が成り立つ.
より
が成り立つ.よって
より
が成り立つ.
は稠密開集合である.
は稠密部分集合である.
まづ,非空相対コンパクト開集合族
を満たすものを,次のようにして定める:
定め方より,
が成り立つ.一方,
が成り立つ.以上より
を得る.
なる開球が取れ,(
が成り立つ.
と表わせたとすると,
より
とおくことでLCH空間
となり不合理である.
が成り立つとき,
が成り立つ.
各
より,
より,
すなわち
が成り立つ.
非空LCH空間の任意の可算閉被覆
なるものが存在する.
商写像
が成り立つ.したがって,
が連続なので,
仮定より,
なるものが存在する.このとき
であるから,
なるものが存在する.コンパクト空間
は同相写像であるから,制限写像
は連続である.
コンパクト位相群
第2可算LCH位相群の間の全射準同型は開写像である.