文献あり

局所完閉空間考

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局所閉集合

$(X, τ (X))$ を位相空間とし， $A \subset X$ とする．このとき次は同値である：

任意の $a \in A$ に対して， $U \in τ (a, X)$ であって $A \cap U \in τ^{c} (X) | U$ なるものが存在する；
$U \in τ (X), C \in τ^{c} (X)$ であって $A = U \cap C$ を満たすものが存在する；
$A \subset Cl (A)$ は開集合である．

(i) $⟹$ (ii)

各 $a \in A$ に対して $U (a) \in τ (a, X)$ であって $A \cap U (a) \in τ^{c} (X) | U (a)$ なるものを取る．そこで $U := ⋃_{a \in A} U (a) \in τ (X)$ とおくと， $A \subset U$ であり， $U$ の開被覆 $(U (a))_{a \in A}$ について
$\forall a \in A, A \cap U (a) \subset U (a) : closed$
が成り立つので， $A$ は $U$ の閉集合である．よって
$A = {Cl}_{U} (A) = U \cap Cl (A)$
が成り立つ．

(ii) $⟹$ (iii)

$A = U \cap C, U \in τ (X), C \in τ^{c} (X),$ とすると，
$A \subset U \cap Cl (A) \subset U \cap C = A$
より $A = U \cap Cl (A) \in τ (X) | Cl (A)$ を得る．

(iii) $⟹$ (i)

$U \in τ (X)$ であって $A = U \cap Cl (A)$ なるものが存在するので，任意の $a \in A$ に対して， $U \in τ (a, X)$ であり
$A \cap U = Cl (A) \cap U \in τ^{c} (X) | U$
が成り立つ．

$(X, τ (X))$ を位相空間とする．部分集合 $A \subset X$ についてloc-clの条件のいづれか（したがってすべて）が成り立つとき， $A \subset X$ を局所閉集合という．

$X \in τ (X) \cap τ^{c} (X)$ より，開集合および閉集合は条件(ii)を満たすので $X$ の局所閉集合である．

$f : X \to Y$ を連続写像とする．このとき，任意の局所閉集合 $B \subset Y$ に対して，その逆像 $f^{\leftarrow} (B) \subset X$ は局所閉集合である．

仮定より， $V \in τ (Y), F \in τ^{c} (Y)$ であって $B = V \cap F$ を満たすものが存在する．このとき
$f^{\leftarrow} (B) = f^{\leftarrow} (V) \cap f^{\leftarrow} (F)$
であり， $f$ の連続性より $f^{\leftarrow} (V) \in τ (X), f^{\leftarrow} (F) \in τ^{c} (X)$ であるから，結論を得る．

局所コンパクト空間

$X$ を位相空間とする．

任意の $x \in X$ がコンパクト近傍を持つとき， $X$ を弱局所コンパクト空間という；
任意の $x \in X$ がコンパクト閉近傍を持つとき， $X$ を局所相対コンパクト空間という（cf. lrc-char）；
任意の $x \in X$ がコンパクト近傍からなる基本近傍系を持つとき， $X$ を微局所コンパクト空間という；
任意の $x \in X$ がコンパクト閉近傍からなる基本近傍系を持つとき， $X$ を強局所コンパクト空間という．

“微局所コンパクト”は "bit locally compact"（gompa）の試訳である．以下，弱局所コンパクト（resp. 局所相対コンパクト，微局所コンパクト，強局所コンパクト）をwlc（resp. lrc, blc, slc）と略記する．

$slc:コンパクト閉近傍からなる基本近傍系 lrc:コンパクト閉近傍 blc:コンパクト近傍からなる基本近傍系 wlc:コンパクト近傍$

任意のコンパクト集合の閉包がコンパクトであるような位相空間をR空間という（らしい）．
任意のコンパクト集合が閉集合であるような位相空間をKC空間という．

Hausdorff空間はKC空間であり，KC空間は $T_{1}$ 空間かつR空間である．

弱局所コンパクト空間

弱局所コンパクト性の遺伝

弱局所コンパクト空間の閉部分空間は弱局所コンパクトである；
弱局所コンパクト空間の開連続像は弱局所コンパクトである．

$X$ を弱局所コンパクト空間とする．

$C \subset X$ を閉集合とする． $x \in C$ とし， $x$ のコンパクト近傍 $K \subset X$ を取る．このとき， $C \cap K$ はコンパクト空間 $K$ の閉部分集合なのでコンパクトであり，
$x \in C \cap Int (K) \subset {Int}_{C} (C \cap K)$
が成り立つ．よって $C \cap K \subset C$ は $x \in C$ のコンパクト近傍である．
$f : X \to Y$ を全射連続開写像とし， $y \in Y$ とする． ${}^{\exists}x \in f^{\leftarrow} ({y})$ のコンパクト近傍 $K \subset X$ を取る．このとき， $f$ の連続性より $f^{\to} (K) \subset Y$ はコンパクトであり， $f$ が開写像であることより
$y = f (x) \in f^{\to} (Int (K)) \subset Int (f^{\to} (K))$
となるので， $f^{\to} (K)$ は $y \in Y$ のコンパクト近傍である．

$(X_{λ})_{λ \in Λ}$ を（非空）位相空間族とする．このとき次は同値である：

$X := \prod_{λ} X_{λ}$ は弱局所コンパクトである；
すべての $λ \in Λ$ について $X_{λ}$ は弱局所コンパクトであり，有限個を除いて $X_{λ}$ はコンパクトである．

(i) $⟹$ (ii)

射影 $p_{λ} : X \to X_{λ}$ は全射連続開写像なので， $X_{λ} = p_{λ}^{\to} (X)$ は弱局所コンパクトである．また， ${}^{\exists}x \in X \neq \emptyset$ のコンパクト近傍 $K$ を取ると，有限集合 $Λ_{0} \subset Λ$ と開集合 $U_{λ} \in τ (p_{λ} (x), X_{λ}), λ \in Λ_{0},$ であって
$x \in U := ⋂_{λ \in Λ_{0}} p_{λ}^{\leftarrow} (U_{λ}) \subset K$
を満たすものが存在する．よって任意の $λ \in Λ ∖ Λ_{0}$ に対して，
$X_{λ} = p_{λ}^{\to} (U) \subset p_{λ}^{\to} (K) \subset X_{λ}$
より， $X_{λ} = p_{λ}^{\to} (K)$ はコンパクトである．

(ii) $⟹$ (i)

$x \in X$ とする．仮定より有限集合 $Λ_{0} \subset Λ$ であって
$\forall λ \in Λ ∖ Λ_{0}, X_{λ} : compact$
を満たすものが存在する．そこで，各 $λ \in Λ_{0}$ に対して $p_{λ} (x) \in X_{λ}$ のコンパクト近傍 $K_{λ}$ を取ると，
$⋂_{λ \in Λ_{0}} p_{λ}^{\leftarrow} (K_{λ}) \approx \prod_{λ \in Λ_{0}} K_{λ} \times \prod_{λ \in Λ ∖ Λ_{0}} X_{λ}$
は $x$ のコンパクト近傍である．

$f : X \to Y$ を全射連続完全写像とする．このとき次が成り立つ：

$X$ が弱局所コンパクトR空間ならば， $Y$ は局所相対コンパクトである；
$Y$ が弱局所コンパクト空間ならば， $X$ は弱局所コンパクトである．

$y \in Y$ とする．各 $x \in f^{\leftarrow} ({y})$ に対して，そのコンパクト近傍 $K (x) \subset X$ を取り， $U (x) := Int (K (x))$ とおく．このとき， $f^{\leftarrow} ({y})$ のコンパクト性より，有限個の点 $x_{1}, \dots, x_{n} \in f^{\leftarrow} ({y})$ であって
$f^{\leftarrow} ({y}) \subset U (x_{1}) \cup \dots \cup U (x_{n}) =: U \in τ (X)$
を満たすものが存在する．いま $f$ は閉写像なので， $V \in τ (y, Y)$ であって $f^{\leftarrow} (V) \subset U$ なるものが存在する（cf. perfect-map 命題6）．
$Cl (U) \subset Cl (K (x_{1})) \cup \dots \cup Cl (K (x_{n}))$
より $Cl (U)$ はコンパクトである．したがって
$Cl (V) \subset Cl (f^{\to} (U)) \subset f^{\to} (Cl (U))$
と $f^{\to} (Cl (U))$ のコンパクト性より， $Cl (V) \subset Y$ は $y$ のコンパクト閉近傍である．
$x \in X$ とする． $f (x) \in Y$ のコンパクト近傍 $L \subset Y$ を取る．このとき $f^{\leftarrow} (L) \subset X$ は $x$ のコンパクト近傍である．

コンパクト生成空間について

（cf. nsfo 例4.2）

弱局所コンパクト空間はコンパクト生成空間である．

$X$ を弱局所コンパクト空間とする． $A \subset X$ とし，任意のコンパクト集合 $K \subset X$ に対して $A \cap K \subset K$ が開集合であるとする．このとき $A \subset X$ が開集合であることを示せばよい．そこで $a \in A$ とし，そのコンパクト近傍 $K \subset X$ を取る．仮定より $U \in τ (X)$ であって $A \cap K = U \cap K$ なるものが存在するので，
$a \in A \cap Int (K) = A \cap K \cap Int (K) = U \cap Int (K) \in τ (X)$
が成り立つ．よって $A \subset X$ は開集合である．

$X$ を位相空間とする．このとき次は同値である：

$X$ はコンパクト生成空間である；
ある弱局所コンパクト空間 $X_{0}$ からの等化写像 $q : X_{0} \to X$ が存在する．

(i) $⟹$ (ii)

$X$ がコンパクト生成空間であるとき， $X$ の位相は包含写像から誘導される写像
$X_{0} := ∐ {K ∣ K \subset X : compact} \to X$
による等化位相と一致する（cf. nsfo 定義4.3, 定義4.1）． $X_{0}$ は明らかに弱局所コンパクトなので結論を得る（cf. nsfo 命題3.12）．

(ii) $⟹$ (i)

$U \subset X$ を
$\forall K \subset X : compact, U \cap K \subset K : open$
を満たす部分集合とする．このとき $q^{\leftarrow} (U) \subset X_{0}$ が開集合であることを示せばよい．補題より，任意のコンパクト集合 $K_{0} \subset X_{0}$ に対して， $q^{\leftarrow} (U) \cap K_{0} \subset K_{0}$ が開集合であることを示せばよい．そこで $K_{0} \subset X_{0}$ をコンパクト集合とすると， $q^{\to} (K_{0}) \subset X$ はコンパクトなので， $U \cap q^{\to} (K_{0}) \subset q^{\to} (K_{0})$ は開集合である．ここで $f := q | K_{0}$ とおくと，これは連続写像であるから
$q^{\leftarrow} (U) \cap K_{0} = f^{\leftarrow} (U \cap q^{\to} (K_{0})) \subset K_{0}$
は開集合である．

コンパクト生成空間の商空間はコンパクト生成空間である．

$X$ をコンパクト生成空間とし $q : X \to X / R$ を商写像とする．k-spより，ある弱局所コンパクト空間 $X_{0}$ からの等化写像 $q_{0} : X_{0} \to X$ が存在する．等化写像の合成 $q \circ q_{0} : X_{0} \to X / R$ は等化写像であるから（cf. nsfo 定理3.7の系），ふたたびk-spより， $X / R$ はコンパクト生成空間である．

局所相対コンパクト空間

含意

コンパクト空間は局所相対コンパクトである；
局所相対コンパクト空間は弱局所コンパクトである．

$X$ がコンパクトならば，任意の $x \in X$ に対して $X$ は $x$ のコンパクト閉近傍である．
コンパクト閉近傍はとくにコンパクト近傍である．

定義の言い換え

$X$ を位相空間とする．このとき次は同値である：

$X$ は局所相対コンパクトである；
任意の $x \in X$ が相対コンパクト近傍を持つ；
任意の $x \in X$ が相対コンパクト開近傍を持つ；
任意の $x \in X$ が相対コンパクト開近傍からなる基本近傍系を持つ．

(i) $⟹$ (ii)

コンパクト閉近傍はとくに相対コンパクト近傍である．

(ii) $⟹$ (iii)

$x \in X$ の相対コンパクト近傍 $N \subset X$ に対して， $Int (N)$ は $x$ の開近傍であり， $Cl (Int (N))$ はコンパクト空間 $Cl (N)$ の閉集合ゆえコンパクトである．

(iii) $⟹$ (iv)

$x \in X$ とし $U \in τ (x, X)$ とする．仮定より相対コンパクト開近傍 $V \in τ (x, X)$ が存在する．そこで $W := U \cap V$ とおくと，これは $x$ の開近傍であり， $W \subset U$ が成り立つ．また $Cl (W)$ はコンパクト空間 $Cl (V)$ の閉集合ゆえコンパクトである．

(iv) $⟹$ (i)

$x \in X$ とする．仮定より $x$ の相対コンパクト開近傍 $U \subset X$ が存在する．このとき $Cl (U)$ は $x$ のコンパクト閉近傍である．

局所相対コンパクト性の遺伝

局所相対コンパクト空間の閉部分空間は局所相対コンパクトである；
局所相対コンパクト空間の開閉連続像は局所相対コンパクトである；
局所相対コンパクト空間の開連続像 $Y$ がR空間ならば， $Y$ は局所相対コンパクトである．

$X$ を局所相対コンパクト空間とする．

$C \subset X$ を閉集合とする． $x \in C$ とし， $x$ のコンパクト閉近傍 $K \subset X$ を取る．このとき， $C \cap K$ はコンパクト空間 $K$ の閉部分集合なのでコンパクトであり，
$x \in C \cap Int (K) \subset {Int}_{C} (C \cap K)$
が成り立つ．よって $C \cap K \subset C$ は $x \in C$ のコンパクト閉近傍である．
$f : X \to Y$ を全射連続開閉写像とし， $y \in Y$ とする． ${}^{\exists}x \in f^{\leftarrow} ({y})$ のコンパクト閉近傍 $K \subset X$ を取る．いま $f$ は開写像なので $f^{\to} (K) \subset Y$ は $y$ の近傍であり， $f$ の閉連続性より $f^{\to} (K)$ はコンパクト閉集合である．
$f : X \to Y$ を $R$ 空間への全射連続開写像とし， $y \in Y$ とする． ${}^{\exists}x \in f^{\leftarrow} ({y})$ の相対コンパクト開近傍 $U \subset X$ を取る．いま $f$ は開写像なので $f^{\to} (U) \subset Y$ は $y$ の開近傍である．さらに $f$ の連続性より $f^{\to} (Cl (U)) \subset Y$ はコンパクト，したがって $Cl (f^{\to} (Cl (U)))$ はコンパクトであるから，その閉部分集合 $Cl (f^{\to} (U))$ はコンパクトである．

$(X_{λ})_{λ \in Λ}$ を（非空） $T_{1}$ 空間（resp. R空間）の族とする．このとき次は同値である：

$X := \prod_{λ} X_{λ}$ は局所相対コンパクトである；
すべての $λ \in Λ$ について $X_{λ}$ は局所相対コンパクトであり，有限個を除いて $X_{λ}$ はコンパクトである．

(i) $⟹$ (ii)

任意の $X_{λ}$ が $T_{1}$ 空間のとき，各 $X_{λ}$ は $X$ の閉集合と同相なので局所相対コンパクトである．
$X_{λ}$ がR空間のとき，射影 $p_{λ} : X \to X_{λ}$ は全射連続開写像なので， $X_{λ} = p_{λ}^{\to} (X)$ は局所相対コンパクトである．
いま $X$ は弱局所コンパクトなので，wlc-prodより，有限個を除いて $X_{λ}$ はコンパクトである．

(ii) $⟹$ (i)

$x \in X$ とする．仮定より有限集合 $Λ_{0} \subset Λ$ であって
$\forall λ \in Λ ∖ Λ_{0}, X_{λ} : compact$
を満たすものが存在する．そこで，各 $λ \in Λ_{0}$ に対して $p_{λ} (x) \in X_{λ}$ のコンパクト閉近傍 $K_{λ}$ を取ると，
$⋂_{λ \in Λ_{0}} p_{λ}^{\leftarrow} (K_{λ}) \approx \prod_{λ \in Λ_{0}} K_{λ} \times \prod_{λ \in Λ ∖ Λ_{0}} X_{λ}$
は $x$ のコンパクト閉近傍である．

$f : X \to Y$ を全射連続完全写像とする．このとき次は同値である：

$X$ は局所相対コンパクト空間である；
$Y$ は局所相対コンパクト空間である．

(i) $⟹$ (ii)

$y \in Y$ とする．各 $x \in f^{\leftarrow} ({y})$ に対して，その相対コンパクト開近傍 $U (x) \subset X$ を取る．このとき， $f^{\leftarrow} ({y})$ のコンパクト性より，有限個の点 $x_{1}, \dots, x_{n} \in f^{\leftarrow} ({y})$ であって
$f^{\leftarrow} ({y}) \subset U (x_{1}) \cup \dots \cup U (x_{n}) =: U \in τ (X)$
を満たすものが存在する．いま $f$ は閉写像なので， $V \in τ (y, Y)$ であって $f^{\leftarrow} (V) \subset U$ なるものが存在する．したがって
$Cl (V) \subset Cl (f^{\to} (U)) \subset f^{\to} (Cl (U))$
と $f^{\to} (Cl (U))$ のコンパクト性より， $V \subset Y$ は $y$ の相対コンパクト開近傍である．

(ii) $⟹$ (i)

$x \in X$ とする． $f (x) \in Y$ のコンパクト閉近傍 $L \subset Y$ を取る．このとき $f^{\leftarrow} (L) \subset X$ は $x$ のコンパクト閉近傍である．

微局所コンパクト空間

含意

微局所コンパクト空間は弱局所コンパクトである．

$X$ を微局所コンパクト空間とし， $x \in X$ とする．このとき $x$ の近傍 $X$ に対して， $x$ のコンパクト近傍 $K$ であって $K \subset X$ なるものが存在する．

微局所コンパクト性の遺伝

微局所コンパクト空間の局所閉集合は微局所コンパクトである；
微局所コンパクト空間の開連続像は微局所コンパクトである．

$X$ を微局所コンパクト空間とする．

$U \in τ (X), C \in τ^{c} (X)$ とし $A := U \cap C$ とおく． $a \in A$ とし $V \in τ (a, X)$ とする．このとき $U \cap V \in τ (a, X)$ に対して，仮定より $x$ のコンパクト近傍 $K \subset X$ であって $K \subset U \cap V$ を満たすものが存在する．そこで
$K_{A} := K \cap A = K \cap (U \cap C) = (K \cap U) \cap C = K \cap C$
とおくと，これはコンパクト空間 $K$ の閉集合ゆえコンパクトであり，
$a \in Int (K) \cap A \subset {Int}_{A} (K \cap A) \subset K_{A} \subset V \cap A$
が成り立つ．
$f : X \to Y$ を全射連続開写像とし， $y \in Y, V \in τ (y, Y)$ とする．このとき ${}^{\exists}x \in f^{\leftarrow} (y)$ の開近傍 $f^{\leftarrow} (V) \subset X$ に対して， $x$ のコンパクト近傍 $K \subset X$ であって $K \subset f^{\leftarrow} (V)$ を満たすものが存在する．よって $f^{\to} (K) \subset Y$ は $y$ のコンパクト近傍であって $f^{\to} (K) \subset V$ を満たす．

$(X_{λ})_{λ \in Λ}$ を（非空）位相空間族とする．このとき次は同値である：

$X := \prod_{λ} X_{λ}$ は微局所コンパクトである；
すべての $λ \in Λ$ について $X_{λ}$ は微局所コンパクトであり，有限個を除いて $X_{λ}$ はコンパクトである．

(i) $⟹$ (ii)

射影 $p_{λ} : X \to X_{λ}$ は全射連続開写像なので， $X_{λ} = p_{λ}^{\to} (X)$ は微局所コンパクトである．
いま $X$ は弱局所コンパクトなので，wlc-prodより，有限個を除いて $X_{λ}$ はコンパクトである．

(ii) $⟹$ (i)

$x \in X$ とし， $U \in τ (x, X)$ とする．仮定より有限集合 $Λ_{1} \subset Λ$ であって
$\forall λ \in Λ ∖ Λ_{1}, X_{λ} : compact$
なるものが存在する．また，有限集合 $Λ_{2} \subset Λ$ と開集合 $U_{λ} \in τ (X_{λ}), λ \in Λ_{2},$ であって
$x \in V := ⋂_{λ \in Λ_{2}} p^{\leftarrow} (U_{λ}) \subset U$
を満たすものが存在する．各 $λ \in Λ_{0} := Λ_{1} \cup Λ_{2}$ に対して $p_{λ} (x) \in X_{λ}$ のコンパクト近傍 $K_{λ}$ であって $K_{λ} \subset U_{λ} := p_{λ}^{\to} (V)$ なるものを取ると，
$K := ⋂_{λ \in Λ_{0}} p_{λ}^{\leftarrow} (K_{λ}) \approx \prod_{λ \in Λ_{0}} K_{λ} \times \prod_{λ \in Λ ∖ Λ_{0}} X_{λ}$
は $x$ のコンパクト近傍であり， $K \subset U$ を満たす．

$f : X \to Y$ を連続完全写像とする．このとき次が成り立つ：

$f$ が全射であって $X$ が微局所コンパクトKC空間ならば， $Y$ は強局所コンパクトである；
$f$ が単射であって $Y$ が微局所コンパクト空間ならば， $X$ は微局所コンパクトである．

$y \in Y, V \in τ (y, Y)$ とする．各 $x \in f^{\leftarrow} ({y})$ に対して，そのコンパクト近傍 $K (x) \subset X$ であって $K (x) \subset f^{\leftarrow} (V)$ なるものを取り， $U (x) := Int (K (x))$ とおく．このとき， $f^{\leftarrow} ({y})$ のコンパクト性より，有限個の点 $x_{1}, \dots, x_{n} \in f^{\leftarrow} ({y})$ であって
$f^{\leftarrow} ({y}) \subset U (x_{1}) \cup \dots \cup U (x_{n}) =: U \in τ (X)$
を満たすものが存在する．いま $f$ は閉写像なので， $W \in τ (y, Y)$ であって $f^{\leftarrow} (W) \subset U$ なるものが存在する．
$Cl (U) \subset K (x_{1}) \cup \dots \cup K (x_{n}) \subset f^{\leftarrow} (V)$
より $Cl (U)$ はコンパクトである．したがって
$Cl (W) \subset Cl (f^{\to} (U)) \subset f^{\to} (Cl (U)) \subset V$
と $f^{\to} (Cl (U))$ のコンパクト性より， $Cl (W) \subset Y$ は $V$ に含まれる $y$ のコンパクト閉近傍である．
$X$ は微局所コンパクト空間 $Y$ の閉集合 $f^{\to} (X)$ に同相なので微局所コンパクトである．

強局所コンパクト空間

含意

強局所コンパクト空間は局所相対コンパクトかつ微局所コンパクトである．したがって弱局所コンパクトである．

slc $⟹$ lrc

$X$ を強局所コンパクト空間とし， $x \in X$ とする．このとき $x$ の近傍 $X$ に対して， $x$ のコンパクト閉近傍 $K$ であって $K \subset X$ なるものが存在する．

slc $⟹$ blc

コンパクト閉近傍はとくにコンパクト近傍である．

定義の言い換え

$X$ を位相空間とする．このとき次は同値である：

$X$ は強局所コンパクトである；
任意の $x \in X$ が相対コンパクト開近傍の閉包からなる基本近傍系を持つ：
$\forall U \in τ (x, X), \exists V \in τ (x, X) : relatively compact, Cl (V) \subset U .$

(i) $⟹$ (ii)

$x \in X$ とし $U \in τ (x, X)$ とする．仮定より $x$ のコンパクト閉近傍 $K \subset X$ であって $K \subset U$ なるものが存在する．そこで $V := Int (K)$ とおくと， $Cl (V) \subset Cl (K) = K$ より， $V$ は $x$ の相対コンパクト開近傍であり， $Cl (V) \subset U$ を満たす．

(ii) $⟹$ (i)

$x \in X$ とし $U \in τ (x, X)$ とする．仮定より相対コンパクト開近傍 $V \in τ (x, X)$ であって $Cl (V) \subset U$ なるものが存在する．そこで $K := Cl (V)$ とおくと，これは $x$ のコンパクト閉近傍であって $K \subset U$ を満たす．

強局所コンパクト空間は正則空間である．

強局所コンパクト性の遺伝

強局所コンパクト空間の局所閉集合は強局所コンパクトである；
強局所コンパクト空間の開閉連続像は強局所コンパクトである；
強局所コンパクト空間の開連続像 $Y$ がKC空間ならば， $Y$ は強局所コンパクトである．

$X$ を強局所コンパクト空間とする．

$U \in τ (X), C \in τ^{c} (X)$ とし $A := U \cap C$ とおく． $a \in A$ とし $V \in τ (a, X)$ とする．このとき $U \cap V \in τ (a, X)$ に対して，仮定より $x$ のコンパクト閉近傍 $K \subset X$ であって $K \subset U \cap V$ を満たすものが存在する．そこで
$K_{A} := K \cap A = K \cap (U \cap C) = (K \cap U) \cap C = K \cap C$
とおくと，これはコンパクト空間 $K$ の閉集合ゆえコンパクトであり，
$a \in Int (K) \cap A \subset {Int}_{A} (K \cap A) \subset K_{A} \subset V \cap A$
が成り立つ．
$f : X \to Y$ を全射連続開閉写像とし， $y \in Y, V \in τ (y, Y)$ とする．このとき ${}^{\exists}x \in f^{\leftarrow} (y)$ の開近傍 $f^{\leftarrow} (V) \subset X$ に対して， $x$ のコンパクト閉近傍 $K \subset X$ であって $K \subset f^{\leftarrow} (V)$ を満たすものが存在する．よって $f^{\to} (K) \subset Y$ は $y$ のコンパクト閉近傍であって $f^{\to} (K) \subset V$ を満たす．
$f : X \to Y$ をKC空間への全射連続開写像とし， $y \in Y, V \in τ (y, Y)$ とする． ${}^{\exists}x \in f^{\leftarrow} ({y})$ の相対コンパクト開近傍 $U \subset X$ であって $Cl (U) \subset f^{\leftarrow} (V)$ なるものを取る．いま $f$ は開写像なので $f^{\to} (U) \subset Y$ は $y$ の開近傍である．また， $f$ の連続性より $f^{\to} (Cl (U)) \subset Y$ はコンパクト閉集合であるから，その閉部分集合 $Cl (f^{\to} (U))$ はコンパクトであり，
$Cl (f^{\to} (U)) \subset Cl (f^{\to} (Cl (U))) = f^{\to} (Cl (U)) \subset V$
が成り立つ．

$(X_{λ})_{λ \in Λ}$ を（非空） $T_{1}$ 空間（resp. KC空間）の族とする．このとき次は同値である：

$X := \prod_{λ} X_{λ}$ は強局所コンパクトである；
すべての $λ \in Λ$ について $X_{λ}$ は強局所コンパクトであり，有限個を除いて $X_{λ}$ はコンパクトである．

(i) $⟹$ (ii)

任意の $X_{λ}$ が $T_{1}$ 空間のとき，各 $X_{λ}$ は $X$ の閉集合と同相なので強局所コンパクトである．
$X_{λ}$ がKC空間のとき，射影 $p_{λ} : X \to X_{λ}$ は全射連続開写像なので， $X_{λ} = p_{λ}^{\to} (X)$ は強局所コンパクトである．
いま $X$ は弱局所コンパクトなので，wlc-prodより，有限個を除いて $X_{λ}$ はコンパクトである．

(ii) $⟹$ (i)

$x \in X$ とし， $U \in τ (x, X)$ とする．仮定より有限集合 $Λ_{1} \subset Λ$ であって
$\forall λ \in Λ ∖ Λ_{1}, X_{λ} : compact$
なるものが存在する．また，有限集合 $Λ_{2} \subset Λ$ と開集合 $U_{λ} \in τ (X_{λ}), λ \in Λ_{2},$ であって
$x \in V := ⋂_{λ \in Λ_{2}} p^{\leftarrow} (U_{λ}) \subset U$
を満たすものが存在する．各 $λ \in Λ_{0} := Λ_{1} \cup Λ_{2}$ に対して $p_{λ} (x) \in X_{λ}$ のコンパクト閉近傍 $K_{λ}$ であって $K_{λ} \subset U_{λ} := p_{λ}^{\to} (V)$ なるものを取ると，
$K := ⋂_{λ \in Λ_{0}} p_{λ}^{\leftarrow} (K_{λ}) \approx \prod_{λ \in Λ_{0}} K_{λ} \times \prod_{λ \in Λ ∖ Λ_{0}} X_{λ}$
は $x$ のコンパクト閉近傍であり， $K \subset U$ を満たす．

$f : X \to Y$ を連続完全写像とする．このとき次が成り立つ：

$f$ が全射であって $X$ が強局所コンパクト空間ならば， $Y$ は強局所コンパクトである；
$f$ が単射であって $Y$ が強局所コンパクト空間ならば， $X$ は強局所コンパクトである．

$y \in Y, V \in τ (y, Y)$ とする．各 $x \in f^{\leftarrow} ({y})$ に対して，その相対コンパクト開近傍 $U (x) \subset X$ であって $Cl (U (x)) \subset f^{\leftarrow} (V)$ なるものを取る．このとき， $f^{\leftarrow} ({y})$ のコンパクト性より，有限個の点 $x_{1}, \dots, x_{n} \in f^{\leftarrow} ({y})$ であって
$f^{\leftarrow} ({y}) \subset U (x_{1}) \cup \dots \cup U (x_{n}) =: U \in τ (X)$
を満たすものが存在する．いま $f$ は閉写像なので， $W \in τ (y, Y)$ であって $f^{\leftarrow} (W) \subset U$ なるものが存在する．
$Cl (U) \subset Cl (U (x_{1})) \cup \dots \cup Cl (U (x_{n})) \subset f^{\leftarrow} (V)$
より $Cl (U)$ はコンパクトである．したがって
$Cl (W) \subset Cl (f^{\to} (U)) \subset f^{\to} (Cl (U)) \subset V$
と $f^{\to} (Cl (U))$ のコンパクト性より， $W \subset Y$ は $y$ の相対コンパクト開近傍であって $Cl (W) \subset V$ を満たす．
$X$ は強局所コンパクト空間 $Y$ の閉集合 $f^{\to} (X)$ に同相なので強局所コンパクトである．

含意関係と反例

4つの“局所コンパクト”（とコンパクト）の間には次のような含意関係がある（cpt-lrc-wlc, blc-wlc, slc-lrc-blc）：
$cpt slc lrc blc wlc$

これら以外の含意が成り立たないことを見るには，

slc $⟹ ⧸$ cpt;
cpt $⟹ ⧸$ blc;
wlc $⟹ ⧸$ lrc;

を示せばよい．

slc $⟹ ⧸$ cpt

実数体 $R$ に通常の位相を入れたものは強局所コンパクトだがコンパクトではない．

cpt $⟹ ⧸$ blc

$Q \subset R$ の1点コンパクト化 $Q^{+}$ が微局所コンパクトであったと仮定する．このとき $0 \in Q^{+}$ の開近傍 $] - 1, 1 [\cap Q$ に対して， $0$ のコンパクト近傍 $K \subset Q^{+}$ であって $K \subset] - 1, 1 [\cap Q$ なるものが存在する．さらに $0 \in Int (K) \cap Q \in τ (Q^{+}) | Q = τ (Q) = τ (R) | Q$ より， $a, b \in R$ であって $0 \in U :=] a, b [\cap Q \subset K$ を満たすものが存在する．コンパクト集合 $K \subset Q$ が閉集合であることに注意すると，
$\begin{aligned} [a, b] \cap Q & = {Cl}_{R} (] a, b [) \cap Q \\ = {Cl}_{R} (U) \cap Q \\ = {Cl}_{Q \subset R} (U) \\ \subset {Cl}_{Q \subset R} (K) = K \end{aligned}$
より， $[a, b] \cap Q$ はコンパクトであることがわかる．したがって $[a, b] \cap Q \subset R$ は閉集合となるが，これは不合理である．

同様にして $(Q, τ (Q))$ が弱局所コンパクトでないこともわかる（cf. Q）．したがって，局所相対コンパクト性および弱局所コンパクト性は開部分集合に遺伝するとは限らない．

wlc $⟹ ⧸$ lrc

$N$ の開集合系 $τ (N)$ を次で定める：
$U \in τ (N) : ⟺ U = \emptyset \lor 0 \in U .$
この位相に関して
$K \subset N : compact ⟺ K \subset X : finite$
が成り立つ．実際，有限集合はコンパクトであり，逆に $K \subset X$ をコンパクト集合とすると，開被覆 $({0, k})_{k \in K}$ が有限部分被覆を持つことから $K$ は有限集合である．

とくに $(N, τ (N))$ はコンパクトではない．また，任意の点 $n \in N$ がコンパクト集合 ${0, n}$ からなる基本近傍系 ${{0, n}}$ を持つので， $(N, τ (N))$ は微局所コンパクト，したがって弱局所コンパクトである．一方， $0 \in N$ を含む閉集合は $N$ しかなくこれはコンパクトでないので， $0$ はコンパクト閉近傍を持たない．よって $(N, τ (N))$ は局所相対コンパクトでない．

条件付きの含意

弱局所コンパクトR空間は局所相対コンパクトである．

$X$ を弱局所コンパクトR空間とすると，各 $x \in X$ のコンパクト近傍 $K$ は相対コンパクト近傍で（も）ある．

微局所コンパクトKC空間は強局所コンパクトである．

（KC空間においてコンパクト近傍とコンパクト閉近傍とは一致することから）明らか．

$slc lrc blc KC wlc R$

弱局所コンパクトHausdorff空間は強局所コンパクトである．

$X$ を弱局所コンパクトHausdorff空間とし， $x \in X, U \in τ (x, X)$ とする．仮定より $x$ のコンパクト近傍 $K \subset X$ が存在する．そこで
$L := K \cap (X ∖ U)$
とおくと，これは ${x}$ と交わらないコンパクト集合なので， $X$ のHausdorff性より， $V \in τ (x, X), W \in τ (L, X)$ であって $V \cap W = \emptyset$ なるものが存在する．このとき
$Cl (V) \subset Cl (X ∖ W) = X ∖ W \subset X ∖ L = (X ∖ K) \cup U$
より $Cl (V) \cap K \subset U$ を得る．したがって， $x$ のコンパクト閉近傍 $Cl (V \cap Int (K))$ は
$Cl (V \cap Int (K)) \subset Cl (V) \cap K \subset U$
を満たす．

弱局所コンパクト正則空間は強局所コンパクトである．

$X$ を弱局所コンパクト正則空間とし， $x \in X, U \in τ (x, X)$ とする．仮定より $x$ のコンパクト近傍 $K \subset X$ が存在する．このとき $X$ の正則性より， $U \cap Int (K) \in τ (x, X)$ に対して， $V \in τ (x, X)$ であって
$Cl (V) \subset U \cap Int (K)$
を満たすものが存在する． $Cl (V) \subset K$ より $V \subset X$ は相対コンパクトであり， $Cl (V) \subset U$ を満たす．

$slc lrc blc wlc reg T_{2}$

局所コンパクトHausdorff空間

$X$ をHausdorff空間または正則空間とする．このとき次は同値である：

$X$ は弱局所コンパクトである；
$X$ は局所相対コンパクトである；
$X$ は微局所コンパクトである；
$X$ は強局所コンパクトである．

弱局所コンパクトHausdorff空間をLCH空間という．

LCH空間は $T_{3}$ 空間である．

$(X_{λ})_{λ \in Λ}$ を（非空）位相空間族とする．このとき次は同値である：

$X := \prod_{λ} X_{λ}$ はLCHである；
すべての $λ \in Λ$ について $X_{λ}$ はLCHであり，有限個を除いて $X_{λ}$ はコンパクトである．

（cf. perfect-map 命題21,23）

$X$ をHausdorff空間とし $f : X \to Y$ を全射連続完全写像とする．このとき次は同値である：

$X$ はLCH空間である；
$Y$ はLCH空間である．

$X$ をHausdorff空間とし $f : X \to Y$ を連続完全写像とする．このとき $Y$ がLCH空間ならば， $X$ はLCH空間である．実際，LCH空間 $Y$ の閉集合 $f^{\to} (X)$ はLCH空間であるから， $f^{f^{\to (X)}} : X \to f^{\to} (X)$ にLCH-perfを適用すればよい．

Urysohnの補題とTietzeの拡張定理

$X$ を位相空間とする．このとき次は同値である：

$X$ は強局所コンパクトである；
任意のコンパクト集合 $K \subset X$ とその開近傍 $U \in τ (K, X)$ に対して，相対コンパクト開集合 $V \in τ (K, X)$ であって $Cl (V) \subset U$ を満たすものが存在する．

(i) $⟹$ (ii)

各 $x \in K$ に対して，相対コンパクト開集合 $V (x) \in τ (x, X)$ であって $Cl (V (x)) \subset U$ なるものが存在する．このとき $(V (x))_{x \in K}$ はコンパクト集合 $K \subset X$ の開被覆なので，有限個の点 $x_{1}, \dots, x_{n} \in K$ であって
$K \subset ⋃_{i \in [n]} V (x_{i})$
を満たすものが存在する．そこで $V := ⋃_{i} V (x_{i})$ とおくと，これは $K$ の開近傍であり，
$Cl (V) = ⋃_{i \in [n]} Cl (V (x_{i})) \subset U$
が成り立つ．

(ii) $⟹$ (i)

slc-charより明らか．

Urysohn’s Lemma for LCH spaces

$X$ をLCH空間とし， $K \subset X$ をコンパクト集合， $U \in τ (K, X)$ をその開近傍とする．このとき，コンパクト台を持つ連続写像 $f : X \to [0, 1]$ であって，
$f^{\to} (K) \subset {1}, supp (f) \subset U$
を満たすものが存在する．

仮定より相対コンパクト開集合 $V, W \in τ (X)$ であって
$K \subset W \subset Cl (W) \subset V \subset Cl (V) \subset U$
を満たすものが存在する．コンパクトHausdorff空間 $Cl (V)$ は正規空間なので，Urysohnの補題より，その閉集合 $K$ と開近傍 $W$ に対して，連続写像 $g : Cl (V) \to [0, 1]$ であって
$g^{\to} (K) \subset {1}, g^{\to} (Cl (V) ∖ W) \subset {0}$
を満たすものが存在する．後者より，
$Cl (V) ∖ Cl (W) \subset Cl (V) ∖ W \subset {x \in Cl (V) ∣ g (x) = 0},$
したがって
$Cl (V) ∖ Cl (W) \subset {Int}_{Cl (V)} ({x \in Cl (V) ∣ g (x) = 0})$
を得るので，
$\begin{aligned} supp (g) & = {Cl}_{Cl (V)} ({x \in Cl (V) ∣ g (x) \neq 0}) \\ = {Cl}_{Cl (V)} (Cl (V) ∖ {x \in Cl (V) ∣ g (x) = 0}) \\ = Cl (V) ∖ {Int}_{Cl (V)} ({x \in Cl (V) ∣ g (x) = 0}) \\ \subset Cl (W) \\ \subset V \end{aligned}$
が成り立つ．そこで，写像 $f : X \to [0, 1]$ を
$f (x) := {\begin{cases} g (x) & , x \in Cl (V) \\ 0 & , x \in X ∖ Cl (V) \end{cases}$
で定める．

$f$ の連続性

$(V, X ∖ Cl (W))$ は $X$ の開被覆であるから， $f | V, f | X ∖ Cl (W)$ がともに連続写像であることを示せばよい．

$g$ は連続写像なので， $f | V = g | V$ は連続写像である．
$X ∖ Cl (W) \subset X ∖ supp (g) \subset (X ∖ Cl (V)) \cup {x \in Cl (V) ∣ g (x) = 0}$ より $f | X ∖ Cl (W)$ は定値写像 $0$ なので，とくに連続である．

$f^{\to} (K) \subset {1}$

$K \subset V$ と $f | V = g | V$ より明らか．

$supp (f) \subset U$

$f$ の定義より
${x \in X ∣ f (x) \neq 0} = {x \in Cl (V) ∣ g (x) \neq 0} \subset supp (g) \subset V$
が成り立つので，
$supp (f) = Cl ({x \in X ∣ f (x) \neq 0}) \subset Cl (V) \subset U$
が成り立つ．また，コンパクト空間 $Cl (V)$ の閉集合ゆえ $supp (f)$ はコンパクトである．

$X$ を位相空間とする．任意の $x \in X$ と $U \in τ (x, X)$ に対して，連続写像 $f : X \to [0, 1]$ であって
$f (x) = 1, f^{\to} (X ∖ U) \subset {0}$
を満たすものが存在するとき， $X$ を完全正則空間（completely regular space）という．完全正則 $T_{1}$ 空間をTychonoff空間という．

完全正則空間は正則である．実際， $X$ を完全正則空間とし， $x \in X, U \in τ (x, X)$ とすると，連続写像 $f : X \to [0, 1]$ であって
$f (x) = 1, f^{\to} (X ∖ U) \subset {0}$
を満たすものが存在するので， $V := X ∖ f^{\leftarrow} ([0, \frac{1}{2}]) \in τ (X)$ とおくと，
$x \in V \subset Cl (V) \subset X ∖ f^{\leftarrow} ([0, \frac{1}{2} [) \subset X ∖ f^{\leftarrow} ({0}) \subset U$
が成り立つ．

LCH空間はTychonoff空間である．

$X$ をLCH空間とする． $X$ が完全正則空間であることを示せばよい．そこで $x \in X, U \in τ (x, X)$ とする．このとき，urysohnより，連続写像 $f : X \to [0, 1]$ であって
$f (x) = 1, supp (f) \subset U$
を満たすものが存在する．後者より
$X ∖ U \subset {x \in X ∣ f (x) = 0}$
が成り立つ．

Tietze's Extension Theorem for LCH spaces

$X$ をLCH空間とし， $K \subset X$ をコンパクト集合， $f : K \to [0, 1]$ を連続写像とする．このとき，コンパクト台を持つ連続写像 $\tilde{f} : X \to [0, 1]$ であって， $\tilde{f} | K = f$ を満たすものが存在する．

rc-op-nbdより， $K \subset X$ の相対コンパクト開近傍 $V, W \in τ (K, X)$ であって $Cl (W) \subset V$ なるものが存在する．コンパクトHausdorff空間 $Cl (V)$ は正規空間なので，Tietzeの拡張定理より，連続写像 $g : Cl (V) \to [0, 1]$ であって $g | K = f$ を満たすものが存在する．また，urysohnより，コンパクト台を持つ連続写像 $u : X \to [0, 1]$ であって
$u^{\to} (K) \subset {1}, supp (u) \subset W$
を満たすものが存在する．そこで写像 $\tilde{f} : X \to [0, 1]$ を
$\tilde{f} (x) := {\begin{cases} g (x) u (x) & , x \in Cl (V) \\ 0 & , x \in X ∖ Cl (V) \end{cases}$
で定める．

$\tilde{f} | K = f$

任意の $x \in K \subset Cl (V)$ に対して
$\tilde{f} (x) = g (x) u (x) = (g | K) (x) \cdot 1 = f (x)$
が成り立つ．

$\tilde{f}$ の連続性

$(V, X ∖ Cl (W))$ は $X$ の開被覆なので， $\tilde{f} | V, \tilde{f} | X ∖ Cl (W)$ がともに連続写像であることを示せばよい．

$g, u$ は連続写像なので， $f | V = (g | V) \cdot (u | V)$ は連続である．
$X ∖ Cl (W) \subset X ∖ supp (u) \subset {x \in X ∣ u (x) = 0} \cup (X ∖ Cl (V))$ より， $\tilde{f} | X ∖ Cl (W)$ は定値写像 $0$ なので，とくに連続である．

$supp (\tilde{f}) \subset X$ はコンパクト

$\tilde{f}$ の定義より
${x \in X ∣ \tilde{f} (x) \neq 0} \subset {x \in Cl (V) ∣ u (x) \neq 0} \subset supp (u)$
が成り立つので，
$supp (\tilde{f}) = Cl ({x \in X ∣ \tilde{f} (x) \neq 0}) \subset supp (u)$
はコンパクト空間 $supp (u)$ の閉集合ゆえコンパクトである．

局所閉集合

$X$ をKC空間とし $A \subset X$ とする．このとき $A$ が弱局所コンパクトならば， $A \subset X$ は局所閉集合である．

$a \in A$ とし， $K \subset A$ を $a$ のコンパクト近傍とする．このとき $a$ の近傍 $N \subset X$ であって $K = N \cap A$ なるものが存在する．いまKC空間 $N$ のコンパクト集合 $K \subset N$ は閉集合なので， $C \in τ^{c} (X)$ であって $K = C \cap N$ を満たすものが存在する．そこで $U := Int (N) \in τ (a, X)$ とおくと
$A \cap U = A \cap N \cap U = K \cap U = C \cap U \subset U$
は閉集合である．

$X$ をKC空間とし $D \subset X$ を稠密部分集合とする．このとき $D$ が弱局所コンパクトならば， $D \subset X$ は開集合である．

$D \subset X$ は局所閉集合なので，loc-clより $D$ は $Cl (D) = X$ の開集合である．

$Q \subset R$ は弱局所コンパクトでない．

$X$ をLCH空間とし $A \subset X$ とする．このとき次は同値である：

$A \subset X$ はLCHである；
$A \subset X$ は局所閉集合である．

前正則空間

Kolmogorov商

位相空間 $X$ 上の同値関係 $\sim$ を
$x \sim y : ⟺ Cl ({x}) = Cl ({y})$
で定める．商空間 $X / \sim$ を $X$ のKolmogorov商といい， $Kol (X)$ で表わす．

$X$ を位相空間とし $x, y \in X$ とする．このとき次は同値である：

$x \sim y$ ;
$\forall U \in τ (X), x \in U ⟺ y \in U$ .

(i) $⟹$ (ii)

$U \in τ (X)$ とする． $x \in U$ とすると， $x \in Cl ({x}) = Cl ({y})$ より $U \cap {y} \neq \emptyset$ となるので， $y \in U$ が成り立つ．同様にして $y \in U ⟹ x \in U$ も成り立つ．

(ii) $⟹$ (i)

$z \in Cl ({x})$ とする．このとき，任意の $U \in τ (z, X)$ に対して， $U \cap {x} \neq \emptyset$ より $x \in U$ を得るので， $y \in U$ すなわち $U \cap {y} \neq \emptyset$ が成り立つ．よって $z \in Cl ({y})$ を得る． $Cl ({y}) \subset Cl ({x})$ も同様に成り立つ．

$X$ を位相空間とし $q : X \to Kol (X)$ を商写像とする．このとき次が成り立つ：

$q$ は開写像である；
$q$ は閉写像である；
$q$ は完全写像である．

$U \in τ (X)$ とする． $x \in q^{\leftarrow} (q^{\to} (U))$ とすると， $y \in U$ であって $q (x) = q (y)$ なるものが存在するので， $x \in U$ を得る．よって $q^{\leftarrow} (q^{\to} (U)) = U \in τ (X)$ となるので， $q^{\to} (U) \in τ (Kol (X))$ が成り立つ．
$C \in τ^{c} (X)$ とする． $x \in q^{\leftarrow} (q^{\to} (C))$ とすると， $y \in C$ であって $q (x) = q (y)$ なるものが存在するので，
$x \in Cl ({x}) = Cl ({y}) \subset C$
を得る．よって $q^{\leftarrow} (q^{\to} (C)) = C \in τ^{c} (X)$ となるので， $q^{\to} (C) \in τ^{c} (Kol (X))$ が成り立つ．
任意の $x \in X$ に対して $K := q^{\leftarrow} ({q (x)}) \subset X$ がコンパクトであることを示せばよい．そこで $U \subset τ (X)$ を $K \subset X$ の開被覆とすると， $x \in K$ より $U \in U$ であって $x \in U$ なるものが存在する．このとき，任意の $y \in K$ に対して $q (y) = q (x)$ より $y \in U$ が成り立つので， $K \subset U$ を得る．

上の証明より， $X$ の開集合 $U$ （resp. 閉集合 $C$ ）は $q$ 飽和集合であることがわかる．さらに
$q^{\leftarrow} (q^{\to} (U \cap C)) \subset q^{\leftarrow} (q^{\to} (U) \cap q^{\to} (C)) = q^{\leftarrow} (q^{\to} (U)) \cap q^{\leftarrow} (q^{\to} (C)) = U \cap C$
より，局所閉集合も $q$ 飽和集合である．

位相空間 $X$ のKolmogorov商 $Kol (X)$ は $T_{0}$ 空間である．

$x, y \in X$ とし， $Cl ({q (x)}) = Cl ({q (y)})$ とする．もし $q (x) \neq q (y)$ であるとすると， $U \in τ (x, X)$ であって $y \notin U$ なるものが存在する（としてよい）．このとき $q (x) \in q^{\to} (U) \in τ (Kol (X))$ より $q (y) \in q^{\to} (U)$ を得るが，
$y \in q^{\leftarrow} (q^{\to} (U)) = U$
となり不合理である．

$X$ を位相空間， $Y$ を $T_{0}$ 空間とし， $f : X \to Y$ を連続写像とする．このとき，連続写像 $\bar{f} : Kol (X) \to Y$ であって $\bar{f} \circ q = f$ を満たすものがただ一つ存在する：
$X q f Y Kol (X) \bar{f}$

$q$ は等化写像なので，
$q (x) = q (x^{'}) ⟹ f (x) = f (x^{'})$
が成り立つことを示せばよい．そこで $q (x) = q (x^{'})$ とする．このとき，任意の $V \in τ (Y)$ に対して
$f (x) \in V ⟺ x \in f^{\leftarrow} (V) ⟺ x^{'} \in f^{\leftarrow} (V) ⟺ f (x^{'}) \in V$
が成り立つので，
$Cl ({f (x)}) = Cl ({f (x^{'})})$
を得る．いま $Y$ は $T_{0}$ 空間であるから
$f (x) = f (x^{'})$
がしたがう．

前正則空間と局所コンパクト性

位相空間 $X$ について，そのKolmogorov商 $Kol (X)$ がHausdorff空間であるとき， $X$ を前正則空間（preregular space）という．

$X$ を $T_{0}$ 空間とすると，
$q (x) = q (y) ⟹ Cl ({x}) = Cl ({y}) ⟹ x = y$
より商写像 $q : X \to Kol (X)$ は同相写像である．したがってHausdorff空間は前正則空間である．

$X$ を位相空間とする．このとき次は同値である：

$X$ は前正則空間である；
$\forall x, y \in X, q (x) \neq q (y) ⟹ \exists U \in τ (x, X), \exists V \in τ (y, X), U \cap V = \emptyset$ .

(i) $⟹$ (ii)

明らか（cf. nsfo 補題2.22）．

(ii) $⟹$ (i)

$q (x) \neq q (y)$ とする．仮定より $U \in τ (x, X), V \in τ (y, X)$ であって $U \cap V = \emptyset$ なるものが存在する．このとき開近傍 $q^{\to} (U) \in τ (q (x), Kol (X)), q^{\to} (V) \in τ (q (y), Kol (X))$ について，
$q^{\leftarrow} (q^{\to} (U) \cap q^{\to} (V)) = U \cap V = \emptyset$
より $q^{\to} (U) \cap q^{\to} (V) = \emptyset$ が成り立つ．

正則空間は前正則空間である．実際， $X$ を正則空間とし $q (x) \neq q (y)$ とすると， $x \notin Cl ({y})$ または $y \notin Cl ({x})$ が成り立つが，いづれにしろ開近傍 $U \in τ (x, X), V \in τ (y, X)$ であって $U \cap V = \emptyset$ なるものが存在する．

弱局所コンパクト前正則空間は完全正則空間である．

$q : X \to Kol (X)$ を商写像とする．仮定（と $q$ が開写像であること）より $Kol (X)$ は弱局所コンパクトHausdorff空間である（cf. wlc-sub）．

$x \in X, U \in τ (x, X)$ とする．このとき $q^{\to} (U) \in τ (q (x), Kol (X))$ であるから，tychonoffより，連続写像 $g : Kol (X) \to [0, 1]$ であって
$g (q (x)) = 1, g^{\to} (Kol (X) ∖ q^{\to} (U)) \subset {0}$
を満たすものが存在する．ここで， $y \in X ∖ U$ に対して $q (y) \in q^{\to} (U)$ が成り立ったとすると， $z \in U$ であって $q (y) = q (z)$ なるものが存在するので $y \in U$ を得るが，これは不合理である．よって，連続写像 $f := g \circ q : X \to [0, 1]$ に対して
$f (x) = 1,$
および
$\begin{aligned} f^{\to} (X ∖ U) & = g^{\to} (q^{\to} (X ∖ U)) \\ \subset g^{\to} (Kol (X) ∖ q^{\to} (U)) \\ \subset {0} \end{aligned}$
が成り立つ．

微局所コンパクトKC空間はTychonoff空間である．

$X$ を微局所コンパクトKC空間とする．このとき $X$ は弱局所コンパクト $T_{1}$ 空間であるから，あとは $X$ の（前）正則性を示せばよい．ところで，blc-kc-slcより $X$ は強局所コンパクトであるから正則空間である．

また，完全正則ならば正則であったから，t3と合わせて次を得る：

$X$ を前正則空間とする．このとき次は同値である：

$X$ は弱局所コンパクトである；
$X$ は局所相対コンパクトである；
$X$ は微局所コンパクトである；
$X$ は強局所コンパクトである．

参考文献

[1]

N. Bourbaki, General Topology, Chapters 1–4

[2]

J. Dugundji, Topology

[3]

R. R. Gompa, What Is “Locally Compact”?, Pi Mu Epsilon Journal, 1992, pp. 390–92

[4]

π-Base, 閲覧日 2024年10月14日, https://topology.pi-base.org/

[5]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Tue Oct 29 2024

[6]

うすい, New Spaces from Old, 閲覧日 2024年10月13日, https://mathlog.info/books/YkRlfdOIHt5lJsIDYmdq

投稿日：2024年10月14日

更新日：2024年10月29日

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うすい

局所完閉空間考

局所閉集合
局所コンパクト空間
弱局所コンパクト空間
局所相対コンパクト空間
微局所コンパクト空間
強局所コンパクト空間
含意関係と反例
条件付きの含意
局所コンパクトHausdorff空間
Urysohnの補題とTietzeの拡張定理
局所閉集合
前正則空間
Kolmogorov商
前正則空間と局所コンパクト性
参考文献

局所完閉空間考

局所閉集合

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(iii)

(iii)⟹(i)

局所コンパクト空間

弱局所コンパクト空間

弱局所コンパクト性の遺伝

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

コンパクト生成空間について

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

局所相対コンパクト空間

含意

定義の言い換え

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(iii)

(iii)⟹(iv)

(iv)⟹(i)

局所相対コンパクト性の遺伝

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

微局所コンパクト空間

含意

微局所コンパクト性の遺伝

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

強局所コンパクト空間

含意

slc⟹lrc

slc⟹blc

定義の言い換え

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

強局所コンパクト性の遺伝

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

含意関係と反例

slc⟹⧸⟹cpt

cpt⟹⧸⟹blc

wlc⟹⧸⟹lrc

条件付きの含意

局所コンパクトHausdorff空間

Urysohnの補題とTietzeの拡張定理

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

fの連続性

f→(K)⊂{1}

supp(f)⊂U

f~|K=f

f~の連続性

supp(f~)⊂Xはコンパクト

局所閉集合

前正則空間

Kolmogorov商

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

前正則空間と局所コンパクト性

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

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(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (iii)

(iii) $⟹$ (i)

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(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (iii)

(iii) $⟹$ (iv)

(iv) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

slc $⟹$ lrc

slc $⟹$ blc

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

slc $⟹ ⧸$ cpt

cpt $⟹ ⧸$ blc

wlc $⟹ ⧸$ lrc

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

$f$ の連続性

$f^{\to} (K) \subset {1}$

$supp (f) \subset U$

$\tilde{f} | K = f$

$\tilde{f}$ の連続性

$supp (\tilde{f}) \subset X$ はコンパクト

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)