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位相群論における開写像定理

開集合と閉包作用素

$X$を位相空間とし，$U \in \tau(X)$とする．このとき，任意の部分集合$A \subset X$に対して
$$ U \cap A \neq \varnothing \iff U \cap \cl(A) \neq \varnothing$$
が成り立つ．

$U \cap A \subset U \cap \cl(A)$より，$\implies$は明らか．
$x \in U \cap \cl(A)$を取ると，$x \in \cl(A)$と$U \in \tau(x,X)$より
$$ U \cap A \neq \varnothing$$
が成り立つ．

$X$を位相空間とし，$U \subset X$とする．このとき次は同値である：

$U \in \tau(X)$;
$\forall A \subset X,\ \cl(U \cap \cl(A)) = \cl(U \cap A)$.

(i)$\implies$(ii)

$\supset$は明らかなので$\subset$を示せばよい．そこで$x \in \cl(U \cap \cl(A))$とする．このとき，任意の$V \in \tau(x,X)$に対して，
$$ (V\cap U) \cap \cl(A) = V \cap (U \cap \cl(A)) \neq \varnothing$$
より
$$ V \cap (U \cap A) = (V \cap U) \cap A \neq \varnothing$$
が成り立つ．よって$x \in \cl(U \cap A)$を得る．

(ii)$\implies$(i)

$A := X \smallsetminus U \subset X$が閉集合であることを示せばよい．ところで
$$ U \cap \cl(A) \subset \cl(U \cap \cl(A)) = \cl(U \cap A) = \varnothing$$
より$\cl(A) \subset A$が成り立つので，結論を得る．

$X$を位相空間とし，$D \subset X$をその稠密部分集合とする．このとき，任意の開集合$U \in \tau(X)$に対して，
$$ \cl(U) = \cl(U \cap D)$$
が成り立つ．

$X$を位相空間とし，$(D_{n})_{n\in\mathbb{N}}$をその稠密開集合族とする．このとき，任意の$n \in \mathbb{N}$に対して，
$$ D_{0} \cap\cdots\cap D_{n} \subset X$$
は稠密開集合である．

$D_{0} \subset X$は稠密開集合である．
$D_{0} \cap\cdots\cap D_{n} \subset X$が稠密開集合であるとする．いま$D_{n+1} \subset X$は稠密開集合であるから，
$$ D_{0} \cap\cdots\cap D_{n} \cap D_{n+1} \subset X$$
は開集合であり，
$$ \cl(D_{0} \cap\cdots\cap D_{n+1}) = \cl((D_{0} \cap\cdots\cap D_{n}) \cap D_{n+1}) = \cl(D_{n+1}) = X$$
が成り立つ．

Baireの範疇定理

Baire

$X$をLCH空間とし，$(D_{n})_{n\in\mathbb{N}}$をその稠密開集合族とする．このとき，
$$ D:= \bigcap_{n\in\mathbb{N}} D_{n} \subset X$$
は稠密部分集合である．

$U \in \tau(X) \smallsetminus \{\varnothing\}$とする．このとき$U \cap D \neq \varnothing$なることを示せばよい．

まづ，非空相対コンパクト開集合族$(U_{n})_{n}$であって
$$ \cl(U_{n+1}) \subset U_{n} \cap D_{n+1}$$
を満たすものを，次のようにして定める：

$U \cap D_{0} \neq \varnothing$であるから，$\prescript{\exists}{}d_{0} \in U \cap D_{0} \in \tau(X)$を取ると，その相対コンパクト開近傍$U_{0} \in \tau(X)$であって
$$ \cl(U_{0}) \subset U \cap D_{0}$$
を満たすものが存在する．
$(U_{i})_{i\in[n]}$まで定まったとする．このとき$U_{n} \cap D_{n+1} \in \tau(X)\smallsetminus\{\varnothing\}$であるから，非空相対コンパクト開集合$U_{n+1} \in \tau(X)$であって
$$ \cl(U_{n+1}) \subset U_{n} \cap D_{n+1}$$
を満たすものが存在する．

定め方より，$\cl(U_{n}) \subset D_{n}$であるから，
$$ \bigcap_{n\in\mathbb{N}} \cl(U_{n}) \subset \cl(U_{0}) \cap \bigcap_{n\in\mathbb{N}} D_{n} \subset U \cap D$$
が成り立つ．一方，$\cl(U_{n+1}) \subset \cl(U_{n})$より，$(\cl(U_{n}))_{n}$は，コンパクト空間$\cl(U_{0})$の有限交叉性を持つ閉集合族なので，
$$ \bigcap_{n\in\mathbb{N}} \cl(U_{n}) \neq \varnothing$$
が成り立つ．以上より
$$ U \cap D \neq \varnothing$$
を得る．

$X$が完備距離（化可能）空間の場合も同様のことが成り立つ．証明も同様で，$U_{n}$として
$$ \mathrm{diam}(\cl(U_{n})) \leq \frac{1}{n+1}$$
なる開球が取れ，（$\cl(U_{0})$の）完備性より
$$ \bigcap_{n\in\mathbb{N}} \cl(U_{n}) \neq \varnothing$$
が成り立つ．

$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$は$G_{\delta}$集合ではない．実際，開集合族$(G_{n})_{n}$を用いて
$$ \mathbb{Q} = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} G_{n}$$
と表わせたとすると，
$$ \mathbb{R} = \cl(\mathbb{Q}) \subset \cl(G_{n}) \subset \mathbb{R}$$
より$G_{n} \subset \mathbb{R}$は稠密開集合であるので，有理数の数え上げ$(q_{n})_{n}$を取り
$$ D_{n}:= \begin{cases} G_{m} &, n = 2m\\ \mathbb{R} \smallsetminus \{q_{m}\} &, n = 2m+1 \end{cases}$$
とおくことでLCH空間$\mathbb{R}$の稠密開集合族$(D_{n})_{n}$が得られるが，このとき
$$ \bigcap_{n\in\mathbb{N}} D_{n} = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} G_{n} \cap \left(\mathbb{R}\smallsetminus\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{q_{n}\}\right)= \mathbb{Q} \cap (\mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q}) = \varnothing$$
となり不合理である．

$X$を位相空間とする．部分集合$A \subset X$について，
$$ \I(\cl(A)) = \varnothing$$
が成り立つとき，$A \subset X$を全疎集合という．

$X$をLCH空間とし，$(A_{n})_{n\in\mathbb{N}}$をその全疎集合族とする．このとき
$$ U:= \I\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_{n}\right) = \varnothing$$
が成り立つ．

各$n\in\mathbb{N}$に対して，
$$ \cl(X \smallsetminus \cl(A_{n})) = X \smallsetminus \I(\cl(A_{n})) = X$$
より，$D_{n}:= X \smallsetminus \cl(A_{n}) \subset X$は稠密開集合である．したがって
$$ \bigcap_{n\in\mathbb{N}} D_{n} = X \smallsetminus \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \cl(A_{n}) \subset X \smallsetminus \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_{n} \subset X \smallsetminus U$$
より，$X \smallsetminus U \subset X$は稠密部分集合$\bigcap_{n}D_{n}$を含む閉集合であるから，
$$ X \smallsetminus U = X,$$
すなわち
$$ U = \varnothing$$
が成り立つ．

非空LCH空間の任意の可算閉被覆$(C_{n})_{n\in\mathbb{N}}$に対して，$n\in\mathbb{N}$であって
$$ \I(C_{n}) \neq \varnothing$$
なるものが存在する．

位相群の開写像定理

$G$を$\sigma$コンパクト位相群，$G'$をLCH位相群とする．このとき，任意の全射準同型$f \colon G \to G'$は開写像である．したがって，“準同型定理”が成り立つ：
$$ G/\ker(f) \cong G' \ \text{as topological groups.}$$

Step. 1

商写像$q \colon G \to G/\ker(f)$は開写像であり，誘導準同型$\bar{f} \colon G/\ker(f) \to G'$は全単射連続写像である．一般に全射開写像は等化写像であるから，
$$ f:\text{open} \iff \bar{f}^{-1}:\text{continuous}$$
が成り立つ．したがって，$f$が全単射であるときに，群準同型$f^{-1}\colon G' \to G$の，ある非空開集合$V \subset G'$への制限が連続であることを示せばよい．実際，$f^{-1}|V$が連続ならば，$G'$の開被覆$(Vy)_{y\in G'}$の各元$Vy$に対して，制限写像
$$ f^{-1}|Vy \colon Vy \xrightarrow{R_{y^{-1}}} V \xrightarrow{f^{-1}|V} G \xrightarrow{R_{f^{-1}(y)}} G$$
が連続なので，$f^{-1} \colon G' \to G$は連続である．

Step. 2

仮定より，$G$のコンパクト集合族$(K_{n})_{n\in\mathbb{N}}$であって
$$ G = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} K_{n}$$
なるものが存在する．このとき
$$ G' = f^{\rightarrow}(G) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} f^{\rightarrow}(K_{n})$$
であるから，$(f^{\rightarrow}(K_{n}))_{n}$は非空LCH空間$G'$の可算閉被覆である．よって$n \in \mathbb{N}$であって
$$ V:= \I(f^{\rightarrow}(K_{n})) \neq \varnothing$$
なるものが存在する．コンパクト空間$K_{n}$からハウスドルフ空間$f^{\rightarrow}(K_{n})$への全単射連続写像
$$ f_{n}:= f^{f^{\rightarrow}(K_{n})} \colon K_{n} \to f^{\rightarrow}(K_{n})$$
は同相写像であるから，制限写像
$$ f^{-1}|V \colon V \subset f^{\rightarrow}(K_{n}) \xrightarrow{f_{n}^{-1}} K_{n} \subset G$$
は連続である．

コンパクト位相群$G$から$T_{0}$位相群$G'$への全射準同型$f \colon G \to G'$は開写像である．実際，コルモゴロフ商からの誘導準同型$\bar{f} \colon \mathrm{Kol}(G) \to G'$はコンパクトハウスドルフ位相群の間の全射準同型ゆえ開写像なので，$\bar{f}$と商写像$G \to \mathrm{Kol}(G) = G/\cl(\{e\})$との合成である$f \colon G \to G'$も開写像である．