位数3のモックテータ関数で表される級数

Watsonによる公式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(c;q)_{n+1}(q/c;q)_n}&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1-cq^n} \end{align}
において, $q\mapsto q^3, c=-q$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{3n^2}}{(-q;q^3)_{n+1}(-q^2;q^3)_n}&=\frac 1{(q^3;q^3)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(3n+1)}}{1+q^{3n+1}}\\ &=\frac 1{2(q^3;q^3)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(3n+1)}}{1+q^{3n+1}}+\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(3n+1)-1}}{1+q^{3n-1}}\right) \end{align}
ここで, WatsonによるAppell-Lerch型級数表示 より
\begin{align} f(q^3)&=\frac 2{(q^3;q^3)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(3n+1)}}{1+q^{3n}} \end{align}
であるから,
\begin{align} &4\sum_{0\leq n}\frac{q^{3n^2}}{(-q;q^3)_{n+1}(-q^2;q^3)_n}+f(q^3)\\ &=\frac 2{(q^3;q^3)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(3n+1)}}{1+q^{3n+1}}+\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(3n+1)}}{1+q^{3n}}+\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(3n+1)-1}}{1+q^{3n-1}}\right)\\ &=\frac 2{(q^3;q^3)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^{3n+1}q^{\binom{3n+2}2}}{1+q^{3n+1}}(1-(1+q^{3n+1}))+\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^{3n}q^{\binom{3n+1}2}}{1+q^{3n}}+\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^{3n-1}q^{\binom{3n}2}}{1+q^{3n-1}}(1-(1+q^{3n-1}))\right)\\ &=\frac 2{(q^3;q^3)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1+q^n}+\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{\binom{3n+1}2}+\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{\binom{3n}2}\right)\\ &=\frac{2}{(q^3;q^3)_{\infty}}\left(\frac{(q;q)_{\infty}^2}{2(-q;q)_{\infty}^2}+2(q^3;q^3)_{\infty}\right) \end{align}
となるから定理を得る. 最後の等号はJacobiの三重積と, Lambert級数の等式
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1-cq^n}&=\frac{(q;q)_{\infty}^2}{(c,q/c;q)_{\infty}} \end{align}
による.

Watsonによる公式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(c;q)_{n+1}(q/c;q)_n}&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1-cq^n} \end{align}
において, $q\mapsto q^6, c=q$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{q^{6n^2}}{(q;q^6)_{n+1}(q^5;q^6)_n}\\ &=\frac 1{(q^6;q^6)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(3n+1)}}{1-q^{6n+1}}\\ &=\frac 1{2(q^6;q^6)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(3n+1)}}{1-q^{6n+1}}-\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(3n+1)-1}}{1-q^{6n-1}}\right) \end{align}
ここで, Watsonによる公式より,
\begin{align} \omega(q^3)&=\frac 1{(q^6;q^6)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{9n(n+1)}}{1-q^{6n+3}} \end{align}
であるから,
\begin{align} &2\sum_{0\leq n}\frac{q^{6n^2}}{(q;q^6)_{n+1}(q^5;q^6)_n}-1-q^2\omega(q^3)\\ &=\frac 1{(q^6;q^6)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(3n+1)}}{1-q^{6n+1}}-\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(3n+1)-1}}{1-q^{6n-1}}-(q^6;q^6)_{\infty}-\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{9n(n+1)+2}}{1-q^{6n+3}}\right)\\ &=\frac 1{(q^6;q^6)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(3n+1)}}{1-q^{6n+1}}-\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(3n-1)}}{1-q^{6n-1}}(1-(1-q^{6n-1}))-\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{(3n+1)(3n+2)}}{1-q^{6n+3}}-(q^6;q^6)_{\infty}\right)\\ &=\frac 1{(q^6;q^6)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)}}{1-q^{2n+1}}+\sum_{n\in\ZZ}(-1)q^{3n(3n-1)}-(q^6;q^6)_{\infty}\right)\\ &=\frac 1{(q^6;q^6)_{\infty}}\frac{(q^2;q^2)_{\infty}^2}{(q;q^2)_{\infty}^2} \end{align}
最後の等号はJacobiの三重積と Lambert級数の等式
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1-cq^n}&=\frac{(q;q)_{\infty}^2}{(c,q/c;q)_{\infty}} \end{align}
による.

前の記事 の定理1
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(q;q^2)_nq^{n^2}}{(c;q^2)_{n+1}(q^2/c;q^2)_n}&=\frac{(q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{2n^2+n}}{1-cq^{2n}} \end{align}
において,
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{2n^2+n}}{1-cq^{2n}}&=\frac 12\sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{\frac 12n(n+1)}}{1-cq^n}+\frac 12\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1-cq^n} \end{align}
ここで, 2つ目の項に前の記事で示した等式
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1-cq^n}=\frac {(q;q)_{\infty}^2}{(c,q/c;q)_{\infty}} \end{align}
を用いることができる. また, 1つ目の項は Baileyの${}_2\psi_2$変換公式
\begin{align} \BQ22{a,b}{c,d}{x}&=\frac{(ax,bx,cq/abx,dq/abx;q)_{\infty}}{(q/a,q/b,c,d;q)_{\infty}}\BQ22{abx/c,abx/d}{ax,bx}{\frac{cd}{abx}} \end{align}
において, $a\mapsto -q/t, b\mapsto -1, c\mapsto t,d\mapsto -q,x\mapsto -ct$とすると
\begin{align} 2\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-q/t;q)_n}{(t;q)_n(1+q^n)}(-ct)^n&=\frac{(cq,ct,-t/c,q/c;q)_{\infty}}{(-t,-q,t,-q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-cq/t;q)_n(1-c)}{(ct;q)_n(1-cq^n)}\left(\frac{t}{c}\right)^n \end{align}
を得る. ここで, $t\to 0$とすると,
\begin{align} 2\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-c)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1+q^n}&=\frac{(c,q/c;q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}^2}\sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{\frac 12n(n+1)}}{1-cq^n} \end{align}
つまり
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{\frac 12n(n+1)}}{1-cq^n}&=\frac{2(-q;q)_{\infty}^2}{(c,q/c;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-c)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1+q^n} \end{align}
を得る. これらを合わせると
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(q;q^2)_nq^{n^2}}{(cq^2,q^2/c;q^2)_n}&=\frac{1}{(q,cq,q/c;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-c)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1+q^n}+\frac{(q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\frac 12\frac {(q;q)_{\infty}^2}{(cq,q/c;q)_{\infty}}\\ &=\frac{1}{(q,cq,q/c;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-c)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1+q^n}+\frac{(q;q^2)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\frac {(-q;q)_{\infty}^2}{(cq,q/c;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1+q^n}\\ &=\frac{1}{(q,cq,q/c;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^n(1+c^n)q^{\frac 12n(n+1)}}{1+q^n}\\ &=\frac{1}{(q,cq,q/c;q)_{\infty}}\left(1+\sum_{0< n}\frac{(-1)^n(2+c^n+c^{-n})q^{\frac 12n(n+1)}}{1+q^n}\right)\\ \end{align}
を得る. ここで, $c=\omega:=e^{\frac{2\pi i}3}$を代入して, WatsonによるAppell-Lerch型級数表示を用いると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(q;q)_{2n}q^{n^2}}{(q^6;q^6)_n}&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(q;q^2)_{n}q^{n^2}}{(\omega q^2, q^2/\omega^2;q^2)_n}\\ &=\frac 1{(q^3;q^3)_{\infty}}\left(1+\sum_{0< n}\frac{(-1)^n(2+\omega^n+\omega^{-n})q^{\frac 12n(n+1)}}{1+q^n}\right)\\ &=\frac 1{(q^3;q^3)_{\infty}}\left(1+\sum_{0< n}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1+q^n}+3\sum_{0< n}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(3n+1)}}{1+q^{3n}}\right)\\ &=\frac 1{2(q^3;q^3)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1+q^n}+3\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(3n+1)}}{1+q^{3n}}\right)\\ &=\frac 1{2(q^3;q^3)_{\infty}}\left(\frac{(q;q)_{\infty}^2}{2(-q;q)_{\infty}}+\frac 32(q^3;q^3)_{\infty}f(q^3)\right)\\ &=\frac{(q;q)_{\infty}^2}{4(-q;q)_{\infty}(q^3;q^3)_{\infty}}+\frac 34f(q^3) \end{align}
となって定理を得る.