凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑦（完結）

$x_1<x_2<x_3$となる任意の$x_1,x_2,x_3\in \mathbb{R}$に対して
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\end{array}$$
が成り立つことを示せば良い。$$x_2=\lambda x_1+(1-\lambda )x_3$$を満たす$\lambda \in (0,1)$をとる。$f$は凸関数であるから、

$$f(x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_3)$$
である。これを2通りで以下のように変形する。

• $f(x_2)-f(x_1)\le (1-\lambda )(f(x_3)-f(x_1))$
• $f(x_3)-f(x_2)\ge \lambda (f(x_3)-f(x_1))$

1つ目の不等式の両辺を$x_2-x_1=(1-\lambda )(x_3-x_1)(>0)$で、2つ目の不等式の両辺を$x_3-x_2=\lambda (x_3-x_1)(>0)$でそれぞれ割ると、式($\text{1}$)を得る。

任意の$M>0$に対して$$L_M=max\{|f_{-M}(-M-1)|,|f_M(M+1)|\}$$と定める。$x,y\in (-M,M)$となる任意の$x,y\in \mathbb{R}$に対して、命題2より
$$f_{-M}(-M+1)\le f_{-M}(x)=f_x(-M)\le f_x(y)=f_y(x)\le f_y(M)=f_M(y)\le f_M(M+1)$$
である。よって$|f_x(y)|\le L_M$である。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$を凸関数とする。このとき命題3と定理4より
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to +0}{lim sup}{f}_x(x+h)=\underset{h\to +0}{lim sup}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
によって$f^{\prime }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$を定めれば
$$f(x)-f(0)={\int }_0^x{f}^{\prime }(y)dy(x\in \mathbb{R})$$
となり、$f$はa.e.で微分可能となる。この$f^{\prime }$は単調増加である。実際、$x<y$となる$x,y\in \mathbb{R}$をとれば、任意の$h>0$に対して、
$$f_x(x+h)=f_{x+h}(x)\le f_{x+h}(y)=f_y(x+h)\le f_y(y+h)$$
が成り立つのでこれは正しい。よって定理5より$f^{\prime }$もa.e.で微分可能である。$f,f^{\prime }$の少なくとも一方が微分可能でないような点全体の集合を$N$と表す。任意に$x\in \mathbb{R}\setminus N$をとり、
$$f^{″}(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}$$と置くことにする。このとき、任意の$\epsilon >0$に対して、
$$|h|<\delta ⟹|\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}-f^{″}(x)|<\epsilon$$
となる$\delta >0$が存在する。すると、$|h|<\delta$ならば、
$$\begin{gathered} \left|\frac{f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h-\frac{f^{″}(x)}{2}{h}^2}{h^2}\right| \\ =\frac{1}{h^2}|{\int }_x^{x+h}{f}^{\prime }(y)dy-f^{\prime }(x)h-\frac{f^{″}(x)}{2}{h}^2| \\ =\frac{1}{h^2}\left|{\int }_x^{x+h}(f^{\prime }(y)-f^{\prime }(x)-f^{″}(x)(y-x))dy\right| \\ \le \frac{1}{h^2}{\int }_x^{x+h}|f^{\prime }(y)-f^{\prime }(x)-f^{″}(x)(y-x)|dy \\ \le \frac{1}{h^2}{\int }_x^{x+h}\epsilon (y-x)dy(\because y\in (x,x+h)のとき|y-x|\le h<\delta ) \\ =\frac{\epsilon }{2} \end{gathered}$$
となるので、$f$は$x$で2回微分可能である。$N$は零集合だから$f$はa.e.で2回微分可能である。