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大学数学基礎解説
文献あり

位相群論における開写像定理

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開集合と閉包作用素

Xを位相空間とし,Uτ(X)とする.このとき,任意の部分集合AXに対して
UAUCl(A)
が成り立つ.

  1. UAUCl(A)より,は明らか.
  2. xUCl(A)を取ると,xCl(A)Uτ(x,X)より
    UA
    が成り立つ.

Xを位相空間とし,UXとする.このとき次は同値である:

  1. Uτ(X);
  2. AX, Cl(UCl(A))=Cl(UA).

(i)(ii)

は明らかなのでを示せばよい.そこでxCl(UCl(A))とする.このとき,任意のVτ(x,X)に対して,
(VU)Cl(A)=V(UCl(A))
より
V(UA)=(VU)A
が成り立つ.よってxCl(UA)を得る.

(ii)(i)

A:=XUXが閉集合であることを示せばよい.ところで
UCl(A)Cl(UCl(A))=Cl(UA)=
よりCl(A)Aが成り立つので,結論を得る.

Xを位相空間とし,DXをその稠密部分集合とする.このとき,任意の開集合Uτ(X)に対して,
Cl(U)=Cl(UD)
が成り立つ.

Xを位相空間とし,(Dn)nNをその稠密開集合族とする.このとき,任意のnNに対して,
D0DnX
は稠密開集合である.

  1. D0Xは稠密開集合である.
  2. D0DnXが稠密開集合であるとする.いまDn+1Xは稠密開集合であるから,
    D0DnDn+1X
    は開集合であり,
    Cl(D0Dn+1)=Cl((D0Dn)Dn+1)=Cl(Dn+1)=X
    が成り立つ.

Baireの範疇定理

Baire

XをLCH空間とし,(Dn)nNをその稠密開集合族とする.このとき,
D:=nNDnX
は稠密部分集合である.

Uτ(X){}とする.このときUDなることを示せばよい.

まづ,非空相対コンパクト開集合族(Un)nであって
Cl(Un+1)UnDn+1
を満たすものを,次のようにして定める:

  1. UD0であるから,d0UD0τ(X)を取ると,その相対コンパクト開近傍U0τ(X)であって
    Cl(U0)UD0
    を満たすものが存在する.
  2. (Ui)i[n]まで定まったとする.このときUnDn+1τ(X){}であるから,非空相対コンパクト開集合Un+1τ(X)であって
    Cl(Un+1)UnDn+1
    を満たすものが存在する.

定め方より,Cl(Un)Dnであるから,
nNCl(Un)Cl(U0)nNDnUD
が成り立つ.一方,Cl(Un+1)Cl(Un)より,(Cl(Un))nは,コンパクト空間Cl(U0)の有限交叉性を持つ閉集合族なので,
nNCl(Un)
が成り立つ.以上より
UD
を得る.

Xが完備距離(化可能)空間の場合も同様のことが成り立つ.証明も同様で,Unとして
diam(Cl(Un))1n+1
なる開球が取れ,(Cl(U0)の)完備性より
nNCl(Un)
が成り立つ.

QRGδ集合ではない.実際,開集合族(Gn)nを用いて
Q=nNGn
と表わせたとすると,
R=Cl(Q)Cl(Gn)R
よりGnRは稠密開集合であるので,有理数の数え上げ(qn)nを取り
Dn:={Gm,n=2mR{qm},n=2m+1
とおくことでLCH空間Rの稠密開集合族(Dn)nが得られるが,このとき
nNDn=nNGn(RnN{qn})=Q(RQ)=
となり不合理である.

Xを位相空間とする.部分集合AXについて,
Int(Cl(A))=
が成り立つとき,AX全疎集合という.

XをLCH空間とし,(An)nNをその全疎集合族とする.このとき
U:=Int(nNAn)=
が成り立つ.

nNに対して,
Cl(XCl(An))=XInt(Cl(An))=X
より,Dn:=XCl(An)Xは稠密開集合である.したがって
nNDn=XnNCl(An)XnNAnXU
より,XUXは稠密部分集合nDnを含む閉集合であるから,
XU=X,
すなわち
U=
が成り立つ.

非空LCH空間の任意の可算閉被覆(Cn)nNに対して,nNであって
Int(Cn)
なるものが存在する.

位相群の開写像定理

Gσコンパクト位相群,GをLCH位相群とする.このとき,任意の全射準同型f:GGは開写像である.したがって,“準同型定理”が成り立つ:
G/ker(f)G as topological groups.

Step. 1

商写像q:GG/ker(f)は開写像であり,誘導準同型f¯:G/ker(f)Gは全単射連続写像である.一般に全射開写像は等化写像であるから,
f:openf¯1:continuous
が成り立つ.したがって,fが全単射であるときに,群準同型f1:GGの,ある非空開集合VGへの制限が連続であることを示せばよい.実際,f1|Vが連続ならば,Gの開被覆(Vy)yGの各元Vyに対して,制限写像
f1|Vy:VyRy1Vf1|VGRf1(y)G
が連続なので,f1:GGは連続である.

Step. 2

仮定より,Gのコンパクト集合族(Kn)nNであって
G=nNKn
なるものが存在する.このとき
G=f(G)=nNf(Kn)
であるから,(f(Kn))nは非空LCH空間Gの可算閉被覆である.よってnNであって
V:=Int(f(Kn))
なるものが存在する.コンパクト空間Knからハウスドルフ空間f(Kn)への全単射連続写像
fn:=ff(Kn):Knf(Kn)
は同相写像であるから,制限写像
f1|V:Vf(Kn)fn1KnG
は連続である.

コンパクト位相群GからT0位相群Gへの全射準同型f:GGは開写像である.実際,コルモゴロフ商からの誘導準同型f¯:Kol(G)Gはコンパクトハウスドルフ位相群の間の全射準同型ゆえ開写像なので,f¯と商写像GKol(G)=G/Cl({e})との合成であるf:GGも開写像である.

第2可算LCH位相群の間の全射準同型は開写像である.

参考文献

投稿日:2024119
更新日:20241111
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うすい
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