完全写像について

• $y \in f(f^{-1}(B) \cap A)$とする．このとき$x \in f^{-1}(B) \cap A$であって$f(x) = y$となるものが存在する．$x \in f^{-1}(B)$より$y = f(x) \in B$であり，$x \in A$より$y = f(x) \in f(A)$が成り立つ．よって$y \in B \cap f(A)$を得る．
• $y \in B \cap f(A)$とする．このとき$x \in A$であって$f(x) = y$となるものが存在する．$f(x) \in B$より$x \in f^{-1}(B)$となるので，$x \in A$と合わせて$y = f(x) \in f(f^{-1}(B) \cap A)$を得る．

射影公式 より
\begin{align} B \subset f_{!}(A) &\iff B \cap f(X \smallsetminus A) = \varnothing\\ &\iff f^{-1}(B) \cap (X \smallsetminus A) = \varnothing\\ &\iff f^{-1}(B) \subset A \end{align}
が成り立つ．

• 任意の$(x,y) \in K_{X} \times K_{Y}$に対して，$U(x,y) \in \tau(x,X),\,V(x,y) \in \tau(y,Y)$であって$U(x,y) \times V(x,y) \subset W$となるものが存在する．
• 各$x \in X$に対して，$(V(x,y))_{y \in K_{Y}}$はコンパクト集合$K_{Y} \subset Y$の開被覆であるから，$y_{1},\ldots,y_{m} \in K_{Y}$であって
  $$ K_{Y} \subset V(x,y_{1}) \cup \cdots \cup V(x,y_{m})$$
  となるものが存在する．
• そこで
  \begin{align} U(x) &= U(x,y_{1}) \cap \cdots \cap U(x,y_{m}) \in \tau(x,X),\\ V(x) &= V(x,y_{1}) \cup \cdots \cup V(x,y_{m}) \in \tau(K_{Y},Y) \end{align}
  とおく．
  • $U(x) \times V(x) \subset W$となることに注意する．
• このとき，$(U(x))_{x \in K_{X}}$はコンパクト集合$K_{X} \subset X$の開被覆であるから，$x_{1},\ldots,x_{n} \in K_{X}$であって
  $$ K_{X} \subset U(x_{1}) \cup \cdots \cup U(x_{n})$$
  となるものが存在する．
• そこで
  \begin{align} U &= U(x_{1}) \cup \cdots \cup U(x_{n}) \in \tau(K_{X},X),\\ V &= V(x_{1}) \cap \cdots \cap V(x_{n}) \in \tau(K_{Y},Y) \end{align}
  とおくと，
  $$ U \times V \subset W$$
  が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$f(A) \subset f(\cl{A})$と閉包の定義（或いは特徴づけ）より
$$ \cl{f(A)} \subset f(\cl{A})$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$A \subset X$が閉集合ならば
$$ f(A) \subset \cl{f(A)} \subset f(\cl{A}) = f(A)$$
が成り立つ．

定義より明らか．

(i)$\implies$(ii)

$V = f_{!}(U) \in \tau(Y)$とおくと，

• $f^{-1}(B) \subset U$より$B \subset f_{!}(U) = V$が成り立つ．
• $V \subset f_{!}(U)$より$f^{-1}(V) \subset U$が成り立つ．

(ii)$\implies$(iii)

明らか．

(iii)$\implies$(i)

$U \in \tau(X)$とする．このとき$f_{!}(U) \in \tau(Y)$となることを示せばよい．そこで$y \in f_{!}(U)$とする．このとき$f^{-1}(y) \subset U$となるので，仮定より$V \in \tau(y,Y)$であって$f^{-1}(V) \subset U$となるものが存在する．よって
$$ y \in V \subset f_{!}(U)$$
が成り立つ．

$x \in X,\,U \in \tau(p^{-1}(x),X \times K)$とする．このとき
$$ \{x\} \times K = p^{-1}(x) \subset U$$
と$K$のコンパクト性より，$V \in \tau(x,X)$であって
$$ p^{-1}(V) = V \times K \subset U$$
となるものが存在する（ 補題3 ）．よって$p$は閉写像である．

1. 明らか．
2. $C_{Y} \subset Y$を閉集合とする．仮定より$f^{-1}(C_{Y}) \subset X$は閉集合であるから，
   $$ g(C_{Y}) = (g \circ f)(f^{-1}(C_{Y})) \subset Z$$
   は閉集合である．
3. $C_{X} \subset X$を閉集合とする．仮定より$(g \circ f)(C_{X}) \subset Z$は閉集合であるから，
   $$ f(C_{X}) = g^{-1}((g \circ f)(C_{X})) \subset Y$$
   は閉集合である．

1. $C \subset C_{X}$を閉集合とすると，$C \subset X$は閉集合なので
   $$ (f|C_{X})(C) = f(C) \subset Y$$
   は閉集合である．
2. $C_{f^{-1}(B)} \subset f^{-1}(B)$を閉集合とすると，閉集合$C_{X} \subset X$であって$C_{f^{-1}(B)} = C_{X} \cap f^{-1}(B)$なるものが存在する．したがって
   $$ f^{B}(C_{f^{-1}(B)}) = f(C_{X} \cap f^{-1}(B)) = f(C_{X}) \cap B \subset B$$
   は閉集合である．

$C_{X} \subset X$を閉集合とする．このとき，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
$$ f(C_{X}) \cap Y_{\lambda} = f^{Y_{\lambda}}(C_{X} \cap f^{-1}(Y_{\lambda})) \subset Y_{\lambda}$$
は閉集合なので，$f(C_{X}) \subset Y$は閉集合である．

1. 任意のコンパクト集合$K_{Z} \subset Z$に対して，
   $$ (g \circ f)^{-1}(K_{Z}) = f^{-1}(g^{-1}(K_{Z})) \subset X$$
   はコンパクトである．
2. 任意のコンパクト集合$K_{Z} \subset Z$に対して，
   $$ g^{-1}(K_{Z}) = f((g \circ f)^{-1}(K_{Z})) \subset Y$$
   はコンパクトである．
3. 任意のコンパクト集合$K_{Y} \subset Y$に対して，
   $$ f^{-1}(K_{Y}) = (g \circ f)^{-1}(g(K_{Y})) \subset X$$
   はコンパクトである．

1. 任意のコンパクト集合$K_{Y} \subset Y$に対して，
   $$ (f|C_{X})^{-1}(K_{Y}) = C_{X} \cap f^{-1}(K_{Y}) \subset f^{-1}(K_{Y})$$
   はコンパクト空間$f^{-1}(K_{Y})$の閉集合ゆえコンパクトである．
2. 任意のコンパクト集合$K_{B} \subset B$に対して，
   $$ (f^{B})^{-1}(K_{B}) = f^{-1}(K_{B}) \subset f^{-1}(B)$$
   はコンパクトである．

1. $K_{Y} \subset Y$をコンパクト集合とする．$(Y_{\lambda})_{\lambda}$はコンパクト集合$K_{Y}$の開被覆であるから，有限集合$\Lambda_{0} \subset \Lambda$であって
   $$ K_{Y} = \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{0}} Y_{\lambda} \cap K_{Y}$$
   となるものが存在する．このとき閉集合$C_{\lambda} \subset K_{Y},\,\lambda \in \Lambda_{0},\,$であって
   $$ C_{\lambda} \subset Y_{\lambda} \cap K_{Y},\ K_{Y} = \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{0}} C_{\lambda}$$
   となるものが存在する（ 別記事：補題23 ）．仮定より各$(f^{Y_{\lambda}})^{-1}(C_{\lambda})$はコンパクトなので，
   $$ f^{-1}(K_{Y}) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{0}} (f^{Y_{\lambda}})^{-1}(C_{\lambda})$$
   はコンパクト集合の有限合併ゆえコンパクトである．
2. $K_{Y} \subset Y$をコンパクト集合とする．このとき$(Y_{\lambda} \cap K_{Y})_{\lambda \in \Lambda}$はコンパクト空間$K_{Y}$の局所有限（閉）被覆であるから
   $$ \Lambda_{0} := \{\lambda \in \Lambda \mid Y_{\lambda} \cap K_{Y} \neq \varnothing\} = \Lambda \smallsetminus \{\lambda \in \Lambda \mid Y_{\lambda} \cap K_{Y} = \varnothing\}$$
   は有限集合である．各$\lambda \in \Lambda_{0}$に対して$Y_{\lambda} \cap K_{Y}$はコンパクト空間$K_{Y}$の閉集合ゆえコンパクトであるから，
   $$ f^{-1}(K_{Y}) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{0}} (f^{Y_{\lambda}})^{-1}(Y_{\lambda} \cap K_{Y})$$
   はコンパクト集合の有限合併ゆえコンパクトである．

$K_{Y} \subset \prod Y_{\bullet}$をコンパクト集合とする．各$\lambda \in \Lambda$に対して
$$ K_{\lambda} := p_{Y_{\lambda}}(K_{Y}) \subset Y_{\lambda}$$
はコンパクトなので，仮定より$f_{\lambda}^{-1}(K_{\lambda}) \subset X_{\lambda}$はコンパクトである．したがってTychonoffの定理より$\prod_{\lambda} f_{\lambda}^{-1}(K_{\lambda})$はコンパクトである．一方$K_{Y} \subset \prod Y_{\bullet}$はハウスドルフ空間のコンパクト集合ゆえ閉集合である．よって
$$ \left(\prod f_{\bullet}\right)^{-1}(K_{Y}) \subset \prod_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda}^{-1}(K_{\lambda})$$
はコンパクト空間の閉集合ゆえコンパクトである．

(i)$\implies$(ii)

$f$が固有写像であることを示せばよい．そこで$K_{Y} \subset Y$をコンパクトとし$(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を部分集合$f^{-1}(K_{Y}) \subset X$の開被覆とする．

• $y \in K_{Y}$とする．仮定より$f^{-1}(y) \subset X$はコンパクトなので，有限集合$\Lambda(y) \subset \Lambda$であって
  $$ f^{-1}(y) \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda(y)} U_{\lambda}$$
  が成り立つものが存在する．
• そこで
  $$ U(y) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda(y)} U_{\lambda} \in \tau(f^{-1}(y),X)$$
  とおくと，$f$が閉写像であることから
  $$ V(y) := f_{!}(U(y)) \in \tau(y,Y)$$
  であり，さらに
  $$ f^{-1}(V(y)) \subset U(y)$$
  が成り立つ（ 補題2 ）．

いま$(V(y))_{y \in K_{Y}}$はコンパクト集合$K_{Y} \subset Y$の開被覆なので，有限個の点$y_{1},\ldots,y_{n} \in K_{Y}$であって
$$ K_{Y} \subset V(y_{1}) \cup \cdots \cup V(y_{n})$$
となるものが存在する．そこで
$$ \Lambda_{0} = \bigcup_{i \in [n]} \Lambda(y_{i})$$
とおくと，これは有限集合であり，
$$ f^{-1}(K_{Y}) \subset \bigcup_{i \in [n]} f^{-1}(V(y_{i})) \subset \bigcup_{i \in [n]} U(y_{i}) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{0}} U_{\lambda}$$
が成り立つ．よって$f^{-1}(K_{Y})$はコンパクトである．

(ii)$\implies$(i)

明らか．

$f$が閉写像であることを示せばよい．そこで$C_{X} \subset X$を閉集合とする．このとき任意のコンパクト集合$K_{Y} \subset Y$に対して
$$ C_{X} \cap f^{-1}(K_{Y}) \subset f^{-1}(K_{Y})$$
はコンパクト空間$f^{-1}(K_{Y})$の閉集合ゆえコンパクトである．したがって
$$ f(C_{X}) \cap K_{Y} = f(C_{X} \cap f^{-1}(K_{Y})) \subset K_{Y}$$
はハウスドルフ空間$K_{Y}$のコンパクト集合ゆえ閉集合である．よって
$$ f(C_{X}) \subset Y$$
は閉集合である．

命題7 ， 命題10 ， 定理16 よりしたがう．

命題8 ， 命題11 ， 定理16 よりしたがう．

命題9 より$f$は閉写像である．また，任意の$y \in Y$に対して，$y \in Y_{\lambda}$なる$\lambda \in \Lambda$が取れるので，
$$ f^{-1}(y) = (f^{Y_{\lambda}})^{-1}(y) \subset X$$
はコンパクトである．

任意の$y \in \prod Y_{\bullet}$に対して，Tychonoffの定理より
$$ f^{-1}(y) = \prod_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda}^{-1}(y_{\lambda}) \subset \prod X_{\bullet}$$
はコンパクトである．あとは$f$が閉写像であることを示せばよい．

そこで$y \in \prod Y_{\bullet},\,U \in \tau(f^{-1}(y),\prod X_{\bullet})$とする．このとき Wallaceの定理 より，有限集合$\Lambda_{0} \subset \Lambda$と開集合$U_{\lambda} \in \tau(f_{\lambda}^{-1}(y_{\lambda}),X_{\lambda})$であって
$$ \forall \lambda \in \Lambda \smallsetminus \Lambda_{0},\ U_{\lambda} = X_{\lambda};\ f^{-1}(y) \subset \prod_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} \subset U $$
なるものが存在する．いま各$\lambda \in \Lambda_{0}$に対して$f_{\lambda}$は閉写像なので，$V_{\lambda} \in \tau(y_{\lambda},Y_{\lambda})$であって
$$ f_{\lambda}^{-1}(V_{\lambda}) \subset U_{\lambda}$$
となるものが存在する（ 命題6 ）．残りの$\lambda \in \Lambda \smallsetminus \Lambda_{0}$に対しては$V_{\lambda} = Y_{\lambda}$とおけば
$$ V := \prod_{\lambda \in \Lambda} V_{\lambda} \in \tau\!\left(y,\prod Y_{\bullet}\right)$$
であって，
$$ f^{-1}(V) = \prod_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda}^{-1}(V_{\lambda}) \subset \prod_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} \subset U$$
が成り立つ．よって$f$は閉写像である（ 命題6 ）．

連続写像
\begin{align} \varphi \colon X \to X \times Y&;\ x \mapsto (x,f(x)),\\ \psi \colon Y \to Z \times Y &;\ y \mapsto (g(y),y) \end{align}
を考える．$Y$がハウスドルフであることから，任意の閉集合$C_{X} \subset X$に対して，
$$ \varphi(C_{X}) = \{(x,y) \in X \times Y \mid p_{Y}(x,y) = f \circ p_{X}(x,y)\} \cap (C_{X} \times Y) \subset X \times Y$$
は閉集合である．したがって単射閉写像$\varphi$は完全写像である．いま
$$ \psi \circ f = ((g \circ f) \times \id_{Y}) \circ \varphi \colon X \to Z \times Y;\ x \mapsto (g(f(x)),f(x))$$
（の右辺）は完全写像なので，$\psi$の単射連続性より$f$の完全性がしたがう（ 命題17 ）．

仮定より対角集合$\Delta_{X} \subset X \times X$は閉集合である． 命題20 より$f \times f \colon X \times X \to Y \times Y$は完全写像，とくに閉写像であるから，
$$ \Delta_{Y} = (f \times f)(\Delta_{X}) \subset Y \times Y$$
は閉集合である．よって$Y$はハウスドルフである．

• パラコンパクト空間$Y$の閉集合$f(X) \subset Y$はパラコンパクトなので，$f$は全射であるとしてよい．
• $(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$X$の開被覆とする．
• 各$y \in Y$に対して，$f^{-1}(y) \subset X$はコンパクトなので，有限集合$\Lambda(y) \subset \Lambda$であって
  $$ f^{-1}(y) \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda(y)} U_{\lambda}$$
  となるものが存在する．いま$f$はとくに閉写像なので，開集合$V(y) \in \tau(y,Y)$であって
  $$ f^{-1}(V(y)) \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda(y)} U_{\lambda}$$
  なるものが存在する（ 命題6 ）．
• 仮定より，$Y$の開被覆$(V(y))_{y \in Y}$の局所有限な1:1開細分$(W(y))_{y \in Y}$が存在する（ 別記事：補遺 ）．
• 以下，$(f^{-1}(W(y)) \cap U_{\lambda})_{(y,\lambda) \in \coprod \Lambda(\bullet)}$が$(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$の局所有限開細分であることを示す．
  • 細分であることは明らか．
  • $x \in X$とすると，$y \in Y$であって$f(x) \in W(y)$となるものが存在する．このとき
    $$ x \in f^{-1}(W(y)) \subset f^{-1}(V(y)) \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda(y)} U_{\lambda}$$
    より，$\lambda \in \Lambda(y)$であって$x \in U_{\lambda}$なるものが存在する．したがって
    $$ x \in f^{-1}(W(y)) \cap U_{\lambda},\ \lambda \in \Lambda(y)$$
    が成り立つ．よって$(f^{-1}(W(y)) \cap U_{\lambda})_{(y,\lambda) \in \coprod \Lambda(\bullet)}$は$X$の開被覆である．
  • $x \in X$とする．いま$(W(y))_{y \in Y}$は局所有限なので，$V(f(x)) \in \tau(f(x),Y)$であって
    $$ Y(f(x)) := \{y \in Y \mid V(f(x)) \cap W(y) \neq \varnothing\} \subset Y:\text{finite}$$
    となるものが存在する．このとき$x \in X$の開近傍$f^{-1}(V(f(x)))$について，
    $$\forall (y,\lambda) \in \coprod \Lambda(\bullet),\ f^{-1}(V(f(x))) \cap (f^{-1}(W(y)) \cap U_{\lambda}) \neq \varnothing \implies V(f(x)) \cap W(y) \neq \varnothing$$
    より
    $$ \left\{(y,\lambda) \in \coprod \Lambda(\bullet)\ \middle|\ f^{-1}(V(f(x))) \cap (f^{-1}(W(y)) \cap U_{\lambda}) \neq \varnothing\right\} \subset \coprod_{y \in Y(f(x))} \Lambda(y):\text{finite}$$
    が成り立つ．よって$(f^{-1}(W(y)) \cap U_{\lambda})_{(y,\lambda) \in \coprod \Lambda(\bullet)}$は局所有限である．

(i)$\implies$(ii)

• 命題21 より$Y$はハウスドルフ空間である．
• $y \in Y$とする．仮定より，各$x \in f^{-1}(y)$に対して相対コンパクト開近傍$U(x) \subset X$が存在する．$(U(x))_{x \in f^{-1}(y)}$はコンパクト集合$f^{-1}(y) \subset X$の開被覆であるから，有限個の点$x_{1},\ldots,x_{n} \in f^{-1}(y)$であって
  $$ f^{-1}(y) \subset U(x_{1}) \cup \cdots \cup U(x_{n}) =: U$$
  となるものが存在する．いま$f$は閉写像なので$V \in \tau(y,Y)$であって
  $$ f^{-1}(V) \subset U$$
  となるものが存在する（ 命題6 ）．この$V$について
  $$ \cl{V} \subset \cl{f(U)} \subset f(\cl{U})$$
  が成り立つ（ 命題4 ）．したがってコンパクト空間$f(\cl{U})$の閉集合$\cl{V}$はコンパクトである．

(ii)$\implies$(i)

$x \in X$とする．仮定より$f(x) \in Y$の相対コンパクト開近傍$V \subset Y$が存在する．このとき$f^{-1}(V) \in \tau(x,X)$であり，
$$ \cl{f^{-1}(V)} \subset f^{-1}(\cl{V})$$
より，コンパクト空間$f^{-1}(\cl{V})$の閉集合$\cl{f^{-1}(V)}$はコンパクトである．

別記事：補遺 を参照されたい．

補題3 より$\Lambda$が有限集合の場合には定理は成り立つことに注意する．

開基$\beta(\prod X_{\bullet})$の元$V = \prod_{\lambda} V_{\lambda}$に対して
$$ \supp{V} = \{\lambda \in \Lambda \mid V_{\lambda} \neq X_{\lambda}\} \subset \Lambda:\text{finite}$$
とおく．

各$x \in K$に対して$V(x) \in \beta(x,\prod X_{\bullet})$であって$V(x) \subset U$なるものが存在する．$(V(x))_{x \in K}$はコンパクト集合$K \subset \prod X_{\bullet}$の開被覆であるから，$x_{1},\ldots,x_{n} \in K$であって
$$ K \subset V(x_{1}) \cup \cdots \cup V(x_{n}) \subset U$$
なるものが存在する．そこで
$$ \Lambda_{0} = \bigcup_{i \in [n]} \supp{V(x_{i})} \subset \Lambda:\text{finite}$$
とおく．このとき
$$ K = \prod_{\lambda \in \Lambda_{0}} K_{\lambda} \times \prod_{\lambda \in \Lambda \smallsetminus \Lambda_{0}} K_{\lambda} \subset \bigcup_{i \in [n]} \prod_{\lambda \in \Lambda_{0}} V(x_{i})_{\lambda} \times \prod_{\lambda \in \Lambda \smallsetminus \Lambda_{0}} X_{\lambda} = \bigcup_{i \in [n]} V(x_{i}) \subset U$$
が成り立つ．冒頭の注意より，各$\lambda \in \Lambda_{0}$に対して，$U_{\lambda} \in \tau(K_{\lambda},X_{\lambda})$であって
$$ \prod_{\lambda \in \Lambda_{0}} K_{\lambda} \subset \prod_{\lambda \in \Lambda_{0}} U_{\lambda} \subset \bigcup_{i \in [n]} \prod_{\lambda \in \Lambda_{0}} V(x_{i})_{\lambda}$$
を満たすものが存在する．よって，$\lambda \in \Lambda \smallsetminus \Lambda_{0}$に対しては$U_{\lambda} = X_{\lambda}$とおけば，
$$ K \subset \prod_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} \subset \bigcup_{i \in [n]} V(x_{i}) \subset U$$
が成り立つ．