三角圏のslicingで長さ1未満の区間からquasi-abelian完全部分圏ができる 【Bridgeland安定性第4回】

この補題は次の論文のProposition 2.5で見つけた、たぶんfolkloreです。
P. Jorgensen, Abelian subcategories of triangulated categories induced by simple minded systems, arXiv:2010.11799
これはDyerのプレプリントの主結果でもあるようです：
M. Dyer, Exact subcategories of triangulated categories.

詳細な完全圏の公理を全ては確かめずに、「conflationが核・余核対になっていること」のみ示し、納得してもらうことにします。

まず$\EE$が条件、つまり$\EE \perp \EE[-1]$を満たすとし、このとき定義1のようにconflationを定め、$\EE$のconflation $X \to Y \to Z$をとると、定義によりこれは$\TT$の三角
$$ X \to Y \to Z \to X[1] $$
の一部である。これを左に回して$E \in \EE$について$\TT(E,-)$を伸ばすと、
$$ 0 = \TT(E,Z[-1]) \to \TT(E,X) \to \TT(E,Y) $$
が完全で$\EE \perp \EE[-1]$により一番左がゼロ。よって、取ったconflationはkernel sequenceになっている。余核についても同様なので省略。

これが完全圏の公理をみたすことは上のJorgensenの論文のProposition 2.5を参照のこと。実はもっと短い証明ができますが、これについては気になる方は直接連絡をとってください。

2ならば1：まずpre-abelianなので、全ての余核射は、その核射の余核射となるので、核・余核対の右の射と思えるので、2により保証される完全圏構造で全ての余核射はdeflationとなる。よって完全圏の公理によりdeflationのpullbackはdeflationなので、余核射のpullbackは余核射となる。

1ならば2：
1を仮定しているので、非自明な公理は「二つの核射の合成はまた核射になる」こととその双対である。核射の場合のみ示す。なので核射$A \to B$と$B \to C$を取る。これを核・余核対$A \to B \to X$と$B \to C \to Y$に補完して、合成$A \to B \to C$の余核を取る操作で次の図式ができる：
\begin{CD} @. @. 0 \\ @. @. @VVV \\ 0 @>>> A @>>> B @>>> X @>>> 0\\ @. @| @VVV @VVV\\ @. A @>>> C @>>> Z @>>> 0 \\ @. @. @VVV \\ @. @. Y \\ @. @. @VVV \\ @.@. 0 \end{CD}
（短完全列っぽく書いたのは核・余核対、右完全列っぽく書いたのは余核を表す。）このとき、右の$BXCZ$の四角がpushoutであることが簡単な普遍性の演習問題から分かる。よって1より核射のpushoutは核射なので$X \to Z$は核射であり、さらに一般にpushoutは余核を保つので、次の図式が作れる：
\begin{CD} @. @. 0 @. 0\\ @. @. @VVV @VVV\\ 0 @>>> A @>>> B @>>> X @>>> 0\\ @. @| @VVV @VVV\\ @. A @>>> C @>>> Z @>>> 0 \\ @. @. @VVV @VVV \\ @. @. Y @= Y \\ @. @. @VVV @VVV \\ @.@. 0 @. 0 \end{CD}
ここまで来ると、$A \to C$が$C \to Z$の核射であることがchaseして容易にチェックできる。

1ならば2：
上の方の分解だけ示す（下は双対）。先に言うと、ちょうどcoimage分解が$i_1 p_1$を与える。実際、$f$の核射$K \to X$を取り、その余核射を$p_1 \colon X \to Z$とする。と余核射の普遍性から$f = i_1 p_1$となる射$i_1 \colon Z \to Y$が取れる。

まず$p_1$は余核射なので、1の仮定によりdeflationである。次に$i_1$がモノ射をみたい。先に言っておくと単なるdiagram chaseなので自分でやることを勧める。このため$\varphi \colon W \to Z$が$i_1 \varphi = 0$とする。このとき$\varphi$でpullbackすることで次の図式が得られる（完全圏のconflationのpullbackもconflationを使う）：
\begin{CD} 0 @>>> K @>>> E @>>> W @>>> 0 \\ @.@|@VVV@V{\varphi}VV \\ 0 @>>> K @>>> X @>{p_1}>> Z @>>> 0 \\ @.@.@V{f}VV@V{i_1}VV \\ @.@.Y @= Y \end{CD}
ここで横はconflationだが縦は別にそうではない。ここで合成$E \to X \to Y$は、$E \to W \to Z \to Y$と等しいのでゼロ。よって$E \to X$は$K \to X$を経由する。このことから$E \to K$が得られるが、これは上の短完全列が分裂していることを意味するので、$E \to W$はretractionであり、それを用いて$\varphi$が$p_1$を通ることが分かる。つまり$W \to X$が得られるが、これはさらに$W \to X \to Y$してゼロなので、$W \to X$は$K \to X$を通る。これは$\varphi$が$K \to X \to Z$を通ることとなり、よって$\varphi = 0$である。

2ならば1：
まずpre-abelianなことを見る。任意に射$f$を取ると、上の分解$f = i_1 p_1$を見ると、$p_1$はdeflationなので核を持ち、$i_1$がモノなので$p_1$の核は$f = i_1 p_1$の核でもある。よって$f$は核を持つ。同様下の分解から$f$は余核も持つ。よってpre-abelianである。

次に任意の核・余核対がconflationなことを示せば、上の命題2により$\EE$はquasi-abelianアーベル圏である。実際に核・余核対$A \xrightarrow{\iota} B \xrightarrow{\pi} C$をとろう。このとき$\pi$に対して2の上の分解をとると、$B \xrightarrow{p_1} D \xrightarrow{i_1} C$がとれ$p_1$がdeflationで$i_1$がモノである。ここでモノ射を合成しても核は変わらないので、$\iota \colon A \to B$は$p_1 \colon B \to D$の核でもあるので、下の可換図式が得られ、
\begin{CD} 0 @>>> A @>{\iota}>> B @>{p_1}>> D @>>> 0 \\ @.@|@|@V{i_1}VV \\ 0 @>>> A @>{\iota}>> B @>{\pi}>> C @>>> 0 \end{CD}
上の列はconflationである（なぜなら$p_1$がdeflationなので）。また余核の普遍性により$i_1$は同型である。よってconflationが同型で閉じるので、下の列もconflationである。

簡単のため$I = (a,b]$の場合にのみ示すが、他の形をした区間の場合も同様である。まず$b-a \leq 1$である。また証明で$\TT$の対象のことを「$I$に入る」「$a$より大きい」などと言うが、これは前回定義した$\PP(I)$に入ること、$\PP((a,\infty))$に入ることをそれぞれ表す。つまり$\PP(I)$は「$a$より大きく$b$以下な対象」からなる部分圏である。

$\PP(I)$は$\TT$の拡大で閉じた完全部分圏なこと

第3回により$\PP(I)$は拡大で閉じている。よって$\PP(I) \perp \PP(I) [-1]$を示せば補題1により従う。まず$\PP(I)$の対象は$a$より大きいが、一方$\PP(I)[-1] = \PP((a,b])[-1] = \PP((a-1,b-1])$より$\PP(I)[-1]$の対象は$b-1$以下である。ここで長さ1未満より$a \geq b-1$であるので、slicingの条件より$a$より大きいところから$b-1$以下への射は消える。よって直交$\PP(I) \perp \PP(I) [-1]$が成り立つ。

$\PP(I)$が完全圏としてquasi-abelian完全圏なこと

命題3のような射の分解を与えればよい。お察しの方もいるかもしれないが、以下作る分解は t-structureのheartがアーベル圏の記事 で与えた射の分解と同じもの（とその双対）である！

任意に$\PP(I)$の射$\varphi \colon X \to Y$を取る。このとき上の分解、つまり「$\PP(I)$内で$\varphi$がdeflationとモノとの合成で書ける」ことを見る。まず$\varphi$のmapping cocone $K \to X$をとる。 第3回 により$(\PP_{>a},\PP_{\leq a})$が$\TT$のtorsion pairなので、三角$K_{>a} \to K \to K_{\leq a} \to $がとれ、八面体により次ができる：
\begin{CD} K_{>a} @= K_{>a} \\ @VVV @VVV \\ K @>>> X @>{\varphi}>> Y @>>> K[1] \\ @VVV @V{p_1}VV @| @VVV \\ K_{\leq a} @>>> W @>{i_1}>> Y @>>> K^{\leq a}[1] \\ @VVV @VVV \\ K_{>a}[1] @= K_{>a}[1] \end{CD}
ネタバレをすると上の$\varphi = i_1 p_1$が求める分解である。これを落ち着いて大きさをチェックしていく。

$K$は$(a-1,b]$に入る

これは三角$Y[-1] \to K \to X$と、$Y[-1]$が$(a-1,b-1]$に入ること（slicingの定義により）、$X$が$I = (a,b]$に入ることより従う。

$K_{>a}$は$(a,b]$に入る、つまり$\PP(I)$に属する

これは三角$K_{\leq a}[-1] \to K_{>a} \to K$と、$K_{\leq a}[-1]$は$a-1$以下なので当然$b$以下、また$K$が上より$b$以下なこと（と$K_{>a}$はもともと$a$より大きいこと）から従う。

$K_{\leq a}$は$(a-1,a]$に入る

これは三角$K \to K_{\leq a} \to K_{>a}[1]$で、上より$K$は$a-1$より大きく、$K_{>a}[1]$は$a+1$より大きく当然$a-1$より大きいこと（と$K_{\leq a}$はもともと$a$以下）から従う。

$W$は$(a,b]$に入る、つまり$\PP(I)$に属する

まず三角$K_{\leq a} \to W \to Y$で、$K_{\leq a}$は$a$以下なので$b$以下、$Y$は$b$よりまず$W$は$b$以下である。次に三角$X \to W \to K_{>a}[1]$で$X$は$a$より大きく、$K_{>a}[1]$は$a+1$より大きいので$a$より大きいことから、$W$は$a$より大きい。よって従う。

以上により$X \xrightarrow{p_1} W \xrightarrow{i_1} Y$はきちんと$\PP(I)$での分解なことが保証された。よって$p_1$が$\PP(I)$でdeflation、$i_1$が$\PP(I)$でモノを見ればよい。

$p_1$が$\PP(I)$でdeflationなこと

これは縦の左から2番めの三角を見て、最初の3つが全て$\PP(I)$に入るので、$\PP(I)$が完全部分圏だったことから従う。

$i_1$が$\PP(I)$でモノなこと

ここは$t$-structureの場合はより強くinflationだったが、今はモノにしかならないことに注意。適当に$E \in \PP(I)$をとり$\TT(E,-)$で送ると
$$ \TT(E,K_{\leq a}) \to \TT(E,W) \to \TT(E,Y) $$
が完全だが、$E$は$a$より大きく、$K_{\leq a}$は$a$未満なので$\TT(E,K_{\leq a})=0$となる。よって$i_1$は$\PP(I)$でモノである。

（inflationに必ずしもならない理由は、$K_{\leq a}$が今$(a,a+1]$に入ることは言えるが$b$未満が言えないので$\PP(I)$に入ると限らないことによる。）