3F2のClausenの公式のq類似
前の記事
で, Clausenの公式の3F2への一般化を示した. 今回はその$q$類似を与えたいと思う.
\begin{align}
W(a;b_1,\dots,b_r;q;x):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{q;x}
\end{align}
とする.
前の記事
の系1において, $b\mapsto q^{2-2n}/b,c\mapsto q^{2-2n}/c$とすると,
\begin{align}
&\Q65{q^{-2n},q^{2-2n}/b,q^{2-2n}/c,d,e,f}{b,c,q^{2-2n}/d,q^{2-2n}/e,q^{2-2n}/f}{q^2;q^2}\\
&=\frac{(e,f;q)_n(ef,q^2;q^2)_n}{(e,f;q^2)_n(ef,q;q)_n}q^{-n}W(ef/q;b/d,c/d,defq^{2n-1},e,f,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2)
\end{align}
を得る. ここで, $bc=defq$である. この左辺は
\begin{align}
&\Q65{q^{-2n},q^{2-2n}/b,q^{2-2n}/c,d,e,f}{b,c,q^{2-2n}/d,q^{2-2n}/e,q^{2-2n}/f}{q^2;q^2}\\
&=\frac{(b,c,q^2;q^2)_n}{(d,e,f;q^2)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(d,e,f;q^2)_k}{(b,c,q^2;q^2)_k}\frac{(d,e,f;q^2)_{n-k}}{(b,c,q^2;q^2)_{n-k}}q^{-k}
\end{align}
と書き換えられる. よって,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(d,e,f;q^2)_k}{(b,c,q^2;q^2)_k}\frac{(d,e,f;q^2)_{n-k}}{(b,c,q^2;q^2)_{n-k}}q^{n-k}&=\frac{(e,f;q)_n(d,ef;q^2)_n}{(b,c;q^2)_n(ef,q;q)_n}W(ef/q;b/d,c/d,defq^{2n-1},e,f,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2)
\end{align}
を得る. 変数を置き換えて両辺の母関数を考えると以下を得る.
$abcq=de$のとき,
\begin{align}
&\Q32{a,b,c}{d,e}{q^2;x}\Q32{a,b,c}{d,e}{q^2;xq}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n(a,bc;q^2)_n}{(d,e;q^2)_n(bc,q;q)_n}x^nW(bc/q;d/a,e/a,abcq^{2n-1},b,c,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2)
\end{align}
が成り立つ.
次に,
Baileyの変換公式
より$n=2k$が偶数のとき,
\begin{align}
&W(bc/q;d/a,e/a,abcq^{2n-1},b,c,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2)\\
&=\frac{(bcq,a,q^{3-4k}/d,q^{3-4k}/e;q^2)_k}{(d,e,q^{3-4k}/a,aq^{3-4k}/de;q^2)_k}W(q^{1-2n}/a;d/a,e/a,q,q^{2-2n}/ab,q^{2-2n}/ac,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2)\\
&=\frac{(bcq,a,dq^{2k-1},eq^{2k-1};q^2)_k}{(d,e,aq^{2k-1},bcq^{2k};q^2)_k}W(q^{1-2n}/a;d/a,e/a,q,q^{2-2n}/ab,q^{2-2n}/ac,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2)\\
&=\frac{(a/q,bc;q)_n(d/q,e/q;q^2)_n}{(d/q,e/q;q)_n(a/q,bc;q^2)_n}W(q^{1-2n}/a;d/a,e/a,q,q^{2-2n}/ab,q^{2-2n}/ac,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2)
\end{align}
を得る. $n$が奇数の場合も同様である. よって, これを定理1に代入して以下を得る.
$abcq=de$のとき,
\begin{align}
&\Q32{a,b,c}{d,e}{q^2;x}\Q32{a,b,c}{d,e}{q^2;xq}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a/q,b,c;q)_n(a,d/q,e/q;q^2)_n}{(a/q,d,e;q^2)_n(d/q,e/q,q;q)_n}x^nW(q^{1-2n}/a;d/a,e/a,q,q^{2-2n}/ab,q^{2-2n}/ac,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2)
\end{align}
が成り立つ.
$a,e$以外を固定して$a\to\infty$とすると 前の記事 で示したChaundyの公式の$q$類似を得る.
Jacksonの$q$-Clausenの公式
は
\begin{align}
\Q21{a,b}{abq}{q^2;x}\Q21{a,b}{abq}{q^2;xq}=\Q43{a,b,\sqrt{ab},-\sqrt{ab}}{\sqrt{abq},-\sqrt{abq},ab}{x}
\end{align}
であり, 古典的な場合とは違い, 右辺が${}_4\phi_3$になっていることから,
前の記事
の定理3と同じように定理2を用いて${}_2F_1$の4乗の$q$類似の公式を与えることはできないようである.
