いくつかの記事に散在していたもの（に多少手を加えたもの）を一箇所にまとめました．
$X,Y$を集合とし$f \colon X \to Y$を写像とする．このとき任意の$A \subset X,\,B \subset Y$に対して
$$
f(f^{-1}(B) \cap A) = B \cap f(A)$$
が成り立つ．
$X,Y$を集合とし$f \colon X \to Y$を写像とする．このとき$A \subset X$の余順像
$$
f_{!}(A) := Y \smallsetminus f(X \smallsetminus A) \subset Y$$
と$B \subset Y$について
$$
B \subset f_{!}(A) \iff f^{-1}(B) \subset A$$
が成り立つ．とくに
$$
f_{!}(A) = \{y \in Y \mid f^{-1}(y) \subset A\}$$
が成り立つ．
余順像については こちらの記事 に詳しい．
射影公式
より
\begin{align}
B \subset f_{!}(A)
&\iff B \cap f(X \smallsetminus A) = \varnothing\\
&\iff f^{-1}(B) \cap (X \smallsetminus A) = \varnothing\\
&\iff f^{-1}(B) \subset A
\end{align}
が成り立つ．
$X,Y$を位相空間，$K_{X} \subset X,\,K_{Y} \subset Y$をコンパクト集合とする．このとき$K_{X} \times K_{Y}$の任意の開近傍$W \subset X \times Y$に対して，$K_{X}$の開近傍$U \subset X$と$K_{Y}$の開近傍$V \subset Y$であって$U \times V \subset W$となるものが存在する．とくに
$$
\{x \in X \mid \{x\} \times K_{Y} \subset W\} \subset X$$
は開集合である．
$X,Y$を位相空間とし$f \colon X \to Y$を写像とする．任意の閉集合$C \subset X$に対して$f(C) \subset Y$が閉集合であるとき，$f$を閉写像（closed map）という．
次は同値である：
$f(A) \subset f(\cl{A})$と閉包の定義（或いは特徴づけ）より
$$
\cl{f(A)} \subset f(\cl{A})$$
が成り立つ．
$A \subset X$が閉集合ならば
$$
f(A) \subset \cl{f(A)} \subset f(\cl{A}) = f(A)$$
が成り立つ．
次は同値である：
定義より明らか．
次は同値である：
$V = f_{!}(U) \in \tau(Y)$とおくと，
明らか．
$U \in \tau(X)$とする．このとき$f_{!}(U) \in \tau(Y)$となることを示せばよい．そこで$y \in f_{!}(U)$とする．このとき$f^{-1}(y) \subset U$となるので，仮定より$V \in \tau(y,Y)$であって$f^{-1}(V) \subset U$となるものが存在する．よって
$$
y \in V \subset f_{!}(U)$$
が成り立つ．
$X$を位相空間，$K$をコンパクト空間とする．このとき$X$への射影$p = p_{X} \colon X \times K \to X$は閉写像である．
$x \in X,\,U \in \tau(p^{-1}(x),X \times K)$とする．このとき
$$
\{x\} \times K = p^{-1}(x) \subset U$$
と$K$のコンパクト性より，$V \in \tau(x,X)$であって
$$
p^{-1}(V) = V \times K \subset U$$
となるものが存在する（
補題3
）．よって$p$は閉写像である．
$X,Y,Z$を位相空間，$f \colon X \to Y,\,g \colon Y \to Z$を写像とする．このとき次が成り立つ：
$g \circ f = (g|f(X)) \circ f^{f(X)}$や$f = \id_{f(X)}^{Y} \circ f^{f(X)}$に注意したい．
$f \colon X \to Y$を閉写像とする．このとき次が成り立つ：
$f \colon X \to Y$を写像とし$(Y_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$\tau(Y)$と整合的な被覆とする．このとき
$$
\forall \lambda \in \Lambda,\ f^{Y_{\lambda}} \colon f^{-1}(Y_{\lambda}) \to Y_{\lambda}:\text{closed}$$
が成り立つならば，$f$は閉写像である．
$C_{X} \subset X$を閉集合とする．このとき，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
$$
f(C_{X}) \cap Y_{\lambda} = f^{Y_{\lambda}}(C_{X} \cap f^{-1}(Y_{\lambda})) \subset Y_{\lambda}$$
は閉集合なので，$f(C_{X}) \subset Y$は閉集合である．
閉写像の積は閉写像とは限らない．たとえば恒等写像$\id \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$と定値写像$c \colon \mathbb{R} \to \{\ast\}$は共に閉写像であるが，その積
$$
p_{1} \colon \mathbb{R} \times \mathbb{R} \xrightarrow{\id \times c} \mathbb{R} \times \{\ast\} \approx \mathbb{R}$$
は閉写像ではない．実際，閉集合
$$
\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid xy = 1\} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$$
の像$\mathbb{R} \smallsetminus \{0\} \subset \mathbb{R}$は閉集合ではない．
$X,Y$を位相空間とし$f \colon X \to Y$を写像とする．任意のコンパクト集合$K_{Y} \subset Y$に対して$f^{-1}(K_{Y}) \subset X$がコンパクトであるとき，$f$を固有写像（proper map）という．
$X,Y,Z$を位相空間，$f \colon X \to Y,\,g \colon Y \to Z$を写像とする．このとき次が成り立つ：
$f \colon X \to Y$を固有写像とする．このとき次が成り立つ：
$f \colon X \to Y$を連続写像，$(Y_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$Y$の被覆とする．このとき
さらに
$$
\forall \lambda \in \Lambda,\ f^{Y_{\lambda}} \colon f^{-1}(Y_{\lambda}) \to Y_{\lambda}:\text{proper}$$
が成り立つならば，$f$は固有写像である．
ハウスドルフ空間への連続固有写像族$f_{\bullet} = (f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to Y_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$の積$\prod f_{\bullet} \colon \prod X_{\bullet} \to \prod Y_{\bullet}$は固有写像である．
$K_{Y} \subset \prod Y_{\bullet}$をコンパクト集合とする．各$\lambda \in \Lambda$に対して
$$
K_{\lambda} := p_{Y_{\lambda}}(K_{Y}) \subset Y_{\lambda}$$
はコンパクトなので，仮定より$f_{\lambda}^{-1}(K_{\lambda}) \subset X_{\lambda}$はコンパクトである．したがってTychonoffの定理より$\prod_{\lambda} f_{\lambda}^{-1}(K_{\lambda})$はコンパクトである．一方$K_{Y} \subset \prod Y_{\bullet}$はハウスドルフ空間のコンパクト集合ゆえ閉集合である．よって
$$
\left(\prod f_{\bullet}\right)^{-1}(K_{Y}) \subset \prod_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda}^{-1}(K_{\lambda})$$
はコンパクト空間の閉集合ゆえコンパクトである．
$X,Y$を距離空間，$f \colon X \to Y$を連続写像とする．このとき次は同値である：
さらに，$X,Y$が固有距離空間であるとき，次は同値である：
$X$を位相空間，$Y$をハウスドルフ空間とし，$f \colon X \to Y$を連続写像とする．このとき次は同値である：
（用語・記号の定義も含めて）証明は 別記事：命題3，命題6，命題13 を参照されたい．
（2024/02/12：遁走点列とは離散空間$\mathbb{N}$から距離空間への固有写像にほかならないと気づいた．それで命題14の(ii)は，点列連続のアナロジーで点列固有（写像）といえないこともないなと思い（距離的固有は$\varepsilon\text{-}\delta$に対応する．）調べてみたら 論文 (pdf) があった．）
$X,Y$を位相空間とし$f \colon X \to Y$を写像とする．$f$が閉写像であって，任意の$y \in Y$に対して$f^{-1}(y) \subset X$がコンパクトであるとき，$f$を完全写像（perfect map）という．
$f \colon X \to Y$を写像とする．このとき次は同値である：
$f$が固有写像であることを示せばよい．そこで$K_{Y} \subset Y$をコンパクトとし$(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を部分集合$f^{-1}(K_{Y}) \subset X$の開被覆とする．
いま$(V(y))_{y \in K_{Y}}$はコンパクト集合$K_{Y} \subset Y$の開被覆なので，有限個の点$y_{1},\ldots,y_{n} \in K_{Y}$であって
$$
K_{Y} \subset V(y_{1}) \cup \cdots \cup V(y_{n})$$
となるものが存在する．そこで
$$
\Lambda_{0} = \bigcup_{i \in [n]} \Lambda(y_{i})$$
とおくと，これは有限集合であり，
$$
f^{-1}(K_{Y}) \subset \bigcup_{i \in [n]} f^{-1}(V(y_{i})) \subset \bigcup_{i \in [n]} U(y_{i}) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{0}} U_{\lambda}$$
が成り立つ．よって$f^{-1}(K_{Y})$はコンパクトである．
明らか．
$f \colon X \to Y$を連続固有写像とする．このとき$Y$がコンパクト生成ハウスドルフ空間ならば，$f$は完全写像である．
$f$が閉写像であることを示せばよい．そこで$C_{X} \subset X$を閉集合とする．このとき任意のコンパクト集合$K_{Y} \subset Y$に対して
$$
C_{X} \cap f^{-1}(K_{Y}) \subset f^{-1}(K_{Y})$$
はコンパクト空間$f^{-1}(K_{Y})$の閉集合ゆえコンパクトである．したがって
$$
f(C_{X}) \cap K_{Y} = f(C_{X} \cap f^{-1}(K_{Y})) \subset K_{Y}$$
はハウスドルフ空間$K_{Y}$のコンパクト集合ゆえ閉集合である．よって
$$
f(C_{X}) \subset Y$$
は閉集合である．
$X,Y,Z$を位相空間，$f \colon X \to Y,\,g \colon Y \to Z$を写像とする．このとき次が成り立つ：
$f \colon X \to Y$を完全写像とする．このとき次が成り立つ：
$f \colon X \to Y$を写像とし$(Y_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$\tau(Y)$と整合的な被覆とする．このとき
$$
\forall \lambda \in \Lambda,\ f^{Y_{\lambda}} \colon f^{-1}(Y_{\lambda}) \to Y_{\lambda}:\text{perfect}$$
が成り立つならば，$f$は完全写像である．
命題9
より$f$は閉写像である．また，任意の$y \in Y$に対して，$y \in Y_{\lambda}$なる$\lambda \in \Lambda$が取れるので，
$$
f^{-1}(y) = (f^{Y_{\lambda}})^{-1}(y) \subset X$$
はコンパクトである．
完全写像族$f_{\bullet} = (f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to Y_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$の積$f := \prod f_{\bullet} \colon \prod X_{\bullet} \to \prod Y_{\bullet}$は完全写像である．
任意の$y \in \prod Y_{\bullet}$に対して，Tychonoffの定理より
$$
f^{-1}(y) = \prod_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda}^{-1}(y_{\lambda}) \subset \prod X_{\bullet}$$
はコンパクトである．あとは$f$が閉写像であることを示せばよい．
そこで$y \in \prod Y_{\bullet},\,U \in \tau(f^{-1}(y),\prod X_{\bullet})$とする．このとき
Wallaceの定理
より，有限集合$\Lambda_{0} \subset \Lambda$と開集合$U_{\lambda} \in \tau(f_{\lambda}^{-1}(y_{\lambda}),X_{\lambda})$であって
$$
\forall \lambda \in \Lambda \smallsetminus \Lambda_{0},\ U_{\lambda} = X_{\lambda};\ f^{-1}(y) \subset \prod_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} \subset U
$$
なるものが存在する．いま各$\lambda \in \Lambda_{0}$に対して$f_{\lambda}$は閉写像なので，$V_{\lambda} \in \tau(y_{\lambda},Y_{\lambda})$であって
$$
f_{\lambda}^{-1}(V_{\lambda}) \subset U_{\lambda}$$
となるものが存在する（
命題6
）．残りの$\lambda \in \Lambda \smallsetminus \Lambda_{0}$に対しては$V_{\lambda} = Y_{\lambda}$とおけば
$$
V := \prod_{\lambda \in \Lambda} V_{\lambda} \in \tau\!\left(y,\prod Y_{\bullet}\right)$$
であって，
$$
f^{-1}(V) = \prod_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda}^{-1}(V_{\lambda}) \subset \prod_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} \subset U$$
が成り立つ．よって$f$は閉写像である（
命題6
）．
$f \colon X \to Y,\,g \colon Y \to Z$を連続写像，$Y$をハウスドルフ空間とする．このとき$g \circ f$が完全写像ならば，$f$は完全写像である．
連続写像
\begin{align}
\varphi \colon X \to X \times Y&;\ x \mapsto (x,f(x)),\\
\psi \colon Y \to Z \times Y &;\ y \mapsto (g(y),y)
\end{align}
を考える．$Y$がハウスドルフであることから，任意の閉集合$C_{X} \subset X$に対して，
$$
\varphi(C_{X}) = \{(x,y) \in X \times Y \mid p_{Y}(x,y) = f \circ p_{X}(x,y)\} \cap (C_{X} \times Y) \subset X \times Y$$
は閉集合である．したがって単射閉写像$\varphi$は完全写像である．いま
$$
\psi \circ f = ((g \circ f) \times \id_{Y}) \circ \varphi \colon X \to Z \times Y;\ x \mapsto (g(f(x)),f(x))$$
（の右辺）は完全写像なので，$\psi$の単射連続性より$f$の完全性がしたがう（
命題17
）．
Dugundji dugundji のXI章やEngelking engelking に詳しい．
$f \colon X \to Y$を全射完全写像とする．このとき，$X$がハウスドルフならば，$Y$もハウスドルフである．
仮定より対角集合$\Delta_{X} \subset X \times X$は閉集合である．
命題20
より$f \times f \colon X \times X \to Y \times Y$は完全写像，とくに閉写像であるから，
$$
\Delta_{Y} = (f \times f)(\Delta_{X}) \subset Y \times Y$$
は閉集合である．よって$Y$はハウスドルフである．
$f \colon X \to Y$を連続完全写像とする．このとき，$Y$がパラコンパクトならば，$X$もパラコンパクトである．
パラコンパクト空間とコンパクト空間の直積はパラコンパクトである．
$X$をハウスドルフ空間，$f \colon X \to Y$を全射連続完全写像とする．このとき次は同値である：
$x \in X$とする．仮定より$f(x) \in Y$の相対コンパクト開近傍$V \subset Y$が存在する．このとき$f^{-1}(V) \in \tau(x,X)$であり，
$$
\cl{f^{-1}(V)} \subset f^{-1}(\cl{V})$$
より，コンパクト空間$f^{-1}(\cl{V})$の閉集合$\cl{f^{-1}(V)}$はコンパクトである．
$X,Y$を位相空間とし$f \colon X \to Y$を写像とする．任意の位相空間$Z$に対して，
$$
f \times \id_{Z} \colon X \times Z \to Y \times Z$$
が閉写像となるとき，$f$をBourbaki固有写像という（ことにする）．
$f \colon X \to Y$を写像とする．このとき次は同値である：
別記事：補遺 を参照されたい．
補題3 を任意直積に一般化したものがWallaceの定理である：
$(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間族とし$K_{\lambda} \subset X_{\lambda},\,\lambda \in \Lambda,\,$をコンパクト集合とする．このとき$K := \prod K_{\bullet}$の任意の開近傍$U \subset \prod X_{\bullet}$に対して，有限集合$\Lambda_{0} \subset \Lambda$と開集合$U_{\lambda} \in \tau(K_{\lambda},X_{\lambda}),\,\lambda \in \Lambda,\,$であって
$$
\forall \lambda \in \Lambda \smallsetminus \Lambda_{0},\ U_{\lambda} = X_{\lambda};\ K \subset \prod_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} \subset U$$
を満たすものが存在する．
補題3 より$\Lambda$が有限集合の場合には定理は成り立つことに注意する．
開基$\beta(\prod X_{\bullet})$の元$V = \prod_{\lambda} V_{\lambda}$に対して
$$
\supp{V} = \{\lambda \in \Lambda \mid V_{\lambda} \neq X_{\lambda}\} \subset \Lambda:\text{finite}$$
とおく．
各$x \in K$に対して$V(x) \in \beta(x,\prod X_{\bullet})$であって$V(x) \subset U$なるものが存在する．$(V(x))_{x \in K}$はコンパクト集合$K \subset \prod X_{\bullet}$の開被覆であるから，$x_{1},\ldots,x_{n} \in K$であって
$$
K \subset V(x_{1}) \cup \cdots \cup V(x_{n}) \subset U$$
なるものが存在する．そこで
$$
\Lambda_{0} = \bigcup_{i \in [n]} \supp{V(x_{i})} \subset \Lambda:\text{finite}$$
とおく．このとき
$$
K = \prod_{\lambda \in \Lambda_{0}} K_{\lambda} \times \prod_{\lambda \in \Lambda \smallsetminus \Lambda_{0}} K_{\lambda} \subset \bigcup_{i \in [n]} \prod_{\lambda \in \Lambda_{0}} V(x_{i})_{\lambda} \times \prod_{\lambda \in \Lambda \smallsetminus \Lambda_{0}} X_{\lambda} = \bigcup_{i \in [n]} V(x_{i}) \subset U$$
が成り立つ．冒頭の注意より，各$\lambda \in \Lambda_{0}$に対して，$U_{\lambda} \in \tau(K_{\lambda},X_{\lambda})$であって
$$
\prod_{\lambda \in \Lambda_{0}} K_{\lambda} \subset \prod_{\lambda \in \Lambda_{0}} U_{\lambda} \subset \bigcup_{i \in [n]} \prod_{\lambda \in \Lambda_{0}} V(x_{i})_{\lambda}$$
を満たすものが存在する．よって，$\lambda \in \Lambda \smallsetminus \Lambda_{0}$に対しては$U_{\lambda} = X_{\lambda}$とおけば，
$$
K \subset \prod_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} \subset \bigcup_{i \in [n]} V(x_{i}) \subset U$$
が成り立つ．
（2024/02/13：「準開基」を「開基」に修正しました．）