凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑦（完結）

$x_1< x_2< x_3$となる任意の$x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}$に対して
$$\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq\cfrac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\leq\cfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\label{1}\tag{1}$$
が成り立つことを示せば良い。$$x_2=\lambda x_1+(1-\lambda)x_3$$を満たす$\lambda\in(0,1)$をとる。$f$は凸関数であるから、

$$f(x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_3)$$
である。これを2通りで以下のように変形する。

• $f(x_2)-f(x_1)\leq(1-\lambda)(f(x_3)-f(x_1))$
• $f(x_3)-f(x_2)\geq \lambda(f(x_3)-f(x_1))$

1つ目の不等式の両辺を$x_2-x_1=(1-\lambda)(x_3-x_1)(>0)$で、2つ目の不等式の両辺を$x_3-x_2=\lambda(x_3-x_1)(>0)$でそれぞれ割ると、式(\ref{1})を得る。

任意の$M>0$に対して$$L_M=\max\{|f_{-M}(-M-1)|,|f_M(M+1)|\}$$と定める。$x,y\in(-M,M)$となる任意の$x,y\in\mathbb{R}$に対して、命題2より
$$f_{-M}(-M+1)\leq f_{-M}(x)=f_x(-M)\leq f_x(y)=f_y(x)\leq f_y(M)=f_M(y)\leq f_M(M+1)$$
である。よって$|f_x(y)|\leq L_M$である。

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$を凸関数とする。このとき命題3と定理4より
$$ f'(x)=\limsup_{h\to +0}f_x(x+h)=\limsup_{h\to+0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
によって$f':\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$を定めれば
$$f(x)-f(0)=\int_0^xf'(y)dy\quad(x\in\mathbb{R})$$
となり、$f$はa.e.で微分可能となる。この$f'$は単調増加である。実際、$x< y$となる$x,y\in\mathbb{R}$をとれば、任意の$h>0$に対して、
$$f_x(x+h)=f_{x+h}(x)\leq f_{x+h}(y)=f_y(x+h)\leq f_y(y+h)$$
が成り立つのでこれは正しい。よって定理5より$f'$もa.e.で微分可能である。$f,f'$の少なくとも一方が微分可能でないような点全体の集合を$N$と表す。任意に$x\in\mathbb{R}\setminus N$をとり、
$$f''(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$$と置くことにする。このとき、任意の$\varepsilon>0$に対して、
$$|h|<\delta\Longrightarrow \left|\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}-f''(x)\right|<\varepsilon$$
となる$\delta>0$が存在する。すると、$|h|<\delta$ならば、
$$\left|\frac{f(x+h)-f(x)-f'(x)h-\frac{f''(x)}{2}h^2}{h^2}\right|\\= \frac{1}{h^2}\left|\int_x^{x+h}f'(y)dy-f'(x)h-\frac{f''(x)}{2}h^2\right| \\=\frac{1}{h^2}\left|\int_x^{x+h}\left(f'(y)-f'(x)-f''(x)(y-x)\right)dy\right| \\\leq\frac{1}{h^2}\int_x^{x+h}\left|f'(y)-f'(x)-f''(x)(y-x)\right|dy \\\leq\frac{1}{h^2}\int_x^{x+h}\varepsilon(y-x)dy\quad(\because y\in(x,x+h)のとき|y-x|\leq h<\delta)\\ =\frac{\varepsilon}{2} $$
となるので、$f$は$x$で2回微分可能である。$N$は零集合だから$f$はa.e.で2回微分可能である。