文献あり

位数3のモックテータ関数で表される級数

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{3 n^{2}}}{(- q; q^{3})_{n + 1} (- q^{2}; q^{3})_{n}} & = 1 - \frac{1}{4} f (q^{3}) + \frac{1}{4} \frac{(q; q)_{\infty}^{2}}{(- q; q)_{\infty}^{2} (q^{3}; q^{3})_{\infty}} \end{aligned}$

Watsonによる公式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}}}{(c; q)_{n + 1} (q / c; q)_{n}} & = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (3 n + 1)}}{1 - c q^{n}} \end{aligned}$
において, $q \mapsto q^{3}, c = - q$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{3 n^{2}}}{(- q; q^{3})_{n + 1} (- q^{2}; q^{3})_{n}} & = \frac{1}{(q^{3}; q^{3})_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{3}{2} n (3 n + 1)}}{1 + q^{3 n + 1}} \\ = \frac{1}{2 (q^{3}; q^{3})_{\infty}} (\sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{3}{2} n (3 n + 1)}}{1 + q^{3 n + 1}} + \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{3}{2} n (3 n + 1) - 1}}{1 + q^{3 n - 1}}) \end{aligned}$
ここで, WatsonによるAppell-Lerch型級数表示より
$\begin{aligned} f (q^{3}) & = \frac{2}{(q^{3}; q^{3})_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{3}{2} n (3 n + 1)}}{1 + q^{3 n}} \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} 4 \sum_{0 \leq n} \frac{q^{3 n^{2}}}{(- q; q^{3})_{n + 1} (- q^{2}; q^{3})_{n}} + f (q^{3}) \\ = \frac{2}{(q^{3}; q^{3})_{\infty}} (\sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{3}{2} n (3 n + 1)}}{1 + q^{3 n + 1}} + \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{3}{2} n (3 n + 1)}}{1 + q^{3 n}} + \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{3}{2} n (3 n + 1) - 1}}{1 + q^{3 n - 1}}) \\ = \frac{2}{(q^{3}; q^{3})_{\infty}} (\sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{3 n + 1} q^{(\binom{3 n + 2}{2})}}{1 + q^{3 n + 1}} (1 - (1 + q^{3 n + 1})) + \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{3 n} q^{(\binom{3 n + 1}{2})}}{1 + q^{3 n}} + \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{3 n - 1} q^{(\binom{3 n}{2})}}{1 + q^{3 n - 1}} (1 - (1 + q^{3 n - 1}))) \\ = \frac{2}{(q^{3}; q^{3})_{\infty}} (\sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 + q^{n}} + \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{(\binom{3 n + 1}{2})} + \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{(\binom{3 n}{2})}) \\ = \frac{2}{(q^{3}; q^{3})_{\infty}} (\frac{(q; q)_{\infty}^{2}}{2 (- q; q)_{\infty}^{2}} + 2 (q^{3}; q^{3})_{\infty}) \end{aligned}$
となるから定理を得る. 最後の等号はJacobiの三重積と, Lambert級数の等式
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 - c q^{n}} & = \frac{(q; q)_{\infty}^{2}}{(c, q / c; q)_{\infty}} \end{aligned}$
による.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{6 n^{2}}}{(q; q^{6})_{n + 1} (q^{5}; q^{6})_{n}} & = \frac{1}{2} (1 + q^{2} ω (q^{3}) + \frac{(q^{2}; q^{2})_{\infty}^{2}}{(q^{6}; q^{6})_{\infty} (q; q^{2})_{\infty}^{2}}) \end{aligned}$

Watsonによる公式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}}}{(c; q)_{n + 1} (q / c; q)_{n}} & = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (3 n + 1)}}{1 - c q^{n}} \end{aligned}$
において, $q \mapsto q^{6}, c = q$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{6 n^{2}}}{(q; q^{6})_{n + 1} (q^{5}; q^{6})_{n}} \\ = \frac{1}{(q^{6}; q^{6})_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{3 n (3 n + 1)}}{1 - q^{6 n + 1}} \\ = \frac{1}{2 (q^{6}; q^{6})_{\infty}} (\sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{3 n (3 n + 1)}}{1 - q^{6 n + 1}} - \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{3 n (3 n + 1) - 1}}{1 - q^{6 n - 1}}) \end{aligned}$
ここで, Watsonによる公式より,
$\begin{aligned} ω (q^{3}) & = \frac{1}{(q^{6}; q^{6})_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{9 n (n + 1)}}{1 - q^{6 n + 3}} \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} 2 \sum_{0 \leq n} \frac{q^{6 n^{2}}}{(q; q^{6})_{n + 1} (q^{5}; q^{6})_{n}} - 1 - q^{2} ω (q^{3}) \\ = \frac{1}{(q^{6}; q^{6})_{\infty}} (\sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{3 n (3 n + 1)}}{1 - q^{6 n + 1}} - \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{3 n (3 n + 1) - 1}}{1 - q^{6 n - 1}} - (q^{6}; q^{6})_{\infty} - \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{9 n (n + 1) + 2}}{1 - q^{6 n + 3}}) \\ = \frac{1}{(q^{6}; q^{6})_{\infty}} (\sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{3 n (3 n + 1)}}{1 - q^{6 n + 1}} - \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{3 n (3 n - 1)}}{1 - q^{6 n - 1}} (1 - (1 - q^{6 n - 1})) - \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{(3 n + 1) (3 n + 2)}}{1 - q^{6 n + 3}} - (q^{6}; q^{6})_{\infty}) \\ = \frac{1}{(q^{6}; q^{6})_{\infty}} (\sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{n (n + 1)}}{1 - q^{2 n + 1}} + \sum_{n \in Z} (- 1) q^{3 n (3 n - 1)} - (q^{6}; q^{6})_{\infty}) \\ = \frac{1}{(q^{6}; q^{6})_{\infty}} \frac{(q^{2}; q^{2})_{\infty}^{2}}{(q; q^{2})_{\infty}^{2}} \end{aligned}$
最後の等号はJacobiの三重積と Lambert級数の等式
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 - c q^{n}} & = \frac{(q; q)_{\infty}^{2}}{(c, q / c; q)_{\infty}} \end{aligned}$
による.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (q; q)_{2 n} q^{n^{2}}}{(q^{6}; q^{6})_{n}} & = \frac{3}{4} f (q^{3}) + \frac{1}{4} \frac{(q; q)_{\infty}^{2}}{(- q; q)_{\infty}^{2} (q^{3}; q^{3})_{\infty}} \end{aligned}$

前の記事の定理1
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (q; q^{2})_{n} q^{n^{2}}}{(c; q^{2})_{n + 1} (q^{2} / c; q^{2})_{n}} & = \frac{(q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{q^{2 n^{2} + n}}{1 - c q^{2 n}} \end{aligned}$
において,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{q^{2 n^{2} + n}}{1 - c q^{2 n}} & = \frac{1}{2} \sum_{n \in Z} \frac{q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 - c q^{n}} + \frac{1}{2} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 - c q^{n}} \end{aligned}$
ここで, 2つ目の項に前の記事で示した等式
$\begin{array}{r} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 - c q^{n}} = \frac{(q; q)_{\infty}^{2}}{(c, q / c; q)_{\infty}} \end{array}$
を用いることができる. また, 1つ目の項は Baileyの $_{2} ψ_{2}$ 変換公式
$\begin{aligned} _{2} ψ_{2} [\begin{array}{c} a, b \\ c, d \end{array}; x] & = \frac{(a x, b x, c q / a b x, d q / a b x; q)_{\infty}}{(q / a, q / b, c, d; q)_{\infty}}_{2} ψ_{2} [\begin{array}{c} a b x / c, a b x / d \\ a x, b x \end{array}; \frac{c d}{a b x}] \end{aligned}$
において, $a \mapsto - q / t, b \mapsto - 1, c \mapsto t, d \mapsto - q, x \mapsto - c t$ とすると
$\begin{aligned} 2 \sum_{n \in Z} \frac{(- q / t; q)_{n}}{(t; q)_{n} (1 + q^{n})} (- c t)^{n} & = \frac{(c q, c t, - t / c, q / c; q)_{\infty}}{(- t, - q, t, - q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- c q / t; q)_{n} (1 - c)}{(c t; q)_{n} (1 - c q^{n})} {(\frac{t}{c})}^{n} \end{aligned}$
を得る. ここで, $t \to 0$ とすると,
$\begin{aligned} 2 \sum_{n \in Z} \frac{(- c)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 + q^{n}} & = \frac{(c, q / c; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}^{2}} \sum_{n \in Z} \frac{q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 - c q^{n}} \end{aligned}$
つまり
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 - c q^{n}} & = \frac{2 (- q; q)_{\infty}^{2}}{(c, q / c; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- c)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 + q^{n}} \end{aligned}$
を得る. これらを合わせると
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (q; q^{2})_{n} q^{n^{2}}}{(c q^{2}, q^{2} / c; q^{2})_{n}} & = \frac{1}{(q, c q, q / c; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- c)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 + q^{n}} + \frac{(q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \frac{1}{2} \frac{(q; q)_{\infty}^{2}}{(c q, q / c; q)_{\infty}} \\ = \frac{1}{(q, c q, q / c; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- c)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 + q^{n}} + \frac{(q; q^{2})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \frac{(- q; q)_{\infty}^{2}}{(c q, q / c; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 + q^{n}} \\ = \frac{1}{(q, c q, q / c; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} (1 + c^{n}) q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 + q^{n}} \\ = \frac{1}{(q, c q, q / c; q)_{\infty}} (1 + \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n} (2 + c^{n} + c^{- n}) q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 + q^{n}}) \end{aligned}$
を得る. ここで, $c = ω := e^{\frac{2 π i}{3}}$ を代入して, WatsonによるAppell-Lerch型級数表示を用いると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (q; q)_{2 n} q^{n^{2}}}{(q^{6}; q^{6})_{n}} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (q; q^{2})_{n} q^{n^{2}}}{(ω q^{2}, q^{2} / ω^{2}; q^{2})_{n}} \\ = \frac{1}{(q^{3}; q^{3})_{\infty}} (1 + \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n} (2 + ω^{n} + ω^{- n}) q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 + q^{n}}) \\ = \frac{1}{(q^{3}; q^{3})_{\infty}} (1 + \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 + q^{n}} + 3 \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{3}{2} n (3 n + 1)}}{1 + q^{3 n}}) \\ = \frac{1}{2 (q^{3}; q^{3})_{\infty}} (\sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{1 + q^{n}} + 3 \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{3}{2} n (3 n + 1)}}{1 + q^{3 n}}) \\ = \frac{1}{2 (q^{3}; q^{3})_{\infty}} (\frac{(q; q)_{\infty}^{2}}{2 (- q; q)_{\infty}} + \frac{3}{2} (q^{3}; q^{3})_{\infty} f (q^{3})) \\ = \frac{(q; q)_{\infty}^{2}}{4 (- q; q)_{\infty} (q^{3}; q^{3})_{\infty}} + \frac{3}{4} f (q^{3}) \end{aligned}$
となって定理を得る.