凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明 ②

$n=1$のときは命題3は正しい。$n=k\in \mathbb{N}$のときに命題3が正しいと仮定して$n=k+1$のときも正しいことを示す。任意に$z_i\in \mathbb{R},r_i>0(i=1,2,\cdots ,k+1)$をとる。必要であれば添字を入れ替えて$r_{k+1}=\underset{1\le i\le k+1}{min}{r}_i$となるようにする。このとき仮定から、$1\le J\le k$となる$J\in \mathbb{N}$と$\tau :\{1,2,\cdots ,J\}\to \{1,2,\cdots ,k\}$が存在して,二つの条件
(1) $\{B(z_{\tau (j)},r_{\tau (j)}){\}}_{j=1}^J$は互いに素、
(2) 任意の$i\in \{1,2,\cdots ,k\}$に対して、$$B(z_i,r_i)\subset B(z_{\tau (j)},5r_{\tau (j)})$$となる$j\in \{1,2,\cdots ,J\}$が存在する、

を満たすようにできる。もし、ある$j\in \{1,2,\cdots ,J\}$に対して$B(z_{k+1},r_{k+1})$と$B(z_{\tau (j)},r_{\tau (j)})$が交わる場合、$$B(z_{k+1},r_{k+1})\subset B(z_{\tau (j)},5r_{\tau (j)})$$であるから$J$と$\tau$はそのままで良い。そうでない場合、$$J^{\prime }=J+1,{\tau }^{\prime }(j)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\tau (j)(1\le j\le J)\\ k+1(j=J^{\prime })\end{array}\end{array}$$
とすれば、$J^{\prime }$と${\tau }^{\prime }$は二条件
(1) $\{B(z_{{\tau }^{\prime }(j)},r_{{\tau }^{\prime }(j)}){\}}_{j=1}^{J^{\prime }}$は互いに素、
(2) 任意の$i\in \{1,2,\cdots ,k+1\}$に対して、$$B(z_i,r_i)\subset B(z_{{\tau }^{\prime }(j)},5r_{{\tau }^{\prime }(j)})$$となる$j\in \{1,2,\cdots ,J^{\prime }\}$が存在する、

を満たす。よって$n=k+1$のときも命題3は正しい。帰納法により任意の自然数$n$に対して命題3は正しい。

$(\mathbb{R},\mathcal{L},\mu )$上の可積分関数$f$と$\alpha >0$を任意にとる。定理2より$$K\subset \{x\in \mathbb{R}|f^{\ast }(x)>\alpha \}$$となる任意のコンパクト集合$K$に対して$$\mu (K)\le \frac{5}{\alpha }{\int }_{\mathbb{R}}|f(y)|dy$$となることを示せば良い。
任意の$x\in K,z\in \mathbb{R}$に対して、$$f^{\ast }(x)>\alpha ,\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\mu (B(z,r))}{\int }_{B(z,r)}|f(y)|dy=0$$より、次の3条件
(a)${\displaystyle \frac{1}{\mu (B(z_x,r_x))}{\int }_{B(z_x,r_x)}|f(y)|dy>\alpha ,}$
(b)$x\in B(z_x,r_x),$
(c)${\displaystyle \frac{1}{\mu (B(z_x,r_x))}{\int }_{B(z_x,r_x)}|f(y)|dy>\frac{1}{\mu (B(z_x,5r_x))}{\int }_{B(z_x,5r_x)}|f(y)|dy}$

を満たす$z_x\in \mathbb{R},r_x>0$が存在する。$$K\subset \bigcup _{x\in K}B(z_x,r_x)$$であり$K$はコンパクトだから、適当な$x_i\in K(i=1,2,\cdots ,n)$が存在して、$$K\subset \bigcup _{i=1}^{n}B(z_{x_i},r_{x_i})$$となる。以下、$z_{x_i},r_{x_i},B(z_{x_i},r_{x_i})$をそれぞれ$z_i,r_i,B_i$と略記する。この$z_i,r_i(i=1,2,\cdots ,n)$に対して命題3の条件を満たす$J,\tau$をとると、
$$\frac{5}{\alpha }{\int }_{\mathbb{R}}|f(y)|dy$$$$\ge \frac{5}{\alpha }{\int }_{\bigcup _{j=1}^J{B}_{\tau (j)}}|f(y)|dy$$$$=\frac{5}{\alpha }\sum _{j=1}^J{\int }_{B_{\tau (j)}}|f(y)|dy(\because \{B_{\tau (j)}{\}}_{j=1}^Jは互いに素)$$$$>\frac{5}{\alpha }\sum _{j=1}^J\alpha \mu \left(B_{\tau (j)}\right)$$$$=\sum _{j=1}^J\mu \left(B(z_{\tau (j)},5r_{\tau (j)})\right)$$$$\ge \mu \left(\bigcup _{j=1}^{J}B(z_{\tau (j)},5r_{\tau (j)})\right)$$$$\ge \mu (\bigcup _{i=1}^{n}B(z_i,r_i))(\because iごとにB(z_i,r_i)\subset B(z_{\tau (j)},5r_{\tau (j)})となるjが存在する。)$$$$\ge \mu (K)$$
となる。以上より定理1が示された。