前回： 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明①
この記事は「$\mathbb{R}$上の凸関数はほとんど至るところ2回微分可能である」ことを示すためのものである。今回は可積分関数の極大関数を用いた測度評価に関する定理を証明する。
1.定義
2.準備
3.定理の証明
4.関連する話
以下、1次元Lebesgue測度を$\mu$とし、$\mathbb{R}$のLebesgue可測な部分集合全体を$\mathscr{L}$とする。
この記事では次の定理を証明することを目標とする。
$(\mathbb{R},\mathscr{L},\mu)$上の可積分関数$f$をとり$f^*$を$f$の極大関数とする。このとき任意の$\alpha>0$に対して、
$$\mu(\{x\in\mathbb{R}|f^*(x)>\alpha\})\leq\frac{5}{\alpha}\int_\mathbb{R}|f(y)|dy$$
となる。
ただし可積分関数の極大関数とは以下のように定義される。
$x\in\mathbb{R},r>0$に対して$B(x,r)=(x-r,x+r)$とする。
$(\mathbb{R},\mathscr{L},\mu)$上の可積分関数$f$に対して、
$$f^*(x):=\sup_{z\in\mathbb{R},r>0,\\x\in B(z,r)}\frac{1}{\mu(B(z,r))}\int_{B(z,r)}|f(y)|dy$$
で定まる可測関数$f^*:\mathbb{R}\rightarrow\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}$を$f$の極大関数という。
定理1の証明に際して$\mu$の性質を用いたいので、測度の正則性の定義を与えておく。
$(X,\mathscr{O})$をHausdorff空間とし、$(X,\Sigma,\nu)$を$\mathscr{O}\subset\Sigma$となるような測度空間とする。このとき、$A\in\Sigma$が正則であるとは
$$\nu(A)=\sup\{\nu(K)|K\subset A,Kはコンパクト\}=\inf\{\nu(G)|A\subset G,Gは開集合\}$$となることをいう（$K$にコンパクト性までは課さず単に閉集合とする文献もある）。そして、$\nu$が正則であるとは全ての可測集合が正則となることをいう。
定理1の証明のために次の二つの主張を準備する。
$\mu$は正則である。
任意の$z_i\in\mathbb{R},r_i>0(i=1,2,\cdots,n)$に対して、$1\leq J\leq n$となる$J\in\mathbb{N}$と$\tau:\{1,2,\cdots,J\}\rightarrow\{1,2,\cdots,n\}$が存在して次が成り立つ。
(1) $\{B(z_{\tau(j)},r_{\tau(j)})\}_{j=1}^J$は互いに素。
(2) 任意の$i\in\{1,2,\cdots,n\}$に対して、$$B(z_i,r_i)\subset B(z_{\tau(j)},5r_{\tau(j)})$$となる$j\in\{1,2,\cdots,J\}$が存在する。
定理2の証明は Lebesgue測度の構成と正則性定理 を参照。ここでは命題3の証明をする。
$n=1$のときは命題3は正しい。$n=k\in\mathbb{N}$のときに命題3が正しいと仮定して$n=k+1$のときも正しいことを示す。任意に$z_i\in\mathbb{R},r_i>0(i=1,2,\cdots,k+1)$をとる。必要であれば添字を入れ替えて$r_{k+1}=\min_{1\leq i\leq k+1}r_i$となるようにする。このとき仮定から、$1\leq J\leq k$となる$J\in\mathbb{N}$と$\tau:\{1,2,\cdots,J\}\rightarrow\{1,2,\cdots,k\}$が存在して,二つの条件
(1) $\{B(z_{\tau(j)},r_{\tau(j)})\}_{j=1}^J$は互いに素、
(2) 任意の$i\in\{1,2,\cdots,k\}$に対して、$$B(z_i,r_i)\subset B(z_{\tau(j)},5r_{\tau(j)})$$となる$j\in\{1,2,\cdots,J\}$が存在する、
を満たすようにできる。もし、ある$j\in\{1,2,\cdots,J\}$に対して$B(z_{k+1},r_{k+1})$と$B(z_{\tau(j)},r_{\tau(j)})$が交わる場合、$$B(z_{k+1},r_{k+1})\subset B(z_{\tau(j)},5r_{\tau(j)})$$であるから$J$と$\tau$はそのままで良い。そうでない場合、$$J'=J+1,\tau'(j)= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\tau(j)\quad(1\leq j\leq J) \\
k+1\quad(j=J')
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
とすれば、$J'$と$\tau'$は二条件
(1) $\{B(z_{\tau'(j)},r_{\tau'(j)})\}_{j=1}^{J'}$は互いに素、
(2) 任意の$i\in\{1,2,\cdots,k+1\}$に対して、$$B(z_i,r_i)\subset B(z_{\tau'(j)},5r_{\tau'(j)})$$となる$j\in\{1,2,\cdots,J'\}$が存在する、
を満たす。よって$n=k+1$のときも命題3は正しい。帰納法により任意の自然数$n$に対して命題3は正しい。
定理1の証明をする。
$(\mathbb{R},\mathscr{L},\mu)$上の可積分関数$f$と$\alpha>0$を任意にとる。定理2より$$K\subset\{x\in\mathbb{R}|f^*(x)>\alpha\}$$となる任意のコンパクト集合$K$に対して$$\mu(K)\leq\cfrac{5}{\alpha}\int_{\mathbb{R}}|f(y)|dy$$となることを示せば良い。
任意の$x\in K,z\in\mathbb{R}$に対して、$$f^*(x)>\alpha,\quad\lim_{r\to\infty}\cfrac{1}{\mu(B(z,r))}\int_{B(z,r)}|f(y)|dy=0$$より、次の3条件
(a)$\displaystyle\cfrac{1}{\mu(B(z_x,r_x))}\int_{B(z_x,r_x)}|f(y)|dy>\alpha,$
(b)$ x\in B(z_x,r_x),$
(c)$\displaystyle\cfrac{1}{\mu(B(z_x,r_x))}\int_{B(z_x,r_x)}|f(y)|dy>\cfrac{1}{\mu(B(z_x,5r_x))}\int_{B(z_x,5r_x)}|f(y)|dy$
を満たす$z_x\in\mathbb{R},r_x>0$が存在する。$$K\subset\bigcup_{x\in K}B(z_x,r_x)$$であり$K$はコンパクトだから、適当な$x_i\in K(i=1,2,\cdots,n)$が存在して、$$K\subset\bigcup_{i=1}^nB(z_{x_i},r_{x_i})$$となる。以下、$z_{x_i},r_{x_i},B(z_{x_i},r_{x_i})$をそれぞれ$z_i,r_i,B_i$と略記する。この$z_i,r_i(i=1,2,\cdots,n)$に対して命題3の条件を満たす$J,\tau$をとると、
$$\frac{5}{\alpha}\int_\mathbb{R}|f(y)|dy$$$$\geq\frac{5}{\alpha}\int_{\bigcup_{j=1}^JB_{\tau(j)}}|f(y)|dy$$$$=\frac{5}{\alpha}\sum_{j=1}^J\int_{B_{\tau(j)}}|f(y)|dy\quad\left(\because \{B_{\tau(j)}\}_{j=1}^Jは互いに素\right)$$$$
>\frac{5}{\alpha}\sum_{j=1}^J\alpha\mu\left(B_{\tau(j)}\right)
$$$$=\sum_{j=1}^J\mu\left(B\left(z_{\tau(j)},5r_{\tau(j)}\right)\right)$$$$
\geq\mu\left(\bigcup_{j=1}^JB\left(z_{\tau(j)},5r_{\tau(j)}\right)\right)$$$$\geq\mu\left(\bigcup_{i=1}^nB(z_i,r_i)\right)\quad(\because iごとにB(z_i,r_i)\subset B\left(z_{\tau(j)},5r_{\tau(j)}\right)となるjが存在する。)$$$$\geq\mu(K)$$
となる。以上より定理1が示された。
凸関数の滑らかさの話とは全く関係しないが、極大関数の性質に関して最近新たに発見した話があるので記しておきたい。
$f$が可積分のとき、$f^*$も可積分であるとは限らない。例えば、$f=\mathbb{1}_{[0,1]}$(区間[0,1]上の指示関数)の時$f^*(x)$のオーダーは$O(1/x)$以上になり、可積分でない。しかし、$p>1$に対し$f$が$p$乗可積分ならば$f^*$も$p$乗可積分であることが言える。その証明を以下の囲み枠で行いたいと思う。
1段目 各$\lambda>0$に対し、$$\mu(|f^*|>\lambda)\leq\frac{10}{\lambda}\int_{|f|>\lambda/2}|f|d\mu$$が成り立つことを示す。定理2より、$K\subset\{|f^*|>\lambda\}$なる任意のコンパクト集合$K$に対して、$\mu(K)$を評価すれば良い。
$K$のコンパクト性により、
(a)$\cfrac{1}{\mu(B(z_i,r_i))}\int_{B(z_i,r_i)}|f|d\mu>\lambda$,
(b)$K\subset\bigcup_{1\leq i\leq n}B(z_i,r_i)$
を満たす$z_i\in\mathbb{R},r_i>0$が存在する。(a)より
(a')$\cfrac{1}{\mu(B(z_i,r_i))}\int_{B(z_i,r_i)\cap\{|f|>\lambda/2\}}|f|>\lambda/2$を得る。
この$z_i,r_i$に対して命題3の条件を満たす$J,\tau$をとると、
$$\mu(K)$$
$$\leq\sum_{1\leq j\leq J}\mu(B(z_{\tau(j)},5r_{\tau(j)}))$$$$=5\sum_{1\leq j\leq J}\mu(B(z_{\tau(j)},r_{\tau(j)}))$$$$<\frac{10}{\lambda}\sum_{1\leq j\leq J}\int_{B(z_{\tau(j)},r_{\tau(j)})\cap\{|f|>\lambda /2\}}|f|d\mu \quad(\because (a'))$$$$\leq\frac{10}{\lambda}\int_{|f|>\lambda/2}|f|d\mu$$
2段目$\int |f^*|^p d\mu$の評価をする。
$$\int_\mathbb{R}|f^*|^pd\mu$$
$$=\int_0^\infty p\lambda^{p-1}\mu(|f^*|>\lambda)d\lambda$$
$$\leq 10p\int_0^\infty \lambda^{p-2}\left(\int_{|f|>\lambda/2}|f|d\mu \right)d\lambda$$
$$=\frac{5p2^p}{p-1}\int_\mathbb{R}|f|^pd\mu<\infty.$$
今回は終わり。
次回：
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明③