Chu-Wangによる両側q-Watson, q-Whippleの和公式
前の記事 において, non-terminating${}_4\phi_3$の$q$-Watson, $q$-Whippleの和公式を示した. 今回はその両側類似を示す. 以下のような結果が知られている.
$|a/b|<1,|c/d|<1$として,
\begin{align}
&\BQ44{a,c,\sqrt{bdq},-\sqrt{bdq}}{bq,dq,\sqrt{acq},-\sqrt{acq}}q\\
&=\frac{(a,1/d;q)_{\infty}}{(bq,q/c;q)_{\infty}}\frac{(q^2,bcq,q/bc,bq^2/c,ac/bd;q^2)_{\infty}}{(acq,a/b,a/d,c/d,q/bd;q^2)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{1/d}{1-a/d}\frac{(a,c;q)_{\infty}}{(bq,dq;q)_{\infty}}\frac{(bdq;q^2)_{\infty}}{(acq;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(bq^2/c;q^2)_n}{(aq^2/d;q^2)_n}\left(\frac cd\right)^n\\
&\qquad+\frac{a}{1-a/d}\frac{(1/b,1/d;q)_{\infty}}{(q/a,q/c;q)_{\infty}}\frac{(q/ac;q^2)_{\infty}}{(q/bd;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(bq^2/c;q^2)_n}{(aq^2/d;q^2)_n}\left(\frac ab\right)^n
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align} \sum_{k\in\ZZ}B_k(A_k-A_{k-1})&=\lim_{n\to\infty}A_nB_{n+1}-\lim_{n\to\infty}A_nB_{n+1}+\sum_{k\in\ZZ}A_k(B_k-B_{k+1}) \end{align}
\begin{align}
&\sum_{k=-m}^nB_k(A_k-A_{k-1})\\
&=\sum_{k=-m}^nA_kB_k-\sum_{k=-m}^nA_{k-1}B_k\\
&=A_nB_{n+1}-A_{-m-1}B_{-m}+\sum_{k=-m}^nA_k(B_k-B_{k+1})
\end{align}
より, $n,m\to\infty$とすればよい.
\begin{align}
\Omega(a,b,c,d):=\sum_{k\in\ZZ}\frac{(a,c;q)_k}{(bq,dq;q)_k}\frac{(bdq;q^2)_k}{(acq;q^2)_k}q^k
\end{align}
とする. 補題2において
\begin{align}
A_k=\frac{(aq;q)_k(bdq^3;q^2)_k}{(dq;q)_k(abq^3;q^2)_k},\quad B_k=\frac{(c;q)_k(abq^3;q^2)_k}{(bq^2;q)_k(acq;q^2)_k}
\end{align}
とすると,
\begin{align}
A_k-A_{k-1}&=\frac{(aq;q)_{k-1}(bdq^3;q^2)_{k-1}}{(dq;q)_k(abq^3;q^2)_k}\left((1-aq^k)(1-bdq^{2k+1})-(1-dq^k)(1-abq^{2k+1})\right)\\
&=\frac{(1-d/a)(1-bq^{k+1})}{(1-1/a)(1-bdq)}\frac{(a;q)_{k}(bdq;q^2)_{k}}{(dq;q)_k(abq^3;q^2)_k}q^k\\
B_k-B_{k+1}&=\frac{(c;q)_k(abq^3;q^2)_k}{(bq^2;q)_{k+1}(acq;q^2)_{k+1}}((1-bq^{k+2})(1-acq^{2k+1})-(1-cq^k)(1-abq^{2k+3}))\\
&=\frac{(1-c/bq^2)(1-aq^{k+1})}{(1-1/bq^2)(1-acq)}\frac{(c;q)_k(abq^3;q^2)_k}{(bq^3;q)_{k}(acq^3;q^2)_{k}}q^k\\
\lim_{n\to\infty}A_nB_{n+1}&=\frac{(aq,c;q)_{\infty}(bdq^3;q^2)_{\infty}}{(bq^2,dq;q)_{\infty}(acq;q^2)_{\infty}}\\
\lim_{n\to-\infty}A_nB_{n+1}&=\frac{(1/bq,1/d;q)_{\infty}(q/ac;q^2)_{\infty}}{(1/a,q/c;q)_{\infty}(1/bdq;q^2)_{\infty}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\sum_{k\in\ZZ}\frac{(c;q)_k(abq^3;q^2)_k}{(bq^2;q)_k(acq;q^2)_k}\cdot\frac{(1-d/a)(1-bq^{k+1})}{(1-1/a)(1-bdq)}\frac{(a;q)_{k}(bdq;q^2)_{k}}{(dq;q)_k(abq^3;q^2)_k}q^k\\
&=\frac{(aq,c;q)_{\infty}(bdq^3;q^2)_{\infty}}{(bq^2,dq;q)_{\infty}(acq;q^2)_{\infty}}-\frac{(1/bq,1/d;q)_{\infty}(q/ac;q^2)_{\infty}}{(1/a,q/c;q)_{\infty}(1/bdq;q^2)_{\infty}}\\
&\qquad+\sum_{k\in\ZZ}\frac{(aq;q)_k(bdq^3;q^2)_k}{(dq;q)_k(abq^3;q^2)_k}\cdot \frac{(1-c/bq^2)(1-aq^{k+1})}{(1-1/bq^2)(1-acq)}\frac{(c;q)_k(abq^3;q^2)_k}{(bq^3;q)_{k}(acq^3;q^2)_{k}}q^k
\end{align}
を得る. これを整理すると
\begin{align}
&\frac{(1-d/a)(1-bq)}{(1-1/a)(1-bdq)}\sum_{k\in\ZZ}\frac{(a,c;q)_k(bdq;q^2)_{k}}{(bq,dq;q)_k(acq;q^2)_k}q^k\\
&=\frac{(aq,c;q)_{\infty}(bdq^3;q^2)_{\infty}}{(bq^2,dq;q)_{\infty}(acq;q^2)_{\infty}}-\frac{(1/bq,1/d;q)_{\infty}(q/ac;q^2)_{\infty}}{(1/a,q/c;q)_{\infty}(1/bdq;q^2)_{\infty}}+\frac{(1-c/bq^2)(1-aq)}{(1-1/bq^2)(1-acq)}\sum_{k\in\ZZ}\frac{(aq^2,c;q)_k(bdq^3;q^2)_k}{(bq^3,dq;q)_k(acq^3;q^2)_{k}}q^k
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\Omega(a,b,c,d)&=\frac{1/d}{1-a/d}\frac{(a,c;q)_{\infty}(bdq;q^2)_{\infty}}{(bq,dq;q)_{\infty}(acq;q^2)_{\infty}}+\frac{a}{1-a/d}\frac{(1/b,1/d;q)_{\infty}(q/ac;q^2)_{\infty}}{(q/a,q/c;q)_{\infty}(q/bd;q^2)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{c}{d}\frac{(1-a)(1-aq)(1-bdq)(1-bq^2/c)}{(1-bq)(1-bq^2)(1-acq)(1-a/d)}\Omega(aq^2,bq^2,c,d)
\end{align}
を得る. ここで, $a\mapsto aq^{2k},b\mapsto bq^{2k}$として, 両辺に
\begin{align}
\frac{(a;q)_{2k}(bdq,bq^2/c;q)_k}{(bq;q)_{2k}(acq,a/d;q)_k}\left(\frac cd\right)^k
\end{align}
を掛けると,
\begin{align}
&\frac{(a;q)_{2k}(bdq,bq^2/c;q^2)_k}{(bq;q)_{2k}(acq,a/d;q^2)_k}\left(\frac cd\right)^k\Omega(aq^{2k},bq^{2k},c,d)\\
&=\frac{1/d}{1-aq^{2k}/d}\frac{(a;q)_{2k}(bdq,bq^2/c;q^2)_k}{(bq;q)_{2k}(acq,a/d;q^2)_k}\left(\frac cd\right)^k\frac{(aq^{2k},c;q)_{\infty}(bdq^{2k+1};q^2)_{\infty}}{(bq^{2k+1},dq;q)_{\infty}(acq^{2k+1};q^2)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{aq^{2k}}{1-aq^{2k}/d}\frac{(a;q)_{2k}(bdq,bq^2/c;q^2)_k}{(bq;q)_{2k}(acq,a/d;q^2)_k}\left(\frac{c}d\right)^k\frac{(q^{-2k}/b,1/d;q)_{\infty}(q^{1-2k}/ac;q^2)_{\infty}}{(q^{1-2k}/a,q/c;q)_{\infty}(q^{1-2k}/bd;q^2)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{(a;q)_{2k+2}(bdq,bq^2/c;q^2)_{k+1}}{(bq;q)_{2k+2}(acq,a/d;q^2)_{k+1}}\left(\frac cd\right)^{k+1}\Omega(aq^{2k+2},bq^{2k+2},c,d)\\
&=\frac{1/d}{1-a/d}\frac{(bq^2/c;q^2)_k}{(aq^2/d;q^2)_k}\left(\frac cd\right)^k\frac{(a,c;q)_{\infty}(bdq;q^2)_{\infty}}{(bq,dq;q)_{\infty}(acq;q^2)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{a}{1-a/d}\frac{(bq^2/c;q^2)_k}{(aq^2/d;q^2)_k}\left(\frac{a}{b}\right)^k\frac{(1/b,1/d;q)_{\infty}(q/ac;q^2)_{\infty}}{(q/a,q/c;q)_{\infty}(q/bd;q^2)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{(a;q)_{2k+2}(bdq,bq^2/c;q^2)_{k+1}}{(bq;q)_{2k+2}(acq,a/d;q^2)_{k+1}}\left(\frac cd\right)^{k+1}\Omega(aq^{2k+2},bq^{2k+2},c,d)
\end{align}
となるから, これを$k=0$から$k=m-1$まで足し合わせることによって以下を得る.
\begin{align} \Omega(a,b,c,d)&=\frac{(a;q)_{2m}(bdq,bq^2/c;q^2)_{m}}{(bq;q)_{2m}(acq,a/d;q^2)_{m}}\left(\frac cd\right)^m\Omega(aq^{2m},bq^{2m},c,d)\\ &\qquad+\frac{1/d}{1-a/d}\frac{(a,c;q)_{\infty}(bdq;q^2)_{\infty}}{(bq,dq;q)_{\infty}(acq;q^2)_{\infty}}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(bq^2/c;q^2)_k}{(aq^2/d;q^2)_k}\left(\frac cd\right)^k\\ &\qquad+\frac{a}{1-a/d}\frac{(1/b,1/d;q)_{\infty}(q/ac;q^2)_{\infty}}{(q/a,q/c;q)_{\infty}(q/bd;q^2)_{\infty}}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(bq^2/c;q^2)_k}{(aq^2/d;q^2)_k}\left(\frac{a}{b}\right)^k \end{align}
命題3で$|a/b|<1,|c/d|<1$として, $m\to\infty$とすると,
\begin{align}
\Omega(a,b,c,d)&=\frac{(a;q)_{\infty}(bdq,bq^2/c;q^2)_{\infty}}{(bq;q)_{\infty}(acq,a/d;q^2)_{\infty}}\lim_{m\to\infty}\left(\frac cd\right)^m\Omega(aq^{2m},bq^{2m},c,d)\\
&\qquad+\frac{1/d}{1-a/d}\frac{(a,c;q)_{\infty}(bdq;q^2)_{\infty}}{(bq,dq;q)_{\infty}(acq;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(bq^2/c;q^2)_k}{(aq^2/d;q^2)_k}\left(\frac cd\right)^k\\
&\qquad+\frac{a}{1-a/d}\frac{(1/b,1/d;q)_{\infty}(q/ac;q^2)_{\infty}}{(q/a,q/c;q)_{\infty}(q/bd;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(bq^2/c;q^2)_k}{(aq^2/d;q^2)_k}\left(\frac{a}{b}\right)^k
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
\left(\frac cd\right)^m\Omega(aq^{2m},bq^{2m},c,d)&=\left(\frac cd\right)^m\sum_{k\in\ZZ}\frac{(aq^{2m},c;q)_k}{(bq^{2m+1},dq;q)_k}\frac{(bdq^{2m+1};q^2)_k}{(acq^{2m+1};q^2)_k}q^k\\
&=\left(\frac cd\right)^m\left(\sum_{k<-2m}+\sum_{-2m\leq k\leq 0}+\sum_{0< k}\right)\frac{(aq^{2m},c;q)_k}{(bq^{2m+1},dq;q)_k}\frac{(bdq^{2m+1};q^2)_k}{(acq^{2m+1};q^2)_k}q^k
\end{align}
とすると, $m\to\infty$において, 中央の項は
\begin{align}
&\left(\frac cd\right)^m\sum_{-2m\leq k\leq 0}\frac{(aq^{2m},c;q)_k}{(bq^{2m+1},dq;q)_k}\frac{(bdq^{2m+1};q^2)_k}{(acq^{2m+1};q^2)_k}q^k\\
&=\left(\frac cd\right)^m\sum_{-m\leq k\leq m}\frac{(aq^{2m},c;q)_{k-m}}{(bq^{2m+1},dq;q)_{k-m}}\frac{(bdq^{2m+1};q^2)_{k-m}}{(acq^{2m+1};q^2)_{k-m}}q^{k-m}\\
&=\frac{(bq^{m+1},1/d;q)_{m}(acq;q^2)_m}{(aq^m,q/c;q)_{m}(bdq;q^2)_m}\sum_{-m\leq k\leq m}\frac{(aq^{m},cq^{-m};q)_{k}}{(bq^{m+1},dq^{1-m};q)_{k}}\frac{(bdq;q^2)_{k}}{(acq;q^2)_{k}}q^{k}\\
&\to\frac{(1/d;q)_{\infty}(acq;q^2)_{\infty}}{(q/c;q)_{\infty}(bdq;q^2)_{\infty}}\sum_{k\in\ZZ}\frac{(bdq;q^2)_{k}}{(acq;q^2)_{k}}\left(\frac cd\right)^k\qquad m\to\infty
\end{align}
となり, それ以外の項は$0$に収束することが示される. よって,
Ramanujanの${}_1\psi_1$和公式
を用いると,
\begin{align}
\lim_{m\to\infty}\left(\frac cd\right)^m\Omega(aq^{2m},bq^{2m},c,d)&=\frac{(1/d;q)_{\infty}(acq;q^2)_{\infty}}{(q/c;q)_{\infty}(bdq;q^2)_{\infty}}\sum_{k\in\ZZ}\frac{(bdq;q^2)_{k}}{(acq;q^2)_{k}}\left(\frac cd\right)^k\\
&=\frac{(1/d;q)_{\infty}(acq;q^2)_{\infty}}{(q/c;q)_{\infty}(bdq;q^2)_{\infty}}\frac{(bcq,q^2,ac/bd,q/bc;q^2)_{\infty}}{(c/d,acq,q/bd,a/b;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(1/d;q)_{\infty}(bcq,q/bc,q,ac/bd;q^2)_{\infty}}{(q/c;q)_{\infty}(bdq,q/bd,a/b,c/d;q^2)_{\infty}}
\end{align}
よってこれを先ほどの式に代入すると,
\begin{align}
\Omega(a,b,c,d)&=\frac{(a;q)_{\infty}(bdq,bq^2/c;q^2)_{\infty}}{(bq;q)_{\infty}(acq,a/d;q^2)_{\infty}}\frac{(1/d;q)_{\infty}(bcq,q/bc,q^2,ac/bd;q^2)_{\infty}}{(q/c;q)_{\infty}(bdq,q/bd,a/b,c/d;q^2)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{1/d}{1-a/d}\frac{(a,c;q)_{\infty}(bdq;q^2)_{\infty}}{(bq,dq;q)_{\infty}(acq;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(bq^2/c;q^2)_k}{(aq^2/d;q^2)_k}\left(\frac cd\right)^k\\
&\qquad+\frac{a}{1-a/d}\frac{(1/b,1/d;q)_{\infty}(q/ac;q^2)_{\infty}}{(q/a,q/c;q)_{\infty}(q/bd;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(bq^2/c;q^2)_k}{(aq^2/d;q^2)_k}\left(\frac{a}{b}\right)^k\\
&=\frac{(a,1/d;q)_{\infty}}{(bq,q/c;q)_{\infty}}\frac{(q^2,bcq,q/bc,bq^2/c,ac/bd;q^2)_{\infty}}{(acq,a/b,a/d,c/d,q/bd;q^2)_{\infty}}\\
&\qquad+\frac{1/d}{1-a/d}\frac{(a,c;q)_{\infty}(bdq;q^2)_{\infty}}{(bq,dq;q)_{\infty}(acq;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(bq^2/c;q^2)_k}{(aq^2/d;q^2)_k}\left(\frac cd\right)^k\\
&\qquad+\frac{a}{1-a/d}\frac{(1/b,1/d;q)_{\infty}(q/ac;q^2)_{\infty}}{(q/a,q/c;q)_{\infty}(q/bd;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(bq^2/c;q^2)_k}{(aq^2/d;q^2)_k}\left(\frac{a}{b}\right)^k
\end{align}
これが示すべき等式であった.
定理1において$d=1$として$b\mapsto b/q$とすると以下の系を得る.
$|c|<1$のとき,
\begin{align}
\Q43{a,c,\sqrt{b},-\sqrt{b}}{b,\sqrt{acq},-\sqrt{acq}}q&=\frac{(aq,c;q)_{\infty}}{(b,q;q)_{\infty}}\frac{(b;q^2)_{\infty}}{(acq;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(bq/c;q^2)_n}{(aq^2;q^2)_n}c^n
\end{align}
が成り立つ.
これは驚くほどシンプルで美しい等式である. 実際, Chu-Wangの論文においても"surprising formula"と書かれている. この等式に他のシンプルな証明が与えられないかを考えてみるのは興味深い研究課題かもしれない.
定理1において右辺の第2項, 第3項に Heineの変換公式 を適用した後$q\to 1$としてGaussの超幾何定理を適用すると, M. Jacksonによる${}_3H_3$和公式 を得ることができる. その意味で定理1はその$q$類似を与えていると考えることができる.
