位相群の距離化定理

1. 左移動
   $$L_a:G\to G;x\mapsto ax,$$
   および右移動
   $$R_a:G\to G;x\mapsto xa$$
   がともに同相写像であることからしたがう．
2. 写像
   $$\mu :G\times G\to G;(x,y)\mapsto x^{-1}y$$
   の$(e,e)\in G\times G$における連続性からしたがう．
3. $U\in \tau (e,G)$とする．このとき，写像
   $$G\to G;x\mapsto x^{-1}$$
   の$e\in G$における連続性より，$V\in \tau (e,G)$であって$V^{-1}\subset U$なるものが存在する．そこで$S:=V\cap V^{-1}\in \tau (e,G)$とおくと$S^{-1}=S$であって$S\subset U$が成り立つ．
4. $n\in {\mathbb{Z}}_{>0}$に関する数学的帰納法で示す．
   1. 任意の$U\in \tau (e,G)$に対して，(3) より，対称開近傍$S\in \sigma (e)$であって$S\subset U$なるものが存在する．
   2. $U\in \tau (e,G)$とする．(2),(3) より，対称開近傍$S^{\prime }\in \sigma (e)$であって$S^{\prime }{S}^{\prime }\subset U$なるものが存在する．この$S^{\prime }\in \tau (e,G)$に対して，数学的帰納法の仮定より，対称開近傍$S\in \sigma (e)$であって$S^n\subset S^{\prime }$なるものが存在するので，
      $$S^{n+1}=S^{n}S\subset S^n{S}^n\subset S^{\prime }{S}^{\prime }\subset U$$
      が成り立つ．
5. （同相）写像
   $$G\to G;x\mapsto ax{a}^{-1}$$
   の$e\in G$における連続性よりしたがう．

1. $x\in \mathrm{Cl}(A)$とし，$U\in \tau (e,G)$とする．補題1より，対称開近傍$S\in \sigma (e)$であって$S\subset U$なるものが存在する．いま
   $$xS\cap A\ne \varnothing$$
   より$s\in S,a\in A$であって$xs=a$なるものが存在するので，
   $$x=a{s}^{-1}\in A{S}^{-1}=AS\subset AU$$
   が成り立つ．よって
   $$x\in \bigcap \{AU\mid U\in \tau (e,G)\}$$
   が成り立つ．同様に
   $$x\in \bigcap \{UA\mid U\in \tau (e,G)\}$$
   も成り立つ．
2. $x\notin \mathrm{Cl}(A)$とする．このとき$U^{\prime }\in \tau (x,G)$であって
   $$U^{\prime }\cap A=\varnothing$$
   となるものが存在する．そこで$U:=x^{-1}{U}^{\prime }\in \tau (e,G)$とおき，対称開近傍$S\in \sigma (e)$であって$S\subset U$なるものを取ると，
   $$xS\cap A\subset xU\cap A=U^{\prime }\cap A=\varnothing$$
   より
   $$x\notin A{S}^{-1}=AS\subset AU$$
   となるので，
   $$x\notin \bigcap \{AU\mid U\in \tau (e,G)\}$$
   が成り立つ．同様に
   $$x\notin \bigcap \{UA\mid U\in \tau (e,G)\}$$
   も成り立つ．

$\mathcal{L}$が$G$上の局所基底族であること

$\mathcal{L}$がフィルター基族であることは明らか．

1. 任意の$a\in G$に対して，$\mathcal{L}(a)\subset ⟨a{⟩}_{\in }$が成り立つ．
2. $a\in G,Ua\in \mathcal{L}(a)$とする．このとき
   $$Ua\subset {\mathrm{Int}}_{⟨\mathcal{L}⟩}(Ua):=\{x\in G\mid \mathrm{\exists }V\in \mathcal{L}(e),Vx\subset Ua\}$$
   が成り立つことを示せばよい．ところで，$x\in Ua$とすると，$x{a}^{-1}\in U\in \mathcal{L}(e)$に対して，(2)より，$V\in \mathcal{L}(e)$であって
   $$Vx{a}^{-1}\subset U,$$
   すなわち
   $$Vx\subset Ua$$
   を満たすものが存在する．

よって$\mathcal{L}$は$G$上の局所基底族であるから，$(G,{\tau }_{\nu }(⟨\mathcal{L}⟩))$は位相空間であり，
$$\mathcal{B}:=\bigcup _{a\in G}\{Ua\mid U\in \mathcal{L}(e)\}$$
は$(G,{\tau }_{\nu }(⟨\mathcal{L}⟩))$の開基である（cf. [6]命題13周辺）．

$(G,{\tau }_{\nu }(⟨\mathcal{L}⟩))$が位相群であること

写像
$$\mu :G\times G\to G;(x,y)\mapsto x^{-1}y$$
が連続であることを示せばよい．そこで$Ua\in \mathcal{B}$とし，$(x,y)\in {\mu }^{\leftarrow }(Ua)$とする．このとき，

• (2)より，$\mathrm{\exists }V\in \mathcal{L}(e),V{x}^{-1}y{a}^{-1}\subset U$;
• (4)より，$\mathrm{\exists }W\in \mathcal{L}(e),x^{-1}Wx\subset V$;
• (3)より，$\mathrm{\exists }O\in \mathcal{L}(e),O^{-1}O\subset W$;

となる．よって
$$x^{-1}y\in x^{-1}{O}^{-1}Oy\subset x^{-1}Wy=x^{-1}Wx\cdot x^{-1}y\subset V{x}^{-1}y\subset Ua,$$
すなわち
$$(x,y)\in Ox\times Oy\subset {\mu }^{\leftarrow }(Ua)$$
が成り立つ．

1. $O_0\in \tau (e,G)$に対して，補題1より，$U_0\in \sigma (e)$であって$U_0\subset O_0$なるものが存在する．
2. $(U_i{)}_{i\in [n]}$まで定まったとする．このとき$U_n\cap O_n\in \tau (e,G)$に対して，補題1より，$U_{n+1}\in \sigma (e)$であって
   $$U_{n+1}{U}_{n+1}\subset U_n\cap O_n$$
   を満たすものが存在する．

1. $n=1$のとき，
   $$G\left(\frac{1}{2}\right)G\left(\frac{1}{2}\right)=U_1{U}_1\subset U_0=G(1)$$
   が成り立つ．
2. $i\in \{1,\dots ,2^{n+1}-1\}$とする．

1. $i=2j,j>0,$のとき，
   $$\begin{array}{rl}G\left(\frac{i}{2^{n+1}}\right)G\left(\frac{1}{2^{n+1}}\right)& =G\left(\frac{2j}{2^{n+1}}\right)G\left(\frac{1}{2^{n+1}}\right)\\ & =G\left(\frac{j}{2^n}\right)G\left(\frac{1}{2^{n+1}}\right)\\ & =G\left(\frac{2j+1}{2^{n+1}}\right)\\ & =G\left(\frac{i+1}{2^{n+1}}\right)\end{array}$$
   が成り立つ．
2. $i=2j+1,j\ge 0,$のとき，
   $$\begin{array}{rl}G\left(\frac{i}{2^{n+1}}\right)G\left(\frac{1}{2^{n+1}}\right)& =G\left(\frac{2j+1}{2^{n+1}}\right)G\left(\frac{1}{2^{n+1}}\right)\\ & =G\left(\frac{j}{2^n}\right)G\left(\frac{1}{2^{n+1}}\right)G\left(\frac{1}{2^{n+1}}\right)\\ & =G\left(\frac{j}{2^n}\right)U_{n+1}{U}_{n+1}\\ & \subset G\left(\frac{j}{2^n}\right)U_n\\ & =G\left(\frac{j}{2^n}\right)G\left(\frac{1}{2^n}\right)\\ & \subset G\left(\frac{j+1}{2^n}\right)\\ & =G\left(\frac{i+1}{2^{n+1}}\right)\end{array}$$
   が成り立つ．

1. $r,s\in D_1$のとき，
   $$G(r)=G(2^{-1})=U_1\subset U_0=G(1)=G(s)$$
   が成り立つ．
2. $r,s\in D_{n+1}$とする．
   1. $r,s\in D_n$のとき，$G(r)\subset G(s)$が成り立つ．
   2. $r\notin D_n,s\in D_n$のとき，$r=(2i+1)2^{-(n+1)}$とおくと，
      $$r+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{i+1}{2^n}\le s$$
      であるから，補題4より，
      $$G(r)=G\left(\frac{i}{2^n}\right)U_{n+1}\subset G\left(\frac{i}{2^n}\right)U_n\subset G\left(\frac{i+1}{2^n}\right)\subset G(s)$$
      が成り立つ．
   3. $r\in D_n,s\notin D_n$のとき，$s=(2j+1)2^{-(n+1)}$とおくと，
      $$r\le s-\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{j}{2^n}$$
      であるから，
      $$G(r)\subset G\left(\frac{j}{2^n}\right)\subset G\left(\frac{j}{2^n}\right)U_{n+1}=G(s)$$
      が成り立つ．
   4. $r,s\notin D_n$のとき，$r=(2i+1)2^{-(n+1)},s=(2j+1)2^{-(n+1)}$とおくと，$i<j$より
      $$G(r)=G\left(\frac{i}{2^n}\right)U_{n+1}\subset G\left(\frac{j}{2^n}\right)U_{n+1}=G(s)$$
      が成り立つ．

$0<r$としてよい．$n\in {\mathbb{N}}_{\ge 1}$であって$r,s\in D_n$なるものを取ると，
$$1\le 2^{n}r<2^{n}s\le 2^n$$
であるから，補題2と前段より，
$$\mathrm{Cl}(G(r))\subset G(r)U_n=G\left(\frac{2^{n}r}{2^n}\right)G\left(\frac{1}{2^n}\right)\subset G\left(\frac{2^{n}r+1}{2^n}\right)\subset G\left(\frac{2^{n}s}{2^n}\right)=G(s)$$
が成り立つ．

$r+2^{-(n-2)}<1$としてよい．

1. $r\in D_n$のとき，補題4，補題6より，
   $$G(r)G\left(\frac{1}{2^n}\right)\subset G(r+\frac{1}{2^n})\subset G(r+\frac{1}{2^{n-2}})$$
   が成り立つ．
2. $m>n$とし$r\in D_m\setminus D_n$とする．このとき$2^{n-1}r\notin \mathbb{N}$より
   $$\frac{\lfloor 2^{n-1}r\rfloor }{2^{n-1}}<r<\frac{\lfloor 2^{n-1}r\rfloor +1}{2^{n-1}}$$
   であるから，
   $$r^{\prime }:=\frac{\lfloor 2^{n-1}r\rfloor }{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n-1}}$$
   とおくと
   $$0<r<r^{\prime }<r+\frac{1}{2^{n-1}}<r+\frac{1}{2^{n-2}}<1$$
   が成り立つ．よって$r^{\prime }\in D_{n-1}$であるから，補題6より，
   $$G(r)G\left(\frac{1}{2^n}\right)\subset G(r^{\prime })G\left(\frac{1}{2^{(n-1)+1}}\right)=G(r^{\prime }+\frac{1}{2^n})\subset G(r+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n})\subset G(r+\frac{1}{2^{n-2}})$$
   が成り立つ．

(iii)$⟹$(ii)$⟹$(i) であるから，(i)$⟹$(iii)を示せばよい．そこで$x,y\in G,x\ne y,$とする．このとき，$x{y}^{-1}\ne e$であり，もし$U\in \tau (e,G)$であって$Ux{y}^{-1}\cap U=\varnothing$なるものが存在すれば，
$$Ux\cap Uy=\varnothing$$
となるので，初めから$y=e$としてよい．

仮定より，$O\in \tau (G)$であって
$$[e\in O,x\notin O]\vee [e\notin O,x\in O]$$
を満たすものが存在する．後者の場合，$O^{\prime }:=x{O}^{-1}\in \tau (G)$とおくと
$$e=x{x}^{-1}\in O^{\prime },x=x{e}^{-1}\notin O^{\prime }$$
となるので，いづれにしろ開集合$U\in \tau (G)$であって
$$e\in U,x\notin U$$
なるものが存在する．この$U\in \tau (e,G)$に対して，補題1より，対称開近傍$V\in \sigma (e)$であって$VV\subset U$を満たすものが存在する．このとき
$$Vx\cap V=\varnothing$$
が成り立つ．実際，$Vx\cap V\ne \varnothing$とすると，$y,z\in V$であって$yx=z$なるものが存在するが，このとき
$$x=y^{-1}z\in V^{-1}V=VV\subset U$$
となり不合理である．

$G$を位相群とし，$a\in G,U\in \tau (a,G)$とする．このとき$U{a}^{-1}\in \tau (e,G)$であり，$V\in \tau (e,G)$であって
$$\mathrm{Cl}(V)\subset U{a}^{-1}$$
なるものが存在したとすると，$Va\in \tau (a,G)$に対して
$$\mathrm{Cl}(Va)=\mathrm{Cl}(V)a\subset U$$
が成り立つので，初めから$a=e$としてよい．

さて，$U\in \tau (e,G)$に対して，補題1より，$V\in \sigma (e)$であって
$$VV\subset U$$
を満たすものが存在する．したがって補題2より
$$\mathrm{Cl}(V)\subset VV\subset U$$
が成り立つ．

$G$を位相群とし，$a\in G,U\in \tau (a,G)$とする．もし連続写像$f:G\to [0,1]$であって
$$f(e)=0,f^{\to }(G\setminus U{a}^{-1})\subset \{1\}$$
を満たすものが存在すれば，連続写像$f_a:=f\circ R_{a^{-1}}:G\to [0,1]$に対して
$$f_a(a)=0,f_a^{\to }(G\setminus U)\subset \{1\}$$
が成り立つので，初めから$a=e$としてよい．

単位元の開近傍列$(O_n{)}_{n\in \mathbb{N}}:=(U{)}_{n\in \mathbb{N}}$から定まる対称開近傍列$(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$を取る．このとき$(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$から定まる等高線様開被覆$(G(r){)}_{r\in D}$に対して，連続写像
$$f:G\to [0,1];x\mapsto inf\{r\in D\mid x\in G(r)\}$$
が定まる（cf. [7]補題2）．

1. $e\in \bigcap _n{U}_n=\bigcap _{n}G(2^{-n})$より
   $$0\le f(e)\le \frac{1}{2^n}\to 0(n\to \mathrm{\infty })$$
   となるので，$f(e)=0$が成り立つ．
2. 任意の$r\in D,r<1,$に対して$G(r)\subset U_0\subset U$が成り立つのだった．よって$x\in G\setminus U$のとき，
   $$\{r\in D\mid x\in G(r)\}=\{1\}$$
   より，$f(x)=1$が成り立つ．

1. $H<G$とする．連続写像
   $$\mu :G\times G\to G;(x,y)\mapsto x^{-1}y$$
   について${\mu }^{\to }(H\times H)\subset H$が成り立つので，
   $${\mu }^{\to }(\mathrm{Cl}(H)\times \mathrm{Cl}(H))={\mu }^{\to }(\mathrm{Cl}(H\times H))\subset \mathrm{Cl}({\mu }^{\to }(H\times H))\subset \mathrm{Cl}(H)$$
   が成り立つ．よって$\mathrm{Cl}(H)<G$である．
2. $N◃G$とする．このとき，前段より$\mathrm{Cl}(N)<G$である．また，任意の$a\in G$に対して
   $$a\mathrm{Cl}(N)a^{-1}=\mathrm{Cl}(aN{a}^{-1})=\mathrm{Cl}(N)$$
   が成り立つ．よって$\mathrm{Cl}(N)◃G$である．

$\pi :G\to G/N$を射影とする．任意の開集合$U\in \tau (G)$に対して，
$${\pi }^{\leftarrow }({\pi }^{\to }(U))=UN=\bigcup _{n\in N}Un\in \tau (G)$$
より，${\pi }^{\to }(U)\in \tau (G/N)$が成り立つので，$\pi$は開写像である．よって，全射開写像$\pi \times \pi$は等化写像であるから，
$$(\pi \times \pi )(x,y)=(\pi \times \pi )(x^{\prime },y^{\prime })⟹\pi \circ \mu (x,y)=\pi \circ \mu (x^{\prime },y^{\prime })$$
が成り立つことと合わせて，連続写像$\overline{\mu }:(G/N)\times (G/N)\to G/N$であって$\pi \circ \mu =\overline{\mu }\circ (\pi \times \pi )$を満たすものがただ一つ存在することがわかる：
$$G\times G\mu \pi \times \pi G\pi (G/N)\times (G/N)\overline{\mu }G/N$$

ところで
$$\overline{\mu }(\pi (x),\pi (y))=\pi (x^{-1}y)=\pi (x{)}^{-1}\pi (y)$$
であるから，$G/N$は位相群である．

$\pi :G\to G/N$を射影とする．このとき，単集合$\{\pi (e)\}\subset G/N$について
$$N={\pi }^{\leftarrow }(\{\pi (e)\})\subset G$$
が成り立つ．

(i)$⟹$(ii)

$\{\pi (e)\}\subset G/N$は閉集合なので，$N\subset G$は閉集合である．

(ii)$⟹$(i)

$N\subset G$が閉集合なので，$\{\pi (e)\}\subset G/N$は閉集合である．ところで$\pi (e)\in G/N$は単位元であったから，$G/N$は$T_1$空間である．よって命題2より，$G/N$はHausdorff空間である．

剰余群$G/\mathrm{Cl}(\{e\})$はHausdorff位相群，したがってTychonoff空間であるから，あとは
$$\mathrm{Kol}(G)=G/\mathrm{Cl}(\{e\})$$
が成り立つことを示せばよい．ところで
$$\mathrm{Cl}(\{x\})=\mathrm{Cl}(\{y\})⟺\mathrm{Cl}(\{e\})=x^{-1}y\cdot \mathrm{Cl}(\{e\})⟺x^{-1}y\in \mathrm{Cl}(\{e\})$$
が成り立つので，結論を得る．

[8]定理36より，連続写像$\overline{f}:\mathrm{Kol}(G)\to G^{\prime }$であって$\overline{f}\circ q=f$を満たすものがただ一つ存在する．いま$q,f$は群準同型なので，$\overline{f}$も群準同型である．

(ii)$⟹$(iii) のみ示せばよい．

Step. 0

$\{O_n\mid n\in \mathbb{N}\}\subset \tau (e,G)$を可算局所開基とする．補題2，命題2より，
$$\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{O}_n=\bigcap \tau (e,G)=\bigcap \{\{e\}U\mid U\in \tau (e,G)\}=\mathrm{Cl}(\{e\})=\{e\}$$
が成り立つことに注意する．

Step. 1

$(O_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$から定まる対称開近傍列$(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$を取る．任意の$n\in \mathbb{N}$に対して
$$U_{n+1}\subset U_{n+1}{U}_{n+1}\subset U_n\cap O_n\subset O_n$$
が成り立つので，$\{U_n\in \tau (e,G)\mid n\in \mathbb{N}\}$も$e\in G$の局所開基であり，
$$\{e\}\subset \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{U}_n\subset \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{O}_n=\{e\}$$
が成り立つ．

Step. 2

$(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$から定まる等高線様開被覆$(G(r){)}_{r\in D}$に対して，連続写像
$$f:G\to [0,1];x\mapsto inf\{r\in D\mid x\in G(r)\}$$
が定まる（cf. [7]補題2）．また，[7]補題1より
$$\{x\in G\mid f(x)=0\}=\bigcap \{G(r)\mid r\in D,0<r\}=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{U}_n=\{e\}$$
が成り立つ．

Step. 3

写像$d:G\times G\to \mathbb{R}$を
$$d(x,y):=\underset{a\in G}{sup}|f(ax)-f(ay)|$$
で定める．

1. $d(x,x)=0$が成り立つ．
2. $d(x,y)=0$とすると，$f(e)=0$より
   $$|f(y^{-1}x)|=|f(y^{-1}x)-f(y^{-1}y)|\le d(x,y)=0$$
   であるから，$f(y^{-1}x)=0$，したがって$x=y$が成り立つ．
3. 明らかに$d(x,y)=d(y,x)$が成り立つ．
4. $x,y,z\in G$とする．このとき，任意の$a\in G$に対して
   $$|f(ax)-f(az)|\le |f(ax)-f(ay)|+|f(ay)-f(az)|\le d(x,y)+d(y,z)$$
   が成り立つので，
   $$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$$
   を得る．
5. 任意の$a\in G$に対して，
   $$\begin{array}{rl}d(ax,ay)& =\underset{a^{\prime }\in G}{sup}|f(a^{\prime }ax)-f(a^{\prime }ay)|\\ & =\underset{b\in G}{sup}|f(bx)-f(by)|\\ & =d(x,y)\end{array}$$
   が成り立つ．

よって$d$は$G$上の左不変な距離函数である．

Step. 4-1

各$(a,\epsilon )\in G\times {\mathbb{R}}_{>0}$に対して
$$B(a;\epsilon ):=\{x\in G\mid d(x,a)<\epsilon \}$$
とおく．

任意の$n\in \mathbb{N}$に対して
$$U_{n+3}\subset B(e;2^{-n})$$
が成り立つことを示す．そこで$x\in U_{n+3}=G(2^{-(n+3)})$とし，$a\in G$とする．

1. 補題7より，
   $$\begin{array}{rl}a\in G(r)& ⟹ax\in G(r)G\left(\frac{1}{2^{n+3}}\right)\subset G(r+\frac{1}{2^{n+1}})\\ & ⟹f(ax)\le r+\frac{1}{2^{n+1}}\end{array}$$
   が成り立つので，
   $$f(ax)-\frac{1}{2^{n+1}}\le inf\{r\in D\mid a\in G(r)\}=f(a)$$
   となる．
2. 同様に，補題7より，
   $$\begin{array}{rl}ax\in G(r)& ⟹a=(ax)x^{-1}\in G(r)U_{n+3}^{-1}=G(r)U_{n+3}\subset G(r+\frac{1}{2^{n+1}})\\ & ⟹f(a)\le r+\frac{1}{2^{n+1}}\end{array}$$
   が成り立つので，
   $$f(a)-\frac{1}{2^{n+1}}\le inf\{r\in D\mid ax\in G(r)\}=f(ax)$$
   となる．