Rogers多項式の接続公式
$x:=\cos\theta$とする. Rogers多項式は
\begin{align}
C_n(x;a|q):=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}\frac{(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
によって定義される直交多項式である. 以下の接続公式が知られている.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
C_n(x;c|q)=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}\frac{b^k(c/b;q)_k(c;q)_{n-k}(1-bq^{n-2k})}{(q;q)_k(bq;q)_{n-k}(1-b)}C_{n-2k}(x;b|q)
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
で,
\begin{align}
C_n(x;a^2|q^2)&=\frac{(a^2;q)_n}{(q^2,a^2q;q^2)_n}p_n(x;a,-a,\sqrt q,-\sqrt q|q)
\end{align}
であることを示した.
Askey-Wilsonの接続公式
\begin{align}
p_n(x;\alpha,\beta,\gamma,d|q)&=\sum_{k=0}^nc_{k,n}p_k(x;a,b,c,d|q)\\
c_{k,n}&=\frac{(\alpha d,\beta d,\gamma d,q;q)_n(\alpha\beta\gamma dq^{n-1};q)_k}{(\alpha d,\beta d,\gamma d,q,abcdq^{k-1};q)_k(q;q)_{n-k}}q^{k^2-nk}d^{k-n}\Q54{q^{k-n},\alpha\beta\gamma dq^{n+k-1},adq^k,bdq^k,cdq^k}{abcdq^{2k},\alpha dq^k,\beta dq^k,\gamma dq^k}q
\end{align}
において, $\alpha,\beta,\gamma,a,b,c,d$を$c,-c,\sqrt q,b,-b,\sqrt q,-\sqrt q$として,
\begin{align}
p_n(x;c,-c,\sqrt q,-\sqrt q|q)&=\sum_{k=0}^nc_{k,n}p_k(x;b,-b,\sqrt q,-\sqrt q|q)\\
c_{k,n}&=\frac{(-c\sqrt q,c\sqrt q,-q,q;q)_n(c^2q^{n};q)_k}{(-c\sqrt q,c\sqrt q,-q,q,b^2q^{k};q)_k(q;q)_{n-k}}q^{k^2-nk}(-\sqrt q)^{k-n}\Q43{q^{k-n},c^2q^{n+k},-bq^{k+\frac 12},bq^{k+\frac 12}}{b^2q^{2k+1},-cq^{k+\frac 12},cq^{k+\frac 12}}q\\
&=\frac{(c^2q,q^2;q^2)_n(c^2q^{n};q)_k}{(c^2q,q^2;q^2)_k(b^2q^{k};q)_k(q;q)_{n-k}}q^{k^2-nk}(-\sqrt q)^{k-n}\Q43{q^{k-n},c^2q^{n+k},-bq^{k+\frac 12},bq^{k+\frac 12}}{b^2q^{2k+1},-cq^{k+\frac 12},cq^{k+\frac 12}}q\\
\end{align}
を得る. ここで,
Andrewsによるterminating $q$-Watsonの和公式
\begin{align}
\Q43{a,q^{-N},\sqrt c,-\sqrt c}{c,\sqrt{aq^{1-N}},-\sqrt{aq^{1-N}}}q&=\begin{cases}
\dfrac{(q,cq/a;q^2)_{N/2}}{(q/a,cq;q^2)_{N/2}}\qquad N:\mathrm{even}\\
0\qquad N:\mathrm{odd}
\end{cases}
\end{align}
より,
\begin{align}
&\Q43{q^{k-n},c^2q^{n+k},-bq^{k+\frac 12},bq^{k+\frac 12}}{b^2q^{2k+1},-cq^{k+\frac 12},cq^{k+\frac 12}}q\\
&=\begin{cases}
\dfrac{(q,b^2q^{k-n+2}/c^2;q^2)_{(n-k)/2}}{(q^{1-n-k}/c^2,b^2q^{2k+2};q^2)_{(n-k)/2}}\qquad n\equiv k\pmod 2\\
0\qquad \mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&p_n(x;c,-c,\sqrt q,-\sqrt q|q)\\
&=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}c_{n-2k,n}p_{n-2k}(x;b,-b,\sqrt q,-\sqrt q|q)\\
&=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}p_{n-2k}(x;b,-b,\sqrt q,-\sqrt q|q)\frac{(c^2q,q^2;q^2)_n(c^2q^{n};q)_{n-2k}}{(c^2q,q^2;q^2)_{n-2k}(b^2q^{n-2k};q)_{n-2k}(q;q)_{2k}}q^{-2k(n-2k)}(-\sqrt q)^{-2k}\\
&\qquad\cdot\frac{(q,b^2q^{2-2k}/c^2;q^2)_{k}}{(q^{1-2n+2k}/c^2,b^2q^{2n-4k+2};q^2)_{k}}\\
&=\frac{(c^2q,q^2;q^2)_n}{(c^2;q)_n}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}p_{n-2k}(x;b,-b,\sqrt q,-\sqrt q|q)\frac{(c^2;q)_{2n-2k}(b^2;q)_{n-2k}}{(c^2q,q^2;q^2)_{n-2k}(b^2;q)_{2n-4k}(q^2;q^2)_{k}}b^{2k}\\
&\qquad\cdot\frac{(b^2q^2;q^2)_{n-2k}(c^2/b^2;q^2)_{k}}{(c^2q^{2n-4k+1};q^2)_k(b^2q^2;q^2)_{n-k}}\\
&=\frac{(c^2q,q^2;q^2)_n}{(c^2;q)_n}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}p_{n-2k}(x;b,-b,\sqrt q,-\sqrt q|q)\frac{(c^2;q)_{2n-2k}(b^2;q)_{n-2k}}{(c^2q;q)_{n-k}(q^2,b^2,bq;q^2)_{n-2k}(q^2;q^2)_{k}}b^{2k}\\
&\qquad\cdot\frac{(b^2q^2;q^2)_{n-2k}(c^2/b^2;q^2)_{k}}{(b^2q^2;q^2)_{n-k}}\\
&=\frac{(c^2q,q^2;q^2)_n}{(c^2;q)_n}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}p_{n-2k}(x;b,-b,\sqrt q,-\sqrt q|q)\frac{1-b^2q^{2n-4k}}{1-b^2}\frac{(b^2;q)_{n-2k}(c^2/b^2;q^2)_{k}(c^2;q^2)_{n-k}}{(q^2,b^2q;q^2)_{n-2k}(q^2;q^2)_{k}(b^2q^2;q^2)_{n-k}}b^{2k}\\
&=\frac{(c^2q,q^2;q^2)_n}{(c^2;q)_n}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}C_{n-2k}(x;b^2|q^2)\frac{1-b^2q^{2n-4k}}{1-b^2}\frac{(c^2/b^2;q^2)_{k}(c^2;q^2)_{n-k}}{(q^2;q^2)_{k}(b^2q^2;q^2)_{n-k}}b^{2k}
\end{align}
となる. つまり,
\begin{align}
C_n(x;c^2|q^2)&=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}C_{n-2k}(x;b^2|q^2)\frac{1-b^2q^{2n-4k}}{1-b^2}\frac{(c^2/b^2;q^2)_{k}(c^2;q^2)_{n-k}}{(q^2;q^2)_{k}(b^2q^2;q^2)_{n-k}}b^{2k}
\end{align}
が得られる. $b^2,c^2,q^2$を$b,c,q$と置き換えて定理を得る.
Rogers多項式の直交性
より, 定理1は
\begin{align}
&\int_0^{\pi}C_n(x;c|q)C_{n-2k}(x;b|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(be^{2i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\
&=\frac{b^k(c/b;q)_k(c;q)_{n-k}(1-bq^{n-2k})}{(q;q)_k(bq;q)_{n-k}(1-b)}\frac{2\pi(b;q)_{\infty}^2}{(q,b^2;q)_{\infty}}\frac{(b^2;q)_{n-2k}}{(q;q)_{n-2k}(1-bq^{n-2k})}\\
&=\frac{2\pi(b;q)_{\infty}^2}{(q,b^2;q)_{\infty}}\frac{b^k(c/b;q)_k(c;q)_{n-k}}{(q;q)_k(b;q)_{n-k+1}}\frac{(b^2;q)_{n-2k}}{(q;q)_{n-2k}}
\end{align}
を得る. $n\mapsto n+2k$として,
\begin{align}
&\int_0^{\pi}C_{n+2k}(x;c|q)C_{n}(x;b|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(be^{2i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(b;q)_{\infty}^2}{(q,b^2;q)_{\infty}}\frac{b^k(c/b;q)_k(c;q)_{n+k}}{(q;q)_k(b;q)_{n+k+1}}\frac{(b^2;q)_{n}}{(q;q)_{n}}
\end{align}
となる. 被積分関数を
\begin{align}
C_{n+2k}(x;c|q)C_{n}(x;b|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(be^{2i\theta};q)_{\infty}}\right|^2&=\left|\frac{(ce^{2i\theta};q)_{\infty}}{(be^{2i\theta};q)_{\infty}}\right|^2C_{n}(x;b|q)\cdot C_{n+2k}(x;c|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ce^{2i\theta};q)_{\infty}}\right|^2
\end{align}
と書き換えるとこれは$\displaystyle \left|\frac{(ce^{2i\theta};q)_{\infty}}{(be^{2i\theta};q)_{\infty}}\right|^2C_{n}(x;b|q)$を$C_{n+2k}(x;c|q)$で展開したときの係数を与える公式になっている. つまり, 以下の展開が得られる.
$n$を非負整数とするとき,
\begin{align}
\left|\frac{(ce^{2i\theta};q)_{\infty}}{(be^{2i\theta};q)_{\infty}}\right|^2C_n(x;b|q)=\frac{(b;q)_{\infty}^2(c^2;q)_{\infty}}{(b^2;q)_{\infty}(c;q)_{\infty}^2}\frac{(b^2;q)_{n}}{(q;q)_{n}}\sum_{0\leq k}\frac{b^k(c/b;q)_k(c;q)_{n+k}(q;q)_{n+2k}}{(q;q)_k(b;q)_{n+k+1}(c^2;q)_{n+2k}}(1-cq^{n+2k})C_{n+2k}(x;c|q)
\end{align}
が成り立つ.
定義より, Rogers多項式はパラメーターが$q$のとき
\begin{align}
C_n(x;q|q)&=\sum_{k=0}^ne^{i(n-2k)\theta}\\
&=\frac{e^{i(n+1)\theta}-e^{-i(n+1)\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}\\
&=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}
\end{align}
を満たす. よって, 定理2において$c=q$とすると,
\begin{align}
\left|\frac{(e^{2i\theta}q;q)_{\infty}}{(be^{2i\theta};q)_{\infty}}\right|^2C_n(x;b|q)=\frac{(b;q)_{\infty}^2}{(b^2;q)_{\infty}(q;q)_{\infty}}\frac{(b^2;q)_{n}}{(q;q)_{n}}\sum_{0\leq k}\frac{b^k(q/b;q)_k(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(b;q)_{n+k+1}}\frac{\sin(n+2k+1)\theta}{\sin\theta}
\end{align}
となる. 整理すると
\begin{align}
C_n(x;b|q)&=\frac{4\sin\theta(be^{2i\theta},be^{-2i\theta},b,bq;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},b^2,q;q)_{\infty}}\frac{(b^2;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{b^k(q/b;q)_k(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(bq;q)_{n+k+1}}\sin(n+2k+1)\theta
\end{align}
を得る. これは
前の記事
で示したFourier級数展開である.
