a-Pochhammer記号で超幾何級数の公式を書き換える
$a$-Pochhammer記号を$(x)_n^{(a)}:=\frac{(x)_n}{(1+a-x)_n}, (b_1,\dots,b_r)_n^{(a)}:=(b_1)_n^{(a)}\cdots(b_r)_n^{(a)}$によって定義する. 今回はこれを用いて様々なwell-poised超幾何級数の公式を書き換えてみる.
Dougallの和公式
Dougallの和公式は$1+2a+N=b+c+d+e$のとき,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^N\frac{2n+a}{a}\frac{(a,b,c,d,e,-N)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a+N)_n}\\
&=\frac{(1+a,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d)_N}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-b-c-d)_N}
\end{align}
と表される. $d,e\mapsto 1+a-d,1+a-e$とすると, これは
\begin{align}
\sum_{n=0}^N\frac{2n+a}{a}\frac{(b,c,-N)_n^{(a)}}{(1,d,e)_n^{(a)}}&=\frac{(1+a,1+a-b-c,d-b,d-c)_N}{(1+a-b,1+a-c,d,d-b-c)_N}
\end{align}
と表され, $a\to\infty$においてSaalschützの和公式
\begin{align}
\sum_{n=0}^N\frac{(b,c,-N)_n}{(1,d,e)_n}&=\frac{(d-b,d-c)_N}{(d,d-b-c)_N}
\end{align}
の一般化になっていることが明確になる. このように$a$-Pochhammer記号を用いて書き表すことによってwell-poised類似を同じように記述することができる場合があるのは大きな利点と言えるかもしれない.
Baileyの変換公式
次に, $w=1+2a-b-c-d, 2+3a+N=b+c+d+e+f+g$として,
Baileyによる${}_9F_8$の変換公式
\begin{align}
&\sum_{n=0}^N\frac{2n+a}a\frac{(a,b,c,d,e,f,g,-N)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a+N)_n}\\
&=\frac{(1+a,1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_N}{(1+a-e,1+a-f,1+w,1+w-e-f)_N}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{2n+w}{w}\frac{(w,w+b-a,w+c-a,w+d-a,e,f,g,-N)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-e,1+w-f,1+w-g,1+w+N)_n}
\end{align}
において, $d\mapsto 1+a-d, e\mapsto 1+a-e, f\mapsto 1+a-f $とすると, 条件は$w=a+d-b-c, d+e+f+N=1+b+c+g$となり,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^N\frac{2n+a}a\frac{(b,c,g,-N)_n^{(a)}}{(1,d,e,f)_n^{(a)}}\\
&=\frac{(1+a,e+f-a-1,1-N+g-e,1-N+g-f)_N}{(e,f,2+a+g-e-f-N,g-a-N)_N}\sum_{n=0}^N\frac{2n+w}{w}\frac{(d-b,d-c,g,-N)_n^{(w)}}{(1,d,1-N+g-e,1-N+g-f)_n^{(w)}}\\
&=\frac{(1+a,e+f-a-1,e-g,f-g)_N}{(1+a-g,e+f-a-g-1,e,f)_N}\sum_{n=0}^N\frac{2n+w}{w}\frac{(d-b,d-c,g,-N)_n^{(w)}}{(1,d,1-N+g-e,1-N+g-f)_n^{(w)}}
\end{align}
を得る. これは
Whippleの${}_4F_3$変換公式
\begin{align}
&\sum_{n=0}^N\frac{(b,c,g,-N)_n}{(1,d,e,f)_n}=\frac{(e-g,f-g)_N}{(e,f)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(d-b,d-c,g,-N)_n}{(1,d,1-N+g-e,1-N+g-f)_n}
\end{align}
のwell-poised類似である.
q類似
$q$類似でも同様の書き換えは有効である. $(x;q)_n^{(a)}:=\frac{(x;q)_n}{(aq/x;q)_n}, (b_1,\dots,b_r;q)_n^{(a)}:=(b_1;q)_n^{(a)}\cdots(b_r;q)_n^{(a)}$として, 例えば
Rogersの${}_6\phi_5$和公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_{\infty}}
\end{align}
は
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(b,c;q)_n^{(a)}}{(q,d;q)_n^{(a)}}\left(\frac{d}{bc}\right)^n&=\frac{(aq,aq/bc,d/b,d/c;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,d,d/bc;q)_{\infty}}
\end{align}
と書き換えられ,
Heineの和公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n}{(q,d;q)_n}\left(\frac{d}{bc}\right)^n&=\frac{(d/b,d/c;q)_{\infty}}{(d,d/bc;q)_{\infty}}
\end{align}
の一般化であることが見やすくなる. 一般に
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(b_1,\dots,b_r;q)_n}{(c_1,\dots,c_r;q)_n}t^n
\end{align}
のwell-poised類似が
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(b_1,\dots,b_r;q)_n^{(a)}}{(c_1,\dots,c_r;q)_n^{(a)}}t^n
\end{align}
であると考えれば, 様々な変換公式がよりシンプルに理解できることが多いと思う.
