前回まで:
(1)
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明①
(2)
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明②
(3)
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明③
(4)
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明④
(5)
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑤
この記事は「$\mathbb{R}$上の凸関数はほとんど至るところ2回微分可能である」ことを示すためのものである。今回は前回までの結果を用いて、単調関数がa.e.で微分可能であることを証明する。
1.準備
2.証明
$\mu$を1次元Lebesgue測度、$\mathscr{L}$を$\mathbb{R}$のLebesgue可測な部分集合全体とする。今回は次の定理を示すことを目標とする。
単調増加関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$は$\mu$-a.e.で微分可能である。
ただし証明には次の命題を用いる。
$\mu$は正則である。すなわち、任意の$A\in\mathscr{L}$に対して、
$$\mu(A)=\sup\{\mu(K)\mid Kはコンパクト,K\subset A\}=\inf\{\mu(G)\mid Gは開集合,A\subset G\}$$
となる。
関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$が局所Lipschitz連続なら$f$は$\mu$-a.e.で微分可能である。さらに、
$$
f'(x)= \limsup_{h\to+0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$
によって$f':\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$(これは局所可積分)を定めれば
$$f(x)-f(0)=\int_0^xf'(y)dy\quad(x\in\mathbb{R})$$
となる。
$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$をLipschitz連続な関数であるとし、$N\subset\mathbb{R}$を零集合とすると、$g(N)$も零集合である。
任意の$z_i\in\mathbb{R},r_i>0(i=1,2,\cdots,n)$に対して、$1\leq J\leq n$となる$J\in\mathbb{N}$と$\tau:\{1,2,\cdots,J\}\rightarrow\{1,2,\cdots,n\}$が存在して次が成り立つ。
(1) $\{B(z_{\tau(j)},r_{\tau(j)})\}_{j=1}^J$は互いに素。
(2) 任意の$i\in\{1,2,\cdots,n\}$に対して$$B(z_i,r_i)\subset B(z_{\tau(j)},5r_{\tau(j)})$$となる$j\in\{1,2,\cdots,J\}$が存在する。
定理2の証明は Lebesgue測度の構成と正則性定理 を参照。定理3の証明は 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑤ を参照。命題5の証明は 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明② を参照。
$$|g(x_1)-g(x_2)|\leq L|x_1-x_2|\quad(x_1,x_2\in\mathbb{R})$$
となる$L>0$をとる。このとき任意の開集合$G$に対して$g(G)\in\mathscr{L},\mu(g(G))\leq L\mu(G)$となるので、
$$\mu(g(N))\\\leq\inf\{\mu(g(G))\mid Gは開集合,N\subset G\}\\\leq L\inf\{\mu(G)\mid Gは開集合,N\subset G\}\\=L\mu(N)\quad(\because 定理2)\\=0$$
である。よって$g(N)$も零集合。
任意に単調増加関数$\widetilde{f}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$をとり、これがa.e.で微分可能であることを示す。そのためには
によって$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\overline{f'},\underline{f'}:\mathbb{R}\rightarrow\overline{\mathbb{R}}$を定め、$\overline{f'}=\underline{f'}$がa.e.で成り立つことを示せば十分である(このように$f$を置くことによって、$f$の左逆関数がLipschitz連続性を持つことになる)。
任意の$x\in\mathbb{R}\setminus(N\cup N')$に対して$$(0<)\overline{f'}(x)=\underline{f'}(x)<\infty$$であるから$f$は$x$で微分可能である。よって$f$はa.e.で微分可能である。
今回は終わり。次回は凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明を完結させる。
次回:
凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑦