GasperによるBarnesの第2補題のq類似
Barnesの第2補題
は$\delta=a+b+c+\alpha+\beta$として,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(\alpha-s)\Gamma(\beta-s)}{\Gamma(\delta+s)}\,ds\\
&=\frac{\Gamma(\alpha+a)\Gamma(\alpha+b)\Gamma(\alpha+c)\Gamma(\beta+a)\Gamma(\beta+b)\Gamma(\beta+c)}{\Gamma(\delta-a)\Gamma(\delta-b)\Gamma(\delta-c)}
\end{align}
と表される. 以下はその$q$類似である.
$|a|,|b|,|c|,|\alpha|,|\beta|<1, \delta=abc\alpha\beta$のとき,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(\delta e^{i\theta},e^{i\theta}q/\gamma,\gamma e^{i\theta}/\alpha\beta,\gamma e^{-i\theta},\alpha\beta e^{-i\theta}q/\gamma;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},\alpha e^{-i\theta},\beta e^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac{(\gamma/\alpha,\alpha q/\gamma,\gamma/\beta,\beta q/\gamma,\delta/a,\delta/b,\delta/c;q)_{\infty}}{(q,\alpha a,\alpha b,\alpha c,\beta a,\beta b,\beta c;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
における議論により, $|c_1|,|c_2|,|c_3|,|d_1|,|d_2|<1$のとき,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(a_1e^{i\theta},a_2e^{i\theta},a_3e^{i\theta},b_1e^{-i\theta},b_2e^{-i\theta};q)_{\infty}}{(c_1e^{i\theta},c_2e^{i\theta},c_3e^{i\theta},d_1e^{-i\theta},d_2e^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac{(a_1d_1,a_2d_1,a_3d_1,b_1/d_1,b_2/d_1;q)_{\infty}}{(c_1d_1,c_2d_1,c_3d_1,d_2/d_1,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c_1d_1,c_2d_1,c_3d_1,d_1q/b_1,d_1q/b_2;q)_n}{(q,a_1d_1,a_2d_1,a_3d_1,d_1q/d_2;q)_n}\left(\frac{b_1b_2}{d_1d_2}\right)^n\\
&\qquad+\frac{(a_1d_2,a_2d_2,a_3d_2,b_1/d_2,b_2/d_2;q)_{\infty}}{(c_1d_2,c_2d_2,c_3d_2,d_1/d_2,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c_1d_2,c_2d_2,c_3d_2,d_2q/b_1,d_2q/b_1;q)_n}{(q,a_1d_2,a_2d_2,a_3d_2,d_2q/d_1;q)_n}\left(\frac{b_1b_2}{d_1d_2}\right)^n
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(\delta e^{i\theta},e^{i\theta}q/\gamma,\gamma e^{i\theta}/\alpha\beta,\gamma e^{-i\theta},\alpha\beta e^{-i\theta}q/\gamma;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},\alpha e^{-i\theta},\beta e^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac{(\alpha\delta,\alpha q/\gamma,\gamma/\beta,\gamma/\alpha,\beta q/\gamma;q)_{\infty}}{(\alpha a,\alpha b,\alpha c,\beta/\alpha,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha a,\alpha b,\alpha c;q)_n}{(q,\alpha\delta,\alpha q/\beta;q)_n}q^n\\
&\qquad+\frac{(\beta\delta,\beta q/\gamma,\gamma/\alpha,\gamma/\beta,\alpha q/\gamma;q)_{\infty}}{(\beta a,\beta b,\beta c,\alpha/\beta,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(\beta a,\beta b,\beta c;q)_n}{(q,\beta\delta,\beta q/\alpha;q)_n}q^n\\
&=\frac{(\alpha\delta,\alpha q/\gamma,\gamma/\beta,\gamma/\alpha,\beta q/\gamma;q)_{\infty}}{(\alpha a,\alpha b,\alpha c,\beta/\alpha,q;q)_{\infty}}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha a,\alpha b,\alpha c;q)_n}{(q,\alpha\delta,\alpha q/\beta;q)_n}q^n+\frac{(\alpha a,\alpha b,\alpha c,\beta/\alpha,q;q)_{\infty}}{(\beta a,\beta b,\beta c,\alpha/\beta,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(\beta a,\beta b,\beta c;q)_n}{(q,\beta\delta,\beta q/\alpha;q)_n}q^n\right)
\end{align}
ここで,
non-terminating $q$-Saalschützの和公式
より
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(\alpha a,\alpha b,\alpha c;q)_n}{(q,\alpha\delta,\alpha q/\beta;q)_n}q^n+\frac{(\alpha a,\alpha b,\alpha c,\beta/\alpha,q;q)_{\infty}}{(\beta a,\beta b,\beta c,\alpha/\beta,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(\beta a,\beta b,\beta c;q)_n}{(q,\beta\delta,\beta q/\alpha;q)_n}q^n&=\frac{(\beta/\alpha,\delta/a,\delta/b,\delta/c;q)_{\infty}}{(\beta a,\beta b,\beta c,\alpha\delta;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(\delta e^{i\theta},e^{i\theta}q/\gamma,\gamma e^{i\theta}/\alpha\beta,\gamma e^{-i\theta},\alpha\beta e^{-i\theta}q/\gamma;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},\alpha e^{-i\theta},\beta e^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac{(\alpha\delta,\alpha q/\gamma,\gamma/\beta,\gamma/\alpha,\beta q/\gamma;q)_{\infty}}{(\alpha a,\alpha b,\alpha c,\beta/\alpha,q;q)_{\infty}}\frac{(\beta/\alpha,\delta/a,\delta/b,\delta/c;q)_{\infty}}{(\beta a,\beta b,\beta c,\alpha\delta;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(\gamma/\alpha,\alpha q/\gamma,\gamma/\beta,\beta q/\gamma,\delta/a,\delta/b,\delta/c;q)_{\infty}}{(q,\alpha a,\alpha b,\alpha c,\beta a,\beta b,\beta c;q)_{\infty}}
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
$c\to 0$とすると,
前回の記事
で示したAskey-RoyによるBarnesの第1補題のq類似
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(e^{i\theta}q/\gamma,\gamma e^{i\theta}/\alpha\beta,\gamma e^{-i\theta},\alpha\beta e^{-i\theta}q/\gamma;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},\alpha e^{-i\theta},\beta e^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac{(\gamma/\alpha,\alpha q/\gamma,\gamma/\beta,\beta q/\gamma,ab\alpha\beta;q)_{\infty}}{(q,\alpha a,\alpha b,\beta a,\beta b;q)_{\infty}}
\end{align}
を得る.
