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群上のフーリエ変換2：定義と反転公式

はじめに

　この記事では前回の記事に引き続き局所コンパクトアーベル群 $G$ 上のフーリエ変換
$\begin{aligned} \hat{f} (χ) & = \int_{G} f (x) \overset{―}{χ (x)} d x \\ f (x) & = \int_{\hat{G}} \hat{f} (χ) χ (x) d χ \end{aligned}$
について簡単に簡単に解説していきます。

フーリエ変換

　さて前回の記事によって局所コンパクト群 $G$ 上の積分が定義できたので、いよいよフーリエ変換の定義に入っていきましょう。
　前回の記事でもちらっと触れたように $G$ 上のフーリエ変換を
$\hat{f} (y) = \int_{G} f (x) e^{2 π i \cdot ϕ (x, y)} d μ$
という感じの積分変換として定めたいわけですが、そのための最後のピースとしてこの核関数 $K_{y} (x) = e^{2 π i \cdot ϕ (x, y)}$ とは何者であるかを考える必要があります。
　結論から言うとこの積分核 $K_{y} (x)$ は次のような特徴付け

絶対値が $1$ である
連続関数である
$K_{y} (x_{1} + x_{2}) = K_{y} (x_{1}) K_{y} (x_{2})$ が成り立つ

を満たすようなもの、つまり $G$ のユニタリ指標として取ってくることになります。

指標

　位相群 $G$ から円周群
$T = {z \in C ∣ | z | = 1}$
への連続な準同型 $χ : G \to T$ のことを $G$ の(ユニタリ)指標と言う。
　 $G$ の指標全体 $\hat{G}$ は積について群をなし、これを $G$ の指標群と言う(あるいは双対群やポントリャーギン双対とも)。

　そして $G$ 上の関数 $f$ に対し、そのフーリエ変換 $\hat{f}$ は $\hat{G}$ 上の関数として次のように定められます。

フーリエ変換

　局所コンパクト群 $G$ 上の関数 $f \in L^{1} (G)$ に対し、そのフーリエ変換 $\hat{f} : \hat{G} \to C$ を
$\hat{f} (χ) = \int_{G} f (x) \overset{―}{χ (x)} d μ$
によって定める。

　この定義だけだとあまりピンと来ないかもしれませんが百聞は一見に如かずということで、実際にこの特徴付けから冒頭で紹介したフーリエ変換たちが出てくることを確かめてみましょう。

$\hat{R} = {χ : x \mapsto e^{2 π i x y} ∣ y \in R} ≃ R$
が成り立つ。特に $R$ 上のフーリエ変換は
$\hat{f} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- 2 π i x y} d x$
と表せる。

証明

　 $χ (x)$ は連続、特に積分可能であることと $χ (0) = 1$ に注意すると
$A = \int_{0}^{a} χ (t) d t \neq 0$
となるような $a \in R$ が存在し、このとき
$A χ (x) = \int_{0}^{a} χ (t + x) d t = \int_{x}^{x + a} χ (t) d t$
の右辺が微分可能であることから $χ (x)$ も微分可能であり
$A χ^{'} (x) = χ (x + a) - χ (x) = χ (x) (χ (a) - 1)$
が成り立つ。
　特に $c = (χ (a) - 1) / A$ とおくと $χ (x)$ は微分方程式
$χ^{'} (x) = c χ (x) (χ (0) = 1)$
を満たすことになるので $χ (x) = e^{c x}$ と表せ、これが $R$ を $T$ に写すためには $c = 2 π i y$ なる $y \in R$ が存在することが必要十分となる。

$\hat{R / Z} = {χ : x \mapsto e^{2 π i n x} ∣ n \in Z} ≃ Z$
が成り立つ。特に $R / Z$ 上のフーリエ変換は
$\hat{f} (n) = \int_{0}^{1} f (x) e^{- 2 π i n x} d x$
と表せる。

証明

　 $R / Z$ の指標 $χ$ は自然に $R$ の指標とみなせるので、ある $y \in R$ が存在して
$χ (x) = e^{2 π i x y}$
と表せる。また
$χ (1) = e^{2 π i y} = χ (0) = 1$
に注意すると主張を得る。

$\hat{Z} = {χ : n \mapsto e^{2 π i n x} ∣ x \in R / Z} ≃ R / Z$
が成り立つ。特に $Z$ 上のフーリエ変換は
$\hat{f} (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} f (n) e^{- 2 π i n x}$
と表せる。

証明

　 $χ (1) = z$ とおいたとき
$χ (n) = χ (1 + 1 + \dots + 1) = χ (1)^{n} = z^{n}$
が成り立つことからわかる。

$\hat{Z / N Z} = {χ : n \mapsto e^{2 π i m n / N} ∣ m \in Z / N Z} ≃ Z / N Z$
が成り立つ。特に $Z / N Z$ 上のフーリエ変換は
$\hat{f} (m) = \sum_{n = 0}^{N - 1} f (n) e^{- 2 π i m n / N}$
と表せる。

証明

　 $Z / N Z$ の指標 $χ$ は自然に $Z$ の指標とみなせるので、ある $x \in R$ が存在して
$χ (n) = e^{2 π i n x}$
と表せる。また
$χ (N) = e^{2 π i N x} = χ (0) = 1$
に注意すると主張を得る。

　次の例に行く前にちょっとした補題を示しておく。

$\hat{(G_{1} \times G_{2} \times \dots \times G_{n})} ≃ {\hat{G}}_{1} \times {\hat{G}}_{2} \times \dots \times {\hat{G}}_{n}$

証明

　 ${\hat{G}}_{1}, {\hat{G}}_{2}, \dots, {\hat{G}}_{n}$ の指標 $χ_{1}, χ_{2}, \dots, χ_{n}$ に対し
$χ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = χ_{1} (x_{1}) χ_{2} (x_{2}) \dots χ_{n} (x_{n})$
とおくとこれは $G_{1} \times G_{2} \times \dots \times G_{n}$ の指標を定める。
　また $G_{1} \times G_{2} \times \dots \times G_{n}$ の指標 $χ$ に対し
$χ_{i} (x_{i}) = χ (1, \dots, 1, x_{i}, 1, \dots, 1)$
とおくとこれは ${\hat{G}}_{i}$ の指標を定める。
　またこの対応
$χ \leftrightarrow (χ_{1}, χ_{2}, \dots, χ_{n})$
は互いに逆対応を定めているので同型
$\hat{(G_{1} \times G_{2} \times \dots \times G_{n})} ≃ {\hat{G}}_{1} \times {\hat{G}}_{2} \times \dots \times {\hat{G}}_{n}$
を得る。

$\hat{R^{n}} = {χ : x \mapsto e^{2 π i x \cdot y} ∣ y \in R^{n}} ≃ R^{n}$
が成り立つ。特に $R^{n}$ 上のフーリエ変換は
$\hat{f} (y) = \int_{R^{n}} f (x) e^{- 2 π i x \cdot y} d x$
と表せる。

証明

　上の補題の証明から $R^{n}$ の指標 $χ$ は $R$ の指標 $χ_{1}, χ_{2}, \dots, χ_{n}$ を用いて
$χ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = χ_{1} (x_{1}) χ_{2} (x_{2}) \dots χ_{n} (x_{n})$
と表せるので
$χ_{j} (x_{j}) = e^{2 π i x_{j} y_{j}}$
なる $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n} \in R$ を取ると
$χ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = e^{2 π i (x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n})} = e^{2 π i x \cdot y}$
が成り立つ。

　 $x \in Q_{p}$ の $p$ 進展開
$x = \sum_{n = v_{p} (x)}^{\infty} c_{n} p^{n} (c_{n} \in {0, 1, 2, \dots, p - 1})$
に対し $Q_{p}$ の指標 $χ_{y} (y \in Q_{p})$ を
$\begin{aligned} χ_{1} (x) & = \exp (2 π i \sum_{n < 0} c_{n} p^{n}) \\ χ_{y} (x) & = χ_{1} (x y) \end{aligned}$
によって定めると
${\hat{Q}}_{p} = {χ_{y} ∣ y \in Q_{p}} ≃ Q_{p}$
が成り立ち、また
$\begin{aligned} {\hat{Z}}_{p} & = {χ_{y} ∣ y \in Q_{p} / Z_{p}} ≃ Q_{p} / Z_{p} \\ \hat{Q_{p} / Z_{p}} & = {χ_{y} ∣ y \in Z_{p}} ≃ Z_{p} \end{aligned}$
とかも成り立つことが知られている。

ポントリャーギン双対性

　もちろん $G$ 上のフーリエ変換にも反転公式が存在するわけですが、それについて語るためにはまず $\hat{f}$ の定義域である $\hat{G}$ の性質について触れておく必要があります。
　まず $\hat{G}$ には以下のような位相を考えることができます。

コンパクト開位相

　 $X, Y$ を位相空間、 $C (X, Y)$ を $X$ から $Y$ への連続写像全体とする。
　また $X, Y$ の部分集合 $A, B$ に対し
$W (A, B) = {f \in C (X, Y) ∣ f (A) \subseteq B}$
とおいたとき
${W (K, U) ∣ K : X のコンパクト集合, U : Y の開集合}$
を準開基として生成される $C (X, Y)$ の位相をコンパクト開位相と言う。

　ちなみにコンパクト開位相は $X$ が局所コンパクトハウスドルフであれば
$C (X, Y) \times X \to Y, (f, x) \mapsto f (x)$
という写像を連続とするような位相であって最弱なものとして特徴付けられるため、 $\hat{G}$ にこのような位相を考えるのは自然だと言えます。
　そしてこのような位相を入れたとき $\hat{G}$ は位相群となることが知られています。

　位相群 $G$ に対し、その指標群 $\hat{G}$ はコンパクト開位相に関してハウスドルフなアーベル群となる。

　特に $G$ が局所コンパクトであれば $\hat{G}$ も局所コンパクトとなり、したがって以下が成り立ちます。

　局所コンパクト群 $G$ に対し、その指標群 $\hat{G}$ は局所コンパクトアーベル群となる。

　となると $\hat{G}$ 上でも適当なハール測度 $ν$ を持ってきてフーリエ変換
$\hat{g} (ξ) = \int_{\hat{G}} g (χ) \overset{―}{ξ (χ)} d ν (ξ \in \hat{\hat{G}})$
を考えることができるわけですが、ここでこの二重双対群 $\hat{\hat{G}}$ は

局所コンパクトアーベル群である
自然な(連続)準同型 $G \to \hat{\hat{G}}, x \mapsto (χ \mapsto χ (x))$ がある

という点から $G$ とよく似た群となることが期待されます。
　そして実際 $G$ が局所コンパクトアーベル群であるとき $\hat{\hat{G}}$ は $G$ と同型になるという非常に興味深い事実：ポントリャーギン双対性が成り立ちます。なおこれまでは特に $G$ の可換性を仮定してきませんでしたが、ここからは $G$ が可換である必要があります。

ポントリャーギン双対性

　局所コンパクトアーベル群 $G$ に対し準同型
$G \to \hat{\hat{G}}, x \mapsto (χ \mapsto χ (x))$
は位相群の同型 $G ≃ \hat{\hat{G}}$ を与える。

　例えば上で紹介した $G = R, Z / N Z, Q_{p}$ の場合はその双対が自分自身と同型であり、また $Z$ と $R / Z$ 、 $Z_{p}$ と $Q_{p} / Z_{p}$ は互いに双対の関係にあったので、これらの群の二重双対は確かに自分自身と同型となっていることがわかります。

反転公式

　いまポントリャーギン双対性から $\hat{G}$ 上のフーリエ変換は $G$ 上の関数として
$\hat{g} (x) = \int_{\hat{G}} g (χ) \overset{―}{χ (x)} d ν$
と表せることになります。
　そして通常のフーリエ変換に関する結果からも期待されるように、 $\hat{G}$ 上のフーリエ変換は $G$ 上のフーリエ変換の逆変換を与えることになります。

反転公式

　局所コンパクトアーベル群 $G$ 上の関数 $f \in L^{1} (G)$ に対し、そのフーリエ変換
$\hat{f} (χ) = \int_{G} f (x) \overset{―}{χ (x)} d μ (x)$
も $\hat{f} \in L^{1} (\hat{G})$ を満たすとき、適当に正規化された $\hat{G}$ のハール測度 $ν$ に関して
$f (x) = \int_{\hat{G}} \hat{f} (χ) χ (x) d ν (χ)$
が成り立つ。
　またこれによって定まる測度 $ν$ のことを $μ$ の双対測度やプランシュレル測度と言うことがある。

　なお $G, \hat{G}$ のハール測度 $μ, ν$ を任意に持ってきただけだと、ある定数 $C > 0$ が存在して
$f (x) = C \int_{\hat{G}} \hat{f} (χ) χ (x) d ν$
が成り立つことまでしか言えないことに注意しましょう。
　さてこれによって例えば冒頭で紹介した $G = R, R / Z, Z / N Z, R^{n}$ におけるフーリエ変換の反転公式が出てくることになりますが、これらの例は既に散々紹介してきたのでここでは味変にメリン変換の反転公式でも導出してみましょう(双対測度の決定については特に触れません)。

メリン変換

　非負整数からなる乗法群 $R^{+}$ を考えたとき、同型
$R^{+} \to R, x \mapsto \log x$
があることに注意するとその指標群は
$\begin{aligned} \hat{R^{+}} & = {χ : x \mapsto e^{2 π i (\log x) y} ∣ y \in R} \\ = {χ : x \mapsto x^{s} ∣ s \in i R} \end{aligned}$
と求まり、また $R^{+}$ のハール測度は
$d μ = d (\log x) = \frac{d x}{x}$
と表せるので、 $R^{+}$ 上のフーリエ変換は
$\hat{f} (s) = \int_{0}^{\infty} f (x) x^{s} \frac{d x}{x} (s \in i R)$
と定まる。これを $f$ のメリン変換と言う。
　またその反転公式は
$f (x) = \int_{- i \infty}^{i \infty} \hat{f} (s) x^{s} \frac{d s}{2 π i}$
と求まる。

　本質的には通常のフーリエ変換に適当な変数変換を施しただけですが、このようにメリン変換もフーリエ変換そのものとして扱えるのは少し面白いのではないでしょうか。
　メリン変換の話題が出たついでに $Q_{p}$ 上のメリン変換についてもちょこっとだけ紹介しておきましょう。

おまけ

　乗法群 $Q_{p}^{\times}$ を考えたとき、 $p$ 進ノルム
$Q_{p}^{\times} \to R^{+}, x \mapsto | x |_{p} = p^{- v_{p} (x)}$
と $R^{+}$ の指標の合成によって得られる $Q_{p}$ の指標
$χ : Q_{p} \to T, x \mapsto | x |_{p}^{s} (s \in i R)$
におけるフーリエ変換は
$\hat{f} (χ) = \int_{Q_{p}^{\times}} f (x) | x |_{p}^{s} \frac{d μ}{| x |_{p}}$
と表せる(ただし $μ$ は加法群 $Q_{p}$ のハール測度とした)。
　なお
$Q_{p}^{\times} ≃ Z \times Z / (p - 1) Z \times Z_{p}$
という同型があるのでその指標群は
$\hat{Q_{p}} ≃ (R / Z) \times Z / (p - 1) Z \times (Q_{p} / Z_{p})$
という構造を持つことになる。

コンパクト-離散双対性

　一般に与えられたハール測度 $μ$ に対しその双対測度を明示的に求める公式のようなものは(自分が知る限り)なさそうですが、 $G$ がコンパクト群または離散群であるときはコンパクト-離散双対性と呼ばれる双対関係によって具体的な双対測度を与えることができます。

コンパクト-離散双対性

　コンパクト群 $G$ に対し $\hat{G}$ は離散群となり、離散群 $G$ に対し $\hat{G}$ はコンパクト群となる。

　例えば
$\begin{aligned} \hat{Z} & ≃ R / Z, & \hat{R / Z} & ≃ Z \\ \hat{Z_{p}} & ≃ Q_{p} / Z_{p}, & \hat{Q_{p} / Z_{p}} & ≃ Z_{p} \end{aligned}$
という双対関係において離散群 $Z, Q_{p} / Z_{p}$ とコンパクト群 $R / Z, Z_{p}$ が対応し合っていることがわかります。
　いまコンパクト群と離散群には次のようなハール測度が備わっていることに注意しましょう。

コンパクト群 $G$ とそのハール測度 $μ$ について、 $G$ のコンパクト性とハール測度の定義から $μ (G) < \infty$ が成り立つ。特に定数関数 $f (x) = 1$ に対し
$\int_{G} 1 d μ = μ (G) < \infty$
つまり $f \in L^{1} (G)$ が成り立つ。
離散群 $G$ のハール測度として数え上げ測度が取れる。特に $G$ 上の積分は和
$\int_{G} f (x) d μ = \sum_{x \in G} f (x)$
として表せる。

　そしてこれらのことから以下のように双対測度を求めることができます。

　コンパクトアーベル群 $G$ の $μ (G) = 1$ なるハール測度に対し、その双対測度は数え上げ測度となる。
　また離散アーベル群 $G$ の数え上げ測度に対し、その双対測度は $μ (G) = 1$ なるハール測度となる。

証明

　コンパクトアーベル群 $G$ に対し定数関数 $f = 1 \in L^{1} (G)$ のフーリエ変換は
$\hat{f} (χ) = {\begin{cases} 1 & (χ = χ_{0}) \\ 0 & (χ \neq χ_{0}) \end{cases}$
と求まる(ただし $χ_{0}$ は自明な指標とした)。実際 $χ = χ_{0}$ のときは
$\hat{f} (χ_{0}) = \int_{G} 1 d x = μ (G) = 1$
求まり、 $χ \neq χ_{0}$ のときは $χ (a) \neq 1$ なる $a \in G$ を取ると
$\overset{―}{χ (a)} \hat{f} (χ) = \int_{G} \overset{―}{χ (a x)} d x = \int_{G} \overset{―}{χ (x)} d x = \hat{f} (χ)$
が成り立つことから $\hat{f} (χ) = 0$ と求まる。
　したがって反転公式
$f (x) = χ_{0} (x) = \sum_{χ \in \hat{G}} \hat{f} (χ) χ (x)$
が成り立つので、数え上げ測度が双対測度となっていることがわかる。
　また $G$ が離散アーベル群であるときも同様に
$f (x) = {\begin{cases} 1 & (x = 1) \\ 0 & (x \neq 1) \end{cases}$
のフーリエ変換が
$\hat{f} (χ) = \sum_{x \in G} f (x) χ (x) = χ (1) = 1$
と求まることから
$f (x) = \int_{G} χ (x) d χ$
を得る。

　つまり以下の反転公式が成り立つというわけです。

　コンパクトアーベル群 $G$ に対しそのハール測度 $μ$ を任意に取り、 $G$ 上のフーリエ変換を
$\hat{f} (χ) = \frac{1}{μ (G)} \int_{G} f (x) \overset{―}{χ (x)} d μ$
によって定めると、その反転公式は
$f (x) = \sum_{χ \in G} \hat{f} (χ) χ (x)$
となる。

フーリエ級数展開

　コンパクト群 $R / T Z$ 上のフーリエ変換を
$\hat{f} (n) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (x) e^{- 2 π i n x / T} d x$
によって定めると、その反転公式は
$f (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \hat{f} (n) e^{2 π i n x / T}$
となる。

離散フーリエ変換

　有限アーベル群 $G$ 上のフーリエ変換を
$\hat{f} (χ) = \frac{1}{| G |} \sum_{x \in G} f (x) \overset{―}{χ (x)}$
によって定めると、その反転公式は
$f (x) = \sum_{χ \in \hat{G}} \hat{f} (χ) χ (x)$
となる。
　ちなみに有限アーベル群 $G$ に対しては同型 $G ≃ \hat{G}$ が成り立つことが知られている(詳しくはこちら )。

ローラン展開

　円周群 $T$ 上のフーリエ変換を
$\hat{f} (n) = \frac{1}{2 π i} \int_{| z | = 1} f (z) z^{- n} \frac{d z}{z}$
によって定めると、その反転公式は
$f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \hat{f} (n) z^{n}$
となる。

　これも通常のフーリエ級数展開に適当な変数変換を施しただけではありますが、複素関数のローラン展開がフーリエ変換の一種とみなせるのは、やはり面白いものがありますね。

おわりに

　以上が群上のフーリエ変換とその反転公式に関する概説でした。
　また次回・次々回の記事では群上のフーリエ変換の一般論・応用としてプランシュレルの定理とポアソン和公式について紹介していくので、そちらも併せてご覧ください。
　
　なおこの記事では説明の都合上あまり触れて来ませんでしたが、群上のフーリエ変換の構成には表現論やバナッハ環( $C^{*}$ -環)のスペクトル理論などの興味深い理論が関わっているようなので、いつかそこら辺の話もちゃんと読んでおきたいですね。
　またそこら辺の話に興味がある人は群上の調和解析とか抽象調和解析とかのワードで色々調べてみてはいかがでしょうか。