凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明 ④

定理2より
$$x\in \mathbb{R}\setminus N⟹\underset{s,t\to +0}{lim}\frac{1}{s+t}{\int }_{x-s}^{x+t}(f(y)-f(x))dy=0$$
となる零集合$N$が存在する。そこで任意に$x\in \mathbb{R}\setminus N$をとる。

• 任意の$h>0$に対して
  $$\underset{s\to +0}{lim}\frac{1}{s+h}{\int }_{x-s}^{x+h}f(y)dy=\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(y)dy$$
  が成り立つ。実際、
  • ${\displaystyle \underset{s\to +0}{lim}\frac{1}{s+h}=\frac{1}{h},}$
  • ${\displaystyle \underset{s\to +0}{lim}|{\int }_{x-s}^{x}f(y)dy|\le \underset{s\to +0}{lim}{\int }_{x-s}^x|f(y)|dy=0(\because 単調収束定理)}$

となるので、これは正しい。

• 任意の$\epsilon >0$に対して
  $$0<s,t<\delta ⟹|\frac{1}{s+t}{\int }_{x-s}^{x+t}(f(y)-f(x))dy|<\epsilon$$
  となる$\delta >0$が存在する。このとき任意の$h\in (0,\delta )$に対して
  $$|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)|$$$$=|\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(y)dy-f(x)|$$$$=|\underset{s\to +0}{lim}\frac{1}{s+h}{\int }_{x-s}^{x+h}f(y)dy-f(x)|$$$$=|\underset{s\to +0}{lim}\frac{1}{s+h}{\int }_{x-s}^{x+h}(f(y)-f(x))dy|$$$$\le \epsilon$$
  となる。よって
  $$\underset{h\to +0}{lim}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$$である。上と同様の議論によって
  $$\underset{h\to +0}{lim}\frac{F(x)-F(x-h)}{h}=f(x)$$
  となることもわかるので、結局
  $$\underset{h\to 0}{lim}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$$
  である。