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凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑦(完結)

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前回まで:
(1) 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明①
(2) 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明②
(3) 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明③
(4) 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明④
(5) 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑤
(6) 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑥

この記事は「$\mathbb{R}$上の凸関数はほとんど至るところ2回微分可能である」ことを示すためのものである。今回は前回までの結果を用いて、凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明をする。

目次

1.定義
2.準備
3.証明

定義

$\mu$を1次元Lebesgue測度、$\mathscr{L}$$\mathbb{R}$のLebesgue可測な部分集合全体とする。

凸関数

関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$が凸関数であるとは、任意の$x,y\in\mathbb{R}$と任意の$\lambda\in(0,1)$に対して、
$$ f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) $$
が成り立つことをいう。

関数の2回微分可能性

関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$a\in\mathbb{R}$で2回微分可能であるとは、
$$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-bh-ch^2}{h^2}=0$$となる$b,c\in\mathbb{R}$が存在することをいう。

今回は次の定理を示すことを目標とする。

凸関数の2回微分可能性

凸関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$はa.e.で2回微分可能である。

準備

凸関数の基本的な性質と定理1の証明に必要な命題などを確認する。

凸関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$について、任意の$x\in\mathbb{R}$に対して、
$$f_x(y):=\cfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\quad(y\in\mathbb{R}\setminus\{x\})$$
と定める。このとき$f_x:\mathbb{R}\setminus\{x\}\rightarrow\mathbb{R}$は単調増加である。

$x_1< x_2< x_3$となる任意の$x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}$に対して
$$\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq\cfrac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\leq\cfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\label{1}\tag{1}$$
が成り立つことを示せば良い。$$x_2=\lambda x_1+(1-\lambda)x_3$$を満たす$\lambda\in(0,1)$をとる。$f$は凸関数であるから、

$$f(x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_3)$$
である。これを2通りで以下のように変形する。

  • $f(x_2)-f(x_1)\leq(1-\lambda)(f(x_3)-f(x_1))$
  • $f(x_3)-f(x_2)\geq \lambda(f(x_3)-f(x_1))$

1つ目の不等式の両辺を$x_2-x_1=(1-\lambda)(x_3-x_1)(>0)$で、2つ目の不等式の両辺を$x_3-x_2=\lambda(x_3-x_1)(>0)$でそれぞれ割ると、式(\ref{1})を得る。

凸関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$は局所Lipschitz連続である。すなわち、任意の$M>0$に対して$L_M>0$が存在して、
$$|f(x)-f(y)|\leq L_M|x-y|\quad (x,y\in(-M, M))$$
となる。

任意の$M>0$に対して$$L_M=\max\{|f_{-M}(-M-1)|,|f_M(M+1)|\}$$と定める。$x,y\in(-M,M)$となる任意の$x,y\in\mathbb{R}$に対して、命題2より
$$f_{-M}(-M+1)\leq f_{-M}(x)=f_x(-M)\leq f_x(y)=f_y(x)\leq f_y(M)=f_M(y)\leq f_M(M+1)$$
である。よって$|f_x(y)|\leq L_M$である。

関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$が局所Lipschitz連続なら$f$$\mu$-a.e.で微分可能である。さらに、
$$ f'(x)= \limsup_{h\to+0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
によって$f':\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$(これは局所可積分)を定めれば
$$f(x)-f(0)=\int_0^xf'(y)dy\quad(x\in\mathbb{R})$$
となる。

証明は 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑤ を参照。

単調増加関数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$\mu$-a.e.で微分可能である。

証明は 凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることの証明⑥ を参照。

証明

定理1の証明

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$を凸関数とする。このとき命題3と定理4より
$$ f'(x)=\limsup_{h\to +0}f_x(x+h)=\limsup_{h\to+0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
によって$f':\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$を定めれば
$$f(x)-f(0)=\int_0^xf'(y)dy\quad(x\in\mathbb{R})$$
となり、$f$はa.e.で微分可能となる。この$f'$は単調増加である。実際、$x< y$となる$x,y\in\mathbb{R}$をとれば、任意の$h>0$に対して、
$$f_x(x+h)=f_{x+h}(x)\leq f_{x+h}(y)=f_y(x+h)\leq f_y(y+h)$$
が成り立つのでこれは正しい。よって定理5より$f'$もa.e.で微分可能である。$f,f'$の少なくとも一方が微分可能でないような点全体の集合を$N$と表す。任意に$x\in\mathbb{R}\setminus N$をとり、
$$f''(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$$と置くことにする。このとき、任意の$\varepsilon>0$に対して、
$$|h|<\delta\Longrightarrow \left|\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}-f''(x)\right|<\varepsilon$$
となる$\delta>0$が存在する。すると、$|h|<\delta$ならば、
$$\left|\frac{f(x+h)-f(x)-f'(x)h-\frac{f''(x)}{2}h^2}{h^2}\right|\\= \frac{1}{h^2}\left|\int_x^{x+h}f'(y)dy-f'(x)h-\frac{f''(x)}{2}h^2\right| \\=\frac{1}{h^2}\left|\int_x^{x+h}\left(f'(y)-f'(x)-f''(x)(y-x)\right)dy\right| \\\leq\frac{1}{h^2}\int_x^{x+h}\left|f'(y)-f'(x)-f''(x)(y-x)\right|dy \\\leq\frac{1}{h^2}\int_x^{x+h}\varepsilon(y-x)dy\quad(\because y\in(x,x+h)のとき|y-x|\leq h<\delta)\\ =\frac{\varepsilon}{2} $$
となるので、$f$$x$で2回微分可能である。$N$は零集合だから$f$はa.e.で2回微分可能である。

証明終わり。

以上により実数を変数にもつ凸関数がほとんど至るところ2回微分可能であることが証明された。この事実が実際に役に立つことは少ないかもしれないが、証明に使われた手法や事実(Lebesgueの微分定理や、Lipschitz連続な関数や単調関数がa.e.で微分可能であること)は非常に有用であるように思われる。

投稿日:2023411

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