三角圏の有界t-structureのheartの特徴づけ【Bridgeland安定性第2回】

見やすくするため、${\mathcal{T}}^{\le 0}:=\mathcal{U}$と${\mathcal{T}}^{\ge 0}:=\mathcal{V}$などの記法を使う。

前半について。整数$k_1>k_2$に対して、$\mathcal{H}[k_i]={\mathcal{T}}^{\le -k_i}\cap {\mathcal{T}}^{\ge -k_i}$なので、おちつくと$\mathcal{H}[k_1]\subseteq {\mathcal{T}}^{\le -k_1}$と$\mathcal{H}[k_2]\subseteq {\mathcal{T}}^{\ge -k_2}$だが、$-k_1<-k_2$なので${\mathcal{T}}^{\le -k_1}\perp {\mathcal{T}}^{\ge -k_2}$である。よって従う。

後半について。まず条件が成り立つとすると、任意の対象$T$に対して、
$$T\in \mathcal{H}[k_1]\ast \mathcal{H}[k_2]\ast \cdots \ast \mathcal{H}[k_m]\subseteq {\mathcal{T}}^{\ge -k_1}\cap {\mathcal{T}}^{\le -k_m}=:{\mathcal{T}}^{[-k_1,-k_m]}$$
なので、もとの$t$-structureは有界である。

逆側が少し非自明である（が自然なtruncationを帰納的に落ち着いて取るだけである）。すなわちこの$t$-structureが有界としたとき、上のようなfiltrationが取れることを示す。まず有界性により任意に$T\in \mathcal{T}$を取るとある整数の区間$[k,l]$を用いて$T\in {\mathcal{T}}^{[k,l]}$となる。このとき次の主張を区間の長さについての帰納法で示す：

$$T\in \mathcal{H}[-k]\ast \mathcal{H}[-k-1]\ast \cdots \ast \mathcal{H}[-l].$$
ここでもし$k=l$ならば$T\in \mathcal{H}[-k]$なのでよい。

$l-k\ge 1$とする。いま$t$-structureの性質により$\mathcal{T}={\mathcal{T}}^{\le k}\ast {\mathcal{T}}^{\ge k+1}$であるので、これに$T$を適応すると、次のような三角
$$T^{\le k}\to T\to T^{\ge k+1}\to T^{\le k}[1]$$
がある（どこに属するかは記法により察してください）。この三角を左に回すと
$$T^{\ge k+1}[-1]\to T^{\le k}\to T\to T^{\ge k+1}$$
となり、$T^{\ge k+1}[-1]\in {\mathcal{T}}^{\ge k+1}[-1]={\mathcal{T}}^{\ge k+2}\subseteq {\mathcal{T}}^{\ge k}$となるので、${\mathcal{T}}^{\ge k}$が拡大で閉じたことから、$T^{\le k}\in {\mathcal{T}}^{\ge k}$が従い、つまり$T^{\le k}\in \mathcal{H}[-k]$となる。

次に$T^{\ge k+1}$について考えたいが、$T\in {\mathcal{T}}^{\le l}$であり、$T^{\le k}[1]\in {\mathcal{T}}^{\le k}[1]={\mathcal{T}}^{\le k-1}\subseteq {\mathcal{T}}^{\le l}$なので、${\mathcal{T}}^{\le l}$が拡大で閉じたことから、$T^{\ge k+1}\in {\mathcal{T}}^{\le l}$となる。よって$T^{\ge k+1}\in {\mathcal{T}}^{[k+1,l]}$となるが、inductionの仮定によりこれは$\mathcal{H}[-k-1]\ast \cdots \ast \mathcal{H}[-l]$に入る。

以上により
$$T\in T^{\le k}\ast T^{\ge k+1}\subseteq \mathcal{H}[-k]\ast (\mathcal{H}[-k-1]\ast \cdots \ast \mathcal{H}[-l])$$
が成り立つので証明おわり。

第1回 の命題6を参照のこと。もしくはこれを$t$-structureの定義にしている場合もある。

まず$(\mathcal{U},\mathcal{V})$が$t$-structureなことを示す。
補題3の条件を一つ一つ確かめる。まず$\mathcal{V}$の定義式により次が成り立つことに注意（$0$の等号が不等号に変わる）。
$$\mathcal{V}[-1]=\bigcup _{0>k_1>k_2>\cdots >k_m}\mathcal{H}[k_1]\ast \mathcal{H}[k_2]\ast \cdots \ast \mathcal{H}[k_m].$$

aについて。これは1の条件より明らかである。

bについて。これは2の条件より明らかである（ちゃんというと、任意に$T$をとると$k_1>\cdots >k_m$が取れるが、$0$以上のところを$\mathcal{U}$に、$0$未満なところを$\mathcal{V}[-1]$に押し付ければよい）。

cについて。これも$\mathcal{U}$の定義により明らか。

次にこれが有界であることだが、条件2により明らかである。

最後にheartが$\mathcal{H}$に一致することを示す。
明らかに$\mathcal{H}\subseteq \mathcal{U}\cap \mathcal{V}$であるので、逆に$T\in \mathcal{U}\cap \mathcal{V}$をとる。すると$T\in \mathcal{U}$なことと$\mathcal{U}$の定義式を「ゼロより大きい」ところとゼロに分けることで、三角
$$U[1]\to T\to H\to U[2]$$
（$U\in \mathcal{U}$と$H\in \mathcal{H}$）がある。しかし$U[1]\in \mathcal{U}[1]\perp \mathcal{V}$なので、上の$U[1]\to T\in \mathcal{V}$はゼロ射。よって$H\to U[2]$はretractionだが、そのsection $U[2]\to H$は、条件1によりゼロ射である。ゆえに$U[2]=0$であり、$T\cong H\in \mathcal{H}$となる。

ほとんどすでにやっているが、一つだけ一応確かめていないことは次である。

有界$t$-structureから始めて元に戻ること

有界$t$-structure $(\mathcal{U},\mathcal{V})$をとり、そのheartを$\mathcal{H}$とすると、次が成り立てばよい：
$$\mathcal{U}=\bigcup _{k_1>k_2>\cdots >k_m\ge 0}\mathcal{H}[k_1]\ast \mathcal{H}[k_2]\ast \cdots \ast \mathcal{H}[k_m]$$
しかしこれは命題1の証明の中での主張より分かる。