位相群の距離化定理

1. 左移動
   $$ L_{a} \colon G \to G;\ x \mapsto ax,$$
   および右移動
   $$ R_{a} \colon G \to G;\ x \mapsto xa$$
   がともに同相写像であることからしたがう．
2. 写像
   $$ \mu \colon G \times G \to G;\ (x,y) \mapsto x^{-1}y$$
   の$(e,e) \in G \times G$における連続性からしたがう．
3. $U \in \tau(e,G)$とする．このとき，写像
   $$ G \to G;\ x \mapsto x^{-1}$$
   の$e \in G$における連続性より，$V \in \tau(e,G)$であって$V^{-1} \subset U$なるものが存在する．そこで$S := V \cap V^{-1} \in \tau(e,G)$とおくと$S^{-1} = S$であって$S \subset U$が成り立つ．
4. $n \in \mathbb{Z}_{>0}$に関する数学的帰納法で示す．
   1. 任意の$U \in \tau(e,G)$に対して，(3) より，対称開近傍$S \in \sigma(e)$であって$S \subset U$なるものが存在する．
   2. $U \in \tau(e,G)$とする．(2),(3) より，対称開近傍$S' \in \sigma(e)$であって$S'S' \subset U$なるものが存在する．この$S' \in \tau(e,G)$に対して，数学的帰納法の仮定より，対称開近傍$S \in \sigma(e)$であって$S^{n} \subset S'$なるものが存在するので，
      $$ S^{n+1} = S^{n}S \subset S^{n}S^{n} \subset S'S' \subset U$$
      が成り立つ．
5. （同相）写像
   $$ G \to G;\ x \mapsto axa^{-1}$$
   の$e \in G$における連続性よりしたがう．

1. $x \in \cl(A)$とし，$U \in \tau(e,G)$とする．nhd-of-eより，対称開近傍$S \in \sigma(e)$であって$S \subset U$なるものが存在する．いま
   $$ xS \cap A \neq \varnothing$$
   より$s \in S, a \in A$であって$xs = a$なるものが存在するので，
   $$ x = as^{-1} \in AS^{-1} = AS \subset AU$$
   が成り立つ．よって
   $$ x \in \bigcap\{AU \mid U \in \tau(e,G)\}$$
   が成り立つ．同様に
   $$ x \in \bigcap\{UA \mid U \in \tau(e,G)\}$$
   も成り立つ．
2. $x \notin \cl(A)$とする．このとき$U' \in \tau(x,G)$であって
   $$ U' \cap A = \varnothing$$
   となるものが存在する．そこで$U := x^{-1}U' \in \tau(e,G)$とおき，対称開近傍$S \in \sigma(e)$であって$S \subset U$なるものを取ると，
   $$ xS \cap A \subset xU \cap A = U' \cap A = \varnothing$$
   より
   $$ x \notin AS^{-1} = AS \subset AU$$
   となるので，
   $$ x \notin \bigcap\{AU \mid U \in \tau(e,G)\}$$
   が成り立つ．同様に
   $$ x \notin \bigcap\{UA \mid U \in \tau(e,G)\}$$
   も成り立つ．

$\mathcal{L}$が$G$上の局所基底族であること

$\mathcal{L}$がフィルター基族であることは明らか．

1. 任意の$a \in G$に対して，$\mathcal{L}(a) \subset \gen{a}_{\in}$が成り立つ．
2. $a \in G, Ua \in \mathcal{L}(a)$とする．このとき
   $$ Ua \subset \I_{\gen{\mathcal{L}}}(Ua) := \{x \in G \mid \exists V \in \mathcal{L}(e),\ Vx \subset Ua\}$$
   が成り立つことを示せばよい．ところで，$x \in Ua$とすると，$xa^{-1} \in U \in \mathcal{L}(e)$に対して，(2)より，$V \in \mathcal{L}(e)$であって
   $$ Vxa^{-1} \subset U,$$
   すなわち
   $$ Vx \subset Ua$$
   を満たすものが存在する．

よって$\mathcal{L}$は$G$上の局所基底族であるから，$(G,\tau_{\nu}(\gen{\mathcal{L}}))$は位相空間であり，
$$ \mathcal{B} := \bigcup_{a \in G} \{Ua \mid U \in \mathcal{L}(e)\}$$
は$(G,\tau_{\nu}(\gen{\mathcal{L}}))$の開基である（cf. def-top命題13周辺）．

$(G,\tau_{\nu}(\gen{\mathcal{L}}))$が位相群であること

写像
$$ \mu \colon G \times G \to G;\ (x,y) \mapsto x^{-1}y$$
が連続であることを示せばよい．そこで$Ua \in \mathcal{B}$とし，$(x,y) \in \mu^{\leftarrow}(Ua)$とする．このとき，

• (2)より，$\exists V \in \mathcal{L}(e),\ Vx^{-1}ya^{-1} \subset U$;
• (4)より，$\exists W \in \mathcal{L}(e),\ x^{-1}Wx \subset V$;
• (3)より，$\exists O \in \mathcal{L}(e),\ O^{-1}O \subset W$;

となる．よって
$$ x^{-1}y \in x^{-1}O^{-1}Oy \subset x^{-1}Wy = x^{-1}Wx \cdot x^{-1}y \subset Vx^{-1}y \subset Ua,$$
すなわち
$$ (x,y) \in Ox \times Oy \subset \mu^{\leftarrow}(Ua)$$
が成り立つ．

1. $O_{0} \in \tau(e,G)$に対して，nhd-of-eより，$U_{0} \in \sigma(e)$であって$U_{0} \subset O_{0}$なるものが存在する．
2. $(U_{i})_{i \in [n]}$まで定まったとする．このとき$U_{n} \cap O_{n} \in \tau(e,G)$に対して，nhd-of-eより，$U_{n+1} \in \sigma(e)$であって
   $$ U_{n+1}U_{n+1} \subset U_{n} \cap O_{n}$$
   を満たすものが存在する．

1. $n=1$のとき，
   $$ G\qty(\frac{1}{2})G\qty(\frac{1}{2}) = U_{1}U_{1} \subset U_{0} = G(1)$$
   が成り立つ．
2. $i \in \{1,\ldots,2^{n+1}-1\}$とする．

1. $i = 2j,j > 0,$のとき，
   \begin{align} G\qty(\frac{i}{2^{n+1}}) G\qty(\frac{1}{2^{n+1}}) &= G\qty(\frac{2j}{2^{n+1}}) G\qty(\frac{1}{2^{n+1}}) \\ &= G\qty(\frac{j}{2^{n}}) G\qty(\frac{1}{2^{n+1}}) \\ &= G\qty(\frac{2j+1}{2^{n+1}}) \\ &= G\qty(\frac{i+1}{2^{n+1}}) \end{align}
   が成り立つ．
2. $i = 2j+1,j\geq 0,$のとき，
   \begin{align} G\qty(\frac{i}{2^{n+1}}) G\qty(\frac{1}{2^{n+1}}) &= G\qty(\frac{2j+1}{2^{n+1}}) G\qty(\frac{1}{2^{n+1}})\\ &= G\qty(\frac{j}{2^{n}})G\qty(\frac{1}{2^{n+1}}) G\qty(\frac{1}{2^{n+1}})\\ &= G\qty(\frac{j}{2^{n}})U_{n+1}U_{n+1}\\ &\subset G\qty(\frac{j}{2^{n}})U_{n}\\ &= G\qty(\frac{j}{2^{n}}) G\qty(\frac{1}{2^{n}})\\ &\textcolor{orange}{\subset} G\qty(\frac{j+1}{2^{n}})\\ &= G\qty(\frac{i+1}{2^{n+1}}) \end{align}
   が成り立つ．

1. $r,s \in D_{1}$のとき，
   $$ G(r) = G(2^{-1}) = U_{1} \subset U_{0} = G(1) = G(s)$$
   が成り立つ．
2. $r,s \in D_{n+1}$とする．
   1. $r,s \in D_{n}$のとき，$G(r) \subset G(s)$が成り立つ．
   2. $r \notin D_{n}, s \in D_{n}$のとき，$r = (2i+1)2^{-(n+1)}$とおくと，
      $$ r + \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{i+1}{2^{n}} \leq s$$
      であるから，Dnより，
      $$ G(r) = G\qty(\frac{i}{2^{n}})U_{n+1} \subset G\qty(\frac{i}{2^{n}})U_{n} \textcolor{orange}{\subset} G\qty(\frac{i+1}{2^{n}}) \subset G(s)$$
      が成り立つ．
   3. $r \in D_{n}, s \notin D_{n}$のとき，$s = (2j+1)2^{-(n+1)}$とおくと，
      $$ r \leq s - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{j}{2^{n}}$$
      であるから，
      $$ G(r) \subset G\qty(\frac{j}{2^{n}}) \subset G\qty(\frac{j}{2^{n}})U_{n+1} = G(s)$$
      が成り立つ．
   4. $r,s \notin D_{n}$のとき，$r = (2i+1)2^{-(n+1)}, s = (2j+1)2^{-(n+1)}$とおくと，$i < j$より
      $$ G(r) = G\qty(\frac{i}{2^{n}}) U_{n+1} \subset G\qty(\frac{j}{2^{n}})U_{n+1} = G(s)$$
      が成り立つ．

$0 < r$としてよい．$n \in \mathbb{N}_{\geq 1}$であって$r,s \in D_{n}$なるものを取ると，
$$ 1 \leq 2^{n}r < 2^{n}s \leq 2^{n}$$
であるから，closureと前段より，
$$ \cl(G(r)) \subset G(r)U_{n} = G\qty(\frac{2^{n}r}{2^{n}}) G\qty(\frac{1}{2^{n}}) \subset G\qty(\frac{2^{n}r+1}{2^{n}}) \subset G\qty(\frac{2^{n}s}{2^{n}}) = G(s)$$
が成り立つ．

$r+2^{-(n-2)} < 1$としてよい．

1. $r \in D_{n}$のとき，Dn，monotoneより，
   $$ G(r)G\qty(\frac{1}{2^{n}}) \subset G\qty(r + \frac{1}{2^{n}}) \subset G\qty(r + \frac{1}{2^{n-2}})$$
   が成り立つ．
2. $m > n$とし$r \in D_{m} \smallsetminus D_{n}$とする．このとき$2^{n-1}r \notin \mathbb{N}$より
   $$ \frac{\lfloor 2^{n-1}r \rfloor}{2^{n-1}} \textcolor{orange}{<} r < \frac{\lfloor 2^{n-1}r \rfloor + 1}{2^{n-1}}$$
   であるから，
   $$ r' := \frac{\lfloor 2^{n-1}r \rfloor}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^{n-1}}$$
   とおくと
   $$ 0 < r < r' < r + \frac{1}{2^{n-1}} < r + \frac{1}{2^{n-2}} < 1$$
   が成り立つ．よって$r' \in D_{n-1}$であるから，monotoneより，
   $$ G(r)G\qty(\frac{1}{2^{n}}) \subset G(r')G\qty(\frac{1}{2^{(n-1)+1}}) = G\qty(r' + \frac{1}{2^{n}}) \subset G\qty(r+ \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^{n}}) \subset G\qty(r + \frac{1}{2^{n-2}})$$
   が成り立つ．

(iii)$\implies$(ii)$\implies$(i) であるから，(i)$\implies$(iii)を示せばよい．そこで$x,y \in G, x \neq y,$とする．このとき，$xy^{-1} \neq e$であり，もし$U \in \tau(e,G)$であって$Uxy^{-1} \cap U = \varnothing$なるものが存在すれば，
$$ Ux \cap Uy = \varnothing$$
となるので，初めから$y = e$としてよい．

仮定より，$O \in \tau(G)$であって
$$ [e \in O,\ x \notin O] \lor [e \notin O,\ x \in O]$$
を満たすものが存在する．後者の場合，$O' := xO^{-1} \in \tau(G)$とおくと
$$ e = xx^{-1}\in O',\ x = xe^{-1} \notin O'$$
となるので，いづれにしろ開集合$U \in \tau(G)$であって
$$ e \in U,\ x \notin U$$
なるものが存在する．この$U \in \tau(e,G)$に対して，nhd-of-eより，対称開近傍$V \in \sigma(e)$であって$VV \subset U$を満たすものが存在する．このとき
$$ Vx \cap V = \varnothing$$
が成り立つ．実際，$Vx \cap V \neq \varnothing$とすると，$y,z \in V$であって$yx = z$なるものが存在するが，このとき
$$ x = y^{-1}z \in V^{-1}V = VV \subset U$$
となり不合理である．

$G$を位相群とし，$a \in G, U \in \tau(a,G)$とする．このとき$Ua^{-1} \in \tau(e,G)$であり，$V \in \tau(e,G)$であって
$$ \cl(V) \subset Ua^{-1}$$
なるものが存在したとすると，$Va \in \tau(a,G)$に対して
$$ \cl(Va) = \cl(V)a \subset U$$
が成り立つので，初めから$a = e$としてよい．

さて，$U \in \tau(e,G)$に対して，nhd-of-eより，$V \in \sigma(e)$であって
$$ VV \subset U$$
を満たすものが存在する．したがってclosureより
$$ \cl(V) \subset VV \subset U$$
が成り立つ．

$G$を位相群とし，$a \in G, U \in \tau(a,G)$とする．もし連続写像$f \colon G \to [0,1]$であって
$$ f(e) = 0,\ f^{\rightarrow}(G \smallsetminus Ua^{-1}) \subset \{1\}$$
を満たすものが存在すれば，連続写像$f_{a} := f \circ R_{a^{-1}} \colon G \to [0,1]$に対して
$$ f_{a}(a) = 0,\ f_{a}^{\rightarrow}(G \smallsetminus U) \subset \{1\}$$
が成り立つので，初めから$a = e$としてよい．

単位元の開近傍列$(O_{n})_{n \in \mathbb{N}} := (U)_{n \in \mathbb{N}}$から定まる対称開近傍列$(U_{n})_{n \in \mathbb{N}}$を取る．このとき$(U_{n})_{n \in \mathbb{N}}$から定まる等高線様開被覆$(G(r))_{r \in D}$に対して，連続写像
$$ f \colon G \to [0,1];\ x \mapsto \inf\{r \in D \mid x \in G(r)\}$$
が定まる（cf. tietze補題2）．

1. $e \in \bigcap_{n} U_{n} = \bigcap_{n} G(2^{-n})$より
   $$ 0 \leq f(e) \leq \frac{1}{2^{n}} \to 0\ (n \to \infty)$$
   となるので，$f(e) = 0$が成り立つ．
2. 任意の$r \in D,r<1,$に対して$G(r) \subset U_{0} \subset U$が成り立つのだった．よって$x \in G \smallsetminus U$のとき，
   $$ \{r \in D \mid x \in G(r)\} = \{1\}$$
   より，$f(x) = 1$が成り立つ．

1. $H < G$とする．連続写像
   $$ \mu \colon G \times G \to G;\ (x,y) \mapsto x^{-1}y$$
   について$\mu^{\rightarrow}(H \times H) \subset H$が成り立つので，
   $$ \mu^{\rightarrow}(\cl(H) \times \cl(H)) = \mu^{\rightarrow}(\cl(H \times H)) \subset \cl(\mu^{\rightarrow}(H \times H)) \subset \cl(H)$$
   が成り立つ．よって$\cl(H) < G$である．
2. $N \triangleleft G$とする．このとき，前段より$\cl(N) < G$である．また，任意の$a \in G$に対して
   $$ a\cl(N)a^{-1} = \cl(aNa^{-1}) = \cl(N)$$
   が成り立つ．よって$\cl(N) \triangleleft G$である．

$\pi \colon G \to G/N$を射影とする．任意の開集合$U \in \tau(G)$に対して，
$$ \pi^{\leftarrow}(\pi^{\rightarrow}(U)) = UN = \bigcup_{n\in N} Un \in \tau(G)$$
より，$\pi^{\rightarrow}(U) \in \tau(G/N)$が成り立つので，$\pi$は開写像である．よって，全射開写像$\pi \times \pi$は等化写像であるから，
$$ (\pi \times \pi)(x,y) = (\pi \times \pi)(x',y') \implies \pi \circ \mu(x,y) = \pi \circ \mu(x',y')$$
が成り立つことと合わせて，連続写像$\bar{\mu} \colon (G/N) \times (G/N) \to G/N$であって$\pi \circ \mu = \bar{\mu} \circ (\pi \times \pi)$を満たすものがただ一つ存在することがわかる：
$$ \xymatrix{ {G \times G} \ar[r]^{\mu} \ar[d]_{\pi \times \pi} & {G} \ar[d]^{\pi}\\ {(G/N) \times (G/N)} \ar@{.>}[r]_{\bar{\mu}} & {G/N}\\ }$$

ところで
$$ \bar{\mu}(\pi(x),\pi(y)) = \pi(x^{-1}y) = \pi(x)^{-1} \pi(y)$$
であるから，$G/N$は位相群である．

$\pi \colon G \to G/N$を射影とする．このとき，単集合$\{\pi(e)\} \subset G/N$について
$$ N = \pi^{\leftarrow}(\{\pi(e)\}) \subset G$$
が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$\{\pi(e)\} \subset G/N$は閉集合なので，$N \subset G$は閉集合である．

(ii)$\implies$(i)

$N \subset G$が閉集合なので，$\{\pi(e)\} \subset G/N$は閉集合である．ところで$\pi(e) \in G/N$は単位元であったから，$G/N$は$T_{1}$空間である．よってhausより，$G/N$はHausdorff空間である．

剰余群$G/\cl(\{e\})$はHausdorff位相群，したがってTychonoff空間であるから，あとは
$$ \mathrm{Kol}(G) = G/\cl(\{e\})$$
が成り立つことを示せばよい．ところで
$$ \cl(\{x\}) = \cl(\{y\}) \iff \cl(\{e\}) = x^{-1}y \cdot \cl(\{e\}) \iff x^{-1}y \in \cl(\{e\})$$
が成り立つので，結論を得る．

kol定理36より，連続写像$\bar{f} \colon \mathrm{Kol}(G) \to G'$であって$\bar{f} \circ q = f$を満たすものがただ一つ存在する．いま$q,f$は群準同型なので，$\bar{f}$も群準同型である．

(ii)$\implies$(iii) のみ示せばよい．

Step. 0

$\{O_{n} \mid n \in \mathbb{N}\} \subset \tau(e,G)$を可算局所開基とする．closure，hausより，
$$ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} O_{n} = \bigcap \tau(e,G) = \bigcap \{\{e\}U \mid U \in \tau(e,G)\} = \cl(\{e\}) = \{e\}$$
が成り立つことに注意する．

Step. 1

$(O_{n})_{n \in \mathbb{N}}$から定まる対称開近傍列$(U_{n})_{n \in \mathbb{N}}$を取る．任意の$n \in \mathbb{N}$に対して
$$ U_{n+1} \subset U_{n+1}U_{n+1} \subset U_{n} \cap O_{n} \subset O_{n}$$
が成り立つので，$\{U_{n} \in \tau(e,G) \mid n \in \mathbb{N}\}$も$e \in G$の局所開基であり，
$$ \{e\} \subset \bigcap_{n \in \mathbb{N}} U_{n} \subset \bigcap_{n \in \mathbb{N}} O_{n} = \{e\}$$
が成り立つ．

Step. 2

$(U_{n})_{n\in \mathbb{N}}$から定まる等高線様開被覆$(G(r))_{r \in D}$に対して，連続写像
$$ f \colon G \to [0,1];\ x \mapsto \inf\{r \in D \mid x \in G(r)\}$$
が定まる（cf. tietze補題2）．また，tietze補題1より
$$ \{x \in G \mid f(x) = 0\} = \bigcap \{G(r) \mid r \in D,\ 0 < r\} = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} U_{n} = \{e\}$$
が成り立つ．

Step. 3

写像$d \colon G \times G \to \mathbb{R}$を
$$ d(x,y) := \sup_{a\in G} |f(ax) - f(ay)|$$
で定める．

1. $d(x,x) = 0$が成り立つ．
2. $d(x,y) = 0$とすると，$f(e) = 0$より
   $$ |f(y^{-1}x)| = |f(y^{-1}x) - f(y^{-1}y)| \leq d(x,y) = 0$$
   であるから，$f(y^{-1}x) = 0$，したがって$x=y$が成り立つ．
3. 明らかに$d(x,y) = d(y,x)$が成り立つ．
4. $x,y,z \in G$とする．このとき，任意の$a \in G$に対して
   $$ |f(ax) -f(az)| \leq |f(ax) - f(ay)| + |f(ay) - f(az)| \leq d(x,y) + d(y,z)$$
   が成り立つので，
   $$ d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$$
   を得る．
5. 任意の$a \in G$に対して，
   \begin{align} d(ax,ay) &= \sup_{a' \in G} |f(a'ax) - f(a'ay)|\\ &= \sup_{b \in G} |f(bx) - f(by)|\\ &= d(x,y) \end{align}
   が成り立つ．

よって$d$は$G$上の左不変な距離函数である．

Step. 4-1

各$(a,\varepsilon) \in G \times \mathbb{R}_{>0}$に対して
$$ B(a;\varepsilon) := \{x \in G \mid d(x,a) < \varepsilon\}$$
とおく．

任意の$n \in \mathbb{N}$に対して
$$ U_{n+3} \subset B(e;2^{-n})$$
が成り立つことを示す．そこで$x \in U_{n+3} = G(2^{-(n+3)})$とし，$a \in G$とする．

1. unif-contiより，
   \begin{align} a \in G(r) &\implies ax \in G(r) G\qty(\frac{1}{2^{n+3}}) \subset G\qty(r+\frac{1}{2^{n+1}})\\ &\implies f(ax) \leq r + \frac{1}{2^{n+1}} \end{align}
   が成り立つので，
   $$ f(ax) - \frac{1}{2^{n+1}} \leq \inf\{r \in D \mid a \in G(r)\} = f(a)$$
   となる．
2. 同様に，unif-contiより，
   \begin{align} ax \in G(r) &\implies a = (ax)x^{-1} \in G(r) U_{n+3}^{-1} = G(r)U_{n+3} \subset G\qty(r+\frac{1}{2^{n+1}})\\ &\implies f(a) \leq r + \frac{1}{2^{n+1}} \end{align}
   が成り立つので，
   $$ f(a) - \frac{1}{2^{n+1}} \leq \inf\{r \in D \mid ax \in G(r)\} = f(ax)$$
   となる．

以上より
$$ d(x,e) = \sup_{a \in G} |f(ax) - f(a)| \leq \frac{1}{2^{n+1}} < \frac{1}{2^{n}}$$
が成り立つ．

Step. 4-2

任意の$\varepsilon > 0$に対して，$n(\varepsilon) \in \mathbb{N}$であって
$$ U_{n(\varepsilon)} \subset B(e;\varepsilon)$$
を満たすものが存在する．実際，$\varepsilon > 0$とすると，$n \in \mathbb{N}$であって$2^{-n} < \varepsilon$なるものが存在するので，
$$ n(\varepsilon) := \min\{n \in \mathbb{N} \mid 2^{-n} < \varepsilon\} +3 \in \mathbb{N}$$
が定まり，前段より
$$ U_{n(\varepsilon)} \textcolor{orange}{\subset} B(e;2^{-(n(\varepsilon)-3)}) \subset B(e;\varepsilon)$$
が成り立つ．

Step. 5

距離位相$\tau(d)$は$\{B(a;\varepsilon) \mid (a,\varepsilon) \in G \times \mathbb{R}_{>0}\}$を基底として生成される位相であった．

1. $U \in \tau(G)$とし，$a \in U$とする．このとき$a^{-1}U \in \tau(e,G)$より，$n \in \mathbb{N}$であって$U_{n} \subset a^{-1}U$なるものが存在する．まづ
   $$ B(e;2^{-n}) \subset U_{n}$$
   が成り立つことを示す．そこで$x \in B(e;2^{-n})$とすると，
   $$ f(x) = |f(ex) - f(ee)| \leq d(x,e) < \frac{1}{2^{n}}$$
   より$r \in D$であって$r < 2^{-n}, x \in G(r)$なるものが存在するので，
   $$ x \in G(r) \subset G(2^{-n}) = U_{n}$$
   が成り立つ．したがって，$d$の左不変性より，
   \begin{align} B(a;2^{-n}) &= \{x' \in G \mid d(x',a) < 2^{-n}\} \\ &= \{x' \in G \mid d(a^{-1}x',e) < 2^{-n}\} \\ &= \{ax \in G \mid d(x,e) < 2^{-n}\} \\ &= a \cdot B(e;2^{-n}) \\ &\subset a \cdot U_{n} \\ &\subset U \end{align}
   が成り立つ．よって$U \in \tau(d)$が成り立つ．
2. 前段で見たように$B(a;s) = a \cdot B(e;s)$であるから，$\tau(d) \subset \tau(G)$を示すには，任意の$s > 0$に対して$B(e;s) \in \tau(G)$が成り立つことを示せばよい．そこで$x \in B(e;s)$とする．このとき，$U \in \tau(G)$であって$x \in U \subset B(e;s)$なるものが存在することを示せばよい．
   1. $x = e$のとき，
      $$ x \in U_{n(s)} \subset B(e;s)$$
      が成り立つ．
   2. $x \neq e$のとき，
      $$ \varepsilon := \min\{d(x,e), s-d(x,e)\} > 0$$
      とおくと，
      $$ x \in x\cdot U_{n(\varepsilon)} \subset x \cdot B(e;\varepsilon) = B(x;\varepsilon) \subset B(e;s)$$
      が成り立つ．

Step. 1

まづ，$d$の左不変性より
$$ \bar{d}(\pi(x),\pi(y)) = \inf\{d(nx,my) \mid n,m \in N\} = \inf\{d(x,n'y) \mid n' \in N\} = d(x,Ny)$$
と書けることに注意する．

1. 明らかに$\bar{d}(\pi(x),\pi(x)) = 0$が成り立つ．
2. $\bar{d}(\pi(x),\pi(y)) = d(x,Ny) = 0$とすると，$Ny \subset G$が閉集合であることから，
   $$ x \in Ny = yN$$
   を得るので，$\pi(x) = \pi(y)$が成り立つ．
3. 明らかに$\bar{d}(\pi(x),\pi(y)) = \bar{d}(\pi(y),\pi(x))$が成り立つ．
4. $x,y,z \in G$とする．このとき，任意の$n \in N$に対して
   $$ |\bar{d}(\pi(x),\pi(z)) - \bar{d}(\pi(y),\pi(z))| = |d(x,Nz) - d(ny,Nz)| \leq d(x,ny)$$
   が成り立つので，
   $$ |\bar{d}(\pi(x),\pi(z)) - \bar{d}(\pi(y),\pi(z))| \leq d(x,Ny) = \bar{d}(\pi(x),\pi(y)),$$
   したがって
   $$ \bar{d}(\pi(x),\pi(z)) \leq \bar{d}(\pi(x),\pi(y)) + \bar{d}(\pi(y),\pi(z))$$
   が成り立つ．
5. $x,y \in G$とする．このとき，任意の$a \in G$に対して
   \begin{align} \bar{d}(\pi(a)\pi(x),\pi(a)\pi(y)) &= \bar{d}(\pi(ax),\pi(ay)) \\ &= d(ax,Nay) \\ &= d(ax,aNy) \\ &= d(x,Ny) \\ &= \bar{d}(\pi(x),\pi(y)) \end{align}
   が成り立つ．

よって$\bar{d}$は$G/N$上の左不変な距離函数である．

Step. 2

任意の$\varepsilon > 0$に対して
$$ \pi^{\rightarrow}(B_{d}(e;\varepsilon)) = B_{\bar{d}}(\pi(e);\varepsilon)$$
が成り立つことを示す．

1. $x \in B_{d}(e;\varepsilon)$とすると
   $$ \bar{d}(\pi(x),\pi(e)) = d(x,Ne) \leq d(x,e) < \varepsilon$$
   が成り立つ．
2. $\pi(x) \in B_{\bar{d}}(\pi(e);\varepsilon)$とする．このとき$d(x,N) < \varepsilon$より，$n \in N$であって
   $$ d(n^{-1}x,e) = d(x,n) < \varepsilon$$
   を満たすものが存在する．したがって，
   $$ n^{-1}x \in B_{d}(e;\varepsilon) \cap Nx = B_{d}(e;\varepsilon) \cap xN$$
   より，$n' \in N$であって
   $$ xn' = n^{-1}x \in B_{d}(e;\varepsilon)$$
   を満たすものが存在する．よって
   $$ \pi(x) = \pi(xn') \in \pi^{\rightarrow}(B_{d}(e;\varepsilon))$$
   が成り立つ．

Step. 3-1

任意の$\varepsilon > 0$に対して，
$$ B_{d}(e;\varepsilon) \in \tau(d) = \tau(G)$$
より
$$ B_{\bar{d}}(\pi(e);\varepsilon) = \pi^{\rightarrow}(B_{d}(e;\varepsilon)) \in \tau(G/N)$$
が成り立つ．よって$\tau(\bar{d}) \subset \tau(G/N)$が成り立つ．

Step. 3-2

$V \in \tau(G/N)$とし，$\pi(a) \in V$とする．このとき
$$ e \in \pi^{\leftarrow}(\pi(a)^{-1}V) \in \tau(G) = \tau(d)$$
より，$\varepsilon > 0$であって
$$ B_{d}(e;\varepsilon) \subset \pi^{\leftarrow}(\pi(a)^{-1}V)$$
を満たすものが存在する．したがって，
$$ B_{\bar{d}}(\pi(e);\varepsilon) = \pi^{\rightarrow}(B_{d}(e;\varepsilon)) \subset \pi(a)^{-1}V$$
より，
$$ B_{\bar{d}}(\pi(a);\varepsilon) = \pi(a) \cdot B_{\bar{d}}(\pi(e);\varepsilon) \subset V$$
が成り立つ．よって$V \in \tau(d)$が成り立つ．