q超幾何級数の積
前の記事 で超幾何級数の積が再び超幾何級数で表されるというタイプの結果を示した.
今回は$q$超幾何級数の積が再び$q$超幾何級数の積で表されるというタイプの結果を示す.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a,-b/a;q)_n}{(b,q;q)_n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(a,-b/a;q)_m}{(b,q;q)_m}(-x)^m\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2/a^2;q^2)_n(-b;q)_{2n}}{(b^2,q^2;q^2)_n(b;q)_{2n}}x^{2n} \end{align}
左辺は$x$に関する偶関数であるので, 奇数次の項がない.
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,-b/a;q)_n}{(b,q;q)_n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(a,-b/a;q)_m}{(b,q;q)_m}(-x)^m\\
&=\sum_{0\leq n}(-x)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,-b/a;q)_k}{(b,q;q)_k}\frac{(a,-b/a;q)_{n-k}}{(b,q;q)_{n-k}}(-1)^k\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,-b/a;q)_n}{(b,q;q)_n}(-x)^n\Q43{a,-b/a,q^{1-n}/b,q^{-n}}{b,q^{1-n}/a,-aq^{1-n}/b}{q}
\end{align}
ここで, $q$-Dixonの和公式(
前の記事
の系1)より, $n=2k$のとき,
\begin{align}
\Q43{q^{-n},q^{1-n}/b,a,-b/a}{b,q^{1-n}/a,-aq^{1-n}/b}{q}&=\frac{(q,-b;q)_n(a^2,b^2/a^2;q^2)_k}{(a,-b/a;q)_n(b^2,q^2;q^2)_k}
\end{align}
となるからこれを代入して定理が示される.
これは
\begin{align}
\Q21{a,-b/a}{b}{x}\Q21{a,-b/a}{b}{-x}&=\Q43{a^2,b^2/a^2,-b,-bq}{b^2,b,bq}{q^2;x^2}
\end{align}
と書くこともできる. 定理1は
前の記事
で示したRamanujanによる公式
\begin{align}
\F11{a}b{x}\F11{a}{b}{-x}=\F23{a,b-a}{b,\frac b2,\frac{b+1}2}{\frac{x^2}4}
\end{align}
の$q$類似である. また, $b\mapsto -ab$とすると定理1は
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(-ab,q;q)_n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(a,b;q)_m}{(-ab,q;q)_m}(-x)^m\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,b^2;q^2)_n(ab;q)_{2n}}{(a^2b^2,q^2;q^2)_n(-ab;q)_{2n}}x^{2n}
\end{align}
となる. これは
前の記事
で示したBaileyによる形式的べき級数としての等式
\begin{align}
\F20{a,b}-{x}\F20{a,b}-{-x}&=\F41{a,b,\frac{a+b}2,\frac{a+b+1}2}{a+b}{4x^2}
\end{align}
の$q$類似である.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a^2;q^2)_n}{(a^2,q;q)_n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(b^2;q^2)_m}{(b^2,q;q)_m}(-x)^m\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2b^2;q^2)_{2n}}{(a^2q,b^2q,a^2b^2,q^2;q^2)_n}x^{2n} \end{align}
左辺は$x$に関する偶関数であるので, 奇数次の項がない.
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a^2;q^2)_n}{(a^2,q;q)_n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(b^2;q^2)_m}{(b^2,q;q)_m}(-x)^m\\
&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{(b^2;q^2)_k}{(b^2,q;q)_k}\frac{(a^2;q^2)_{n-k}}{(a^2,q;q)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a^2;q^2)_n}{(a^2,q;q)_n}x^n\Q43{q^{-n},q^{1-n}/a^2,b,-b}{q^{1-n}/a,-q^{1-n}/a,b^2}{q}
\end{align}
ここで,
Andrewsによる$q$-Watsonの和公式
より$n=2k$のとき,
\begin{align}
\Q43{q^{-n},q^{1-n}/a^2,b,-b}{q^{1-n}/a,-q^{1-n}/a,b^2}{q}&=\frac{(q,a^2b^2q^{2k};q^2)_k}{(a^2q^{2k},b^2q;q^2)_k}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a^2;q^2)_n}{(a^2,q;q)_n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(b^2;q^2)_m}{(b^2,q;q)_m}(-x)^m\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a^2;q^2)_{2k}}{(a^2,q;q)_{2k}}x^{2k}\frac{(q,a^2b^2q^{2k};q^2)_k}{(a^2q^{2k},b^2q;q^2)_k}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a^2b^2;q^2)_{2k}}{(a^2q,b^2q,a^2b^2,q^2;q^2)_k}x^{2k}
\end{align}
となって定理が示される.
これは
\begin{align}
\Q21{a,-a}{a^2}x\Q21{b,-b}{b^2}{-x}&=\Q43{ab,-ab,ab\sqrt q,-ab\sqrt q}{a^2q,b^2q,a^2b^2}{q^2;x^2}
\end{align}
と表される. 定理2は
前の記事
で示した定理5
\begin{align}
\F11{a}{2a}{x}\F11{b}{2b}{-x}&=\F23{\frac{a+b}2,\frac{a+b+1}2}{a+\frac 12,b+\frac 12,a+b}{\frac{x^2}4}
\end{align}
の$q$類似である.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a,aq;q^2)_n}{(a^2,q^2;q^2)_n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(b,bq;q^2)_m}{(b^2q^2,q^2;q^2)_m}(xq)^m\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(ab;q)_{2n}}{(ab,-a,-bq,q;q)_n}x^n \end{align}
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,aq;q^2)_n}{(a^2,q^2;q^2)_n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(b,bq;q^2)_m}{(b^2q^2,q^2;q^2)_m}(xq)^m\\
&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^nq^k\frac{(b,bq;q^2)_k}{(b^2q^2,q^2;q)_k}\frac{(a,aq;q)_{n-k}}{(a^2,q^2;q^2)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,aq;q^2)_n}{(a^2,q^2;q^2)_n}x^n\Q43{q^{-2n},q^{2-2n}/a^2,b,bq}{q^{1-2n}/a,q^{2-2n}/a,b^2q^2}{q^2,q^2}
\end{align}
ここで,
$q$-Baileyの和公式
より
\begin{align}
&\Q43{q^{-2n},q^{2-2n}/a^2,b,bq}{q^{1-2n}/a,q^{2-2n}/a,b^2q^2}{q^2,q^2}\\
&=\frac{(-q,q^{1-2n}/ab;q)_n}{(-bq,q^{1-2n}/a;q)_n}\\
&=\frac{(-q,abq^n;q)_n}{(-bq,aq^n;q)_n}b^n\\
&=\frac{(-q,a;q)_n(ab;q)_{2n}}{(-bq,ab;q)_n(a;q)_{2n}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,aq;q^2)_n}{(a^2,q^2;q^2)_n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(b,bq;q^2)_m}{(b^2q^2,q^2;q^2)_m}(xq)^m\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,aq;q^2)_n}{(a^2,q^2;q^2)_n}x^n\frac{(-q,a;q)_n(ab;q)_{2n}}{(-bq,ab;q)_n(a;q)_{2n}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(ab;q)_{2n}}{(ab,-a,-bq,q;q)_n}x^n
\end{align}
となって定理を得る.
これは
\begin{align}
\Q21{a,aq}{a^2}{q^2;x}\Q21{b,bq}{b^2q^2}{q^2;xq}&=\Q43{\sqrt{ab},-\sqrt{ab},\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}{ab,-a,-bq}{x}
\end{align}
と表される. $a\mapsto -a,b\mapsto -b/q$とした式の古典極限は
前の記事
の定理3
\begin{align}
\F01{-}a{x}\F01b{-}x&=\F23{\frac{a+b}2,\frac{a+b-1}2}{a,b,a+b-1}{4x}
\end{align}
になる.
