})''}|_{s=6} &= 2\zeta(3)-\frac{256103}{108000} \\ \lr.{\lr({\frac{L'(s,\tau)}{L(s,\tau)}})''''}|_{s=6} &= 24\zeta(5)-\frac{806108207}{32400000} }$

参考文献

投稿日:2023719

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投稿者

著者の記事における命題は大半が自分で発見したものであり、 何かしらの論文などに基づいたものではありません。

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