局所完閉空間考

(i)$\implies$(ii)

各$a \in A$に対して$U(a) \in \tau(a,X)$であって$A \cap U(a) \in \tau^{c}(X)|U(a)$なるものを取る．そこで$U := \bigcup_{a\in A} U(a) \in \tau(X)$とおくと，$A \subset U$であり，$U$の開被覆$(U(a))_{a\in A}$について
$$ \forall a \in A,\ A \cap U(a) \subset U(a):\text{closed}$$
が成り立つので，$A$は$U$の閉集合である．よって
$$ A = \cl_{U}(A) = U \cap \cl(A)$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(iii)

$A = U \cap C,\ U \in \tau(X), C \in \tau^{c}(X),$とすると，
$$ A \subset U \cap \cl(A) \subset U \cap C = A$$
より$A = U \cap \cl(A) \in \tau(X)|\cl(A)$を得る．

(iii)$\implies$(i)

$U \in \tau(X)$であって$A = U \cap \cl(A)$なるものが存在するので，任意の$a \in A$に対して，$U \in \tau(a,X)$であり
$$ A \cap U = \cl(A) \cap U \in \tau^{c}(X)|U$$
が成り立つ．

仮定より，$V \in \tau(Y),\ F \in \tau^{c}(Y)$であって$B = V \cap F$を満たすものが存在する．このとき
$$ f^{\leftarrow}(B) = f^{\leftarrow}(V) \cap f^{\leftarrow}(F)$$
であり，$f$の連続性より$f^{\leftarrow}(V) \in \tau(X), f^{\leftarrow}(F) \in \tau^{c}(X)$であるから，結論を得る．

$X$を弱局所コンパクト空間とする．

1. $C \subset X$を閉集合とする．$x \in C$とし，$x$のコンパクト近傍$K \subset X$を取る．このとき，$C \cap K$はコンパクト空間$K$の閉部分集合なのでコンパクトであり，
   $$ x \in C \cap \Int(K) \subset \Int_{C}(C \cap K)$$
   が成り立つ．よって$C \cap K \subset C$は$x \in C$のコンパクト近傍である．
2. $f \colon X \to Y$を全射連続開写像とし，$y \in Y$とする．$\prescript{\exists}{}x \in f^{\leftarrow}(\{y\})$のコンパクト近傍$K \subset X$を取る．このとき，$f$の連続性より$f^{\rightarrow}(K) \subset Y$はコンパクトであり，$f$が開写像であることより
   $$ y = f(x) \in f^{\rightarrow}(\Int(K)) \subset \Int(f^{\rightarrow}(K))$$
   となるので，$f^{\rightarrow}(K)$は$y \in Y$のコンパクト近傍である．

(i)$\implies$(ii)

射影$p_{\lambda} \colon X \to X_{\lambda}$は全射連続開写像なので，$X_{\lambda} = p_{\lambda}^{\rightarrow}(X)$は弱局所コンパクトである．また，$\prescript{\exists}{}x \in X \neq \varnothing$のコンパクト近傍$K$を取ると，有限集合$\Lambda_{0} \subset \Lambda$と開集合$U_{\lambda} \in \tau(p_{\lambda}(x),X_{\lambda}), \lambda \in \Lambda_{0},$であって
$$ x \in U:= \bigcap_{\lambda \in \Lambda_{0}} p_{\lambda}^{\leftarrow}(U_{\lambda}) \subset K$$
を満たすものが存在する．よって任意の$\lambda \in \Lambda\smallsetminus\Lambda_{0}$に対して，
$$ X_{\lambda} = p_{\lambda}^{\rightarrow}(U) \subset p_{\lambda}^{\rightarrow}(K) \subset X_{\lambda}$$
より，$X_{\lambda} = p_{\lambda}^{\rightarrow}(K)$はコンパクトである．

(ii)$\implies$(i)

$x \in X$とする．仮定より有限集合$\Lambda_{0} \subset \Lambda$であって
$$ \forall \lambda \in \Lambda\smallsetminus\Lambda_{0},\ X_{\lambda}:\text{compact}$$
を満たすものが存在する．そこで，各$\lambda \in \Lambda_{0}$に対して$p_{\lambda}(x) \in X_{\lambda}$のコンパクト近傍$K_{\lambda}$を取ると，
$$ \bigcap_{\lambda \in \Lambda_{0}} p_{\lambda}^{\leftarrow}(K_{\lambda}) \approx \prod_{\lambda\in\Lambda_{0}} K_{\lambda} \times \prod_{\lambda\in\Lambda\smallsetminus\Lambda_{0}} X_{\lambda}$$
は$x$のコンパクト近傍である．

1. $y \in Y$とする．各$x \in f^{\leftarrow}(\{y\})$に対して，そのコンパクト近傍$K(x) \subset X$を取り，$U(x) := \Int(K(x))$とおく．このとき，$f^{\leftarrow}(\{y\})$のコンパクト性より，有限個の点$x_{1},\ldots,x_{n} \in f^{\leftarrow}(\{y\})$であって
   $$ f^{\leftarrow}(\{y\}) \subset U(x_{1}) \cup \cdots \cup U(x_{n}) =: U \in \tau(X)$$
   を満たすものが存在する．いま$f$は閉写像なので，$V \in \tau(y,Y)$であって$f^{\leftarrow}(V) \subset U$なるものが存在する（cf. perfect-map 命題6）．
   $$ \cl(U) \subset \cl(K(x_{1})) \cup\cdots\cup \cl(K(x_{n}))$$
   より$\cl(U)$はコンパクトである．したがって
   $$ \cl(V) \subset \cl(f^{\rightarrow}(U)) \subset f^{\rightarrow}(\cl(U))$$
   と$f^{\rightarrow}(\cl(U))$のコンパクト性より，$\cl(V) \subset Y$は$y$のコンパクト閉近傍である．
2. $x \in X$とする．$f(x) \in Y$のコンパクト近傍$L \subset Y$を取る．このとき$f^{\leftarrow}(L) \subset X$は$x$のコンパクト近傍である．

$X$を弱局所コンパクト空間とする．$A \subset X$とし，任意のコンパクト集合$K \subset X$に対して$A \cap K \subset K$が開集合であるとする．このとき$A \subset X$が開集合であることを示せばよい．そこで$a \in A$とし，そのコンパクト近傍$K \subset X$を取る．仮定より$U \in \tau(X)$であって$A \cap K = U \cap K$なるものが存在するので，
$$ a \in A \cap \Int(K) = A \cap K \cap \Int(K) = U \cap \Int(K) \in \tau(X)$$
が成り立つ．よって$A \subset X$は開集合である．

(i)$\implies$(ii)

$X$がコンパクト生成空間であるとき，$X$の位相は包含写像から誘導される写像
$$ X_{0}:= \coprod \{K \mid K \subset X:\text{compact}\} \to X$$
による等化位相と一致する（cf. nsfo 定義4.3, 定義4.1）．$X_{0}$は明らかに弱局所コンパクトなので結論を得る（cf. nsfo 命題3.12）．

(ii)$\implies$(i)

$U \subset X$を
$$ \forall K \subset X:\text{compact},\ U \cap K \subset K:\text{open}$$
を満たす部分集合とする．このとき$q^{\leftarrow}(U) \subset X_{0}$が開集合であることを示せばよい．補題より，任意のコンパクト集合$K_{0} \subset X_{0}$に対して，$q^{\leftarrow}(U) \cap K_{0} \subset K_{0}$が開集合であることを示せばよい．そこで$K_{0} \subset X_{0}$をコンパクト集合とすると，$q^{\rightarrow}(K_{0}) \subset X$はコンパクトなので，$U \cap q^{\rightarrow}(K_{0}) \subset q^{\rightarrow}(K_{0})$は開集合である．ここで$f:= q|K_{0}$とおくと，これは連続写像であるから
$$ q^{\leftarrow}(U) \cap K_{0} = f^{\leftarrow}(U \cap q^{\rightarrow}(K_{0})) \subset K_{0}$$
は開集合である．

$X$をコンパクト生成空間とし$q\colon X \to X/R$を商写像とする．k-spより，ある弱局所コンパクト空間$X_{0}$からの等化写像$q_{0}\colon X_{0} \to X$が存在する．等化写像の合成$q\circ q_{0} \colon X_{0} \to X/R$は等化写像であるから（cf. nsfo 定理3.7の系），ふたたびk-spより，$X/R$はコンパクト生成空間である．

1. $X$がコンパクトならば，任意の$x \in X$に対して$X$は$x$のコンパクト閉近傍である．
2. コンパクト閉近傍はとくにコンパクト近傍である．

(i)$\implies$(ii)

コンパクト閉近傍はとくに相対コンパクト近傍である．

(ii)$\implies$(iii)

$x \in X$の相対コンパクト近傍$N \subset X$に対して，$\Int(N)$は$x$の開近傍であり，$\cl(\Int(N))$はコンパクト空間$\cl(N)$の閉集合ゆえコンパクトである．

(iii)$\implies$(iv)

$x \in X$とし$U \in \tau(x,X)$とする．仮定より相対コンパクト開近傍$V \in \tau(x,X)$が存在する．そこで$W:= U \cap V$とおくと，これは$x$の開近傍であり，$W \subset U$が成り立つ．また$\cl(W)$はコンパクト空間$\cl(V)$の閉集合ゆえコンパクトである．

(iv)$\implies$(i)

$x \in X$とする．仮定より$x$の相対コンパクト開近傍$U \subset X$が存在する．このとき$\cl(U)$は$x$のコンパクト閉近傍である．

$X$を局所相対コンパクト空間とする．

1. $C \subset X$を閉集合とする．$x \in C$とし，$x$のコンパクト閉近傍$K \subset X$を取る．このとき，$C \cap K$はコンパクト空間$K$の閉部分集合なのでコンパクトであり，
   $$ x \in C \cap \Int(K) \subset \Int_{C}(C \cap K)$$
   が成り立つ．よって$C \cap K \subset C$は$x \in C$のコンパクト閉近傍である．
2. $f \colon X \to Y$を全射連続開閉写像とし，$y \in Y$とする．$\prescript{\exists}{}x \in f^{\leftarrow}(\{y\})$のコンパクト閉近傍$K \subset X$を取る．いま$f$は開写像なので$f^{\rightarrow}(K) \subset Y$は$y$の近傍であり，$f$の閉連続性より$f^{\rightarrow}(K)$はコンパクト閉集合である．
3. $f \colon X \to Y$を$R$空間への全射連続開写像とし，$y \in Y$とする．$\prescript{\exists}{}x \in f^{\leftarrow}(\{y\})$の相対コンパクト開近傍$U \subset X$を取る．いま$f$は開写像なので$f^{\rightarrow}(U) \subset Y$は$y$の開近傍である．さらに$f$の連続性より$f^{\rightarrow}(\cl(U)) \subset Y$はコンパクト，したがって$\cl(f^{\rightarrow}(\cl(U)))$はコンパクトであるから，その閉部分集合$\cl(f^{\rightarrow}(U))$はコンパクトである．

(i)$\implies$(ii)

• 任意の$X_{\lambda}$が$T_{1}$空間のとき，各$X_{\lambda}$は$X$の閉集合と同相なので局所相対コンパクトである．
• $X_{\lambda}$がR空間のとき，射影$p_{\lambda} \colon X \to X_{\lambda}$は全射連続開写像なので，$X_{\lambda} = p_{\lambda}^{\rightarrow}(X)$は局所相対コンパクトである．
• いま$X$は弱局所コンパクトなので，wlc-prodより，有限個を除いて$X_{\lambda}$はコンパクトである．

(ii)$\implies$(i)

$x \in X$とする．仮定より有限集合$\Lambda_{0} \subset \Lambda$であって
$$ \forall \lambda \in \Lambda\smallsetminus\Lambda_{0},\ X_{\lambda}:\text{compact}$$
を満たすものが存在する．そこで，各$\lambda \in \Lambda_{0}$に対して$p_{\lambda}(x) \in X_{\lambda}$のコンパクト閉近傍$K_{\lambda}$を取ると，
$$ \bigcap_{\lambda \in \Lambda_{0}} p_{\lambda}^{\leftarrow}(K_{\lambda}) \approx \prod_{\lambda\in\Lambda_{0}} K_{\lambda} \times \prod_{\lambda\in\Lambda\smallsetminus\Lambda_{0}} X_{\lambda}$$
は$x$のコンパクト閉近傍である．

(i)$\implies$(ii)

$y \in Y$とする．各$x \in f^{\leftarrow}(\{y\})$に対して，その相対コンパクト開近傍$U(x) \subset X$を取る．このとき，$f^{\leftarrow}(\{y\})$のコンパクト性より，有限個の点$x_{1},\ldots,x_{n} \in f^{\leftarrow}(\{y\})$であって
$$ f^{\leftarrow}(\{y\}) \subset U(x_{1}) \cup \cdots \cup U(x_{n}) =: U \in \tau(X)$$
を満たすものが存在する．いま$f$は閉写像なので，$V \in \tau(y,Y)$であって$f^{\leftarrow}(V) \subset U$なるものが存在する．したがって
$$ \cl(V) \subset \cl(f^{\rightarrow}(U)) \subset f^{\rightarrow}(\cl(U))$$
と$f^{\rightarrow}(\cl(U))$のコンパクト性より，$V \subset Y$は$y$の相対コンパクト開近傍である．

(ii)$\implies$(i)

$x \in X$とする．$f(x) \in Y$のコンパクト閉近傍$L \subset Y$を取る．このとき$f^{\leftarrow}(L) \subset X$は$x$のコンパクト閉近傍である．

$X$を微局所コンパクト空間とし，$x \in X$とする．このとき$x$の近傍$X$に対して，$x$のコンパクト近傍$K$であって$K \subset X$なるものが存在する．

$X$を微局所コンパクト空間とする．

1. $U \in \tau(X),C \in \tau^{c}(X)$とし$A:= U \cap C$とおく．$a \in A$とし$V \in \tau(a,X)$とする．このとき$U \cap V \in \tau(a,X)$に対して，仮定より$x$のコンパクト近傍$K \subset X$であって$K \subset U \cap V$を満たすものが存在する．そこで
   $$ K_{A}:= K \cap A = K \cap (U \cap C) = (K \cap U) \cap C = K \cap C$$
   とおくと，これはコンパクト空間$K$の閉集合ゆえコンパクトであり，
   $$ a \in \Int(K) \cap A \subset \Int_{A}(K \cap A) \subset K_{A} \subset V \cap A$$
   が成り立つ．
2. $f \colon X \to Y$を全射連続開写像とし，$y \in Y, V \in \tau(y,Y)$とする．このとき$\prescript{\exists}{}x \in f^{\leftarrow}(y)$の開近傍$f^{\leftarrow}(V) \subset X$に対して，$x$のコンパクト近傍$K \subset X$であって$K \subset f^{\leftarrow}(V)$を満たすものが存在する．よって$f^{\rightarrow}(K) \subset Y$は$y$のコンパクト近傍であって$f^{\rightarrow}(K) \subset V$を満たす．

(i)$\implies$(ii)

• 射影$p_{\lambda} \colon X \to X_{\lambda}$は全射連続開写像なので，$X_{\lambda} = p_{\lambda}^{\rightarrow}(X)$は微局所コンパクトである．
• いま$X$は弱局所コンパクトなので，wlc-prodより，有限個を除いて$X_{\lambda}$はコンパクトである．

(ii)$\implies$(i)

$x \in X$とし，$U \in \tau(x,X)$とする．仮定より有限集合$\Lambda_{1} \subset \Lambda$であって
$$ \forall \lambda \in \Lambda\smallsetminus\Lambda_{1},\ X_{\lambda}:\text{compact}$$
なるものが存在する．また，有限集合$\Lambda_{2} \subset \Lambda$と開集合$U_{\lambda} \in \tau(X_{\lambda}),\lambda \in \Lambda_{2},$であって
$$ x \in V:= \bigcap_{\lambda \in \Lambda_{2}} p^{\leftarrow}(U_{\lambda}) \subset U$$
を満たすものが存在する．各$\lambda \in \Lambda_{0}:= \Lambda_{1} \cup \Lambda_{2}$に対して$p_{\lambda}(x) \in X_{\lambda}$のコンパクト近傍$K_{\lambda}$であって$K_{\lambda} \subset U_{\lambda}:= p_{\lambda}^{\rightarrow}(V)$なるものを取ると，
$$ K:= \bigcap_{\lambda \in \Lambda_{0}} p_{\lambda}^{\leftarrow}(K_{\lambda}) \approx \prod_{\lambda\in\Lambda_{0}} K_{\lambda} \times \prod_{\lambda\in\Lambda\smallsetminus\Lambda_{0}} X_{\lambda}$$
は$x$のコンパクト近傍であり，$K \subset U$を満たす．

1. $y \in Y, V \in \tau(y,Y)$とする．各$x \in f^{\leftarrow}(\{y\})$に対して，そのコンパクト近傍$K(x) \subset X$であって$K(x) \subset f^{\leftarrow}(V)$なるものを取り，$U(x) := \Int(K(x))$とおく．このとき，$f^{\leftarrow}(\{y\})$のコンパクト性より，有限個の点$x_{1},\ldots,x_{n} \in f^{\leftarrow}(\{y\})$であって
   $$ f^{\leftarrow}(\{y\}) \subset U(x_{1}) \cup \cdots \cup U(x_{n}) =: U \in \tau(X)$$
   を満たすものが存在する．いま$f$は閉写像なので，$W \in \tau(y,Y)$であって$f^{\leftarrow}(W) \subset U$なるものが存在する．
   $$ \cl(U) \subset K(x_{1}) \cup\cdots\cup K(x_{n}) \subset f^{\leftarrow}(V)$$
   より$\cl(U)$はコンパクトである．したがって
   $$ \cl(W) \subset \cl(f^{\rightarrow}(U)) \subset f^{\rightarrow}(\cl(U)) \subset V$$
   と$f^{\rightarrow}(\cl(U))$のコンパクト性より，$\cl(W) \subset Y$は$V$に含まれる$y$のコンパクト閉近傍である．
2. $X$は微局所コンパクト空間$Y$の閉集合$f^{\rightarrow}(X)$に同相なので微局所コンパクトである．

slc$\implies$lrc

$X$を強局所コンパクト空間とし，$x \in X$とする．このとき$x$の近傍$X$に対して，$x$のコンパクト閉近傍$K$であって$K \subset X$なるものが存在する．

slc$\implies$blc

コンパクト閉近傍はとくにコンパクト近傍である．

(i)$\implies$(ii)

$x \in X$とし$U \in \tau(x,X)$とする．仮定より$x$のコンパクト閉近傍$K \subset X$であって$K \subset U$なるものが存在する．そこで$V:= \Int(K)$とおくと，$\cl(V) \subset \cl(K) = K$より，$V$は$x$の相対コンパクト開近傍であり，$\cl(V) \subset U$を満たす．

(ii)$\implies$(i)

$x \in X$とし$U \in \tau(x,X)$とする．仮定より相対コンパクト開近傍$V \in \tau(x,X)$であって$\cl(V) \subset U$なるものが存在する．そこで$K:= \cl(V)$とおくと，これは$x$のコンパクト閉近傍であって$K \subset U$を満たす．

$X$を強局所コンパクト空間とする．

1. $U \in \tau(X),C \in \tau^{c}(X)$とし$A:= U \cap C$とおく．$a \in A$とし$V \in \tau(a,X)$とする．このとき$U \cap V \in \tau(a,X)$に対して，仮定より$x$のコンパクト閉近傍$K \subset X$であって$K \subset U \cap V$を満たすものが存在する．そこで
   $$ K_{A}:= K \cap A = K \cap (U \cap C) = (K \cap U) \cap C = K \cap C$$
   とおくと，これはコンパクト空間$K$の閉集合ゆえコンパクトであり，
   $$ a \in \Int(K) \cap A \subset \Int_{A}(K \cap A) \subset K_{A} \subset V \cap A$$
   が成り立つ．
2. $f \colon X \to Y$を全射連続開閉写像とし，$y \in Y, V \in \tau(y,Y)$とする．このとき$\prescript{\exists}{}x \in f^{\leftarrow}(y)$の開近傍$f^{\leftarrow}(V) \subset X$に対して，$x$のコンパクト閉近傍$K \subset X$であって$K \subset f^{\leftarrow}(V)$を満たすものが存在する．よって$f^{\rightarrow}(K) \subset Y$は$y$のコンパクト閉近傍であって$f^{\rightarrow}(K) \subset V$を満たす．
3. $f \colon X \to Y$をKC空間への全射連続開写像とし，$y \in Y, V \in \tau(y,Y)$とする．$\prescript{\exists}{}x \in f^{\leftarrow}(\{y\})$の相対コンパクト開近傍$U \subset X$であって$\cl(U) \subset f^{\leftarrow}(V)$なるものを取る．いま$f$は開写像なので$f^{\rightarrow}(U) \subset Y$は$y$の開近傍である．また，$f$の連続性より$f^{\rightarrow}(\cl(U)) \subset Y$はコンパクト閉集合であるから，その閉部分集合$\cl(f^{\rightarrow}(U))$はコンパクトであり，
   $$ \cl(f^{\rightarrow}(U)) \subset \cl(f^{\rightarrow}(\cl(U))) = f^{\rightarrow}(\cl(U)) \subset V$$
   が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

• 任意の$X_{\lambda}$が$T_{1}$空間のとき，各$X_{\lambda}$は$X$の閉集合と同相なので強局所コンパクトである．
• $X_{\lambda}$がKC空間のとき，射影$p_{\lambda} \colon X \to X_{\lambda}$は全射連続開写像なので，$X_{\lambda} = p_{\lambda}^{\rightarrow}(X)$は強局所コンパクトである．
• いま$X$は弱局所コンパクトなので，wlc-prodより，有限個を除いて$X_{\lambda}$はコンパクトである．

(ii)$\implies$(i)

$x \in X$とし，$U \in \tau(x,X)$とする．仮定より有限集合$\Lambda_{1} \subset \Lambda$であって
$$ \forall \lambda \in \Lambda\smallsetminus\Lambda_{1},\ X_{\lambda}:\text{compact}$$
なるものが存在する．また，有限集合$\Lambda_{2} \subset \Lambda$と開集合$U_{\lambda} \in \tau(X_{\lambda}),\lambda \in \Lambda_{2},$であって
$$ x \in V:= \bigcap_{\lambda \in \Lambda_{2}} p^{\leftarrow}(U_{\lambda}) \subset U$$
を満たすものが存在する．各$\lambda \in \Lambda_{0}:= \Lambda_{1} \cup \Lambda_{2}$に対して$p_{\lambda}(x) \in X_{\lambda}$のコンパクト閉近傍$K_{\lambda}$であって$K_{\lambda} \subset U_{\lambda}:= p_{\lambda}^{\rightarrow}(V)$なるものを取ると，
$$ K:= \bigcap_{\lambda \in \Lambda_{0}} p_{\lambda}^{\leftarrow}(K_{\lambda}) \approx \prod_{\lambda\in\Lambda_{0}} K_{\lambda} \times \prod_{\lambda\in\Lambda\smallsetminus\Lambda_{0}} X_{\lambda}$$
は$x$のコンパクト閉近傍であり，$K \subset U$を満たす．

1. $y \in Y, V \in \tau(y,Y)$とする．各$x \in f^{\leftarrow}(\{y\})$に対して，その相対コンパクト開近傍$U(x) \subset X$であって$\cl(U(x)) \subset f^{\leftarrow}(V)$なるものを取る．このとき，$f^{\leftarrow}(\{y\})$のコンパクト性より，有限個の点$x_{1},\ldots,x_{n} \in f^{\leftarrow}(\{y\})$であって
   $$ f^{\leftarrow}(\{y\}) \subset U(x_{1}) \cup \cdots \cup U(x_{n}) =: U \in \tau(X)$$
   を満たすものが存在する．いま$f$は閉写像なので，$W \in \tau(y,Y)$であって$f^{\leftarrow}(W) \subset U$なるものが存在する．
   $$ \cl(U) \subset \cl(U(x_{1})) \cup\cdots\cup \cl(U(x_{n})) \subset f^{\leftarrow}(V)$$
   より$\cl(U)$はコンパクトである．したがって
   $$ \cl(W) \subset \cl(f^{\rightarrow}(U)) \subset f^{\rightarrow}(\cl(U)) \subset V$$
   と$f^{\rightarrow}(\cl(U))$のコンパクト性より，$W \subset Y$は$y$の相対コンパクト開近傍であって$\cl(W) \subset V$を満たす．
2. $X$は強局所コンパクト空間$Y$の閉集合$f^{\rightarrow}(X)$に同相なので強局所コンパクトである．

$X$を弱局所コンパクトR空間とすると，各$x \in X$のコンパクト近傍$K$は相対コンパクト近傍で（も）ある．

（KC空間においてコンパクト近傍とコンパクト閉近傍とは一致することから）明らか．

$X$を弱局所コンパクトHausdorff空間とし，$x \in X, U \in \tau(x,X)$とする．仮定より$x$のコンパクト近傍$K \subset X$が存在する．そこで
$$ L:= K \cap (X\smallsetminus U)$$
とおくと，これは$\{x\}$と交わらないコンパクト集合なので，$X$のHausdorff性より，$V \in \tau(x,X), W \in \tau(L,X)$であって$V \cap W = \varnothing$なるものが存在する．このとき
$$ \cl(V) \subset \cl(X \smallsetminus W) = X \smallsetminus W \subset X \smallsetminus L = (X \smallsetminus K) \cup U$$
より$\cl(V) \cap K \subset U$を得る．したがって，$x$のコンパクト閉近傍$\cl(V \cap \Int(K))$は
$$ \cl(V \cap \Int(K)) \subset \cl(V) \cap K \subset U$$
を満たす．

$X$を弱局所コンパクト正則空間とし，$x \in X, U \in \tau(x,X)$とする．仮定より$x$のコンパクト近傍$K \subset X$が存在する．このとき$X$の正則性より，$U \cap \Int(K) \in \tau(x,X)$に対して，$V \in \tau(x,X)$であって
$$ \cl(V) \subset U \cap \Int(K)$$
を満たすものが存在する．$\cl(V) \subset K$より$V \subset X$は相対コンパクトであり，$\cl(V) \subset U$を満たす．

(i)$\implies$(ii)

各$x \in K$に対して，相対コンパクト開集合$V(x) \in \tau(x,X)$であって$\cl(V(x)) \subset U$なるものが存在する．このとき$(V(x))_{x\in K}$はコンパクト集合$K \subset X$の開被覆なので，有限個の点$x_{1},\ldots,x_{n} \in K$であって
$$ K \subset \bigcup_{i\in[n]} V(x_{i})$$
を満たすものが存在する．そこで$V:= \bigcup_{i} V(x_{i})$とおくと，これは$K$の開近傍であり，
$$ \cl(V) = \bigcup_{i\in[n]} \cl(V(x_{i})) \subset U$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

slc-charより明らか．

仮定より相対コンパクト開集合$V,W \in \tau(X)$であって
$$ K \subset W \subset \cl(W) \subset V \subset \cl(V) \subset U$$
を満たすものが存在する．コンパクトHausdorff空間$\cl(V)$は正規空間なので，Urysohnの補題より，その閉集合$K$と開近傍$W$に対して，連続写像$g \colon \cl(V) \to [0,1]$であって
$$ g^{\rightarrow}(K) \subset \{1\},\ g^{\rightarrow}(\cl(V)\smallsetminus W) \subset \{0\}$$
を満たすものが存在する．後者より，
$$ \cl(V) \smallsetminus \cl(W) \subset \cl(V) \smallsetminus W \subset \{x \in \cl(V) \mid g(x) = 0\},$$
したがって
$$ \cl(V)\smallsetminus\cl(W) \subset \Int_{\cl(V)}(\{x\in\cl(V)\mid g(x)=0\})$$
を得るので，
\begin{align} \supp{g} &= \cl_{\cl(V)}(\{x\in \cl(V) \mid g(x)\neq 0\}) \\ &= \cl_{\cl(V)}(\cl(V) \smallsetminus \{x\in\cl(V)\mid g(x)=0\})\\ &= \cl(V) \smallsetminus \Int_{\cl(V)}(\{x\in\cl(V)\mid g(x)=0\}) \\ &\subset \cl(W)\\ &\subset V \end{align}
が成り立つ．そこで，写像$f \colon X \to [0,1]$を
$$ f(x) := \begin{cases} g(x) &, x \in \cl(V)\\ 0 &, x \in X \smallsetminus \cl(V) \end{cases}$$
で定める．

$f$の連続性

$(V,X\smallsetminus \cl(W))$は$X$の開被覆であるから，$f|V, f|X\smallsetminus\cl(W)$がともに連続写像であることを示せばよい．

1. $g$は連続写像なので，$f|V = g|V$は連続写像である．
2. $X\smallsetminus\cl(W) \subset X\smallsetminus\supp{g} \subset (X\smallsetminus\cl(V)) \cup \{x\in \cl(V) \mid g(x) =0\}$より$f|X \smallsetminus \cl(W)$は定値写像$0$なので，とくに連続である．

$f^{\rightarrow}(K) \subset \{1\}$

$K \subset V$と$f|V = g|V$より明らか．

$\supp{f} \subset U$

$f$の定義より
$$ \{x\in X \mid f(x) \neq 0\} = \{x \in \cl(V) \mid g(x) \neq 0\} \subset \supp{g} \subset V$$
が成り立つので，
$$ \supp{f} = \cl(\{x \in X \mid f(x) \neq 0\}) \subset \cl(V) \subset U$$
が成り立つ．また，コンパクト空間$\cl(V)$の閉集合ゆえ$\supp{f}$はコンパクトである．

$X$をLCH空間とする．$X$が完全正則空間であることを示せばよい．そこで$x \in X, U \in \tau(x,X)$とする．このとき，urysohnより，連続写像$f \colon X \to [0,1]$であって
$$ f(x) = 1,\ \supp{f} \subset U$$
を満たすものが存在する．後者より
$$ X\smallsetminus U \subset \{x\in X \mid f(x) = 0\}$$
が成り立つ．

rc-op-nbdより，$K \subset X$の相対コンパクト開近傍$V,W \in \tau(K,X)$であって$\cl(W) \subset V$なるものが存在する．コンパクトHausdorff空間$\cl(V)$は正規空間なので，Tietzeの拡張定理より，連続写像$g \colon \cl(V) \to [0,1]$であって$g|K = f$を満たすものが存在する．また，urysohnより，コンパクト台を持つ連続写像$u \colon X \to [0,1]$であって
$$ u^{\rightarrow}(K) \subset \{1\},\ \supp{u} \subset W$$
を満たすものが存在する．そこで写像$\tilde{f} \colon X \to [0,1]$を
$$ \tilde{f}(x) := \begin{cases} g(x)u(x) &, x \in \cl(V)\\ 0 &, x \in X \smallsetminus \cl(V) \end{cases}$$
で定める．

$\tilde{f}|K = f$

任意の$x \in K \subset \cl(V)$に対して
$$ \tilde{f}(x) = g(x)u(x) = (g|K)(x)\cdot 1 = f(x)$$
が成り立つ．

$\tilde{f}$の連続性

$(V,X\smallsetminus \cl(W))$は$X$の開被覆なので，$\tilde{f}|V, \tilde{f}|X\smallsetminus \cl(W)$がともに連続写像であることを示せばよい．

1. $g,u$は連続写像なので，$f|V = (g|V) \cdot (u|V)$は連続である．
2. $X \smallsetminus \cl(W) \subset X \smallsetminus \supp{u} \subset \{x \in X \mid u(x)=0\} \cup (X \smallsetminus \cl(V))$より，$\tilde{f}|X\smallsetminus \cl(W)$は定値写像$0$なので，とくに連続である．

$\supp{\tilde{f}} \subset X$はコンパクト

$\tilde{f}$の定義より
$$ \{x\in X \mid \tilde{f}(x) \neq 0\} \subset \{x \in \cl(V) \mid u(x) \neq 0\} \subset \supp{u}$$
が成り立つので，
$$ \supp{\tilde{f}} = \cl(\{x \in X \mid \tilde{f}(x) \neq 0\}) \subset \supp{u}$$
はコンパクト空間$\supp{u}$の閉集合ゆえコンパクトである．

$a \in A$とし，$K \subset A$を$a$のコンパクト近傍とする．このとき$a$の近傍$N \subset X$であって$K = N \cap A$なるものが存在する．いまKC空間$N$のコンパクト集合$K \subset N$は閉集合なので，$C \in \tau^{c}(X)$であって$K = C \cap N$を満たすものが存在する．そこで$U:= \Int(N) \in \tau(a,X)$とおくと
$$ A \cap U = A \cap N \cap U = K \cap U = C \cap U \subset U$$
は閉集合である．

$D \subset X$は局所閉集合なので，loc-clより$D$は$\cl(D)=X$の開集合である．

(i)$\implies$(ii)

$U \in \tau(X)$とする．$x \in U$とすると，$x \in \cl(\{x\}) = \cl(\{y\})$より$U \cap \{y\} \neq \varnothing$となるので，$y \in U$が成り立つ．同様にして$y \in U \implies x \in U$も成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$z \in \cl(\{x\})$とする．このとき，任意の$U \in \tau(z,X)$に対して，$U \cap \{x\} \neq \varnothing$より$x \in U$を得るので，$y \in U$すなわち$U \cap \{y\} \neq \varnothing$が成り立つ．よって$z \in \cl(\{y\})$を得る．$\cl(\{y\}) \subset \cl(\{x\})$も同様に成り立つ．

1. $U \in \tau(X)$とする．$x \in q^{\leftarrow}(q^{\rightarrow}(U))$とすると，$y \in U$であって$q(x) = q(y)$なるものが存在するので，$x \in U$を得る．よって$q^{\leftarrow}(q^{\rightarrow}(U)) = U \in \tau(X)$となるので，$q^{\rightarrow}(U) \in \tau(\mathrm{Kol}(X))$が成り立つ．
2. $C \in \tau^{c}(X)$とする．$x \in q^{\leftarrow}(q^{\rightarrow}(C))$とすると，$y \in C$であって$q(x) = q(y)$なるものが存在するので，
   $$ x \in \cl(\{x\}) = \cl(\{y\}) \subset C$$
   を得る．よって$q^{\leftarrow}(q^{\rightarrow}(C)) = C \in \tau^{c}(X)$となるので，$q^{\rightarrow}(C) \in \tau^{c}(\mathrm{Kol}(X))$が成り立つ．
3. 任意の$x \in X$に対して$K:= q^{\leftarrow}(\{q(x)\}) \subset X$がコンパクトであることを示せばよい．そこで$\mathcal{U} \subset \tau(X)$を$K \subset X$の開被覆とすると，$x \in K$より$U \in \mathcal{U}$であって$x \in U$なるものが存在する．このとき，任意の$y \in K$に対して$q(y) = q(x)$より$y \in U$が成り立つので，$K \subset U$を得る．

$x,y \in X$とし，$\cl(\{q(x)\}) = \cl(\{q(y)\})$とする．もし$q(x) \neq q(y)$であるとすると，$U \in \tau(x,X)$であって$y \notin U$なるものが存在する（としてよい）．このとき$q(x) \in q^{\rightarrow}(U) \in \tau(\mathrm{Kol}(X))$より$q(y) \in q^{\rightarrow}(U)$を得るが，
$$ y \in q^{\leftarrow}(q^{\rightarrow}(U)) = U$$
となり不合理である．

$q$は等化写像なので，
$$ q(x) = q(x') \implies f(x) = f(x')$$
が成り立つことを示せばよい．そこで$q(x) = q(x')$とする．このとき，任意の$V \in \tau(Y)$に対して
$$ f(x) \in V \iff x \in f^{\leftarrow}(V) \iff x' \in f^{\leftarrow}(V) \iff f(x') \in V$$
が成り立つので，
$$ \cl(\{f(x)\}) = \cl(\{f(x')\})$$
を得る．いま$Y$は$T_{0}$空間であるから
$$ f(x) = f(x')$$
がしたがう．

(i)$\implies$(ii)

明らか（cf. nsfo 補題2.22）．

(ii)$\implies$(i)

$q(x)\neq q(y)$とする．仮定より$U \in \tau(x,X),V \in \tau(y,X)$であって$U \cap V = \varnothing$なるものが存在する．このとき開近傍$q^{\rightarrow}(U) \in \tau(q(x),\mathrm{Kol}(X)),\,q^{\rightarrow}(V) \in \tau(q(y),\mathrm{Kol}(X))$について，
$$ q^{\leftarrow}(q^{\rightarrow}(U) \cap q^{\rightarrow}(V)) = U \cap V = \varnothing$$
より$q^{\rightarrow}(U) \cap q^{\rightarrow}(V) = \varnothing$が成り立つ．

$q \colon X \to \mathrm{Kol}(X)$を商写像とする．仮定（と$q$が開写像であること）より$\mathrm{Kol}(X)$は弱局所コンパクトHausdorff空間である（cf. wlc-sub）．

$x \in X, U \in \tau(x,X)$とする．このとき$q^{\rightarrow}(U) \in \tau(q(x),\mathrm{Kol}(X))$であるから，tychonoffより，連続写像$g \colon \mathrm{Kol}(X) \to [0,1]$であって
$$ g(q(x)) = 1,\ g^{\rightarrow}(\mathrm{Kol}(X)\smallsetminus q^{\rightarrow}(U)) \subset \{0\}$$
を満たすものが存在する．ここで，$y \in X \smallsetminus U$に対して$q(y) \in q^{\rightarrow}(U)$が成り立ったとすると，$z \in U$であって$q(y) = q(z)$なるものが存在するので$y \in U$を得るが，これは不合理である．よって，連続写像$f:= g \circ q \colon X \to [0,1]$に対して
$$ f(x) = 1,$$
および
\begin{align} f^{\rightarrow}(X \smallsetminus U) &= g^{\rightarrow}(q^{\rightarrow}(X \smallsetminus U))\\ &\subset g^{\rightarrow}(\mathrm{Kol}(X)\smallsetminus q^{\rightarrow}(U)) \\ &\subset \{0\} \end{align}
が成り立つ．

$X$を微局所コンパクトKC空間とする．このとき$X$は弱局所コンパクト$T_{1}$空間であるから，あとは$X$の（前）正則性を示せばよい．ところで，blc-kc-slcより$X$は強局所コンパクトであるから正則空間である．