Chaundyの公式のq類似
前の記事
で, ChaundyによるClausenの公式の一般化
\begin{align}
\F21{a,b}{c}{x}^2&=\sum_{0\leq n}\frac{\left(2a,2b,c-\frac 12\right)_n}{n!(c,2c-1)_n}x^n\F43{\frac 12,\frac 12+a+b-c,-\frac n2,\frac{1-n}2}{a+\frac 12,b+\frac 12,\frac 32-c-n}1
\end{align}
を示した. 今回はその$q$類似を与えたいと思う. まず,
前の記事
の定理3において, $b^2\mapsto b,c^2\mapsto q^{2-2N}/c,d^2\mapsto a, N\mapsto n$とすると,
\begin{align}
\Q43{q^{-2n},a,b,q^{2-2n}/c}{c,q^{2-2n}/a,q^{2-2n}/b}{q^2;\frac{cq}{ab}}&=\frac{(-q,a;q)_n}{(a;q^2)_n}q^{-n}\Q43{c/b,a,q^{-n},q^{1-n}}{q^{2-2n}/b,c,aq}{q^2;q^2}
\end{align}
ここで, 左辺は
\begin{align}
\Q43{q^{-2n},a,b,q^{2-2n}/c}{c,q^{2-2n}/a,q^{2-2n}/b}{q^2;\frac{cq}{ab}}&=\frac{(c,q^2;q^2)_n}{(a,b;q^2)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(a,b;q^2)_k}{(c,q^2;q^2)_k}\frac{(a,b;q^2)_{n-k}}{(c,q^2;q^2)_{n-k}}q^{-k}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(a,b;q^2)_k}{(c,q^2;q^2)_k}\frac{(a,b;q^2)_{n-k}}{(c,q^2;q^2)_{n-k}}q^{n-k}&=\frac{(-q,a;q)_n(b;q^2)_n}{(c,q^2;q^2)_n}\Q43{c/b,a,q^{-n},q^{1-n}}{q^{2-2n}/b,c,aq}{q^2;q^2}\\
&=\frac{(a;q)_n(b;q^2)_n}{(q;q)_n(c;q^2)_n}\Q43{c/b,a,q^{-n},q^{1-n}}{q^{2-2n}/b,c,aq}{q^2;q^2}\\
\end{align}
を得る. 母関数を考えると
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}{q^2;x}\Q21{a,b}{c}{q^2;xq}&=\sum_{0\leq n}\frac{(-q,a;q)_n(b;q^2)_n}{(c,q^2;q^2)_n}x^n\Q43{c/b,a,q^{-n},q^{1-n}}{q^{2-2n}/b,c,aq}{q^2;q^2}
\end{align}
ここで,
Searsの変換公式
より
\begin{align}
\Q43{c/b,a,q^{-n},q^{1-n}}{q^{2-2n}/b,c,aq}{q^2;q^2}&=\frac{(cq^n,cq^{n-1},bq^{2n},bq;q^2)_{\infty}}{(c,cq^{2n-1},bq^n,bq^{n-1};q^2)_{\infty}}\Q43{abq/c,q,q^{-n},q^{1-n}}{aq,bq,q^{3-2n}/c}{q^2;q^2}\\
&=\frac{(b;q)_n(c/q;q^2)_n}{(b;q^2)_n(c/q;q)_n}\Q43{q,abq/c,q^{-n},q^{1-n}}{aq,bq,q^{3-2n}/c}{q^2;q^2}\\
\end{align}
であるから, これを代入して以下の定理を得る.
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{q^2;x}\Q21{a,b}{c}{q^2;xq}&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n(c/q;q^2)_n}{(q,c/q;q)_n(c;q^2)_n}x^n\Q43{q,abq/c,q^{-n},q^{1-n}}{aq,bq,q^{3-2n}/c}{q^2;q^2} \end{align}
これはChaundyの公式の$q$類似になっており, Jacksonによる$q$-Clausenの公式 の一般化になっている. $x\mapsto \frac xa$としてから$a\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align} \Q11{b}{c}{q^2;x}\Q11{b}{c}{q^2;xq}&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{\binom n2}(b;q)_n(c/q;q^2)_n}{(q,c/q;q)_n(c;q^2)_n}x^n\Q32{q,q^{-n},q^{1-n}}{bq,q^{3-2n}/c}{q^2;\frac{bq^2}{c}} \end{align}
さらに$x\mapsto \frac xb$としてから$b\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align} \Q01{-}{c}{q^2;x}\Q01{-}{c}{q^2;xq}&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2-n}(c/q;q^2)_n}{(q,c/q;q)_n(c;q^2)_n}x^n\Q31{q,q^{-n},q^{1-n}}{q^{3-2n}/c}{q^2;\frac{q}{c}} \end{align}
次に, 定理1において, $a\to 0$とすると以下を得る.
\begin{align} \Q21{0,b}{c}{q^2;x}\Q21{0,b}{c}{q^2;xq}&=\sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_n(c/q;q^2)_n}{(q,c/q;q)_n(c;q^2)_n}x^n\Q32{q,q^{-n},q^{1-n}}{bq,q^{3-2n}/c}{q^2;q^2} \end{align}
さらに$b\to 0$とすると以下を得る.
\begin{align} \Q21{0,0}{c}{q^2;x}\Q21{0,0}{c}{q^2;xq}&=\sum_{0\leq n}\frac{(c/q;q^2)_n}{(q,c/q;q)_n(c;q^2)_n}x^n\Q32{q,q^{-n},q^{1-n}}{0,q^{3-2n}/c}{q^2;q^2} \end{align}
また, 系3において$x\mapsto\frac xb$としてから$b\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align} \Q11{0}{c}{q^2;x}\Q11{0}{c}{q^2;xq}&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{\binom n2}(c/q;q^2)_n}{(q,c/q;q)_n(c;q^2)_n}x^n \end{align}
定理1において$c\to 0$として以下を得る.
\begin{align} \Q21{a,b}{0}{q^2;x}\Q21{a,b}{0}{q^2;xq}&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(q;q)_n}x^n\Q32{q,q^{-n},q^{1-n}}{aq,bq}{q^2;abq^{2n}} \end{align}
前の記事 でいくつか$q$超幾何級数の積の公式を示したが, 上の系はそれらとは異なる形をしているようである.
Clausenの公式の類似となる公式
\begin{align}
\F21{a,b}{a+b+\frac 12}{x}\F21{\frac 12-a,\frac 12-b}{\frac 32-a-b}x=\F32{\frac 12,\frac 12+a-b,\frac 12+b-a}{a+b+\frac 12,\frac 32-a-b}x
\end{align}
についても$q$類似があるのかどうかは気になるところである.
