三角圏のslicingで長さ1未満の区間からquasi-abelian完全部分圏ができる 【Bridgeland安定性第4回】

この補題は次の論文のProposition 2.5で見つけた、たぶんfolkloreです。
P. Jorgensen, Abelian subcategories of triangulated categories induced by simple minded systems, arXiv:2010.11799
これはDyerのプレプリントの主結果でもあるようです：
M. Dyer, Exact subcategories of triangulated categories.

詳細な完全圏の公理を全ては確かめずに、「conflationが核・余核対になっていること」のみ示し、納得してもらうことにします。

まず$\mathcal{E}$が条件、つまり$\mathcal{E}\perp \mathcal{E}[-1]$を満たすとし、このとき定義1のようにconflationを定め、$\mathcal{E}$のconflation $X\to Y\to Z$をとると、定義によりこれは$\mathcal{T}$の三角
$$X\to Y\to Z\to X[1]$$
の一部である。これを左に回して$E\in \mathcal{E}$について$\mathcal{T}(E,-)$を伸ばすと、
$$0=\mathcal{T}(E,Z[-1])\to \mathcal{T}(E,X)\to \mathcal{T}(E,Y)$$
が完全で$\mathcal{E}\perp \mathcal{E}[-1]$により一番左がゼロ。よって、取ったconflationはkernel sequenceになっている。余核についても同様なので省略。

これが完全圏の公理をみたすことは上のJorgensenの論文のProposition 2.5を参照のこと。実はもっと短い証明ができますが、これについては気になる方は直接連絡をとってください。

2ならば1：まずpre-abelianなので、全ての余核射は、その核射の余核射となるので、核・余核対の右の射と思えるので、2により保証される完全圏構造で全ての余核射はdeflationとなる。よって完全圏の公理によりdeflationのpullbackはdeflationなので、余核射のpullbackは余核射となる。

1ならば2：
1を仮定しているので、非自明な公理は「二つの核射の合成はまた核射になる」こととその双対である。核射の場合のみ示す。なので核射$A\to B$と$B\to C$を取る。これを核・余核対$A\to B\to X$と$B\to C\to Y$に補完して、合成$A\to B\to C$の余核を取る操作で次の図式ができる：
$$\begin{array}{ccccc}& & & & 0\\ & & & & \downarrow & \\ 0& \stackrel{}{\to }& A& \stackrel{}{\to }& B& \stackrel{}{\to }& X& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & \parallel & & \downarrow & & \downarrow & \\ & & A& \stackrel{}{\to }& C& \stackrel{}{\to }& Z& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & & & \downarrow & \\ & & & & Y\\ & & & & \downarrow & \\ & & & & 0\end{array}$$
（短完全列っぽく書いたのは核・余核対、右完全列っぽく書いたのは余核を表す。）このとき、右の$BXCZ$の四角がpushoutであることが簡単な普遍性の演習問題から分かる。よって1より核射のpushoutは核射なので$X\to Z$は核射であり、さらに一般にpushoutは余核を保つので、次の図式が作れる：
$$\begin{array}{ccccccc}& & & & 0& & 0\\ & & & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0& \stackrel{}{\to }& A& \stackrel{}{\to }& B& \stackrel{}{\to }& X& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & \parallel & & \downarrow & & \downarrow & \\ & & A& \stackrel{}{\to }& C& \stackrel{}{\to }& Z& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & & & \downarrow & & \downarrow & \\ & & & & Y& =& Y\\ & & & & \downarrow & & \downarrow & \\ & & & & 0& & 0\end{array}$$
ここまで来ると、$A\to C$が$C\to Z$の核射であることがchaseして容易にチェックできる。

1ならば2：
上の方の分解だけ示す（下は双対）。先に言うと、ちょうどcoimage分解が$i_1{p}_1$を与える。実際、$f$の核射$K\to X$を取り、その余核射を$p_1:X\to Z$とする。と余核射の普遍性から$f=i_1{p}_1$となる射$i_1:Z\to Y$が取れる。

まず$p_1$は余核射なので、1の仮定によりdeflationである。次に$i_1$がモノ射をみたい。先に言っておくと単なるdiagram chaseなので自分でやることを勧める。このため$\phi :W\to Z$が$i_1\phi =0$とする。このとき$\phi$でpullbackすることで次の図式が得られる（完全圏のconflationのpullbackもconflationを使う）：
$$\begin{array}{ccccccccc}0& \stackrel{}{\to }& K& \stackrel{}{\to }& E& \stackrel{}{\to }& W& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & \parallel & & \downarrow & & \phi \downarrow & \\ 0& \stackrel{}{\to }& K& \stackrel{}{\to }& X& \stackrel{p_1}{\to }& Z& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & & & f\downarrow & & i_1\downarrow & \\ & & & & Y& =& Y\end{array}$$
ここで横はconflationだが縦は別にそうではない。ここで合成$E\to X\to Y$は、$E\to W\to Z\to Y$と等しいのでゼロ。よって$E\to X$は$K\to X$を経由する。このことから$E\to K$が得られるが、これは上の短完全列が分裂していることを意味するので、$E\to W$はretractionであり、それを用いて$\phi$が$p_1$を通ることが分かる。つまり$W\to X$が得られるが、これはさらに$W\to X\to Y$してゼロなので、$W\to X$は$K\to X$を通る。これは$\phi$が$K\to X\to Z$を通ることとなり、よって$\phi =0$である。

2ならば1：
まずpre-abelianなことを見る。任意に射$f$を取ると、上の分解$f=i_1{p}_1$を見ると、$p_1$はdeflationなので核を持ち、$i_1$がモノなので$p_1$の核は$f=i_1{p}_1$の核でもある。よって$f$は核を持つ。同様下の分解から$f$は余核も持つ。よってpre-abelianである。

次に任意の核・余核対がconflationなことを示せば、上の命題2により$\mathcal{E}$はquasi-abelianアーベル圏である。実際に核・余核対$A\stackrel{\iota }{\to }B\stackrel{\pi }{\to }C$をとろう。このとき$\pi$に対して2の上の分解をとると、$B\stackrel{p_1}{\to }D\stackrel{i_1}{\to }C$がとれ$p_1$がdeflationで$i_1$がモノである。ここでモノ射を合成しても核は変わらないので、$\iota :A\to B$は$p_1:B\to D$の核でもあるので、下の可換図式が得られ、
$$\begin{array}{ccccccccc}0& \stackrel{}{\to }& A& \stackrel{\iota }{\to }& B& \stackrel{p_1}{\to }& D& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & \parallel & & \parallel & & i_1\downarrow & \\ 0& \stackrel{}{\to }& A& \stackrel{\iota }{\to }& B& \stackrel{\pi }{\to }& C& \stackrel{}{\to }& 0\end{array}$$
上の列はconflationである（なぜなら$p_1$がdeflationなので）。また余核の普遍性により$i_1$は同型である。よってconflationが同型で閉じるので、下の列もconflationである。

簡単のため$I=(a,b]$の場合にのみ示すが、他の形をした区間の場合も同様である。まず$b-a\le 1$である。また証明で$\mathcal{T}$の対象のことを「$I$に入る」「$a$より大きい」などと言うが、これは前回定義した$\mathcal{P}(I)$に入ること、$\mathcal{P}((a,\mathrm{\infty }))$に入ることをそれぞれ表す。つまり$\mathcal{P}(I)$は「$a$より大きく$b$以下な対象」からなる部分圏である。

$\mathcal{P}(I)$は$\mathcal{T}$の拡大で閉じた完全部分圏なこと

第3回により$\mathcal{P}(I)$は拡大で閉じている。よって$\mathcal{P}(I)\perp \mathcal{P}(I)[-1]$を示せば補題1により従う。まず$\mathcal{P}(I)$の対象は$a$より大きいが、一方$\mathcal{P}(I)[-1]=\mathcal{P}((a,b])[-1]=\mathcal{P}((a-1,b-1])$より$\mathcal{P}(I)[-1]$の対象は$b-1$以下である。ここで長さ1未満より$a\ge b-1$であるので、slicingの条件より$a$より大きいところから$b-1$以下への射は消える。よって直交$\mathcal{P}(I)\perp \mathcal{P}(I)[-1]$が成り立つ。

$\mathcal{P}(I)$が完全圏としてquasi-abelian完全圏なこと

命題3のような射の分解を与えればよい。お察しの方もいるかもしれないが、以下作る分解は t-structureのheartがアーベル圏の記事 で与えた射の分解と同じもの（とその双対）である！

任意に$\mathcal{P}(I)$の射$\phi :X\to Y$を取る。このとき上の分解、つまり「$\mathcal{P}(I)$内で$\phi$がdeflationとモノとの合成で書ける」ことを見る。まず$\phi$のmapping cocone $K\to X$をとる。 第3回 により$({\mathcal{P}}_{>a},{\mathcal{P}}_{\le a})$が$\mathcal{T}$のtorsion pairなので、三角$K_{>a}\to K\to K_{\le a}\to$がとれ、八面体により次ができる：
$$\begin{array}{ccc}{K}_{>a}& =& K_{>a}\\ \downarrow & & \downarrow & \\ K& \stackrel{}{\to }& X& \stackrel{\phi }{\to }& Y& \stackrel{}{\to }& K[1]\\ \downarrow & & p_1\downarrow & & \parallel & & \downarrow & \\ K_{\le a}& \stackrel{}{\to }& W& \stackrel{i_1}{\to }& Y& \stackrel{}{\to }& K^{\le a}[1]\\ \downarrow & & \downarrow & \\ K_{>a}[1]& =& K_{>a}[1]\end{array}$$
ネタバレをすると上の$\phi =i_1{p}_1$が求める分解である。これを落ち着いて大きさをチェックしていく。

$K$は$(a-1,b]$に入る

これは三角$Y[-1]\to K\to X$と、$Y[-1]$が$(a-1,b-1]$に入ること（slicingの定義により）、$X$が$I=(a,b]$に入ることより従う。

$K_{>a}$は$(a,b]$に入る、つまり$\mathcal{P}(I)$に属する

これは三角$K_{\le a}[-1]\to K_{>a}\to K$と、$K_{\le a}[-1]$は$a-1$以下なので当然$b$以下、また$K$が上より$b$以下なこと（と$K_{>a}$はもともと$a$より大きいこと）から従う。

$K_{\le a}$は$(a-1,a]$に入る

これは三角$K\to K_{\le a}\to K_{>a}[1]$で、上より$K$は$a-1$より大きく、$K_{>a}[1]$は$a+1$より大きく当然$a-1$より大きいこと（と$K_{\le a}$はもともと$a$以下）から従う。

$W$は$(a,b]$に入る、つまり$\mathcal{P}(I)$に属する

まず三角$K_{\le a}\to W\to Y$で、$K_{\le a}$は$a$以下なので$b$以下、$Y$は$b$よりまず$W$は$b$以下である。次に三角$X\to W\to K_{>a}[1]$で$X$は$a$より大きく、$K_{>a}[1]$は$a+1$より大きいので$a$より大きいことから、$W$は$a$より大きい。よって従う。

以上により$X\stackrel{p_1}{\to }W\stackrel{i_1}{\to }Y$はきちんと$\mathcal{P}(I)$での分解なことが保証された。よって$p_1$が$\mathcal{P}(I)$でdeflation、$i_1$が$\mathcal{P}(I)$でモノを見ればよい。

$p_1$が$\mathcal{P}(I)$でdeflationなこと

これは縦の左から2番めの三角を見て、最初の3つが全て$\mathcal{P}(I)$に入るので、$\mathcal{P}(I)$が完全部分圏だったことから従う。

$i_1$が$\mathcal{P}(I)$でモノなこと

ここは$t$-structureの場合はより強くinflationだったが、今はモノにしかならないことに注意。適当に$E\in \mathcal{P}(I)$をとり$\mathcal{T}(E,-)$で送ると
$$\mathcal{T}(E,K_{\le a})\to \mathcal{T}(E,W)\to \mathcal{T}(E,Y)$$
が完全だが、$E$は$a$より大きく、$K_{\le a}$は$a$未満なので$\mathcal{T}(E,K_{\le a})=0$となる。よって$i_1$は$\mathcal{P}(I)$でモノである。

（inflationに必ずしもならない理由は、$K_{\le a}$が今$(a,a+1]$に入ることは言えるが$b$未満が言えないので$\mathcal{P}(I)$に入ると限らないことによる。）