完全写像について

• $y\in f(f^{-1}(B)\cap A)$とする．このとき$x\in f^{-1}(B)\cap A$であって$f(x)=y$となるものが存在する．$x\in f^{-1}(B)$より$y=f(x)\in B$であり，$x\in A$より$y=f(x)\in f(A)$が成り立つ．よって$y\in B\cap f(A)$を得る．
• $y\in B\cap f(A)$とする．このとき$x\in A$であって$f(x)=y$となるものが存在する．$f(x)\in B$より$x\in f^{-1}(B)$となるので，$x\in A$と合わせて$y=f(x)\in f(f^{-1}(B)\cap A)$を得る．

射影公式 より
$$\begin{array}{rl}B\subset f_{!}(A)& ⟺B\cap f(X\setminus A)=\varnothing \\ & ⟺f^{-1}(B)\cap (X\setminus A)=\varnothing \\ & ⟺f^{-1}(B)\subset A\end{array}$$
が成り立つ．

• 任意の$(x,y)\in K_X\times K_Y$に対して，$U(x,y)\in \tau (x,X),V(x,y)\in \tau (y,Y)$であって$U(x,y)\times V(x,y)\subset W$となるものが存在する．
• 各$x\in X$に対して，$(V(x,y){)}_{y\in K_Y}$はコンパクト集合$K_Y\subset Y$の開被覆であるから，$y_1,\dots ,y_m\in K_Y$であって
  $$K_Y\subset V(x,y_1)\cup \cdots \cup V(x,y_m)$$
  となるものが存在する．
• そこで
  $$\begin{array}{rl}U(x)& =U(x,y_1)\cap \cdots \cap U(x,y_m)\in \tau (x,X),\\ V(x)& =V(x,y_1)\cup \cdots \cup V(x,y_m)\in \tau (K_Y,Y)\end{array}$$
  とおく．
  • $U(x)\times V(x)\subset W$となることに注意する．
• このとき，$(U(x){)}_{x\in K_X}$はコンパクト集合$K_X\subset X$の開被覆であるから，$x_1,\dots ,x_n\in K_X$であって
  $$K_X\subset U(x_1)\cup \cdots \cup U(x_n)$$
  となるものが存在する．
• そこで
  $$\begin{array}{rl}U& =U(x_1)\cup \cdots \cup U(x_n)\in \tau (K_X,X),\\ V& =V(x_1)\cap \cdots \cap V(x_n)\in \tau (K_Y,Y)\end{array}$$
  とおくと，
  $$U\times V\subset W$$
  が成り立つ．

(i)$⟹$(ii)

$f(A)\subset f(\mathrm{Cl}(A))$と閉包の定義（或いは特徴づけ）より
$$\mathrm{Cl}(f(A))\subset f(\mathrm{Cl}(A))$$
が成り立つ．

(ii)$⟹$(i)

$A\subset X$が閉集合ならば
$$f(A)\subset \mathrm{Cl}(f(A))\subset f(\mathrm{Cl}(A))=f(A)$$
が成り立つ．

定義より明らか．

(i)$⟹$(ii)

$V=f_{!}(U)\in \tau (Y)$とおくと，

• $f^{-1}(B)\subset U$より$B\subset f_{!}(U)=V$が成り立つ．
• $V\subset f_{!}(U)$より$f^{-1}(V)\subset U$が成り立つ．

(ii)$⟹$(iii)

明らか．

(iii)$⟹$(i)

$U\in \tau (X)$とする．このとき$f_{!}(U)\in \tau (Y)$となることを示せばよい．そこで$y\in f_{!}(U)$とする．このとき$f^{-1}(y)\subset U$となるので，仮定より$V\in \tau (y,Y)$であって$f^{-1}(V)\subset U$となるものが存在する．よって
$$y\in V\subset f_{!}(U)$$
が成り立つ．

$x\in X,U\in \tau (p^{-1}(x),X\times K)$とする．このとき
$$\{x\}\times K=p^{-1}(x)\subset U$$
と$K$のコンパクト性より，$V\in \tau (x,X)$であって
$$p^{-1}(V)=V\times K\subset U$$
となるものが存在する（ 補題3 ）．よって$p$は閉写像である．

1. 明らか．
2. $C_Y\subset Y$を閉集合とする．仮定より$f^{-1}(C_Y)\subset X$は閉集合であるから，
   $$g(C_Y)=(g\circ f)(f^{-1}(C_Y))\subset Z$$
   は閉集合である．
3. $C_X\subset X$を閉集合とする．仮定より$(g\circ f)(C_X)\subset Z$は閉集合であるから，
   $$f(C_X)=g^{-1}((g\circ f)(C_X))\subset Y$$
   は閉集合である．

1. $C\subset C_X$を閉集合とすると，$C\subset X$は閉集合なので
   $$(f|C_X)(C)=f(C)\subset Y$$
   は閉集合である．
2. $C_{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(B)$を閉集合とすると，閉集合$C_X\subset X$であって$C_{f^{-1}(B)}=C_X\cap f^{-1}(B)$なるものが存在する．したがって
   $$f^B(C_{f^{-1}(B)})=f(C_X\cap f^{-1}(B))=f(C_X)\cap B\subset B$$
   は閉集合である．

$C_X\subset X$を閉集合とする．このとき，任意の$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対して
$$f(C_X)\cap Y_{\lambda }=f^{Y_{\lambda }}(C_X\cap f^{-1}(Y_{\lambda }))\subset Y_{\lambda }$$
は閉集合なので，$f(C_X)\subset Y$は閉集合である．

1. 任意のコンパクト集合$K_Z\subset Z$に対して，
   $$(g\circ f{)}^{-1}(K_Z)=f^{-1}(g^{-1}(K_Z))\subset X$$
   はコンパクトである．
2. 任意のコンパクト集合$K_Z\subset Z$に対して，
   $$g^{-1}(K_Z)=f((g\circ f{)}^{-1}(K_Z))\subset Y$$
   はコンパクトである．
3. 任意のコンパクト集合$K_Y\subset Y$に対して，
   $$f^{-1}(K_Y)=(g\circ f{)}^{-1}(g(K_Y))\subset X$$
   はコンパクトである．

1. 任意のコンパクト集合$K_Y\subset Y$に対して，
   $$(f|C_X{)}^{-1}(K_Y)=C_X\cap f^{-1}(K_Y)\subset f^{-1}(K_Y)$$
   はコンパクト空間$f^{-1}(K_Y)$の閉集合ゆえコンパクトである．
2. 任意のコンパクト集合$K_B\subset B$に対して，
   $$(f^B{)}^{-1}(K_B)=f^{-1}(K_B)\subset f^{-1}(B)$$
   はコンパクトである．

1. $K_Y\subset Y$をコンパクト集合とする．$(Y_{\lambda }{)}_{\lambda }$はコンパクト集合$K_Y$の開被覆であるから，有限集合${\mathrm{\Lambda }}_0\subset \mathrm{\Lambda }$であって
   $$K_Y=\bigcup _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0}{Y}_{\lambda }\cap K_Y$$
   となるものが存在する．このとき閉集合$C_{\lambda }\subset K_Y,\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0,$であって
   $$C_{\lambda }\subset Y_{\lambda }\cap K_Y,K_Y=\bigcup _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0}{C}_{\lambda }$$
   となるものが存在する（ 別記事：補題23 ）．仮定より各$(f^{Y_{\lambda }}{)}^{-1}(C_{\lambda })$はコンパクトなので，
   $$f^{-1}(K_Y)=\bigcup _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0}(f^{Y_{\lambda }}{)}^{-1}(C_{\lambda })$$
   はコンパクト集合の有限合併ゆえコンパクトである．
2. $K_Y\subset Y$をコンパクト集合とする．このとき$(Y_{\lambda }\cap K_Y{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$はコンパクト空間$K_Y$の局所有限（閉）被覆であるから
   $${\mathrm{\Lambda }}_0:=\{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\mid Y_{\lambda }\cap K_Y\ne \varnothing \}=\mathrm{\Lambda }\setminus \{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\mid Y_{\lambda }\cap K_Y=\varnothing \}$$
   は有限集合である．各$\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0$に対して$Y_{\lambda }\cap K_Y$はコンパクト空間$K_Y$の閉集合ゆえコンパクトであるから，
   $$f^{-1}(K_Y)=\bigcup _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0}(f^{Y_{\lambda }}{)}^{-1}(Y_{\lambda }\cap K_Y)$$
   はコンパクト集合の有限合併ゆえコンパクトである．

$K_Y\subset \prod Y_{\bullet }$をコンパクト集合とする．各$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対して
$$K_{\lambda }:=p_{Y_{\lambda }}(K_Y)\subset Y_{\lambda }$$
はコンパクトなので，仮定より$f_{\lambda }^{-1}(K_{\lambda })\subset X_{\lambda }$はコンパクトである．したがってTychonoffの定理より$\prod _{\lambda }{f}_{\lambda }^{-1}(K_{\lambda })$はコンパクトである．一方$K_Y\subset \prod Y_{\bullet }$はハウスドルフ空間のコンパクト集合ゆえ閉集合である．よって
$${(\prod f_{\bullet })}^{-1}(K_Y)\subset \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{f}_{\lambda }^{-1}(K_{\lambda })$$
はコンパクト空間の閉集合ゆえコンパクトである．

(i)$⟹$(ii)

$f$が固有写像であることを示せばよい．そこで$K_Y\subset Y$をコンパクトとし$(U_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$を部分集合$f^{-1}(K_Y)\subset X$の開被覆とする．

• $y\in K_Y$とする．仮定より$f^{-1}(y)\subset X$はコンパクトなので，有限集合$\mathrm{\Lambda }(y)\subset \mathrm{\Lambda }$であって
  $$f^{-1}(y)\subset \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }(y)}{U}_{\lambda }$$
  が成り立つものが存在する．
• そこで
  $$U(y)=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }(y)}{U}_{\lambda }\in \tau (f^{-1}(y),X)$$
  とおくと，$f$が閉写像であることから
  $$V(y):=f_{!}(U(y))\in \tau (y,Y)$$
  であり，さらに
  $$f^{-1}(V(y))\subset U(y)$$
  が成り立つ（ 補題2 ）．

いま$(V(y){)}_{y\in K_Y}$はコンパクト集合$K_Y\subset Y$の開被覆なので，有限個の点$y_1,\dots ,y_n\in K_Y$であって
$$K_Y\subset V(y_1)\cup \cdots \cup V(y_n)$$
となるものが存在する．そこで
$${\mathrm{\Lambda }}_0=\bigcup _{i\in [n]}\mathrm{\Lambda }(y_i)$$
とおくと，これは有限集合であり，
$$f^{-1}(K_Y)\subset \bigcup _{i\in [n]}{f}^{-1}(V(y_i))\subset \bigcup _{i\in [n]}U(y_i)=\bigcup _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0}{U}_{\lambda }$$
が成り立つ．よって$f^{-1}(K_Y)$はコンパクトである．

(ii)$⟹$(i)

明らか．

$f$が閉写像であることを示せばよい．そこで$C_X\subset X$を閉集合とする．このとき任意のコンパクト集合$K_Y\subset Y$に対して
$$C_X\cap f^{-1}(K_Y)\subset f^{-1}(K_Y)$$
はコンパクト空間$f^{-1}(K_Y)$の閉集合ゆえコンパクトである．したがって
$$f(C_X)\cap K_Y=f(C_X\cap f^{-1}(K_Y))\subset K_Y$$
はハウスドルフ空間$K_Y$のコンパクト集合ゆえ閉集合である．よって
$$f(C_X)\subset Y$$
は閉集合である．

命題7 ， 命題10 ， 定理16 よりしたがう．

命題8 ， 命題11 ， 定理16 よりしたがう．

命題9 より$f$は閉写像である．また，任意の$y\in Y$に対して，$y\in Y_{\lambda }$なる$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$が取れるので，
$$f^{-1}(y)=(f^{Y_{\lambda }}{)}^{-1}(y)\subset X$$
はコンパクトである．

任意の$y\in \prod Y_{\bullet }$に対して，Tychonoffの定理より
$$f^{-1}(y)=\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{f}_{\lambda }^{-1}(y_{\lambda })\subset \prod X_{\bullet }$$
はコンパクトである．あとは$f$が閉写像であることを示せばよい．

そこで$y\in \prod Y_{\bullet },U\in \tau (f^{-1}(y),\prod X_{\bullet })$とする．このとき Wallaceの定理 より，有限集合${\mathrm{\Lambda }}_0\subset \mathrm{\Lambda }$と開集合$U_{\lambda }\in \tau (f_{\lambda }^{-1}(y_{\lambda }),X_{\lambda })$であって
$$\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus {\mathrm{\Lambda }}_0,U_{\lambda }=X_{\lambda };f^{-1}(y)\subset \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{U}_{\lambda }\subset U$$
なるものが存在する．いま各$\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0$に対して$f_{\lambda }$は閉写像なので，$V_{\lambda }\in \tau (y_{\lambda },Y_{\lambda })$であって
$$f_{\lambda }^{-1}(V_{\lambda })\subset U_{\lambda }$$
となるものが存在する（ 命題6 ）．残りの$\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus {\mathrm{\Lambda }}_0$に対しては$V_{\lambda }=Y_{\lambda }$とおけば
$$V:=\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{V}_{\lambda }\in \tau (y,\prod Y_{\bullet })$$
であって，
$$f^{-1}(V)=\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{f}_{\lambda }^{-1}(V_{\lambda })\subset \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{U}_{\lambda }\subset U$$
が成り立つ．よって$f$は閉写像である（ 命題6 ）．

連続写像
$$\begin{array}{rl}\phi :X\to X\times Y& ;x\mapsto (x,f(x)),\\ \psi :Y\to Z\times Y& ;y\mapsto (g(y),y)\end{array}$$
を考える．$Y$がハウスドルフであることから，任意の閉集合$C_X\subset X$に対して，
$$\phi (C_X)=\{(x,y)\in X\times Y\mid p_Y(x,y)=f\circ p_X(x,y)\}\cap (C_X\times Y)\subset X\times Y$$
は閉集合である．したがって単射閉写像$\phi$は完全写像である．いま
$$\psi \circ f=((g\circ f)\times {\mathrm{id}}_Y)\circ \phi :X\to Z\times Y;x\mapsto (g(f(x)),f(x))$$
（の右辺）は完全写像なので，$\psi$の単射連続性より$f$の完全性がしたがう（ 命題17 ）．

仮定より対角集合${\mathrm{\Delta }}_X\subset X\times X$は閉集合である． 命題20 より$f\times f:X\times X\to Y\times Y$は完全写像，とくに閉写像であるから，
$${\mathrm{\Delta }}_Y=(f\times f)({\mathrm{\Delta }}_X)\subset Y\times Y$$
は閉集合である．よって$Y$はハウスドルフである．

• パラコンパクト空間$Y$の閉集合$f(X)\subset Y$はパラコンパクトなので，$f$は全射であるとしてよい．
• $(U_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$を$X$の開被覆とする．
• 各$y\in Y$に対して，$f^{-1}(y)\subset X$はコンパクトなので，有限集合$\mathrm{\Lambda }(y)\subset \mathrm{\Lambda }$であって
  $$f^{-1}(y)\subset \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }(y)}{U}_{\lambda }$$
  となるものが存在する．いま$f$はとくに閉写像なので，開集合$V(y)\in \tau (y,Y)$であって
  $$f^{-1}(V(y))\subset \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }(y)}{U}_{\lambda }$$
  なるものが存在する（ 命題6 ）．
• 仮定より，$Y$の開被覆$(V(y){)}_{y\in Y}$の局所有限な1:1開細分$(W(y){)}_{y\in Y}$が存在する（ 別記事：補遺 ）．
• 以下，$(f^{-1}(W(y))\cap U_{\lambda }{)}_{(y,\lambda )\in \coprod \mathrm{\Lambda }(\bullet )}$が$(U_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$の局所有限開細分であることを示す．
  • 細分であることは明らか．
  • $x\in X$とすると，$y\in Y$であって$f(x)\in W(y)$となるものが存在する．このとき
    $$x\in f^{-1}(W(y))\subset f^{-1}(V(y))\subset \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }(y)}{U}_{\lambda }$$
    より，$\lambda \in \mathrm{\Lambda }(y)$であって$x\in U_{\lambda }$なるものが存在する．したがって
    $$x\in f^{-1}(W(y))\cap U_{\lambda },\lambda \in \mathrm{\Lambda }(y)$$
    が成り立つ．よって$(f^{-1}(W(y))\cap U_{\lambda }{)}_{(y,\lambda )\in \coprod \mathrm{\Lambda }(\bullet )}$は$X$の開被覆である．
  • $x\in X$とする．いま$(W(y){)}_{y\in Y}$は局所有限なので，$V(f(x))\in \tau (f(x),Y)$であって
    $$Y(f(x)):=\{y\in Y\mid V(f(x))\cap W(y)\ne \varnothing \}\subset Y:\text{finite}$$
    となるものが存在する．このとき$x\in X$の開近傍$f^{-1}(V(f(x)))$について，
    $$\mathrm{\forall }(y,\lambda )\in \coprod \mathrm{\Lambda }(\bullet ),f^{-1}(V(f(x)))\cap (f^{-1}(W(y))\cap U_{\lambda })\ne \varnothing ⟹V(f(x))\cap W(y)\ne \varnothing$$
    より
    $$\{(y,\lambda )\in \coprod \mathrm{\Lambda }(\bullet )|f^{-1}(V(f(x)))\cap (f^{-1}(W(y))\cap U_{\lambda })\ne \varnothing \}\subset \coprod _{y\in Y(f(x))}\mathrm{\Lambda }(y):\text{finite}$$
    が成り立つ．よって$(f^{-1}(W(y))\cap U_{\lambda }{)}_{(y,\lambda )\in \coprod \mathrm{\Lambda }(\bullet )}$は局所有限である．

(i)$⟹$(ii)

• 命題21 より$Y$はハウスドルフ空間である．
• $y\in Y$とする．仮定より，各$x\in f^{-1}(y)$に対して相対コンパクト開近傍$U(x)\subset X$が存在する．$(U(x){)}_{x\in f^{-1}(y)}$はコンパクト集合$f^{-1}(y)\subset X$の開被覆であるから，有限個の点$x_1,\dots ,x_n\in f^{-1}(y)$であって
  $$f^{-1}(y)\subset U(x_1)\cup \cdots \cup U(x_n)=:U$$
  となるものが存在する．いま$f$は閉写像なので$V\in \tau (y,Y)$であって
  $$f^{-1}(V)\subset U$$
  となるものが存在する（ 命題6 ）．この$V$について
  $$\mathrm{Cl}(V)\subset \mathrm{Cl}(f(U))\subset f(\mathrm{Cl}(U))$$
  が成り立つ（ 命題4 ）．したがってコンパクト空間$f(\mathrm{Cl}(U))$の閉集合$\mathrm{Cl}(V)$はコンパクトである．

(ii)$⟹$(i)

$x\in X$とする．仮定より$f(x)\in Y$の相対コンパクト開近傍$V\subset Y$が存在する．このとき$f^{-1}(V)\in \tau (x,X)$であり，
$$\mathrm{Cl}(f^{-1}(V))\subset f^{-1}(\mathrm{Cl}(V))$$
より，コンパクト空間$f^{-1}(\mathrm{Cl}(V))$の閉集合$\mathrm{Cl}(f^{-1}(V))$はコンパクトである．

別記事：補遺 を参照されたい．

補題3 より$\mathrm{\Lambda }$が有限集合の場合には定理は成り立つことに注意する．

開基$\beta (\prod X_{\bullet })$の元$V=\prod _{\lambda }{V}_{\lambda }$に対して
$$\mathrm{supp}(V)=\{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\mid V_{\lambda }\ne X_{\lambda }\}\subset \mathrm{\Lambda }:\text{finite}$$
とおく．

各$x\in K$に対して$V(x)\in \beta (x,\prod X_{\bullet })$であって$V(x)\subset U$なるものが存在する．$(V(x){)}_{x\in K}$はコンパクト集合$K\subset \prod X_{\bullet }$の開被覆であるから，$x_1,\dots ,x_n\in K$であって
$$K\subset V(x_1)\cup \cdots \cup V(x_n)\subset U$$
なるものが存在する．そこで
$${\mathrm{\Lambda }}_0=\bigcup _{i\in [n]}\mathrm{supp}(V(x_i))\subset \mathrm{\Lambda }:\text{finite}$$
とおく．このとき
$$K=\prod _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0}{K}_{\lambda }\times \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus {\mathrm{\Lambda }}_0}{K}_{\lambda }\subset \bigcup _{i\in [n]}\prod _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0}V(x_i{)}_{\lambda }\times \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus {\mathrm{\Lambda }}_0}{X}_{\lambda }=\bigcup _{i\in [n]}V(x_i)\subset U$$
が成り立つ．冒頭の注意より，各$\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0$に対して，$U_{\lambda }\in \tau (K_{\lambda },X_{\lambda })$であって
$$\prod _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0}{K}_{\lambda }\subset \prod _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0}{U}_{\lambda }\subset \bigcup _{i\in [n]}\prod _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_0}V(x_i{)}_{\lambda }$$
を満たすものが存在する．よって，$\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus {\mathrm{\Lambda }}_0$に対しては$U_{\lambda }=X_{\lambda }$とおけば，
$$K\subset \prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{U}_{\lambda }\subset \bigcup _{i\in [n]}V(x_i)\subset U$$
が成り立つ．