前回まで:
(1)
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明①
(2)
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明②
(3)
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明③
(4)
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明④
この記事は「$\mathbb{R}$上の凸関数はほとんど至るところ2回微分可能である」ことを示すためのものである。今回は前回までの結果を用いて、Lipschitz連続な関数がa.e.で微分可能であることを証明する。
1.定義
2.準備
3.証明
$\mu$を1次元Lebesgue測度、$\mathscr{L}$を$\mathbb{R}$のLebesgue可測な部分集合全体とする。今回は次の定理を示すことを目標とする。
関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$が局所Lipschitz連続なら$f$は$\mu$-a.e.で微分可能である。さらに、
$$
f'(x)= \limsup_{h\to+0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$
によって$f':\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$(これは局所可積分)を定めれば
$$f(x)-f(0)=\int_0^xf'(y)dy\quad(x\in\mathbb{R})$$
となる。
定理1において
$$f'(x)= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\lim_{h\to 0}\cfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad(fはxで微分可能) \\
0\quad(その他)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
によって$f':\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$を定義しても良い。
ただしLipschitz連続性の定義は次である。
$I$を$\mathbb{R}$の開区間とする。関数$f:I\rightarrow\mathbb{R}$がLipschitz連続であるとは、$$|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|\quad(x,y\in I)$$を満たすような$L>0$が存在することをいう。また、$f$が局所Lipschitz連続であるとは、任意の$x\in I$に対してその近傍$J\subset I$が存在して$f|_{J}$がLipschitz連続となることをいう。
次の命題から定理1が直ちに導かれる。
関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$がLipschitz連続なら$f$は$\mu$-a.e.で微分可能である。さらに、
$$
f'(x)= \limsup_{h\to+0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$
によって$f':\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$(これは局所可積分)を定めれば
$$f(x)-f(0)=\int_0^xf'(y)dy\quad(x\in\mathbb{R})$$
となる。
$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$を局所Lipschitz連続であるとする。このとき任意に$n\in\mathbb{N}$をとり$$f_n(x)= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
f(-n)\quad(x\leq-n)\\
f(x)\quad(-n< x< n) \\
f(n)\quad(x\geq n)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
と定めれば、$f_n$はLipschitz連続であるから命題2より$f_n$はa.e.で微分可能である。$(-n,n)$上で$f=f_n$であるから$f$は$(-n,n)$上a.e.で微分可能である。$n\in\mathbb{N}$は任意だから$f$は$\mathbb{R}$上a.e.で微分可能である。また、任意の$x\in\mathbb{R}$に対して$|x|< n$となる$n\in\mathbb{N}$が存在して、
$$f(x)-f(0)$$$$
=f_n(x)-f_n(0)$$$$
=\int_{0}^xf_n'(y)dy\quad(\because命題2後半)$$$$
=\int_0^xf'(y)dy\quad(\because (-n,n)上でf'=f_n')$$
となるので、定理1の後半の主張も示せた。
命題2の証明に次の定理を用いる。
$\mu$は正則である。すなわち、任意の$A\in\mathscr{L}$に対して
$$\mu(A)=\sup\{\mu(K)|Kはコンパクト,K\subset A\}=\inf\{\mu(G)|Gは開集合,A\subset G\}$$
となる。
$(\mathbb{R},\mathscr{L},\mu)$の局所可積分関数$f$を任意にとる。そこで
$$F(x):=\int_0^xf(y)dy(x\in\mathbb{R})$$
と定めると、
$$\lim_{h\to 0}\cfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$$
が$\mu$-a.e.$x\in\mathbb{R}$で成り立つ。
定理3の証明は Lebesgue測度の構成と正則性定理 を参照。定理4の証明は 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明④ を参照。
最後に命題2の証明のための記号の準備をする。以下、Lipschitz連続な関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$を任意に取っておき、$$|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|\quad(x,y\in\mathbb{R})$$となるL>0を取っておく。任意の関数$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$に対して、関数$\overline{g_+'},\underline{g_+'}:\mathbb{R}\rightarrow\bar{\mathbb{R}}$を
と定める。$g$が可測であれば$\overline{g_+'},\underline{g_+'}$も可測である。特に$\overline{f_+'},\underline{f_+'}$は有界であるから局所可積分である。
$$\varphi_1(x)=f(0)+\int_0^x\overline{f_+'}(y)dy\quad(x\in\mathbb{R})$$と定める。以下、任意に$a>0$をとり$\varphi_1(a)\leq f(a)$となることを示す。そのためには任意に$\varepsilon\in(0,L)$をとり、$\varphi_1(a)-(3L+a)\varepsilon\leq f(a)\tag{1}$となることを示せば良い。
よっていずれにせよ$\overline{F_+'}(b)<\overline{f_+'}(b)$であるから、$$F(b+h)-F(b)\leq f(b+h)-f(b)$$となる$h>0$が存在する。$F(b)\leq f(b)$であるから$F(b+h)\leq f(b+h)$である。よって$b+h\in E$より、$b+h\leq \sup E=b$となるがこれは矛盾。以上より$F(a)\leq f(a)$である。
以上より、$\varphi_1(a)\leq f(a)$である。ここで
$$\varphi_2(x)=f(0)+\int_0^x\underline{f_+'}(y)dy\quad(x\in\mathbb{R})$$とすれば、同様の議論により、$f(a)\leq\varphi_2(a)$も証明できる。$\overline{f_+'}\geq\underline{f_+'}$であるから、$\varphi_2(a)\leq\varphi_1(a)$もわかる。よって$$f(a)=\varphi_1(a)=\varphi_2(a)$$である。$a<0$のときも同様にして、$$f(a)=\varphi_1(a)=\varphi_2(a)$$である。よって
$$f(x)=\varphi_1(x)=f(0)+\int_0^x\overline{f_+'}(y)dy\quad(x\in\mathbb{R})$$である。これで証明終わり。
今回は終わり。
次回は単調関数がa.e.で微分可能であることを示す。
次回:
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑥