完不コハ群における単位元の開近傍について
初めに
$G$ を完全不連結コンパクトハウスドルフ位相群、$e$ を $G$ の単位元とします。以下は今回記載する命題の概要になります。
命題 1$e$ の任意の開近傍 $U$ に対して、$N\subset U$ となる正規開部分群 $N$ が存在すること
命題 2$G$ のすべての正規開部分群の共通部分は単位元のみからなること
命題 1 は参考文献[1]の p.143 定理 17 を参考にさせていただきました。命題 2 は参考文献[2]の第 7 章を参考にさせていただきました。
上記の命題 1 の証明に以下 3 つの補題を使用します。
$X$ をコンパクトハウスドルフ空間、$K$ を $X$ のコンパクト連結成分とする。このとき、$K$ を含む任意の開集合 $U$ に対して、$K \subset V \subset U$ となるようなコンパクト開集合 $V$ が存在する。
【コンパクトハウスドルフ空間における連結成分の開近傍について】命題 1
$G$ をハウスドルフ位相群、$K$ を $G$ の単位元 $e$ を含むコンパクト開集合とする。このとき、$H\subset K$ となるようなコンパクト開部分群 $H$ が存在する。
【位相群とそのコンパクト集合について】命題 5
$G$ をコンパクト位相群、$H$ を $G$ の開部分群とする。このとき、$H$ に含まれる $G$ のコンパクト正規開部分群が存在する。
【コンパクト位相群とその正規核について】命題 1 系
#1
（こんなに夜の曇って高かったのかしら、星まで届きそうだわ。）
彼女はしばらくの間、真上の一点をじっと見つめていた。そこには一際輝く星が佇んでおり、その周りを無数の星たちが幾重にも輪を描くように取り囲んでいた。
本題
$G$ を完全不連結コンパクトハウスドルフ位相群、$e$ を $G$ の単位元とする。このとき、$e$ の任意の開近傍 $U$ に対して $N\subset U$ となる $G$ のコンパクト正規開部分群 $N$ が存在する。
$G$ は完全不連結であるから、$\lbrace e\rbrace$ は $G$ の連結成分である。よって $\lbrace e\rbrace \subset V\subset U$ となる $G$ のコンパクト開集合 $V$ が存在する（補題 A）。$G$ はハウスドルフであるから $H\subset V$ となるコンパクト開部分群 $H$ が存在する（補題 B）。$G$ はコンパクトであるから $N \subset H$ となる $G$ のコンパクト正規開部分群が存在する（補題 C）。
$G$ を完全不連結コンパクトハウスドルフ位相群、$e$ を $G$ の単位元、$\lbrace N_i \rbrace_{i\in I}$ を $G$ の正規開部分群全体とする。このとき、$\displaystyle \bigcap_{i\in I} N_i = \lbrace e\rbrace$ である。
任意の $x\in \displaystyle \bigcap_{i\in I} N_i$ をとる。$U$ を $x$ の任意の開近傍とする。$x^{-1}U$ は $e$ の開近傍であるから、命題 1 により $N_j \subset x^{-1}U$ となる $j\in I$ が存在する。$x\in N_j$ より $e\in xN_j$ であるから、$\lbrace e\rbrace \cap U \neq \emptyset$ である。よって $x$ は $\lbrace e\rbrace$ の閉包 $\overline{\lbrace e\rbrace}$ に含まれる。$G$ は完全不連結であるから $\overline{\lbrace e\rbrace} = \lbrace e\rbrace$ である。したがって $x = e$ である。
#2
（こんなに美しいのに夜しか見えないなんて、もったいない。）
しかし同時に、静けさと暗闇がこの神秘な世界を独り占めさせてくれているかのようで、どこか満足げな表情を浮かべていた。
