凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明 ④

定理2より
$$x\in \mathbb{R}\setminus N\Longrightarrow\lim_{s,t\to +0}\frac{1}{s+t}\int_{x-s}^{x+t}(f(y)-f(x))dy=0$$
となる零集合$N$が存在する。そこで任意に$x\in\mathbb{R}\setminus N$をとる。

• 任意の$h>0$に対して
  $$\lim_{s\to +0}\frac{1}{s+h}\int_{x-s}^{x+h}f(y)dy=\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(y)dy$$
  が成り立つ。実際、
  • $\displaystyle\lim_{s\to +0}\frac{1}{s+h}=\frac{1}{h},$
  • $\displaystyle\lim_{s\to+0}\left|\int_{x-s}^{x}f(y)dy\right|\leq\lim_{s\to +0}\int_{x-s}^x|f(y)|dy=0\quad(\because 単調収束定理)$

となるので、これは正しい。

• 任意の$\varepsilon>0$に対して
  $$0< s,t<\delta\Longrightarrow \left|\frac{1}{s+t}\int_{x-s}^{x+t}(f(y)-f(x))dy\right|<\varepsilon$$
  となる$\delta>0$が存在する。このとき任意の$h\in(0,\delta)$に対して
  $$\left|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)\right|$$$$ =\left|\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(y)dy-f(x)\right|$$$$ =\left|\lim_{s\to+0}\frac{1}{s+h}\int_{x-s}^{x+h}f(y)dy-f(x)\right|$$$$ =\left|\lim_{s\to+0}\frac{1}{s+h}\int_{x-s}^{x+h}(f(y)-f(x))dy\right|$$$$\leq\varepsilon$$
  となる。よって
  $$\lim_{h\to+0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$$である。上と同様の議論によって
  $$\lim_{h\to+0}\frac{F(x)-F(x-h)}{h}=f(x)$$
  となることもわかるので、結局
  $$\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$$
  である。