私は随分昔ですが凸関数のなめらかさについて考察したことがあります。その時に得られた結論とは「凸関数$f: \mathbb{R}$$ \rightarrow $$\mathbb{R} $はほとんど至る所で2回微分可能である」（より厳密な主張はのちに述べます）ということです。当時自分が与えた証明が正しかったのかを確認するという意味も込めて、数回の記事に分けて改めて証明をします。必要とする前提知識は、微分積分学や測度論の基礎あたりだと思います。なお、この主張が実際に役に立つことは少ないとは思いますので、興味本位で見てもらうと良いと思います。
記事一覧：
（1）
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明①
（2）
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明②
（3）
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明③
（4）
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明④
（5）
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑤
（6）
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑥
（7）
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑦
示したい主張に関する諸定義を確認する。
関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$が凸関数であるとは、任意の$x,y\in\mathbb{R}$と任意の$\lambda\in(0,1)$に対して、
$$
f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)
$$
が成り立つことをいう。
関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$が$a\in\mathbb{R}$で微分可能であるとは、
$$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-bh}{h}=0$$となる$b\in\mathbb{R}$が存在することをいう。このような$b$は存在すれば一意である。
関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$が$a\in\mathbb{R}$で2回微分可能であるとは、
$$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-bh-ch^2}{h^2}=0$$となる$b,c\in\mathbb{R}$が存在することをいう。
多くの微分積分学の入門書における定義では、関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$が$a\in\mathbb{R}$で2回微分可能となるためには、$f$が$a$のある近傍の各点において微分可能であることが要請される。しかし、定義3では必ずしもそのような要請は必要ではない。
各$n\in\mathbb{N}_{\geq2}$に対して関数$f_n:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$を
$$f_n(x)=
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
0 \quad \left(\left|x-\frac{1}{n}\right|>\frac{1}{n^3}\right)
\\
\frac{1}{n^3}-\left|x-\frac{1}{n}\right| \quad \left(\left|x-\frac{1}{n}\right|\leq\frac{1}{n^3}\right)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
と定め、$f=\sum_{n=2}^{\infty}f_n$とする。このとき、$f$は少なくとも$x=\frac{1}{n}(n=2,3,...)$では微分可能でないが、$x=0$で2回微分可能である。
$(X,\Sigma,\nu)$は測度空間であるとし、各$x\in X$に対して命題$\alpha(x)$が定められているとする。$A\in\Sigma$とするとき、$A$上ほとんど至るところで$\alpha$が成り立つとは、$$\{x\in A|\lnot
\alpha(x)\}$$が零集合となることをいう。
このことを$\alpha(x), \nu$-a.e.$x\in A$や$\alpha,\nu$-a.e.とも表す。
以下、$\mu$を1次元Lebesgue測度、$\mathscr{L}$を$\mathbb{R}$のLebesgue可測な部分集合全体を表すことにする。
次が示したい主張である。
凸関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$は$\mu$-a.e.で2回微分可能である。
定理1の証明だけを追いたい場合は 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑦ を参照。定理1を示すために以下の定理を先に証明する。
関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$が単調増加なら、$f$は$\mu$-a.e.で微分可能である。
$(\mathbb{R},\mathscr{L},\mu)$の局所可積分関数$f$を任意にとる。そこで
$$F(x):=\int_0^xf(y)dy(x\in\mathbb{R})$$
と定めると、
$$\lim_{h\to 0}\cfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$$
が$\mu$-a.e.$x\in\mathbb{R}$で成り立つ。
定理2の証明に次の定理を用いる。（ただし証明には定理3が必要である）
関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$が局所Lipschitz連続ならば、$f$は$\mu$-a.e.で微分可能である。
定理3の証明には以降の定理を用いる。
$\mu$は正則である。
$(\mathbb{R},\mathscr{L},\mu)$の可積分関数$f$をとり$f^*$を$f$の極大関数とする。このとき任意の$\alpha>0$に対して、
$$\mu(\{x\in\mathbb{R}|f^*(x)>\alpha\})\leq\frac{5}{\alpha}\int_\mathbb{R}|f(y)|dy$$
となる。
測度空間$(X,\Sigma,\nu)$の可積分関数$f$と$\alpha>0$に対して、
$$\nu(\{x\in X\mid|f(x)|\geq\alpha\})\leq\frac{1}{\alpha}\int_X|f(y)|d\nu(y)$$
となる。
$(\mathbb{R},\mathscr{L},\mu)$の局所可積分関数$f$に対して、
$$\lim_{s,t\to +0}\frac{1}{s+t}\int_{x-s}^{x+t}f(y)dy=f(x)$$
が$\mu$-a.e.$x\in\mathbb{R}$で成り立つ。
わかりやすく図にすると以下の順番で定理を示す。
$ \left. \begin{array}{l} \quad\quad\quad\quad\quad(定理3\rightarrow)&定理4\rightarrow &定理2 \\ \left. \begin{array}{l} 定理5\rightarrow &定理6\\ &定理7 \end{array} \right\}\rightarrow &定理8\rightarrow &定理3 \end{array} \right\}\rightarrow定理1 $
記事名と証明する定理番号をリンクさせた表が次である。
証明全体の外観をかなり直感的に述べる。
$f$を凸関数とするとき、比較的容易に分かるが、$f$はある零集合$N$を除いた$\mathbb{R}\setminus N$の各点で微分可能であり、その導関数$f':\mathbb{R}\setminus N\rightarrow\mathbb{R}$は単調増加である。そこで$f$の2回微分可能性について調べるために、$f'$の微分可能性について考察をすることは有効であるように思われる。この考察によって得られる結果が定理2である。
$f$と$f'$の関係を表す式として次のような等式が予想される。
$$f(x)-f(0)=\int_0^xf'(y)dy。\tag{1}\label{1}$$
ただし$f'(x)=0(x\in N)$とする。実際にこの等式が正しいことは後に証明する。定理3が成り立つことはこの等式が成り立つための必要条件となっている。
$x\in\mathbb{R}$を$f,f'$が共に微分可能である点であるとすると(\ref{1})より、
$$f(x+h)-f(x)-f'(x)h-\frac{f''(x)}{2}h^2=\int_x^{x+h}(f'(y)-f'(x)-f''(x)(y-x))dy\quad(h\in\mathbb{R})$$
となる。あとは$h\to 0$とした時の右辺を適切に評価すれば
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)-f'(x)-\frac{f''(x)}{2}h^2}{h^2}=0$$
がわかる。
今回は終わり。
次回の記事では先の定理6の証明を行う。