Non-terminating Searsの変換公式の両側類似
前の記事
でnon-terminating Searsの変換公式を
non-terminating Watsonの変換公式
から導出した.
前の記事
で示したように, non-terminating Watsonの変換公式には両側類似が知られている. よって同様の議論によってnon-terminating Searsの変換公式の両側類似が得られるはずである.
前の記事
の定理2を少し変形して
\begin{align}
&\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,q/b,q/c,q/d,q/e,q/f,q/g;q)_{\infty}}{(aq,q/a,aq/bc,aq/bd,aq/cd,aq/ef,aq/eg,aq/fg;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\BQ88{\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g}{\frac{a^3q^2}{bcdefg}}\\
&=\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/e,q/f,q/g;q)_{\infty}}{(a^2q/bcd,aq/efg;q)_{\infty}}\BQ44{a^2q/bcd,e,f,g}{efg/a,aq/b,aq/c,aq/d}q\\
&\qquad+\frac{(q,a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcdg,aq/b,aq/c,aq/d,b/a,c/a,d/a;q)_{\infty}}{(a^2q^2/bcd,bcd/a^2q,a^3q/bcdefg,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{a^3q^2/bcdefg,aq/bc,aq/bd,aq/cd}{a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcdg}q\\
&\qquad+\frac{(q,e,f,g,q/e,q/f,q/g,a^2q^2/befg,a^2q^2/cefg,a^2q^2/defg;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq,a^3q^2/bcdefg,aq/ef,aq/eg,aq/fg;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{a^3q^2/bcdefg,aq/ef,aq/eg,aq/fg}{a^2q^2/befg,a^2q^2/cefg,a^2q^2/defg}q
\end{align}
において$(b,c)\leftrightarrow(e,f)$と入れ替えて比較すればSearsの変換公式の両側への直接的な一般化が得られるはずであるが, 今回はまず, より対称的に見える$(b,c,d)\leftrightarrow(e,f,g)$の入れ替えから何が得られるのかを考えてみたいと思う. その入れ替えにより,
\begin{align}
&\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/e,q/f,q/g;q)_{\infty}}{(a^2q/bcd,aq/efg;q)_{\infty}}\BQ44{a^2q/bcd,e,f,g}{efg/a,aq/b,aq/c,aq/d}q\\
&\qquad+\frac{(q,a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcdg,aq/b,aq/c,aq/d,b/a,c/a,d/a;q)_{\infty}}{(a^2q^2/bcd,bcd/a^2q,a^3q/bcdefg,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{a^3q^2/bcdefg,aq/bc,aq/bd,aq/cd}{a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcdg}q\\
&\qquad+\frac{(q,e,f,g,q/e,q/f,q/g,a^2q^2/befg,a^2q^2/cefg,a^2q^2/defg;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq,a^3q^2/bcdefg,aq/ef,aq/eg,aq/fg;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{a^3q^2/bcdefg,aq/ef,aq/eg,aq/fg}{a^2q^2/befg,a^2q^2/cefg,a^2q^2/defg}q\\
&=\frac{(q/b,q/c,q/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}{(a^2q/efg,aq/bcd;q)_{\infty}}\BQ44{a^2q/efg,b,c,d}{bcd/a,aq/e,aq/f,aq/g}q\\
&\qquad+\frac{(q,a^2q^2/befg,a^2q^2/cefg,a^2q^2/defg,aq/e,aq/f,aq/g,e/a,f/a,g/a;q)_{\infty}}{(a^2q^2/efg,efg/a^2q,a^3q/bcdefg,aq/ef,aq/eg,aq/fg;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{a^3q^2/bcdefg,aq/ef,aq/eg,aq/fg}{a^2q^2/befg,a^2q^2/cefg,a^2q^2/defg}q\\
&\qquad+\frac{(q,b,c,d,q/b,q/c,q/d,a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcdg;q)_{\infty}}{(aq^2/bcd,bcd/aq,a^3q^2/bcdefg,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{a^3q^2/bcdefg,aq/bc,aq/bd,aq/cd}{a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcdg}q
\end{align}
を得る. 両辺に同じパラメーターの${}_4\phi_3$が現れていることから, 項をまとめると,
\begin{align}
&\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/e,q/f,q/g;q)_{\infty}}{(a^2q/bcd,aq/efg;q)_{\infty}}\BQ44{a^2q/bcd,e,f,g}{efg/a,aq/b,aq/c,aq/d}q\\
&\qquad+\frac{(q,a^2q^2/befg,a^2q^2/cefg,a^2q^2/defg;q)_{\infty}}{(a^3q^2/bcdefg,aq/ef,aq/eg,aq/fg;q)_{\infty}}\Q43{a^3q^2/bcdefg,aq/ef,aq/eg,aq/fg}{a^2q^2/befg,a^2q^2/cefg,a^2q^2/defg}q\\
&\qquad\cdot\left(\frac{(e,f,g,q/e,q/f,q/g;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq;q)_{\infty}}-\frac{(aq/e,aq/f,aq/g,e/a,f/a,g/a;q)_{\infty}}{(a^2q^2/efg,efg/a^2q;q)_{\infty}}\right)\\
&=\frac{(q/b,q/c,q/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}{(a^2q/efg,aq/bcd;q)_{\infty}}\BQ44{a^2q/efg,b,c,d}{bcd/a,aq/e,aq/f,aq/g}q\\
&\qquad+\frac{(q,a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcdg;q)_{\infty}}{(a^3q^2/bcdefg,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}\Q43{a^3q^2/bcdefg,aq/bc,aq/bd,aq/cd}{a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcdg}q\\
&\qquad\cdot\left(\frac{(b,c,d,q/b,q/c,q/d;q)_{\infty}}{(aq^2/bcd,bcd/aq;q)_{\infty}}-\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,b/a,c/a,d/a;q)_{\infty}}{(a^2q^2/bcd,bcd/a^2q;q)_{\infty}}\right)
\end{align}
を得る. ここで,
無限積の三項関係式
を用いると,
\begin{align}
&\frac{(b,c,d,q/b,q/c,q/d;q)_{\infty}}{(aq^2/bcd,bcd/aq;q)_{\infty}}-\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,b/a,c/a,d/a;q)_{\infty}}{(a^2q^2/bcd,bcd/a^2q;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(b,c,d,q/b,q/c,q/d,a^2q^2/bcd,bcd/a^2q;q)_{\infty}-(aq/b,aq/c,aq/d,b/a,c/a,d/a,aq^2/bcd,bcd/aq;q)_{\infty}}{(aq^2/bcd,bcd/aq,a^2q^2/bcd,bcd/a^2q;q)_{\infty}}\\
&=-\frac{a^2q^2}{bcd}\frac{(aq,1/a,bc/aq,aq^2/bc,bd/aq,aq^2/bd,cd/aq,aq^2/cd;q)_{\infty}}{(aq^2/bcd,bcd/aq,a^2q^2/bcd,bcd/a^2q;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(a,q/a,bc/a,aq/bc,bd/a,aq/bd,cd/a,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq^2/bcd,bcd/aq,a^2q/bcd,bcd/a^2;q)_{\infty}}
\end{align}
同様に,
\begin{align}
&\frac{(e,f,g,q/e,q/f,q/g;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq;q)_{\infty}}-\frac{(aq/e,aq/f,aq/g,e/a,f/a,g/a;q)_{\infty}}{(a^2q^2/efg,efg/a^2q;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(a,q/a,ef/a,aq/ef,eg/a,aq/eg,fg/a,aq/fg;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq,a^2q/efg,efg/a^2;q)_{\infty}}
\end{align}
であるからこれを代入すると以下を得る.
\begin{align} &\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/e,q/f,q/g;q)_{\infty}}{(a^2q/bcd,aq/efg;q)_{\infty}}\BQ44{a^2q/bcd,e,f,g}{efg/a,aq/b,aq/c,aq/d}q\\ &\qquad+\frac{(q,a,q/a,ef/a,eg/a,fg/a,a^2q^2/befg,a^2q^2/cefg,a^2q^2/defg;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq,a^2q/efg,efg/a^2,a^3q^2/bcdefg;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q43{a^3q^2/bcdefg,aq/ef,aq/eg,aq/fg}{a^2q^2/befg,a^2q^2/cefg,a^2q^2/defg}q\\ &=\frac{(q/b,q/c,q/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}{(a^2q/efg,aq/bcd;q)_{\infty}}\BQ44{a^2q/efg,b,c,d}{bcd/a,aq/e,aq/f,aq/g}q\\ &\qquad+\frac{(q,a,q/a,bc/a,bd/a,cd/a,a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcdg;q)_{\infty}}{(aq^2/bcd,bcd/aq,a^2q/bcd,bcd/a^2,a^3q^2/bcdefg;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q43{a^3q^2/bcdefg,aq/bc,aq/bd,aq/cd}{a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcdg}q \end{align}
$g=q^{-N}$としてから$N\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align} &\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/e,q/f;q)_{\infty}}{(a^2q/bcd;q)_{\infty}}\BQ33{a^2q/bcd,e,f}{aq/b,aq/c,aq/d}{\frac{aq}{ef}}\\ &=\frac{(q/b,q/c,q/d,aq/e,aq/f;q)_{\infty}}{(aq/bcd;q)_{\infty}}\BQ33{b,c,d}{bcd/a,aq/e,aq/f}q\\ &\qquad+\frac{(q,a,q/a,bc/a,bd/a,cd/a,a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf;q)_{\infty}}{(aq^2/bcd,bcd/aq,a^2q/bcd,bcd/a^2;q)_{\infty}}\Q32{aq/bc,aq/bd,aq/cd}{a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf}q \end{align}
左辺第一項の足す順番を逆向きにすると,
\begin{align}
\BQ33{a^2q/bcd,e,f}{aq/b,aq/c,aq/d}{\frac{aq}{ef}}&=\BQ33{b/a,c/a,d/a}{bcd/a^2,q/e,q/f}{q}
\end{align}
となるので, これを代入すると,
\begin{align}
&\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/e,q/f;q)_{\infty}}{(a^2q/bcd;q)_{\infty}}\BQ33{b/a,c/a,d/a}{bcd/a^2,q/e,q/f}{q}\\
&=\frac{(q/b,q/c,q/d,aq/e,aq/f;q)_{\infty}}{(aq/bcd;q)_{\infty}}\BQ33{b,c,d}{bcd/a,aq/e,aq/f}q\\
&\qquad+\frac{(q,a,q/a,bc/a,bd/a,cd/a,a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf;q)_{\infty}}{(aq^2/bcd,bcd/aq,a^2q/bcd,bcd/a^2;q)_{\infty}}\Q32{aq/bc,aq/bd,aq/cd}{a^2q^2/bcde,a^2q^2/bcdf}q
\end{align}
と書き換えることもできる. 系1においてさらに$d=q^{-N}$としてから$N\to\infty$とすると
\begin{align}
(aq/b,aq/c,q/e,q/f;q)_{\infty}\BQ22{e,f}{aq/b,aq/c}{\frac{aq}{ef}}&=(q/b,q/c,aq/e,aq/f;q)_{\infty}\BQ22{b,c}{aq/e,aq/f}{\frac{aq}{bc}}
\end{align}
を得る. これは
Baileyの${}_2\psi_2$変換公式
である.
定理1において$a^3q=bcdefg$とすると以下を得る.
\begin{align}
&\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/e,q/f,q/g;q)_{\infty}}{(a^2q/bcd,aq/efg;q)_{\infty}}\BQ33{e,f,g}{aq/b,aq/c,aq/d}q\\
&\qquad+\frac{(a,q/a,ef/a,eg/a,fg/a,cdq/a,bdq/a,bcq/a;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq,a^2q/efg,efg/a^2;q)_{\infty}}\Q43{q,aq/ef,aq/eg,aq/fg}{cdq/a,bdq/a,bcq/a}q\\
&=\frac{(q/b,q/c,q/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}{(a^2q/efg,aq/bcd;q)_{\infty}}\BQ33{b,c,d}{aq/e,aq/f,aq/g}q\\
&\qquad+\frac{(a,q/a,bc/a,bd/a,cd/a,fgq/a,egq/a,efq/a;q)_{\infty}}{(aq^2/bcd,bcd/aq,a^2q/bcd,bcd/a^2;q)_{\infty}}\Q43{q,aq/bc,aq/bd,aq/cd}{fgq/a,egq/a,efq/a}q
\end{align}
これは
\begin{align}
&\frac{(q/b,q/c,q/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}{(a,q/a,a^2q/efg,aq/bcd;q)_{\infty}}\BQ33{b,c,d}{aq/e,aq/f,aq/g}q-\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/e,q/f,q/g;q)_{\infty}}{(a,q/a,a^2q/bcd,aq/efg;q)_{\infty}}\BQ33{e,f,g}{aq/b,aq/c,aq/d}q\\
&=\frac{(ef/a,eg/a,fg/a,cdq/a,bdq/a,bcq/a;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq,a^2q/efg,efg/a^2;q)_{\infty}}\Q43{q,aq/ef,aq/eg,aq/fg}{cdq/a,bdq/a,bcq/a}q\\
&\qquad-\frac{(bc/a,bd/a,cd/a,fgq/a,egq/a,efq/a;q)_{\infty}}{(aq^2/bcd,bcd/aq,a^2q/bcd,bcd/a^2;q)_{\infty}}\Q43{q,aq/bc,aq/bd,aq/cd}{fgq/a,egq/a,efq/a}q\\
&=\frac{(ef/a,eg/a,fg/a,cdq/a,bdq/a,bcq/a;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq,a^2q/efg,efg/a^2;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(aq/ef,aq/eg,aq/fg;q)_n}{(cdq/a,bdq/a,bcq/a;q)_n}q^n\\
&\qquad-\frac{(bc/a,bd/a,cd/a,fgq/a,egq/a,efq/a;q)_{\infty}}{(aq^2/bcd,bcd/aq,a^2q/bcd,bcd/a^2;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_n}{(fgq/a,egq/a,efq/a;q)_n}q^n\\
&=\frac{(ef/a,eg/a,fg/a,cdq/a,bdq/a,bcq/a;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq,a^2q/efg,efg/a^2;q)_{\infty}}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(aq/ef,aq/eg,aq/fg;q)_n}{(cdq/a,bdq/a,bcq/a;q)_n}q^n+\sum_{n<0}\frac{(aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_n}{(fgq/a,egq/a,efq/a;q)_n}q^n\right)\\
&=\frac{(ef/a,eg/a,fg/a,cdq/a,bdq/a,bcq/a;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq,a^2q/efg,efg/a^2;q)_{\infty}}\BQ33{aq/ef,aq/eg,aq/fg}{cdq/a,bdq/a,bcq/a}{q}
\end{align}
と変形することができる. つまり, 以下を得る.
$a^3q=bcdefg$のとき,
\begin{align}
&\frac{(q/b,q/c,q/d,aq/e,aq/f,aq/g;q)_{\infty}}{(a,q/a,a^2q/efg,aq/bcd;q)_{\infty}}\BQ33{b,c,d}{aq/e,aq/f,aq/g}q\\
&\qquad-\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,q/e,q/f,q/g;q)_{\infty}}{(a,q/a,a^2q/bcd,aq/efg;q)_{\infty}}\BQ33{e,f,g}{aq/b,aq/c,aq/d}q\\
&=\frac{(ef/a,eg/a,fg/a,cdq/a,bdq/a,bcq/a;q)_{\infty}}{(aq^2/efg,efg/aq,a^2q/efg,efg/a^2;q)_{\infty}}\BQ33{aq/ef,aq/eg,aq/fg}{cdq/a,bdq/a,bcq/a}{q}
\end{align}
が成り立つ.
