二項関係 ⑨

今回、 二項関係⑥ と 二項関係⑦ について大幅な書き直しを行った。
なお、元の命題のいずれも誤りであったという意味ではない。主な変更内容は以下の$2$点である。

1. これまで $A$ 上の二項関係として書いていた公式を、
   始集合、中間集合、終集合を分けた $A,B,C$ の間の二項関係に対する一般形へ改めた。
   $ $
   【例】変更前： $A$ を集合とし、$R,S,T\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係として
   $$T\circ(R\cup S)=(T\circ R)\cup(T\circ S)$$
   　　　を示した。
   　　　変更後： $R_1,R_2\subseteq A\times B,\ S\subseteq B\times C$ として、次の一般形に改め
   $$S\circ(R_1\cup R_2)=(S\circ R_1)\cup(S\circ R_2)$$
   　　　を示した。
   $ $
2. 二項関係⑦ で取り上げていた下記命題を、下記の通り一般化した形で本稿で取り上げる事とした。
   【変更前(削除済み)】$A$ を集合とし、$R,S,T,U\subseteq A\times A$ を $A$ 上の二項関係とするとき、
   $$ R\subseteq S,\quad T\subseteq U \Longrightarrow T\circ R\subseteq U\circ S $$
   【本稿】$A,B,C$ を集合とし、$R_1,R_2\subseteq A\times B,\ S_1,S_2\subseteq B\times C$ を二項関係とするとき
   $$ R_1\subseteq R_2\land S_1\subseteq S_2 \ \Rightarrow\ S_1\circ R_1\subseteq S_2\circ R_2 $$
   ※当然ながら、二項関係⑧で取り上げた 空関係 を含む場合にも、本命題は成り立つ。

-以上より、一般的な形に合わせて記号と仮定を整理し直した。
途中で記号や命題の形を変更したため、読みにくさや混乱を招いてしまった点をお詫びする。

この命題は、既に示した次の $2$ つの命題からも導ける。
$1$ つ目は、右側の関係に関する単調性
$$ R_1\subseteq R_2 \ \Rightarrow\ S_1\circ R_1\subseteq S_1\circ R_2 $$
$2$ つ目は、左側の関係に関する単調性
$$ S_1\subseteq S_2 \ \Rightarrow\ S_1\circ R_2\subseteq S_2\circ R_2 $$
したがって、
$$ S_1\circ R_1\subseteq S_1\circ R_2\subseteq S_2\circ R_2 $$
が成り立つ。
ゆえに、包含関係の推移性より
$$ S_1\circ R_1\subseteq S_2\circ R_2 $$
である。

この命題は、合成関係が包含関係に関して単調であることを表している。
すなわち、
$$ R_1\subseteq R_2 $$
により、前半に使う関係を $R_1$ からより大きい関係 $R_2$ に広げる。
また、
$$ S_1\subseteq S_2 $$
により、後半に使う関係を $S_1$ からより大きい関係 $S_2$ に広げる。
このとき、$R_1$ のあとに $S_1$ をたどって得られる順序対は、すべて $R_2$ のあとに $S_2$ をたどって得られる順序対にも含まれる。
したがって、
$$ S_1\circ R_1\subseteq S_2\circ R_2 $$
が成り立つ。

空関係 $\varnothing$ も直積の部分集合である( 証明はコチラ )ため、二項関係として扱える。
したがって、この命題は $R_1,R_2,S_1,S_2$ のいずれかが空関係である場合にも成り立つ。
たとえば、$R_1=\varnothing$ または $S_1=\varnothing$ であれば、
$$ S_1\circ R_1=\varnothing $$
である( 証明はコチラ )から、
$$ S_1\circ R_1\subseteq S_2\circ R_2 $$
は自明に成り立つ。
ただし、$R_2=\varnothing$ の場合は、仮定 $R_1\subseteq R_2$ より $R_1=\varnothing$ である。同様に、$S_2=\varnothing$ の場合は、仮定 $S_1\subseteq S_2$ より $S_1=\varnothing$ である。