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基本群のはなし

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ホモトピー

位相空間$X$とその部分集合$A_{0},A_{1} \subset X$との組$(X,A_{0},A_{1})$を位相空間の3つ組という．また，
\begin{align} (X,a_{0},a_{1}) &:= (X,\{a_{0}\},\{a_{1}\})\\ (X,A) &:= (X,A,\varnothing) \end{align}
とおく．
連続写像$f \colon X \to Y$が$f^{\rightarrow}(A_{i}) \subset B_{i}$を満たすとき，
$$ f \colon (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1})$$
と書く．

$(X,A_{0},A_{1}),(Y,B_{0},B_{1})$を位相空間の3つ組，$X' \subset X$とし，$f_{0},f_{1} \colon (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1})$を連続写像であって$f_{0}|X' = f_{1}|X'$を満たすものとする．連続写像$H \colon [0,1] \times (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1})$であって
$$ \forall x \in X,\ H(0,x) = f_{0}(x),\ H(1,x) = f_{1}(x),$$
および
$$ \forall (s,x') \in [0,1] \times X',\ H(s,x') = f_{0}(x')\ (\,=f_{1}(x')\,)$$
を満たすものを，$f_{0}$から$f_{1}$へのホモトピーといい，$H \colon f_{0} \simeq_{X'} f_{1}$で表わす．$f_{0}$から$f_{1}$へのホモトピーが存在するとき，$f_{0}$と$f_{1}$とはホモトピックであるといい，$f_{0} \simeq_{X'} f_{1}$で表わす．$X' = \varnothing$のときは，単に$f_{0} \simeq f_{1}$と書く．

ホモトピー$H \colon [0,1] \times (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1})$から定まる写像
$$ h_{\bullet} \colon [0,1] \to (Y,B_{0},B_{1})^{(X,A_{0},A_{1})};\ s \mapsto h_{s} := [x \mapsto H(s,x)]$$
は連続である．一方，$X$が微局所コンパクトであるとき，写像$h_{\bullet} \colon [0,1] \to (Y,B_{0},B_{1})^{(X,A_{0},A_{1})}$が連続ならば，
$$ H \colon [0,1] \times (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1});\ (s,x) \mapsto h_{s}(x)$$
も連続である（cf. currying）．

$\simeq_{X'}$は$(Y,B_{0},B_{1})^{(X,A_{0},A_{1})}$上の同値関係である．

$f \colon (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1})$に対して，連続写像$H \colon [0,1] \times (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1})$を
$$ H(s,x) := f(x)$$
で定めると，$H \colon f \simeq_{X'} f$が成り立つ．
$H \colon f \simeq_{X'} g$とする．このとき，連続写像$H' \colon [0,1] \times (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1})$を
$$ H'(s,x) := H(1-s,x)$$
で定めると，$H' \colon g \simeq_{X'} f$が成り立つ．
$H \colon f \simeq_{X'} g,\,H' \colon g \simeq_{X'} h$とする．このとき，写像$H'' \colon [0,1] \times (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1})$を
$$ H''(s,x) := \begin{cases} H(2s,x) &, s \in [0,\tfrac{1}{2}]\\ H'(2s-1,x) &, s \in [\tfrac{1}{2},1] \end{cases}$$
で定めると，
$$ H(1,x) = g(x) = H'(0,x)$$
より，$H''$は連続であり，
$$ H''(0,x) = f(x),\ H''(1,x) = h(x),\ H''(s,x') = f(x')$$
が成り立つ．よって$H'' \colon f \simeq_{X'} h$を得る．

連続写像$f \in (Y,B_{0},B_{1})^{(X,A_{0},A_{1})}$の同値類を$f$のホモトピー類といい，$[f]_{X'}$で表わす．$X' = \varnothing$のときは，単に$[f]$と書く．また，同値関係$\simeq_{X'}$による商集合をホモトピー集合といい，$[X,A_{0},A_{1};Y,B_{0},B_{1}]_{X'}$で表わす：
$$ [X,A_{0},A_{1};Y,B_{0},B_{1}]_{X'} := (Y,B_{0},B_{1})^{(X,A_{0},A_{1})}/{\simeq_{X'}}$$

$(X,A_{0},A_{1}),(Y,B_{0},B_{1}),(Z,C_{0},C_{1})$を位相空間の3つ組とし，$X' \subset X, Y' \subset Y$とする．また，連続写像$f_{i} \colon (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1}), g_{i} \colon (Y,B_{0},B_{1}) \to (Z,C_{0},C_{1}), i \in \{0,1\},$が
$$ f_{0}|X' = f_{1}|X',\ g_{0}|Y' = g_{1}|Y',\ f_{0}^{\rightarrow}(X') \subset Y'$$
を満たしているとする．このとき
$$ f_{0} \simeq_{X'} f_{1},\ g_{0} \simeq_{Y'} g_{1} \implies g_{0} \circ f_{0} \simeq_{X'} g_{1} \circ f_{1}$$
が成り立つ．
$$ \xymatrix{ {X} \ar@/^1pc/[r]^{f_{0}} \ar@/_1pc/[r]_{f_{1}} & {Y} \ar@/^1pc/[r]^{g_{0}} \ar@/_1pc/[r]_{g_{1}} & {Z} }$$

したがって，ホモトピー類の合成
$$ [X,A_{0},A_{1};Y,B_{0},B_{1}]_{X'} \times [Y,B_{0},B_{1};Z,C_{0},C_{1}]_{Y'} \to [X,A_{0},A_{1};Z,C_{0},C_{1}]_{X'};\ ([f]_{X'},[g]_{Y'}) \mapsto [g \circ f]_{X'} =: [g]_{Y'} \circ [f]_{X'}$$
が定まる．

$H \colon f_{0} \simeq_{X'} f_{1},\,H' \colon g_{0} \simeq_{Y'} g_{1}$とする．このとき，写像$H'' \colon [0,1] \times (X,A_{0},A_{1}) \to (Z,C_{0},C_{1})$を
$$ H''(s,x) := \begin{cases} g_{0}(H(2s,x)) &, s \in [0,\tfrac{1}{2}]\\ H'(2s-1,f_{1}(x)) &, s \in [\tfrac{1}{2},1] \end{cases}$$
で定めると，
$$ g_{0}(H(1,x)) = g_{0}(f_{1}(x)) = H'(0,f_{1}(x))$$
より，$H''$は連続であり，
\begin{align} H''(0,x) &= g_{0}(H(0,x)) = g_{0}(f_{0}(x));\\ H''(1,x) &= H'(1,f_{1}(x)) = g_{1}(f_{1}(x));\\ H''(s,x') &= g_{0}(f_{0}(x')); \end{align}
が成り立つので，$H'' \colon g_{0} \circ f_{0} \simeq_{X'} g_{1} \circ f_{1}$を得る．

適切な仮定の下で
\begin{align} [h]_{Z'} \circ ([g]_{Y'} \circ [f]_{X'}) &= [h]_{Z'} \circ [g \circ f]_{X'}\\ &= [h \circ (g \circ f)]_{X'}\\ &= [(h \circ g) \circ f]_{X'}\\ &= [h \circ g]_{Y'} \circ [f]_{X'}\\ &= ([h]_{Z'} \circ [g]_{Y'}) \circ [f]_{X'} \end{align}
が成り立つ．

連続写像$f \colon (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1})$に対して，ホモトピー集合の間の写像
$$ f^{*} \colon [Y,B_{0},B_{1};Z,C_{0},C_{1}]_{Y'} \to [X,A_{0},A_{1};Z,C_{0},C_{1}]_{X'};\ [h]_{Y'} \mapsto [h \circ f]_{X'}$$
が定まる．
1. $f \simeq_{X'} g$ならば，$f^{*} = g^{*}$である．
2. $(f\circ g)^{*} = g^{*}\circ f^{*}$および$\id^{*} = \id$が成り立つ．
連続写像$f \colon (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1})$に対して，ホモトピー集合の間の写像
$$ f_{*} \colon [Z,C_{0},C_{1};X,A_{0},A_{1}]_{Z'} \to [Z,C_{0},C_{1};Y,B_{0},B_{1}]_{Z'};\ [h]_{Z'} \mapsto [f \circ h]_{Z'}$$
が定まる．
1. $f \simeq_{X'} g$ならば，$f_{*} = g_{*}$である．
2. $(f\circ g)_{*} = f_{*} \circ g_{*}$および$\id_{*} = \id$が成り立つ．
連続写像$f \colon (X,A_{0},A_{1}) \to (Y,B_{0},B_{1})$がホモトピー同値写像である，すなわち連続写像$g \colon (Y,B_{0},B_{1}) \to (X,A_{0},A_{1})$であって$g \circ f \simeq_{X'} \id_{X}, f \circ g \simeq_{Y'} \id_{Y}$を満たすものが存在するならば，$f^{*}$と$g^{*}$と（resp. $f_{*}$と$g_{*}$と）は互いの逆写像である．たとえば同相写像はホモトピー同値写像である．

$z_{0} \in \mathbb{S}^{n}$とし，$f_{0} \colon \mathbb{S}^{n} \to X$を連続写像とする．このとき次は同値である：

$\exists\, x_{0} \in X,\ [f_{0}]_{\{z_{0}\}} = [\mathrm{const}_{x_{0}}]_{\{z_{0}\}}$;
$\exists\, x_{0}\in X,\ [f_{0}] = [\mathrm{const}_{x_{0}}]$;
$\exists\, f \colon \mathbb{D}^{n+1} \to X,\ f|\mathbb{S}^{n} = f_{0}$.

(i)$\implies$(ii)

明らか．

(ii)$\implies$(iii)

仮定より，連続写像$H \colon [0,1] \times \mathbb{S}^{n} \to X$であって$H \colon f_{0} \simeq \mathrm{const}_{x_{0}}$なるものが存在する．このとき，連続写像$H' \colon [0,1] \times \mathbb{S}^{n} \to \mathbb{D}^{n+1}$を
$$ H'(s,z) := (1-s)z$$
で定めると，$\mathbb{S}^{n}$の錐$C\mathbb{S}^{n}$を介して，連続写像$f \colon \mathbb{D}^{n+1} \to X$が定まり，$f|\mathbb{S}^{n} = f_{0}$が成り立つ：
$$ \xymatrix{ &{[0,1] \times \mathbb{S}^{n}} \ar[dl]_{H'} \ar[d]_{\text{quoti.}} \ar[dr]^{H}&\\ {f \,\colon\, \mathbb{D}^{n+1}} & {C\mathbb{S}^{n}} \ar@{.>}[l]^{\qquad\approx} \ar@{.>}[r] & {X}\\ }$$

(iii)$\implies$(i)

$x_{0} := f_{0}(z_{0}) \in X$とおく．連続写像$H \colon [0,1] \times \mathbb{S}^{n} \to X$を
$$ H(s,z) := f((1-s)z+sz_{0})$$
で定めると，
\begin{align} H(0,z) &= f(z) = f_{0}(z);\\ H(1,z) &= f(z_{0}) = f_{0}(z_{0}) = x_{0} = \mathrm{const}_{x_{0}}(z);\\ H(s,z_{0}) &= f(z_{0}) = f_{0}(z_{0}); \end{align}
が成り立つ．よって$[f_{0}]_{\{z_{0}\}} = [\mathrm{const}_{x_{0}}]_{\{z_{0}\}}$を得る．

基本亜群

$X$を位相空間とする．任意の2点$x_{0},x_{1} \in X$に対して，写像空間
$$ \Omega(X;x_{0},x_{1}) := (X,x_{0},x_{1})^{(\mathbb{I},0,1)}$$
の元を（$x_{0}$から$x_{1}$への）経路という．ただし$\mathbb{I} := [0,1]$である．また，経路$\omega \in \Omega(X;x_{0},x_{1})$に対して，
$$ \omega^{-1} \colon \mathbb{I} \to X;\ t \mapsto \omega(1-t)$$
で定まる経路$\omega^{-1} \in \Omega(X;x_{1},x_{0})$を，$\omega$の逆路という．

$X$を位相空間とし，$x_{0},x_{1},x_{2} \in X$とする．経路$\omega \in \Omega(X;x_{0},x_{1}), \omega' \in \Omega(X;x_{1},x_{2})$に対して，写像$\omega'' \colon \mathbb{I} \to X$を
$$ \omega''(t) := \begin{cases} \omega(2t) &, t \in [0,\tfrac{1}{2}]\\ \omega'(2t-1) &, t \in [\tfrac{1}{2},1] \end{cases}$$
で定めると，
$$ \omega(1) = x_{1} = \omega'(0)$$
より$\omega''$は連続写像であり，
$$ \omega''(0) = \omega(0) = x_{0},\ \omega''(1) = \omega'(1) = x_{2}$$
が成り立つので，$\omega'' \in \Omega(X;x_{0},x_{2})$となる．$\omega''$を，$\omega$と$\omega'$の結合路といい，$\omega \bullet \omega'$で表わす．

位相空間$X$の任意の2点$x_{0},x_{1} \in X$に対して，
$$ \Pi(X;x_{0},x_{1}) := [\mathbb{I},0,1;X,x_{0},x_{1}]_{\{0,1\}} = \Omega(X;x_{0},x_{1})/{\simeq_{\{0,1\}}}$$
とおく．以下，経路$\omega \in \Omega(X;x_{0},x_{1})$のホモトピー類を$[\omega]_{\ast}$で表わす．

$X$を位相空間とし，$x_{0},x_{1},x_{2} \in X$とする．このとき，任意の$[\omega_{0}]_{\ast},[\omega_{1}]_{\ast} \in \Pi(X;x_{0},x_{1}), [\omega'_{0}]_{\ast},[\omega'_{1}]_{\ast} \in \Pi(X;x_{1},x_{2})$に対して，
$$ [\omega_{0}]_{\ast} = [\omega_{1}]_{\ast},\ [\omega'_{0}]_{\ast} = [\omega'_{1}]_{\ast} \implies [\omega_{0} \bullet \omega'_{0}]_{\ast} = [\omega_{1} \bullet \omega'_{1}]_{\ast}$$
が成り立つ．
$$ \xymatrix{ {x_{0}} \ar@{~>}@/^0.5pc/[r]^{\omega_{0}} \ar@{~>}@/_0.5pc/[r]_{\omega_{1}} \ar@{~>}@/^2.5pc/[rr]^{\omega_{0}\bullet\omega'_{0}} \ar@{~>}@/_2.5pc/[rr]_{\omega_{1}\bullet\omega'_{1}} & {x_{1}} \ar@{~>}@/^0.5pc/[r]^{\omega'_{0}} \ar@{~>}@/_0.5pc/[r]_{\omega'_{1}} & {x_{2}} }$$
したがって，経路のホモトピー類の“積”
$$ \Pi(X;x_{0},x_{1}) \times \Pi(X;x_{1},x_{2}) \to \Pi(X;x_{0},x_{2});\ ([\omega]_{\ast},[\omega']_{\ast}) \mapsto [\omega \bullet \omega']_{\ast} =: [\omega]_{\ast} \star [\omega']_{\ast}$$
が定まる．

$H \colon \omega_{0} \simeq_{\{0,1\}} \omega_{1},\, H' \colon \omega'_{0} \simeq_{\{0,1\}} \omega'_{1}$とする．このとき，写像$H'' \colon [0,1] \times \mathbb{I} \to X$を
$$ H''(s,t) := \begin{cases} H(s,2t) &, t \in [0,\tfrac{1}{2}]\\ H'(s,2t-1) &, t \in [\tfrac{1}{2},1] \end{cases}$$
で定めると，
$$ H(s,1) = \omega_{0}(1) = x_{1} = \omega'_{0}(0) = H'(s,0)$$
より$H''$は連続であり，
\begin{align} H''(0,t) &= \begin{cases} \omega_{0}(2t) &, t \in [0,\tfrac{1}{2}]\\ \omega'_{0}(2t-1) &, t \in [\tfrac{1}{2},1] \end{cases}\ = (\omega_{0} \bullet \omega'_{0})(t);\\ H''(1,t) &= \begin{cases} \omega_{1}(2t) &, t \in [0,\tfrac{1}{2}]\\ \omega'_{1}(2t-1) &, t \in [\tfrac{1}{2},1] \end{cases}\ = (\omega_{1} \bullet \omega'_{1})(t);\\ H''(s,0) &= H(s,0) = \omega_{0}(0) = (\omega_{0}\bullet\omega'_{0})(0);\\ H''(s,1) &= H'(s,1) = \omega'_{0}(1) = (\omega_{0}\bullet\omega'_{0})(1); \end{align}
が成り立つので，$H'' \colon \omega_{0} \bullet \omega'_{0} \simeq_{\{0,1\}} \omega_{1} \bullet \omega'_{1}$を得る．

位相空間$X$上の同値関係
$$ x \sim x' :\iff \Pi(X;x,x') \neq \varnothing$$
による$x \in X$の同値類を$X$における$x$の弧状連結成分という．
$$ \Pi(X;x,x') \neq \varnothing \iff \Omega(X;x,x') \neq \varnothing$$
より，弧状連結成分は極大な弧状連結集合であることがわかる．

経路のホモトピー類の積について，次が成り立つ：

$[\omega]_{\ast} \star ([\omega']_{\ast} \star [\omega'']_{\ast}) = ([\omega]_{\ast} \star [\omega']_{\ast}) \star [\omega'']_{\ast}$;
1. $[\omega]_{\ast} \star [\const{\omega(1)}]_{\ast} = [\omega]_{\ast}$;
2. $[\const{\omega(0)}]_{\ast} \star [\omega]_{\ast} = [\omega]_{\ast}$;
1. $[\omega]_{\ast} \star [\omega^{-1}]_{\ast} = [\const{\omega(0)}]_{\ast}$;
2. $[\omega^{-1}]_{\ast} \star [\omega]_{\ast} = [\const{\omega(1)}]_{\ast}$.

連続写像$H \colon [0,1] \times \mathbb{I} \to X$を
$$ H(s,t) := \begin{cases} \omega\left(\frac{4t}{2-s}\right) &, 0 \leq t \leq \frac{2-s}{4}\\ \omega'(4t-2+s) &, \frac{2-s}{4} \leq t \leq \frac{3-s}{4}\\ \omega''\left(\frac{4t-3+s}{s+1}\right) &, \frac{3-s}{4} \leq t \leq 1 \end{cases}$$
で定める．
$$ \xymatrix{ {}\ar@{-}[rrrr] &&&& {} \\ {}\ar[u]^{\omega''} \ar@{-}[rrrrd] &&&& {} \\ {}\ar[u]^{\omega'} \ar@{-}[rrrrd] &&&& {}\ar[uu]_{\omega''} \\ {} &&&& {} \ar[u]_{\omega'} \\ {}\ar@{-}[rrrr] \ar[uu]^{\omega} &&&& {} \ar[u]_{\omega} }$$
このとき，
\begin{align} H(0,t) &= \begin{cases} \omega(2t) &, 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ \omega'(2(2t-1)) &, \frac{1}{2} \leq t \leq \frac{3}{4}\\ \omega''(2(2t-1)-1) &, \frac{3}{4} \leq t \leq 1 \end{cases}\ = (\omega \bullet (\omega'\bullet\omega''))(t);\\ H(1,t) &= \begin{cases} \omega(2 \cdot 2t) &, 0 \leq t \leq \frac{1}{4}\\ \omega'(2\cdot 2t -1) &, \frac{1}{4} \leq t \leq \frac{1}{2}\\ \omega''(2t-1) &, \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}\ = ((\omega\bullet\omega')\bullet\omega'')(t);\\ H(s,0) &= \omega(0) = (\omega \bullet (\omega'\bullet\omega''))(0);\\ H(s,1) &= \omega''(1) = (\omega \bullet (\omega'\bullet\omega''))(1); \end{align}
となるので，
$$ H \colon \omega \bullet (\omega'\bullet\omega'') \simeq_{\{0,1\}} (\omega\bullet\omega')\bullet\omega''$$
が成り立つ．
1. 連続写像$H \colon [0,1] \times \mathbb{I} \to X$を
  $$ H(s,t) := \begin{cases} \omega\left(\frac{2t}{s+1}\right) &, 0 \leq t \leq \frac{s+1}{2}\\ \omega(1) &, \frac{s+1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}$$
  で定めると，
  \begin{align} H(0,t) &= \begin{cases} \omega(2t) &, 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ \omega(1) &, \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}\ = (\omega\bullet\const{\omega(1)})(t);\\ H(1,t) &= \omega(t);\\ H(s,0) &= \omega(0) = (\omega\bullet\const{\omega(1)})(0);\\ H(s,1) &= \omega(1) = (\omega\bullet\const{\omega(1)})(1); \end{align}
  となるので，
  $$ H \colon \omega\bullet\const{\omega(1)} \simeq_{\{0,1\}} \omega$$
  が成り立つ．
  $$ \xymatrix{ {}\ar@{-}[rr] && {}\\ {}\ar[u]^{\const{\omega(1)}} \ar@{-}[rru] && {} \\ {}\ar@{-}[rr] \ar[u]^{\omega} && \ar[uu]_{\omega} }$$
2. 連続写像$H \colon [0,1] \times \mathbb{I} \to X$を
  $$ H(s,t) := \begin{cases} \omega(0) &, 0 \leq t \leq \frac{1-s}{2}\\ \omega\left(\frac{2t+s-1}{s+1}\right) &, \frac{1-s}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}$$
  で定めると，$H \colon \const{\omega(0)}\bullet\omega \simeq_{\{0,1\}} \omega$が成り立つ．
1. 連続写像$H \colon [0,1] \times \mathbb{I} \to X$を
  $$ H(s,t) := \begin{cases} \omega(0) &, 0 \leq t \leq \frac{s}{2}\\ \omega(2t-s) &, \frac{s}{2} \leq t \leq \frac{1}{2}\\ \omega^{-1}(2t-1+s) &, \frac{1}{2} \leq t \leq \frac{2-s}{2}\\ \omega(0) &, \frac{2-s}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}$$
  で定めると，
  \begin{align} H(0,t) &= \begin{cases} \omega(2t) &, 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ \omega^{-1}(2t-1) &, \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}\ = (\omega\bullet\omega^{-1})(t);\\ H(1,t) &= \omega(0);\\ H(s,0) &= \omega(0) = (\omega\bullet\omega^{-1})(0);\\ H(s,1) &= \omega(0) = \omega^{-1}(1) = (\omega\bullet\omega^{-1})(1); \end{align}
  となるので，
  $$ H \colon \omega\bullet\omega^{-1} \simeq_{\{0,1\}} \const{\omega(0)}$$
  が成り立つ．
  $$ \xymatrix{ {}\ar@{-}[rr] \ar@{-}[rrd] && \\ {}\ar@{-}[rr] \ar[u]^{\omega^{-1}} && {} \\ {}\ar@{-}[rr]\ar@{-}[rru] \ar[u]^{\omega} && {}\ar[uu]_{\const{\omega(0)}} }$$
2. 連続写像$H \colon [0,1] \times \mathbb{I} \to X$を
  $$ H(s,t) := \begin{cases} \omega(1) &, 0 \leq t \leq \frac{s}{2}\\ \omega^{-1}(2t-s) &, \frac{s}{2} \leq t \leq \frac{1}{2}\\ \omega(2t-1+s) &, \frac{1}{2} \leq t \leq \frac{2-s}{2}\\ \omega(1) &, \frac{2-s}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}$$
  で定めると，$H \colon \omega^{-1}\bullet\omega \simeq_{\{0,1\}} \const{\omega(1)}$が成り立つ．

$X,Y$を位相空間，$x_{0},x_{1} \in X$とし，$f \colon X \to Y$を連続写像とする．このとき，任意の$\omega_{0},\omega_{1} \in \Omega(X;x_{0},x_{1})$に対して
$$ H \colon \omega_{0} \simeq_{\{0,1\}} \omega_{1} \implies f \circ H \colon f \circ \omega_{0} \simeq_{\{0,1\}} f \circ \omega_{1}$$
が成り立つので，写像$f_{\ast} \colon \Pi(X;x_{0},x_{1}) \to \Pi(Y;fx_{0},fx_{1})$が
$$ f_{\ast}([\omega]_{\ast}) := [f\circ\omega]_{\ast}$$
により定まる（cf. hmtpy-compo）．明らかに
$$ (g\circ f)_{\ast} = g_{\ast} \circ f_{\ast},\ (\id_{X})_{\ast} = \id_{\Pi(X;x_{0},x_{1})}$$
が成り立つ（cf. induced-map）．

$X,Y$を位相空間，$x_{0},x_{1},x_{2} \in X$とし，$f \colon X \to Y$を連続写像とする．このとき以下の図式は可換である：
$$ \xymatrix{ {\Pi(X;x_{0},x_{1}) \times \Pi(X;x_{1},x_{2})} \ar[rr]^{\qquad\quad\star} \ar[dd]_{f_{\ast} \times f_{\ast}} && {\Pi(X;x_{0},x_{2})} \ar[dd]^{f_{\ast}}\\ \\ {\Pi(Y;fx_{0},fx_{1}) \times \Pi(Y;fx_{1},fx_{2})} \ar[rr]_{\qquad\quad\star} && {\Pi(Y;fx_{0},fx_{2})} }$$

$([\omega]_{\ast},[\omega']_{\ast}) \in \Pi(X;x_{0},x_{1}) \times \Pi(X;x_{1},x_{2})$とする．このとき，
$$ (f\circ(\omega\bullet\omega'))(t) = \begin{cases} f(\omega(2t)) &, 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ f(\omega'(2t-1)) &, \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}\ = ((f\circ\omega)\bullet(f\circ\omega'))(t)$$
より，
\begin{align} f_{\ast}([\omega]_{\ast}\star[\omega']_{\ast}) &= f_{\ast}[\omega\bullet\omega']_{\ast}\\ &= [f\circ(\omega\bullet\omega')]_{\ast}\\ &= [(f\circ\omega)\bullet(f\circ\omega')]_{\ast}\\ &= [f\circ\omega]_{\ast}\star[f\circ\omega']_{\ast}\\ &= (f_{\ast}[\omega]_{\ast}) \star (f_{\ast}[\omega']_{\ast}) \end{align}
が成り立つ．

基本群

$X$を位相空間とし$x_{0}\in X$とする．このとき，groupoidより，ホモトピー集合$\Pi(X;x_{0},x_{0})$は経路のホモトピー類の積$\star$により群をなす．これを$x_{0}$を基点とする$X$の基本群といい，$\pi_{1}(X,x_{0})$で表わす．

ind-map-homより，連続写像$f \colon (X,x_{0}) \to (Y,y_{0})$に対して，誘導写像
$$ f_{\ast} \colon \pi_{1}(X,x_{0}) \to \pi_{1}(Y,y_{0})$$
は群準同型である．さらに，$f$がホモトピー同値写像ならば，$f_{\ast}$は群同型である（cf. induced-map）．

$X$を位相空間とし，$x_{0},x_{1} \in X$とする．このとき，各$[\gamma]_{\ast} \in \Pi(X;x_{0},x_{1})$に対して，群同型$\pi_{1}(X,x_{0}) \to \pi_{1}(X,x_{1})$が
$$ [\omega]_{\ast} \mapsto [\gamma^{-1}\bullet\omega\bullet\gamma]_{\ast} =: [\omega]_{\ast} \cdot [\gamma]_{\ast}$$
により定まる．また，任意の$[\gamma]_{\ast},[\gamma']_{\ast} \in \Pi(X;x_{0},x_{1})$に対して，以下の図式は可換である：
$$ \xymatrix{ {\pi_{1}(X,x_{0})} \ar@{=}[d] \ar[r]^{\cdot [\gamma]_{\ast}} & {\pi_{1}(X,x_{1})} \ar[d]^{\cdot[\gamma^{-1}\bullet\gamma']_{\ast}} \\ {\pi_{1}(X,x_{0})} \ar[r]_{\cdot[\gamma']_{\ast}} & {\pi_{1}(X,x_{1})} }$$

写像
$$ \pi_{1}(X,x_{0}) \to \pi_{1}(X,x_{1});\ [\omega]_{\ast} \mapsto [\omega]_{\ast} \cdot [\gamma]_{\ast}$$
が群同型であることは明らか．また，$[\gamma]_{\ast},[\gamma']_{\ast} \in \Pi(X;x_{0},x_{1})$とすると，任意の$[\omega]_{\ast} \in \pi_{1}(X,x_{0})$に対して，
\begin{align} [\omega]_{\ast} \cdot [\gamma']_{\ast} &= [\gamma'^{-1}\bullet\omega\bullet\gamma']_{\ast}\\ &= [\gamma'^{-1}\bullet\gamma]_{\ast} \star [\gamma^{-1}\bullet\omega\bullet\gamma]_{\ast} \star[\gamma^{-1}\bullet\gamma']_{\ast}\\ &= [\gamma^{-1}\bullet\gamma']_{\ast}^{-1}\star([\omega]_{\ast}\cdot[\gamma]_{\ast})\star[\gamma^{-1}\bullet\gamma']_{\ast}\\ &= ([\omega]_{\ast} \cdot [\gamma]_{\ast}) \cdot [\gamma^{-1}\bullet\gamma']_{\ast} \end{align}
が成り立つ．

弧状連結空間$X$の基本群の同型類は基点の取り方に依らない．そこで基点を省略して単に$\pi_{1}(X)$と書くことがある．

弧状連結空間$X$が単連結であるためには，ある1点（したがってすべての点）における基本群が自明であることが必要かつ十分である．

商写像$q \colon (\mathbb{I},0,1) \to (\mathbb{S}^{1},z_{0},z_{0})$が，ホモトピー集合の間の全単射
$$ q^{*} \colon [\mathbb{S}^{1},z_{0};X,x_{0}]_{\{z_{0}\}} \to \pi_{1}(X,x_{0});\ [\bar{\omega}]_{\{z_{0}\}} \to [\bar{\omega}\circ q]_{\ast}$$
を誘導することを示せば十分である（cf. induced-map，null-ext）．

任意の経路$\omega \in \Omega(X;x_{0})$に対して，連続写像$\bar{\omega} \colon (\mathbb{S}^{1},z_{0}) \to (X,x_{0})$であって$\bar{\omega} \circ q = \omega$を満たすものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {\mathbb{I}} \ar[rr]^{\omega} \ar[d]_{q} && {X}\\ {\mathbb{S}^{1}} \ar@{.>}[urr]_{\bar{\omega}} }$$
このとき$q^{*}([\bar{\omega}]_{\{z_{0}\}}) = [\omega]_{\ast}$であるから，$q^{*}$は全射である．
つぎに単射性を示す．そこで
$$ q^{*}([\bar{\omega}_{0}]_{\{z_{0}\}}) = q^{*}([\bar{\omega}_{1}]_{\{z_{0}\}})$$
とし，$H \colon \omega_{0}:= \bar{\omega}_{0}\circ q \simeq_{\{0,1\}} \bar{\omega}_{1} \circ q =: \omega_{1}$とする．任意の$s,t,t' \in [0,1]$に対して
$$ q(t) = q(t') \implies H(s,t) = H(s,t')$$
が成り立つので，whiteheadより，連続写像$\bar{H} \colon [0,1] \times \mathbb{S}^{1} \to X$であって$\bar{H} \circ (\id_{[0,1]} \times q) = H$を満たすものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {[0,1] \times \mathbb{I}} \ar[rr]^{\quad H} \ar[d]_{\id_{[0,1]}\times q} && {X}\\ {[0,1] \times \mathbb{S}^{1}} \ar@{.>}[urr]_{\bar{H}} }$$
このとき
\begin{align} \bar{H}(0,q(t)) &= H(0,t) = \omega_{0}(t) = \bar{\omega}_{0}(q(t));\\ \bar{H}(1,q(t)) &= H(1,t) = \omega_{1}(t) = \bar{\omega}_{1}(q(t));\\ \bar{H}(s,z_{0}) &= H(s,0) = \omega_{0}(0) = x_{0} = \bar{\omega}_{0}(z_{0}); \end{align}
が成り立つので，$\bar{H} \colon \bar{\omega}_{0} \simeq_{\{z_{0}\}} \bar{\omega}_{1}$を得る．よって$q^{*}$は単射である．

弧状連結位相群$G$の基本群$\pi_{1}(G,e)$は可換群である．

( Eckmann–Hilton Argument )

位相群$G$の積を$\mu \colon G \times G \to G$とおくと，写像
$$ \mu_{\ast} \colon \pi_{1}(G,e) \times \pi_{1}(G,e) \to \pi_{1}(G,e);\ ([\omega]_{\ast},[\omega']_{\ast}) \mapsto [\mu \circ (\omega,\omega')]_{\ast}$$
が誘導される．実際，$H\colon \omega_{0} \simeq_{\{0,1\}} \omega_{1}, H' \colon \omega'_{0} \simeq_{\{0,1\}} \omega'_{1}$とすると，連続写像
$$ H'' \colon [0,1] \times \mathbb{I} \to G;\ (s,t) \mapsto \mu(H(s,t),H'(s,t))$$
により$\mu \circ (\omega_{0},\omega'_{0}) \simeq_{\{0,1\}} \mu \circ (\omega_{1},\omega'_{1})$が成り立つ．さらに
\begin{align} \mu_{\ast}([\omega_{0}]_{\ast}\star[\omega_{1}]_{\ast},[\omega'_{0}]_{\ast}\star[\omega'_{1}]_{\ast}) &= \mu_{\ast}([\omega_{0}\bullet\omega_{1}]_{\ast},[\omega'_{0}\bullet\omega'_{1}]_{\ast})\\ &= [\mu \circ (\omega_{0}\bullet\omega_{1},\omega'_{0}\bullet\omega'_{1})]_{\ast}\\ &= [(\mu\circ(\omega_{0},\omega'_{0}))\bullet(\mu\circ(\omega_{1},\omega'_{1}))]_{\ast}\\ &= \mu_{\ast}([\omega_{0}]_{\ast},[\omega'_{0}]_{\ast}) \star \mu_{\ast}([\omega_{1}]_{\ast},[\omega'_{1}]_{\ast}) \end{align}
が成り立つ：
$$ \xymatrix{ {[\omega_{0}]_{\ast}} \ar@{.}[rr]^{\star} & \ar@{--}[dd]_{\mu_{\ast}} & {[\omega_{1}]_{\ast}} &{[\omega_{0}]_{\ast}} \ar@{--}[dd]_{\mu_{\ast}} &{} & {[\omega_{1}]_{\ast}} \ar@{--}[dd]^{\mu_{\ast}} \\ & & & \ar@{.}[rr]^{\star} & & \\ {[\omega'_{0}]_{\ast}} \ar@{.}[rr]_{\star} & & {[\omega'_{1}]_{\ast}} & {[\omega'_{0}]_{\ast}} & &{[\omega'_{1}]_{\ast}} }$$
よって，任意の$[\omega]_{\ast},[\omega']_{\ast} \in \pi_{1}(G,e)$に対して，
\begin{align} [\omega]_{\ast} \star [\omega']_{\ast} &= \mu_{\ast}([\omega]_{\ast},[\const{e}]_{\ast}) \star \mu_{\ast}([\const{e}]_{\ast},[\omega']_{\ast})\\ &= \mu_{\ast}([\omega]_{\ast} \star [\const{e}]_{\ast},[\const{e}]_{\ast}\star[\omega']_{\ast})\\ &= \mu_{\ast}([\omega]_{\ast},[\omega']_{\ast})\\ &= \mu_{\ast}([\const{e}]_{\ast}\star[\omega]_{\ast},[\omega']_{\ast}\star[\const{e}]_{\ast})\\ &= \mu_{\ast}([\const{e}]_{\ast},[\omega']_{\ast}) \star \mu_{\ast}([\omega]_{\ast},[\const{e}]_{\ast})\\ &= [\omega']_{\ast} \star [\omega]_{\ast} \end{align}
が成り立つ．

とくに
$$ [\omega]_{\ast} \star [\omega']_{\ast} = \mu_{\ast}([\omega]_{\ast},[\omega']_{\ast})$$
が成り立つ．

基本群と被覆空間

経路の持ち上げ

$p \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (X,x_{0})$を被覆写像とする．このとき，任意の経路$\omega\colon (\mathbb{I},0) \to (X,x_{0})$に対して，経路$\tilde{\omega} \colon (\mathbb{I},0) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$であって$p \circ \tilde{\omega} = \omega$を満たすものがただ一つ存在する（cf. cov-sp定理8の系）：
$$ \xymatrix{ {} && {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar[d]^{p}\\ {(\mathbb{I},0)} \ar@{.>}[urr]^{\tilde{\omega}} \ar[rr]_{\omega\quad} && {(X,x_{0})} }$$

経路$\tilde{\omega}$を，$\tilde{x}_{0}$を始点とする$p$に関する$\omega$のリフト，持ち上げなどという．

$p \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (X,x_{0})$を被覆写像とし，$\tilde{\omega}_{0},\tilde{\omega}_{1} \colon (\mathbb{I},0) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$を経路とする．このとき
$$ p\circ\tilde{\omega}_{0}\simeq_{\{0,1\}} p\circ\tilde{\omega}_{1} \implies \tilde{\omega}_{0} \simeq_{\{0,1\}} \tilde{\omega}_{1}$$
が成り立つ．とくに$\tilde{\omega}_{0}(1) = \tilde{\omega}_{1}(1)$である．

$H \colon p\circ\tilde{\omega}_{0} \simeq_{\{0,1\}} p\circ\tilde{\omega}_{1}$とする．このとき，連続写像$\tilde{H} \colon [0,1] \times \mathbb{I} \to \tilde{X}$であって，以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する（cf. cov-sp定理8）：
$$ \xymatrix{ {\mathbb{I}} \ar[d]_{\iota_{0,\mathbb{I}}} \ar[rr]^{\tilde{\omega}_{0}} && {\tilde{X}} \ar[d]^{p}\\ {[0,1] \times \mathbb{I}} \ar[rr]_{H} \ar@{.>}[urr]^{\tilde{H}} && {X} }$$

そこで，連続写像$\tilde{\omega} \colon \mathbb{I} \to \tilde{X}$を
$$ \tilde{\omega}(t) := \tilde{H}(1,t)$$
で定めると，
$$ \tilde{\omega}(0) = \tilde{H}(1,0) = \tilde{\omega}_{0}(0) = \tilde{x}_{0} = \tilde{\omega}_{1}(0),$$
および
$$ p(\tilde{\omega}(t)) = p(\tilde{H}(1,t)) = H(1,t) = p(\tilde{\omega}_{1}(t))$$
が成り立つので，cov-sp補題7より，$\tilde{\omega} = \tilde{\omega}_{1}$が成り立つ．さらに，
$$ \tilde{H}(0,0) = \tilde{x}_{0} = \const{\tilde{x}_{0}}(0),$$
および
$$ p(\tilde{H}(s,0)) = H(s,0) = p(\tilde{\omega}_{0}(0)) = x_{0} = p(\const{\tilde{x}_{0}}(s))$$
より，
$$ \tilde{H}(s,0) = \const{\tilde{x}_{0}}(s) = \tilde{x}_{0} = \tilde{\omega}_{0}(0)$$
が成り立つ．同様に，
$$ \tilde{H}(s,1) = \tilde{\omega}_{0}(1)$$
が成り立つ．よって
$$ \tilde{H} \colon \tilde{\omega}_{0} \simeq_{\{0,1\}} \tilde{\omega}_{1}$$
を得る．

ind-map-homと合わせて次を得る：

$p \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{1}) \to (X,x_{0},x_{1})$を被覆写像とする．このとき，誘導される写像
$$ p_{\ast} \colon \Pi(\tilde{X};\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{1}) \to \Pi(X;x_{0},x_{1})$$
は単射である．さらに，
$$ p_{\ast} \colon \pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to \pi_{1}(X,x_{0})$$
は単射準同型である．

$p \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (X,x_{0})$を被覆写像とし，$\omega,\omega' \in \Omega(X;x_{0},x_{1})$とする．このとき次は同値である：

任意のリフト$\tilde{\omega},\tilde{\omega}' \colon (\mathbb{I},0) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$に対して，$\tilde{\omega}(1) = \tilde{\omega}'(1)$が成り立つ；
$[\omega\bullet\omega'^{-1}]_{\ast} \in p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}))$が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

明らか．

(ii)$\implies$(i)

仮定より$[\tilde{\omega}_{0}]_{\ast} \in \pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})$であって$p_{\ast}([\tilde{\omega}_{0}]_{\ast}) = [\omega\bullet\omega'^{-1}]_{\ast}$なるものが存在する．よって
$$ [p\circ\tilde{\omega}]_{\ast} = [\omega]_{\ast} = p_{\ast}([\tilde{\omega}_{0}]_{\ast})\star[\omega']_{\ast} = [p\circ\tilde{\omega}_{0}]_{\ast}\star[p\circ\tilde{\omega}']_{\ast} = [p\circ(\tilde{\omega}_{0}\bullet\tilde{\omega}')]_{\ast}$$
となるので，path-lift-hmtpcより，
$$ \tilde{\omega}(1) = (\tilde{\omega}_{0}\bullet\tilde{\omega}')(1) = \tilde{\omega}'(1)$$
を得る．

$p \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (X,x_{0})$を被覆写像とし，$\omega \in \Omega(X;x_{0},x_{0})$とする．このとき次は同値である：

任意のリフト$\tilde{\omega} \colon (\mathbb{I},0) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$は閉路である，すなわち$\tilde{\omega}(0) = \tilde{\omega}(1)$が成り立つ；
$[\omega]_{\ast} \in p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}))$が成り立つ．

定値路$\const{x_{0}}$とそのリフト$\const{\tilde{x}_{0}}$を考えればよい．

写像の持ち上げ

$Z$を連結かつ局所弧状連結な位相空間とし，$z_{0} \in Z$とする．このとき，
$$ \mathrm{ev}_{1} \colon \Omega(Z;z_{0}):= (Z,z_{0})^{(\mathbb{I},0)} \to Z;\ \omega \mapsto \omega(1)$$
は全射開写像であり，したがって全射等化写像である．

$Z$の弧状連結性より$\mathrm{ev}_{1}$は全射連続写像である（cf. ev-conti）．あとは$\Omega(Z;z_{0})$の開基の元の$\mathrm{ev}_{1}$による像が$Z$の開集合であることを示せば十分である．そこで
$$ U:= \langle K_{1},U_{1} \rangle \cap\cdots\cap \langle K_{n},U_{n} \rangle \in \tau(\Omega(Z;z_{0}))$$
とし，$\omega \in U$とする．適当に順番を入れ替えることで
$$ \exists\,m\in[n],\ 1 \in K_{1}\cap\cdots\cap K_{m},\ 1 \notin K_{m+1}\cup\cdots\cup K_{n}$$
としてよい．このとき
$$ \omega(1) \in U_{1} \cap\cdots\cap U_{m}$$
であるから，弧状連結開近傍$V \in \tau(\omega(1),Z)$であって
$$ V \subset U_{1} \cap\cdots\cap U_{m}$$
なるものが存在する．一方，
$$ 1 \in \omega^{\leftarrow}(V) \smallsetminus (K_{m+1}\cup\cdots\cup K_{n}) \in \tau([0,1])$$
より，$t_{0} \in \;]0,1[$であって
$$ [t_{0},1] \subset \omega^{\leftarrow}(V) \smallsetminus (K_{m+1}\cup\cdots\cup K_{n})$$
を満たすものが存在する．

さて，$z_{1} \in V$とすると，$\omega(t_{0}), z_{1} \in V$と$V$の弧状連結性より，経路$\omega' \in \Omega(Z;z_{0},z_{1})$であって
$$ \omega'|[0,t_{0}] = \omega|[0,t_{0}],\ \omega'^{\rightarrow}([t_{0},1]) \subset V$$
を満たすものが存在する．

$i \leq m$のとき，
$$ \omega'^{\rightarrow}(K_{i}) = \omega'^{\rightarrow}(K_{i} \cap [0,t_{0}]) \cup \omega'^{\rightarrow}(K_{i} \cap [t_{0},1]) \subset \omega^{\rightarrow}(K_{i}) \cup \omega'^{\rightarrow}([t_{0},1]) \subset U_{i} \cup V \subset U_{i}$$
が成り立つ．
$i > m$のとき，$K_{i} \subset [0,t_{0}]$より，
$$ \omega'^{\rightarrow}(K_{i}) = \omega^{\rightarrow}(K_{i}) \subset U_{i}$$
が成り立つ．

よって，$\omega' \in U$であるから
$$ z_{1} = \omega'(1) = \mathrm{ev}_{1}(\omega') \in \mathrm{ev}_{1}^{\rightarrow}(U)$$
が成り立つ．以上より，
$$ \omega(1) \in V \subset \mathrm{ev}_{1}(U)$$
が成り立つので，$\mathrm{ev}_{1}(U) \subset Z$は開集合である．

Lifting Criterion

$p \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (X,x_{0})$を被覆写像とし，$Z$を連結かつ局所弧状連結な位相空間，$f \colon (Z,z_{0}) \to (X,x_{0})$を連続写像とする．このとき次は同値である：

$\exists!\, \tilde{f} \colon (Z,z_{0}) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0}),\ p \circ \tilde{f} = f$;
$f_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z,z_{0})) \subset p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}))$.

$$ \xymatrix{ &&{(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar[d]^{p}\\ {(Z,z_{0})} \ar@{.>}[urr]^{\tilde{f}} \ar[rr]_{f} && {(X,x_{0})} }$$

(i)$\implies$(ii)

ind-mapより$f_{\ast} = p_{\ast} \circ \tilde{f}_{\ast}$であるから，
$$ f_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z,z_{0})) = p_{\ast}^{\rightarrow}(\tilde{f}_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z,z_{0}))) \subset p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}))$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$Z$の連結性より，$\tilde{f}$の一意性は明らか（cf. cov-sp補題7）．

任意の$\omega\in\Omega(Z;z_{0})$に対して
$$ f(\omega(0)) = f(z_{0}) = x_{0} = p(\tilde{x}_{0})$$
が成り立つので，連続写像$\widetilde{f\circ\mathrm{ev}} \colon [0,1] \times \Omega(Z;z_{0}) \to \tilde{X}$であって，以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {\Omega(Z;z_{0})} \ar[rr]^{\const{\tilde{x}_{0}}} \ar[dd]_{\iota_{0,\Omega(Z;z_{0})}} && {\tilde{X}} \ar[dd]^{p}\\ \\ {[0,1] \times \Omega(Z;z_{0})} \ar@{.>}[uurr]^{\widetilde{f\circ\mathrm{ev}}} \ar[rr]_{\quad f\circ\mathrm{ev}} && {X} }$$

連続写像$\tilde{\varphi} \colon \Omega(Z;z_{0}) \to \tilde{X}$を
$$ \tilde{\varphi}(\omega) := \widetilde{f\circ\mathrm{ev}}(1,\omega)$$
で定めると，
$$ p(\tilde{\varphi}(\omega)) = f(\omega(1)) = f(\mathrm{ev}_{1}(\omega))$$
が成り立つ．また，$[0,1]$の連結性と
\begin{align} \widetilde{f\circ\mathrm{ev}}(0,\const{z_{0}}) &= \tilde{x}_{0} = \const{\tilde{x}_{0}}(0);\\ p(\widetilde{f\circ\mathrm{ev}}(s,\const{z_{0}})) &= f\circ\mathrm{ev}(s,\const{z_{0}}) = f(z_{0}) = p(\const{\tilde{x}_{0}}(s)); \end{align}
より，
$$ \tilde{\varphi}(\const{z_{0}}) = \widetilde{f\circ\mathrm{ev}}(1,\const{z_{0}}) \textcolor{orange}{=} \const{\tilde{x}_{0}}(1) = \tilde{x}_{0}$$
が成り立つ．

$\omega,\omega' \in \Omega(Z;z_{0})$とし，$\mathrm{ev}_{1}(\omega) = \mathrm{ev}_{1}(\omega')$とする．このとき，$[\omega\bullet\omega'^{-1}]_{\ast} \in \pi_{1}(Z,z_{0})$より
$$ [f\circ\omega]_{\ast} \star [f\circ\omega']_{\ast}^{-1} = f_{\ast}([\omega\bullet\omega'^{-1}]_{\ast}) \in f_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z,z_{0})) \subset p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}))$$
が成り立つ．
経路$\tilde{\omega},\tilde{\omega}' \colon (\mathbb{I},0)\to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$を
$$ \tilde{\omega}(s):= \widetilde{f\circ\mathrm{ev}}(s,\omega),\ \tilde{\omega}'(s):= \widetilde{f\circ\mathrm{ev}}(s,\omega')$$
で定めると，
$$ \tilde{\omega}(0) = \tilde{x}_{0} = \tilde{\omega}'(0),\ p\circ\tilde{\omega} = f\circ\omega,\ p\circ\tilde{\omega}' = f\circ\omega'$$
となるので，lift-end-ptより，
$$ \tilde{\varphi}(\omega) = \widetilde{f\circ\mathrm{ev}}(1,\omega) = \tilde{\omega}(1) \textcolor{orange}{=} \tilde{\omega}'(1) = \widetilde{f\circ\mathrm{ev}}(1,\omega') = \tilde{\varphi}(\omega')$$
を得る．

よって，ev-openより，連続写像$\tilde{f} \colon (Z,z_{0}) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$であって$\tilde{f}\circ\mathrm{ev}_{1} = \tilde{\varphi}$を満たすものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {(\Omega(Z;z_{0}),\const{z_{0}})} \ar[d]_{\mathrm{ev}_{1}} \ar[rr]^{\tilde{\varphi}} && {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \\ {(Z,z_{0})} \ar@{.>}[urr]_{\tilde{f}} }$$

いま，
$$ (p \circ \tilde{f}) \circ \mathrm{ev}_{1} = p \circ \tilde{\varphi} = f \circ \mathrm{ev}_{1}$$
が成り立つので，$\mathrm{ev}_{1}$の全射性より，$p \circ \tilde{f} = f$を得る：
$$ \xymatrix{ && {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar[d]^{p}\\ {(Z,z_{0})} \ar[urr]^{\tilde{f}} \ar[rr]_{f} && {(X,x_{0})} }$$

分類定理

以下，連結かつ局所弧状連結な位相空間のみ考える．

lifting-criterionよりただちに次を得る：

（ cf. cov-sp 定理15 ）

$q_{i} \colon (Z_{i},z_{i}) \to (X,x_{0}),\,i\in\{1,2\},$を被覆写像とする．このとき次は同値である：

同相写像$f \colon (Z_{1},z_{1}) \to (Z_{2},z_{2})$であって，$q_{2} \circ f = q_{1}$を満たすものがただ一つ存在する；
$$ \xymatrix{ {(Z_{1},z_{1})} \ar@{.>}[r]^{f} \ar[d]_{q_{1}} & {(Z_{2},z_{2})} \ar[d]^{q_{2}}\\ {(X,x_{0})} \ar@{=}[r] & {(X,x_{0})} }$$
$(q_{1})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z_{1},z_{1})) = (q_{2})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z_{2},z_{2}))$が成り立つ．

分類定理（ cf. cov-sp 定理19 ）

$q_{i}\colon Z_{i} \to X,\,i\in\{1,2\},$を被覆写像とし，基点$z_{i} \in q_{i}^{\leftarrow}(\{x_{0}\})$を取る．このとき次は同値である：

$q_{1}$と$q_{2}$とは同型である；
$(q_{1})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z_{1},z_{1}))$と$(q_{2})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z_{2},z_{2}))$とは$\pi_{1}(X,x_{0})$において共軛である．

(i)$\implies$(ii)

仮定より，同相写像$f \colon Z_{1} \to Z_{2}$であって$q_{2} \circ f = q_{1}$を満たすものが存在する．このとき，classification-ptより
$$ (q_{1})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z_{1},z_{1})) = (q_{2})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z_{2},f(z_{1})))$$
が成り立つ．一方，$Z_{2}$の弧状連結性より，経路$\tilde{\gamma}_{2} \in \Omega(Z_{2};f(z_{1}),z_{2})$が取れるので，base-changeより
$$ \pi_{1}(Z_{2},z_{2}) = [\tilde{\gamma}_{2}]_{\ast}^{-1}\star\pi_{1}(Z_{2},f(z_{1}))\star[\tilde{\gamma}_{2}]_{\ast}$$
が成り立つ．そこで$\gamma:= q_{2} \circ \tilde{\gamma}_{2} \in \Omega(X;x_{0},x_{0})$とおけば，$[\gamma]_{\ast} \in \pi_{1}(X,x_{0})$であり，
$$ (q_{2})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z_{2},z_{2})) = [\gamma]_{\ast}^{-1} \star (q_{1})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z_{1},z_{1}))\star[\gamma]_{\ast}$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

仮定より，$[\gamma]_{\ast} \in \pi_{1}(X,x_{0})$であって
$$ (q_{1})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z_{1},z_{1})) = [\gamma]_{\ast}^{-1} \star (q_{2})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z_{2},z_{2}))\star[\gamma]_{\ast}$$
を満たすものが存在する．そこで$q_{2}$に関する$\gamma$のリフト$\tilde{\gamma}_{2} \colon (\mathbb{I},0) \to (Z_{2},z_{2})$を取ると，$(q_{2})_{\ast}([\tilde{\gamma}_{2}]_{\ast}) = [\gamma]_{\ast}$より，
\begin{align} (q_{1})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z_{1},z_{1})) &= (q_{2})_{\ast}^{\rightarrow}([\tilde{\gamma}_{2}]_{\ast}^{-1}\star\pi_{1}(Z_{2},z_{2})\star[\tilde{\gamma}_{2}]_{\ast})\\ &= (q_{2})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(Z_{2},\tilde{\gamma}_{2}(1))) \end{align}
が成り立つ．よって，classification-ptより，同相写像$f \colon Z_{1} \to Z_{2}$であって$q_{2} \circ f = q_{1}$を満たすものが存在する．

ファイバーへの作用

$p \colon \tilde{X} \to X$を被覆写像とする．各$x_{0} \in X$に対して，
$$ F(x_{0}) := p^{\leftarrow}(\{x_{0}\}) \subset \tilde{X}$$
とおく．任意の$\tilde{x}_{0} \in F(x_{0})$と$\omega,\omega' \in \Omega(X;x_{0},x_{1})$とに対して，$\omega,\omega'$のリフトをそれぞれ$\tilde{\omega},\tilde{\omega}' \colon (\mathbb{I},0) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$とすると，path-lift-hmtpcより，
$$ [\omega]_{\ast} = [\omega']_{\ast} \implies \tilde{\omega}(1) = \tilde{\omega}'(1)$$
が成り立つので，写像
$$ \mu_{(x_{0},x_{1})} \colon F(x_{0}) \times \Pi(X;x_{0},x_{1}) \to F(x_{1});\ (\tilde{x}_{0},[\omega]_{\ast}) \mapsto \tilde{\omega}(1) =: \tilde{x}_{0} \cdot [\omega]_{\ast}$$
が定まる．このとき，以下の図式は可換である：
$$ \xymatrix{ {F(x_{0}) \times \Pi(X;x_{0},x_{1}) \times \Pi(X;x_{1},x_{2})} \ar[rr]^{\quad\qquad\mu_{(x_{0},x_{1})} \times \id} \ar[dd]_{\id \times \star} && {F(x_{1}) \times \Pi(X;x_{1},x_{2})} \ar[dd]^{\mu_{(x_{1},x_{2})}}\\ \\ {F(x_{0}) \times \Pi(X;x_{0},x_{2})} \ar[rr]_{\quad\qquad\mu_{(x_{0},x_{2})}} && {F(x_{2})} }$$

$\tilde{x}_{0} \in F(x_{0}), [\omega]_{\ast} \in \Pi(X;x_{0},x_{1}), [\omega']_{\ast} \in \Pi(X;x_{1},x_{2})$とする．このとき
$$ \tilde{x}_{0} \cdot [\omega\bullet\omega']_{\ast} = (\tilde{x}_{0} \cdot [\omega]_{\ast}) \cdot [\omega']_{\ast}$$
が成り立つことを示せばよい．そこで，$\omega$のリフトを$\tilde{\omega} \colon (\mathbb{I},0) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$とし，$\omega'$のリフトを$\tilde{\omega}' \colon (\mathbb{I},0) \to (\tilde{X},\tilde{\omega}(1))$とすると，$\tilde{\omega}\bullet\tilde{\omega}' \colon (\mathbb{I},0) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$は$\omega\bullet\omega'$のリフトであるから，
$$ \tilde{x}_{0} \cdot [\omega\bullet\omega']_{\ast} =(\tilde{\omega}\bullet\tilde{\omega}')(1) = \tilde{\omega}'(1) = \tilde{\omega}(1) \cdot [\omega']_{\ast} = (\tilde{x}_{0} \cdot [\omega]_{\ast}) \cdot [\omega']_{\ast}$$
が成り立つ．

$p \colon \tilde{X} \to X$を被覆写像とし$x_{0} \in X$とする．このとき，写像
$$ \mu_{x_{0}}:= \mu_{(x_{0},x_{0})} \colon F(x_{0}) \times \pi_{1}(X,x_{0}) \to F(x_{0});\ (\tilde{x}_{0},[\omega]_{\ast}) \mapsto \tilde{x}_{0} \cdot [\omega]_{\ast}$$
は作用である．これを$\pi_{1}(X,x_{0})$によるモノドロミー作用という．
$$ \xymatrix{ {}\ar@{-}[d]\\ {\tilde{x}_{0} \cdot [\omega]_{\ast}} \ar@{-}[dd] \\ \\ {\tilde{x}_{0}} \ar@{-}[d] \ar@{~>}@/_3.0pc/[uu]_{\tilde{\omega}}\\ {}\ar@{--}[d]\\ {x_{0}} }$$

$\tilde{X}$の弧状連結性より，作用$\mu_{x_{0}}$は推移的である．したがって，$\tilde{x}_{0} \in F(x_{0})$を取るごとに，全射
$$ \pi_{1}(X,x_{0}) \to F(x_{0});\ [\omega]_{\ast} \mapsto \tilde{x}_{0} \cdot [\omega]_{\ast}$$
が定まる．また，
\begin{align} \tilde{x}_{0} \cdot [\omega]_{\ast} = \tilde{x}_{0} &\iff \tilde{\omega}(1) = \tilde{x}_{0}\\ &\iff [\omega]_{\ast} \in p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})) \end{align}
が成り立つので（cf. lift-loop-criterion），Orbit–Stabilizer Theorem より，全単射
$$ p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}))\backslash \pi_{1}(X,x_{0}) \cong F(x_{0})$$
が得られる．

$p \colon \tilde{X} \to X, q \colon Z \to X$を被覆写像とし，$x_{0} \in X$とする．また，連続写像$f \colon \tilde{X} \to Z$が$q \circ f = p$を満たしているとする．
$$ \xymatrix{ {\tilde{X}} \ar[r]^{f} \ar[d]_{p} & {Z} \ar[d]^{q}\\ {X} \ar@{=}[r] & {X} }$$
このとき，写像
$$ f|_{p^{\leftarrow}(\{x_{0}\})}^{q^{\leftarrow}(\{x_{0}\})} \colon p^{\leftarrow}(\{x_{0}\}) \to q^{\leftarrow}(\{x_{0}\})$$
は$\pi_{1}(X,x_{0})$同変写像である，すなわち
$$ f(\tilde{x} \cdot [\omega]_{\ast}) = (f\tilde{x}) \cdot [\omega]_{\ast}$$
が成り立つ．

$(\tilde{x},[\omega]_{\ast}) \in p^{\leftarrow}(x_{0}) \times \pi_{1}(X,x_{0})$とし，$\tilde{\omega} \colon (\mathbb{I},0) \to (\tilde{X},\tilde{x})$を$p$に関する$\omega$のリフトとする．このとき
$$ q \circ (f \circ \tilde{\omega}) = p \circ \tilde{\omega} = \omega$$
より，$f \circ \tilde{\omega} \colon (\mathbb{I},0) \to (Z,f\tilde{x})$は$q$に関する$\omega$のリフトである．よって
$$ f(\tilde{x} \cdot [\omega]_{\ast}) = f(\tilde{\omega}(1)) = (f\circ\tilde{\omega})(1) = (f\tilde{x}) \cdot [\omega]_{\ast}$$
が成り立つ．
$$ \xymatrix{ && {(\tilde{X},\tilde{x})} \ar[d]_{p} \ar[r]^{f} & {(Z,f\tilde{x})} \ar[d]^{q} \\ {(\mathbb{I},0)} \ar@{.>}[urr]^{\tilde{\omega}} \ar[rr]_{\omega}&& {(X,x_{0})} \ar@{=}[r] &{(X,x_{0})} }$$

基本群と被覆変換群との関係

$p \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (X,x_{0})$をGalois被覆とする．このとき，ファイバー$F(x_{0})$を介して，（基点$\tilde{x}_{0}$に依存する）全射
$$ \varphi \colon \pi_{1}(X,x_{0}) \to F(x_{0}) \cong \Aut(p);\ [\omega]_{\ast} \mapsto \varphi_{[\omega]_{\ast}}$$
が存在する（cf. cov-sp例10）．被覆変換$\varphi_{[\omega]_{\ast}}$は
$$ \varphi_{[\omega]_{\ast}}(\tilde{x}_{0}) = \tilde{x}_{0} \cdot [\omega]_{\ast}$$
を満たすものとして一意的に定まる．

写像$\varphi \colon \pi_{1}(X,x_{0}) \to \Aut(p)$は群準同型であり，群同型
$$ \pi_{1}(X,x_{0})/p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})) \cong \Aut(p)$$
を誘導する．したがって，$p \colon \tilde{X} \to X$が単連結普遍被覆ならば，
$$ \varphi \colon \pi_{1}(X,x_{0}) \cong \Aut(p)$$
が成り立つ（cf. 1-cnctd）．

$[\omega]_{\ast},[\omega']_{\ast} \in \pi_{1}(X,x_{0})$とする．$\varphi$が準同型であることを示すためには，被覆変換$\varphi_{[\omega]_{\ast}\star[\omega']_{\ast}},\,\varphi_{[\omega]} \circ \varphi_{[\omega']_{\ast}} \in \Aut(p)$の，1点$\tilde{x}_{0} \in \tilde{X}$での値が一致することを示せばよい．ところで，equivariantより，
\begin{align} \varphi_{[\omega]_{\ast}\star[\omega']_{\ast}}(\tilde{x}_{0}) &= \tilde{x}_{0} \cdot ([\omega]_{\ast}\star[\omega']_{\ast})\\ &= (\tilde{x}_{0} \cdot [\omega]_{\ast}) \cdot [\omega']_{\ast}\\ &= (\varphi_{[\omega]_{\ast}}\tilde{x}_{0}) \cdot [\omega']_{\ast}\\ &= \varphi_{[\omega]_{\ast}}(\tilde{x}_{0} \cdot [\omega']_{\ast})\\ &= \varphi_{[\omega]_{\ast}}(\varphi_{[\omega']_{\ast}}(\tilde{x}_{0})) \end{align}
が成り立つ．
任意の$[\omega]_{\ast} \in \pi_{1}(X,x_{0})$に対して，lift-loop-criterionより，
\begin{align} [\omega]_{\ast} \in \ker(\varphi) &\iff \varphi_{[\omega]_{\ast}}(\tilde{x}_{0}) = \tilde{x}_{0}\\ &\iff \tilde{x}_{0} \cdot [\omega]_{\ast} = \tilde{x}_{0}\\ &\iff \tilde{\omega}(1) = \tilde{x}_{0}\\ &\iff [\omega]_{\ast} \in p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})) \end{align}
が成り立つ．よって，準同型定理より
$$ \pi_{1}(X,x_{0})/p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},x_{0})) \cong \Aut(p)$$
が成り立つ．

（ cf. cov-sp 例9 ）

$\pi_{1}(\mathbb{S}^{1}) \cong \mathbb{Z}$.
$\pi_{1}(\mathbb{T}^{n}) \cong \mathbb{Z}^{n}$.
$n \geq 2$のとき$\mathbb{S}^{n}$は単連結であることが知られている．したがって$\pi_{1}(\mathbb{R}P^{n}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$が成り立つ．

$p \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (X,x_{0})$をGalois被覆とし，$\Gamma < \Aut(p) =:G$とする．このとき，Galois被覆$p_{\Gamma} \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0}))$から定まる群準同型を
$$ \psi \colon \pi_{1}(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0})) \to \Aut(p_{\Gamma})$$
とおくと，以下の図式は可換である：
$$ \xymatrix{ {\pi_{1}(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0}))} \ar[r]^{\qquad\psi} \ar[d]_{(p_{G/\Gamma})_{\ast}} & {\Aut(p_{\Gamma})} \ar[d]^{\text{incl.}}\\ {\pi_{1}(X,x_{0})} \ar[r]_{\qquad\varphi} & {\Aut(p)} }$$

$[\omega_{\Gamma}]_{\ast} \in \pi_{1}(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0}))$とし，$\tilde{\omega} \colon (\mathbb{I},0) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$を$p_{\Gamma}$に関する$\omega_{\Gamma}$のリフトとする．このとき
$$ p \circ \tilde{\omega} = p_{G/\Gamma} \circ p_{\Gamma} \circ \tilde{\omega} = p_{G/\Gamma} \circ \omega_{\Gamma}$$
より，$\tilde{\omega}$は$\omega:= p_{G/\Gamma}\circ\omega_{\Gamma}$の$p$に関するリフトでもあるので，
$$ \psi_{[\omega_{\Gamma}]_{\ast}}(\tilde{x}_{0}) = \tilde{\omega}(1) = \varphi_{[\omega]_{\ast}}(\tilde{x}_{0})$$
が成り立つ．よって
$$ \psi([\omega_{\Gamma}]_{\ast}) = \varphi([\omega]_{\ast}) = (\varphi\circ (p_{G/\Gamma})_{\ast})([\omega_{\Gamma}]_{\ast})$$
を得る．
$$ \xymatrix{ && {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar[d]^{p_{\Gamma}} \ar@/^3.0pc/[dd]^{p}\\ && {(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0}))} \ar[d]^{p_{G/\Gamma}} \\ {(\mathbb{I},0)} \ar@{.>}[uurr]^{\tilde{\omega}} \ar[urr]^{\omega_{\Gamma}} \ar[rr]_{\omega} && {(X,x_{0})} }$$

$p \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (X,x_{0})$を単連結普遍被覆とする．また，群同型
$$ \varphi \colon \pi_{1}(X,x_{0}) \cong \Aut(p) =: G$$
により，部分群$H < \pi_{1}(X,x_{0})$と$\Gamma < G$とが対応しているとする．このとき，
$$ (p_{G/\Gamma})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0}))) = H$$
が成り立つ．
$$ \xymatrix{ {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar@/_3.5pc/[dddd]_{p\,=\,p_{G}} \ar[dd]_{p_{\Gamma}} \ar@{.}@/^2.0pc/[dd]^{\Aut(p_{\Gamma}) \,=\, \Gamma}\\ \\ {(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0}))} \ar[dd]_{p_{G/\Gamma}} \ar@{.}@/^2.0pc/[dd]^{(p_{G/\Gamma})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0}))) \,=\, H}\\ \\ {(X,x_{0})} }$$

$p_{\Gamma} \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0}))$は単連結普遍被覆であるから，pi-1-autより，
$$ \psi \colon \pi_{1}(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0})) \cong \Aut(p_{\Gamma}) = \Gamma = \varphi^{\rightarrow}(H)$$
が成り立つ．よってcommより
$$ \varphi^{\rightarrow}((p_{G/\Gamma})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0})))) = \psi^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0}))) = \varphi^{\rightarrow}(H)$$
となるので，$\varphi$の単射性より
$$ (p_{G/\Gamma})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0}))) = H$$
を得る．

corrの仮定の下で，$p_{G/\Gamma} \colon (\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0})) \to (X,x_{0})$は被覆写像であるから，ind-monoより，
$$ \pi_{1}(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0})) \cong (p_{G/\Gamma})_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X}/\Gamma,p_{\Gamma}(\tilde{x}_{0}))) = H \cong \Gamma$$
が成り立つ．

Galois被覆の特徴づけ

$p\colon \tilde{X} \to X$を被覆写像とする．このとき次は同値である：

$p \colon \tilde{X} \to X$はGalois被覆である；
連続写像$p$は同相写像$\tilde{X}/\Aut(p) \approx X$を誘導する；
任意の基点$\tilde{x}_{0} \in \tilde{X}$に対して，取値写像
$$ \mathrm{ev}_{\tilde{x}_{0}} \colon \Aut(p) \to F(p(\tilde{x}_{0}));\ f \mapsto f(\tilde{x}_{0})$$
は全単射である；
任意の基点$\tilde{x}_{0} \in \tilde{X}$に対して，$p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}))$は$\pi_{1}(X,p(\tilde{x}_{0}))$の正規部分群である；
任意の基点$x_{0} \in X$と任意の閉路$\omega \in \Omega(X;x_{0},x_{0})$に対して，
$$ \{\text{lift of $\omega$}\} \cap \{\text{loop in $\tilde{X}$}\} \neq \varnothing \implies \{\text{lift of $\omega$}\} \subset \{\text{loop in $\tilde{X}$}\}$$
が成り立つ．

(i)$\iff$(ii)$\iff$(iii) はcov-spで見た（cf. cov-sp例10）．また，pi-1-aut（の証明）より，(iii)$\implies$(iv)が成り立つ．

(iv)$\implies$(iii)

$p(\tilde{x}_{0}) = p(\tilde{x}_{1}) =:x_{0} \in X$とする．このとき，classificationより，$p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}))$と$p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{1}))$とは$\pi_{1}(X,x_{0})$において共軛である．よって，仮定より
$$ p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})) = p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{1}))$$
となるので，classification-ptより，同相写像$f \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{1})$であって$p\circ f = p$を満たすもの，すなわち被覆変換$f \in \Aut(p)$であって$f(\tilde{x}_{0}) = \tilde{x}_{1}$を満たすものが存在する．

(iv)$\implies$(v)

基点$\tilde{x}_{0} \in F(x_{0})$とリフト$\tilde{\omega}_{0} \in \Omega(\tilde{X};\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{0})$が存在したとする．このとき，任意の$\tilde{x}_{1} \in F(x_{0})$に対して，経路$\tilde{\gamma} \in \Omega(\tilde{X};\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{1})$を取ると，仮定より
\begin{align} [\omega]_{\ast} = p_{\ast}([\tilde{\omega}_{0}]_{\ast}) &\in p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})) \\ &= [p\circ\tilde{\gamma}]_{\ast}^{-1}\star p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}))\star[p\circ\tilde{\gamma}]_{\ast} \\ &= p_{\ast}^{\rightarrow}([\tilde{\gamma}]_{\ast}^{-1}\star \pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \star[\tilde{\gamma}]_{\ast}) \\ &= p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{1})) \end{align}
となるので，lift-loop-criterionより，$\omega$の任意のリフト$\tilde{\omega}_{1} \colon (\mathbb{I},0) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{1})$は閉路である．

(v)$\implies$(iv)

$[\tilde{\omega}]_{\ast} \in \pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})$とする．仮定より，閉路$\omega:= p\circ\tilde{\omega} \in \Omega(X;p(\tilde{x}_{0}),p(\tilde{x}_{0}))$のリフトはすべて閉路であることに注意する．このとき任意の$[\gamma]_{\ast} \in \pi_{1}(X,p(\tilde{x}_{0}))$に対して
$$ [\gamma]_{\ast}\star[\omega]_{\ast}\star[\gamma]_{\ast}^{-1} \in p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}))$$
が成り立つことを示せばよい．そこで$\gamma$のリフト$\tilde{\gamma} \colon (\mathbb{I},0) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$を取る．

$\tilde{\gamma}(1) = \tilde{x}_{0}$のとき，$[\tilde{\gamma}]_{\ast}\star[\tilde{\omega}]_{\ast}\star[\tilde{\gamma}]_{\ast}^{-1} \in \pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})$であるから，
$$ [\gamma]_{\ast}\star[\omega]_{\ast}\star[\gamma]_{\ast}^{-1} = p_{\ast}([\tilde{\gamma}]_{\ast}\star[\tilde{\omega}]_{\ast}\star[\tilde{\gamma}]_{\ast}^{-1}) \in p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}))$$
が成り立つ．
$\tilde{\gamma}(1) \neq \tilde{x}_{0}$のとき，$\omega$のリフト$\tilde{\omega}' \in \Omega(\tilde{X};\tilde{\gamma}(1),\tilde{\gamma}(1))$を取ると，$[\tilde{\gamma}]_{\ast}\star[\tilde{\omega}']_{\ast}\star[\tilde{\gamma}]_{\ast}^{-1} \in \pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})$であるから，
$$ [\gamma]_{\ast}\star[\omega]_{\ast}\star[\gamma]_{\ast}^{-1} = p_{\ast}([\tilde{\gamma}]_{\ast}\star[\tilde{\omega}']_{\ast}\star[\tilde{\gamma}]_{\ast}^{-1}) \in p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}))$$
が成り立つ．

$p \colon \tilde{X} \to X$を被覆写像とする．このとき次は同値である：

$p \colon \tilde{X} \to X$はGalois被覆である；
基点$\tilde{x}_{0} \in \tilde{X}$であって，取値写像
$$ \mathrm{ev}_{\tilde{x}_{0}} \colon \Aut(p) \to F(p(\tilde{x}_{0}));\ f \mapsto f(\tilde{x}_{0})$$
が全単射となるようなものが存在する；
基点$\tilde{x}_{0} \in \tilde{X}$であって$p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})) \triangleleft \pi_{1}(X,p(\tilde{x}_{0}))$なるものが存在する．

(i)$\implies$(ii)

galois-critより明らか．

(ii)$\implies$(iii)

pi-1-autの証明と同様にして，写像
$$ \varphi \colon \pi_{1}(X,p(\tilde{x}_{0})) \to F(p(\tilde{x}_{0})) \cong \Aut(p)$$
が群準同型であり，
$$ p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})) = \ker(\varphi) \triangleleft \pi_{1}(X,p(\tilde{x}_{0}))$$
となることがわかる．

(iii)$\implies$(i)

任意の基点$\tilde{x}_{1} \in \tilde{X}$に対して，経路$\tilde{\gamma} \in \Omega(\tilde{X};\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{1})$を取ることで，
\begin{align} p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{1})) &= p_{\ast}^{\rightarrow}([\tilde{\gamma}]_{\ast}^{-1}\star\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})\star[\tilde{\gamma}]_{\ast})\\ &= [p\circ\tilde{\gamma}]_{\ast}^{-1}\star p_{\ast}^{\rightarrow}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0})) \star[p\circ\tilde{\gamma}]_{\ast}\\ &\ \triangleleft\,[p\circ\tilde{\gamma}]_{\ast}^{-1}\star\pi_{1}(X,p(\tilde{x}_{0}))\star[p\circ\tilde{\gamma}]_{\ast}\\ &= \pi_{1}(X,p(\tilde{\gamma}(1)))\\ &= \pi_{1}(X,p(\tilde{x}_{1})) \end{align}
が成り立つことがわかる．よって，galois-critより，$p\colon \tilde{X} \to X$はGalois被覆である．

$p \colon \tilde{X} \to X$を被覆写像とする．或る（したがってすべての）ファイバーが2点集合ならば，$p \colon \tilde{X} \to X$はGalois被覆である（cf. monodromy）．

附：等化写像に関するWhiteheadの定理

J. H. C. Whitehead

$q \colon X \to Y$を全射等化写像とし，$S$を微局所コンパクト空間とする．このとき，
$$ q' := \id_{S} \times q \colon S \times X \to S \times Y$$
は全射等化写像である．

$q \colon X \to Y$を全射等化写像とし，$H \colon [0,1] \times X \to Z$を連続写像とする．このとき，
$$ q(x) = q(x') \implies H(s,x) = H(s,x')$$
が成り立つならば，連続写像$\bar{H} \colon [0,1] \times Y \to Z$であって$\bar{H} \circ (\id_{[0,1]} \times q) = H$を満たすものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {[0,1] \times X} \ar[rr]^{H} \ar[d]_{\id_{[0,1]} \times q} && {Z}\\ {[0,1] \times Y} \ar@{.>}[urr]_{\bar{H}} }$$

証明1

準備

$S,T$を位相空間，$W \in \tau(S \times T)$とし，$K \subset S$をコンパクト集合とする．このとき，
$$ O:= \{t \in T \mid K \times \{t\} \subset W\} \subset T$$
は開集合である．

$t \in O$とする．各$s \in K$に対して，$(s,t) \in W$より，開近傍$U(s) \in \tau(s,S),V(s) \in \tau(t,T)$であって
$$ U(s) \times V(s) \subset W$$
を満たすものが存在する．このとき，$(U(s))_{s \in K}$はコンパクト集合$K$の開被覆であるから，有限個の点$s_{1},\ldots,s_{n} \in K$であって
$$ K \subset U(s_{1}) \cup\cdots\cup U(s_{n})$$
を満たすものが存在する．そこで
$$ V(t):= V(s_{1}) \cap\cdots\cap V(s_{n}) \subset T$$
とおくと，これは$t$の開近傍であり，
$$ K \times V(t) \subset \bigcup_{i=1}^{n} U(s_{i}) \times V(s_{i}) \subset W$$
より$V(t) \subset O$が成り立つ．

定理の証明

$V \subset S \times Y$とし，$(q')^{\leftarrow}(V) \in \tau(S \times X)$とする．このとき$V \in \tau(S \times Y)$なることを示せばよい．そこで$(s_{0},y_{0}) \in V$とし，$x_{0} \in X$であって$q(x_{0}) = y_{0}$なるものを取る．いま，$(s_{0},x_{0}) \in (q')^{\leftarrow}(V)\in \tau(S \times X)$であるから，
$$ O := \{s \in S \mid (s,x_{0}) \in (q')^{\leftarrow}(V)\} \subset X$$
は$s_{0}$の開近傍である．したがって，$S$の微局所コンパクト性より，$s_{0}$のコンパクト近傍$K$であって
$$ K \subset O$$
を満たすものが存在し，開近傍$O$の定義より
$$ K \times \{x_{0}\} \subset O \times \{x_{0}\} \subset (q')^{\leftarrow}(V)$$
が成り立つ．そこで
$$ U := \{x \in X \mid K \times \{x\} \subset (q')^{\leftarrow}(V)\} \subset X$$
とおくと，これは$x_{0}$の開近傍であり，
$$ K \times U \subset (q')^{\leftarrow}(V)$$
が成り立つ．よって
$$ (s_{0},y_{0}) = (s_{0},q(x_{0})) \in \I(K) \times q^{\rightarrow}(U) \subset (q')^{\rightarrow}(K \times U) \subset V$$
であるから，あとは$q^{\rightarrow}(U) \in \tau(Y)$を示せばよい．ところで，
\begin{align} K \times q^{\leftarrow}(q^{\rightarrow}(U)) &= (q')^{\leftarrow}(K \times q^{\rightarrow}(U))\\ &= (q')^{\leftarrow}((q')^{\rightarrow}(K \times U))\\ &\subset (q')^{\leftarrow}(V) \end{align}
より
$$ q^{\leftarrow}(q^{\rightarrow}(U)) \subset U$$
であるから，
$$ q^{\leftarrow}(q^{\rightarrow}(U)) = U \in \tau(X)$$
となる．したがって，$q \colon X \to Y$が等化写像であることより，
$$ q^{\rightarrow}(U) \in \tau(Y)$$
を得る．

証明2

準備

位相空間$X$から位相空間$Y$への連続写像全体のなす集合にコンパクト開位相，すなわち
$$ \{\langle K,V \rangle:= \{f\mid f\colon X \to Y:\text{conti.},\ f^{\rightarrow}(K) \subset V\}\mid K\subset X:\text{cpt.},\ V \in \tau(Y)\}$$
で生成される位相を入れたものを$Y^{X}$で表わす．

$Z$を位相空間，$I$を微局所コンパクト空間とする．このとき，取値写像
$$ \mathrm{ev} \colon I \times Z^{I} \to Z;\ (s,f) \mapsto f(s)$$
は連続である．

$V \in \tau(Z)$とし，$(s,f) \in \mathrm{ev}^{\leftarrow}(V)$とする．このとき$s \in f^{\leftarrow}(V)\in \tau(I)$であるから，$s$のコンパクト近傍$K \subset I$であって$K \subset f^{\leftarrow}(V)$を満たすものが存在する．したがって$\langle K,V \rangle \in \tau(f,Z^{I})$であり，
$$ (s,f) \in \I(K) \times \langle K,V \rangle \subset \mathrm{ev}^{\leftarrow}(V)$$
が成り立つ．

$T,X,Y$を位相空間とする．このとき次が成り立つ：

$f \colon T \times X \to Y$が連続ならば，
$$ \hat{f} \colon T \to Y^{X};\ t \mapsto [x \mapsto f(t,x)]$$
は連続である；
$X$が微局所コンパクトであるとき，$g \colon T \to Y^{X}$が連続ならば，
$$ \check{g} \colon T \times X \to Y;\ (t,x) \mapsto g(t)(x)$$
は連続である．

$t_{0} \in \hat{f}^{\leftarrow}(\langle K,V \rangle)$とする．このとき
$$ U:= \{t \in T \mid \{t\} \times K \subset f^{\leftarrow}(V)\} \subset T$$
は$t_{0}$の開近傍であり，
$$ U \times K \subset f^{\leftarrow}(V),$$
すなわち
$$ U \subset \hat{f}^{\leftarrow}(\langle K,V \rangle)$$
が成り立つ．
$X$の微局所コンパクト性より取値写像
$$ \mathrm{ev} \colon X \times Y^{X} \to Y$$
は連続なので，
$$ \check{g} \colon T \times X \xrightarrow{\;\approx\;} X \times T \xrightarrow{\id_{X} \times g} X \times Y^{X} \xrightarrow{\;\mathrm{ev}\;} Y$$
は連続である．

定理の証明

$S$を位相空間，$\varphi \colon S \times Y \to Z$を写像とし，
$$ f := \varphi \circ q' \colon S \times X \to Z$$
が連続であるとする．このとき$\varphi$が連続であることを示せばよい（cf. nsfo-3定理2系2）：
$$ \xymatrix{ {S\times X} \ar[rr]^{f} \ar[d]_{q'} && {Z}\\ {S \times Y} \ar[urr]_{\varphi} }$$

curryingより
$$ \hat{f} \colon X \to Z^{S};\ x \mapsto [s \mapsto f(s,x) = \varphi(s,q(x))]$$
は連続であり，
$$ q(x)=q(x') \implies \hat{f}(x) = \hat{f}(x')$$
が成り立つので，連続写像$g \colon Y \to Z^{S}$であって$g \circ q = \hat{f}$を満たすものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {X} \ar[d]_{q} \ar[rr]^{\hat{f}} && {Z^{S}}\\ {Y} \ar@{.>}[urr]_{g} }$$
いま$S$が微局所コンパクトなので，
$$ \check{g} \colon S \times Y \to Z;\ (s,y) \mapsto g(y)(s)$$
は連続である．ところで
$$ (\check{g} \circ q')(s,x) = \check{g}(s,q(x)) = g(q(x))(s) = \hat{f}(x)(s) = (\varphi \circ q')(s,x)$$
であるから，$\varphi = \check{g}$は連続である．

附：単連結普遍被覆の構成

$X$を連結かつ局所弧状連結かつ半局所単連結な位相空間とし，$x_{0} \in X$を取る．写像空間$\Omega(X;x_{0}) = (X,x_{0})^{(\mathbb{I},0)}$を考え，
$$ \Pi(X;x_{0}) := \Omega(X;x_{0})/{\simeq_{\{0,1\}}}$$
とおく．また，$q \colon \Omega(X;x_{0}) \to \Pi(X;x_{0})$を商写像とする．このとき
$$ q(\omega) = q(\omega') \implies \mathrm{ev}_{1}(\omega) = \omega(1) \textcolor{orange}{=} \omega'(1) = \mathrm{ev}_{1}(\omega')$$
が成り立つので，連続写像$p \colon \Pi(X;x_{0}) \to X$であって$p \circ q = \mathrm{ev}_{1}$を満たすものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {\Omega(X;x_{0})} \ar[rr]^{\mathrm{ev}_{1}} \ar[d]_{q} && {X}\\ {\Pi(X;x_{0})} \ar@{.>}[urr]_{p} }$$

以下，$p \colon \Pi(X;x_{0}) \to X$が単連結普遍被覆であることを示す．そのためには

$p \colon \Pi(X;x_{0}) \to X$が被覆写像であること；
$\Pi(X;x_{0})$が弧状連結であること；
$\Pi(X;x_{0})$が単連結であること；

を示せばよい．

以下の証明はpavesicに拠る．一部，kwzm定理5.3.19の証明も参考にした．

$p \colon \Pi(X;x_{0}) \to X$が被覆写像であること

$V \in \tau(X)$とする．このとき，任意の$\omega_{0} \in \mathrm{ev}_{1}^{\leftarrow}(V) \subset \Omega(X;x_{0})$に対して，$\mathrm{ev}_{1}^{\leftarrow}(V)$における$\omega_{0}$の弧状連結成分
$$ C(\omega_{0}) := \{\omega_{1} \in \mathrm{ev}_{1}^{\leftarrow}(V) \mid \Omega(\mathrm{ev}_{1}^{\leftarrow}(V);\omega_{0},\omega_{1}) \neq \varnothing\} \subset \Omega(X;x_{0})$$
は開集合である．

$\omega_{0}$から$\omega_{1}$への経路$([0,1],0,1) \to (\mathrm{ev}_{1}^{\leftarrow}(V),\omega_{0},\omega_{1})$とは，ホモトピー
$$ H \colon [0,1] \times (\mathbb{I},0) \to (X,x_{0}): \omega_{0} \simeq_{\{0\}} \omega_{1}$$
であって
$$ \forall s \in [0,1],\ H(s,1) \in V$$
を満たすもののことに他ならない．
$$ \xymatrix{ {} \ar[rr]^{\text{path in $V$}} && {} \\ \\ {} \ar[uu]^{\omega_{0}} \ar[rr]_{\const{x_{0}}} && {} \ar[uu]_{\omega_{1}} }$$

$X$の局所弧状連結性と半局所単連結性より，各$x \in X$に対して，弧状連結開近傍$S_{x} \in \tau(x,X)$であって，誘導準同型
$$ (\id_{S_{x}}^{X})_{\ast} \colon \pi_{1}(S_{x},x) \to \pi_{1}(X,x)$$
の像が単位元$[\const{x}]_{\ast}$のみからなるようなものが存在する（cf. 1-cnctd）．以下，この性質を持つ弧状連結開集合を半単連結開集合ということにする．

pi-1-of-path-cnctd-spより，任意の$x' \in S_{x}$に対して，$S_{x}$は$x' \in X$の半単連結開近傍でもある．
半単連結開集合$S \subset X$の2点$x_{0},x_{1} \in S$を結ぶ経路$\omega_{0},\omega_{1} \in \Omega(S;x_{0},x_{1})$に対して，$\omega_{0}\bullet\omega_{1}^{-1} \in \Omega(S;x_{0},x_{0})$を$\Omega(X;x_{0},x_{0})$の元と見做すと“自明”なので，
$$ [\omega_{0}\bullet\omega_{1}^{-1}]_{\ast} = [\const{x_{0}}]_{\ast} \in \Pi(X;x_{0},x_{0})\ \leadsto\ [\omega_{0}]_{\ast} = [\omega_{1}]_{\ast}\in \Pi(X;x_{0},x_{1})$$
が成り立つ．

Step 0.

$\omega'_{0} \in C(\omega_{0})$とする．このとき，開近傍$U \in \tau(\omega'_{0},\Omega(X;x_{0}))$であって$U \subset C(\omega_{0})$を満たすものが存在することを示せばよいが，$C(\omega_{0}) = C(\omega'_{0})$であるから，$\omega'_{0} = \omega_{0}$としてよい．

Step 1.

各$t\in \mathbb{I}$に対して，$\omega_{0}(t) \in X$の半単連結開近傍$S_{t} \in \tau(\omega_{0}(t),X)$を取る．単位閉区間$\mathbb{I}$はコンパクト距離空間なので，その開被覆$(\omega_{0}^{\leftarrow}(S_{t}))_{t\in\mathbb{I}}$のLebesgue数を取ることで，有限列$(t_{i})_{i\in[n]}$であって
$$ 0 = t_{0} < t_{1} <\cdots< t_{n} = 1,\ \forall i \in [n]_{>0},\ \omega_{0}^{\rightarrow}([t_{i-1},t_{i}]) \subset S_{\prescript{\exists}{}t} =: S_{i}$$
を満たすものが存在することがわかる．また，$S_{n+1}:= V$とおく．各$i \in [n]_{>0}$に対して，$\omega_{0}(t_{i}) \in S_{i} \cap S_{i+1} \in \tau(X)$より，弧状連結開集合$W_{i} \in \tau(X)$であって
$$ \omega_{0}(t_{i}) \in W_{i} \subset S_{i} \cap S_{i+1}$$
を満たすものが存在する．そこで，
$$ U := \bigcap_{i\in[n]_{>0}} \langle[t_{i-1},t_{i}],S_{i}\rangle \cap \bigcap_{i\in[n]_{>0}} \langle\{t_{i}\},W_{i}\rangle \in \tau(\omega_{0},\Omega(X;x_{0}))$$
とおく．あとは$U \subset C(\omega_{0})$を示せばよい．

Step 2.

$\omega_{1} \in U$とする．明らかに
$$ \mathrm{ev}_{1}(\omega_{1}) = \omega_{1}(1) = \omega_{1}(t_{n}) \in W_{n} \subset V\ \leadsto\ \omega_{1}\in \mathrm{ev}_{1}^{\leftarrow}(V)$$
が成り立つ．
各$i \in [n]_{>0}$に対して，$\omega_{0}(t_{i}),\omega_{1}(t_{i}) \in W_{i}$であるから，$W_{i}$の弧状連結性より，経路$\zeta_{i} \in \Omega(W_{i};\omega_{0}(t_{i}),\omega_{1}(t_{i}))$が存在する．また，$\zeta_{0}:=\const{x_{0}}$とおく．このとき，各$(j,i) \in [1]\times[n]_{>0}$に対して
$$ \omega_{j}|_{[t_{i-1},t_{i}]} \colon \mathbb{I} \approx [t_{i-1},t_{i}] \xrightarrow{\omega_{j}|[t_{i-1},t_{i}]} X;\ t \mapsto \omega_{j}((1-t)t_{i-1}+tt_{i})$$
とおくと，$(\omega_{0}|_{[t_{i-1},t_{i}]})\bullet\zeta_{i},\,\zeta_{i-1}\bullet(\omega_{1}|_{[t_{i-1},t_{i}]}) \in \Omega(S_{i};\omega_{0}(t_{i-1}),\omega_{1}(t_{i}))$であるから，
$$ [\omega_{0}|_{[t_{i-1},t_{i}]}]_{\ast}\star[\zeta_{i}]_{\ast} = [\zeta_{i-1}]_{\ast}\star[\omega_{1}|_{[t_{i-1},t_{i}]}]_{\ast} \in \Pi(X;\omega_{0}(t_{i-1}),\omega_{1}(t_{i}))$$
である．
$$ \xymatrix{ {\omega_{0}(t_{i-1})} \ar@{~>}[d]_{\zeta_{i-1}} \ar@{~>}[rr]^{\omega_{0}|_{[t_{i-1},t_{i}]}} && {\omega_{0}(t_{i})} \ar@{~>}[d]^{\zeta_{i}}\\ {\omega_{1}(t_{i-1})} \ar@{~>}[rr]_{\omega_{1}|_{[t_{i-1},t_{i}]}} && {\omega_{1}(t_{i})} }$$
よって
\begin{align}\ [\omega_{0}]_{\ast}\star[\zeta_{n}]_{\ast} &= ([\omega_{0}|_{[t_{0},t_{1}]}]_{\ast}\star[\zeta_{1}]_{\ast})\star[\zeta_{1}]_{\ast}^{-1}\star([\omega_{0}|_{[t_{1},t_{2}]}]_{\ast}\star[\zeta_{2}]_{\ast})\star[\zeta_{2}]_{\ast}^{-1}\star\cdots\star[\zeta_{n-1}]_{\ast}^{-1}\star([\omega_{0}|_{[t_{n-1},t_{n}]}]_{\ast}\star[\zeta_{n}]_{\ast})\\ &= ([\zeta_{0}]_{\ast}\star[\omega_{1}|_{[t_{0},t_{1}]}]_{\ast})\star[\zeta_{1}]_{\ast}^{-1}\star([\zeta_{1}]_{\ast}\star[\omega_{1}|_{[t_{1},t_{2}]}]_{\ast})\star[\zeta_{2}]_{\ast}^{-1}\star\cdots\star[\zeta_{n-1}]_{\ast}^{-1}\star([\zeta_{n-1}]_{\ast}\star[\omega_{1}|_{[t_{n-1},t_{n}]}]_{\ast})\\ &= [\const{x_{0}}]_{\ast}\star[\omega_{1}]_{\ast}\\ &= [\omega_{1}]_{\ast} \end{align}
が成り立つ．ここで連続写像$H'' \colon [0,1] \times \mathbb{I} \to X$を
$$ H''(s,t):= \begin{cases} \omega_{0}(2t) &, 0\leq t \leq \frac{1}{2}\\ \zeta_{n}(s(2t-1)) &, \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}$$
で定めると$H''\colon \omega_{0}\bullet\const{\omega_{0}(1)}\simeq_{\{0\}} \omega_{0}\bullet\zeta_{n}$であるから，ホモトピー
$$ H'\colon \omega_{0}\simeq_{\{0,1\}} \omega_{0}\bullet\const{\omega_{0}(1)},\ H'''\colon \omega_{0}\bullet\zeta_{n} \simeq_{\{0,1\}} \omega_{1}$$
を取り，連続写像$H \colon [0,1] \times \mathbb{I} \to X$を
$$ H(s,t) := \begin{cases} H'(3s,t) &, 0 \leq s \leq \frac{1}{3}\\ H''(3s-1,t) &, \frac{1}{3} \leq s \leq \frac{2}{3}\\ H'''(3s-2,t) &, \frac{2}{3} \leq s \leq 1 \end{cases}$$
で定めると，
\begin{align} H(0,t) &= H'(0,t) = \omega_{0}(t);\\ H(1,t) &= H'''(1,t) = \omega_{1}(t);\\ H(s,0) &= x_{0} = \omega_{0}(0);\\ H(s,1) &= \begin{cases} \omega_{0}(1) &, 0 \leq s \leq \frac{1}{3}\\ \zeta_{n}(3s-1) &, \frac{1}{3} \leq s \leq \frac{2}{3}\\ \omega_{1}(1) &, \frac{2}{3} \leq s \leq 1 \end{cases}\ \in W_{n} \subset V; \end{align}
が成り立つ．
$$ \xymatrix{ {} \ar[rr]^{\const{\omega_{0}(1)}} && {} \ar[rr]^{\zeta_{n}} && {} \ar[rr]^{\const{\omega_{1}(1)}} && {} \\ {} && {} \ar[u]^{\const{\omega_{0}(1)}} && {} \ar[u]^{\zeta_{n}} && {}\\ {} \ar[uu]^{\omega_{0}} \ar[rrrrrr]_{\const{x_{0}}} && {} \ar[u]^{\omega_{0}} && {} \ar[u]^{\omega_{0}} && {} \ar[uu]_{\omega_{1}} }$$
よって$\omega_{1} \in C(\omega_{0})$となる．

$p \colon \Pi(X;x_{0}) \to X$は開写像である．

任意の開集合$U \in \tau(\Pi(X;x_{0}))$に対して，ev-openより，
$$ p^{\rightarrow}(U) = p^{\rightarrow}(q^{\rightarrow}(q^{\leftarrow}(U))) = \mathrm{ev}_{1}^{\rightarrow}(q^{\leftarrow}(U)) \in \tau(X)$$
が成り立つ．

$p \colon \Pi(X;x_{0}) \to X$は被覆写像である．

$x \in X$とし，その半単連結開近傍$V \in \tau(x,X)$を取る．path-compo-openより，部分集合$\Lambda \subset \mathrm{ev}_{1}^{\leftarrow}(V)$であって
$$ q^{\leftarrow}(p^{\leftarrow}(V)) = \mathrm{ev}_{1}^{\leftarrow}(V) = \bigsqcup_{\omega_{0}\in\Lambda} C(\omega_{0})$$
を満たすものが存在する．

ここで，
$$ q^{\rightarrow}(C(\omega_{0})) \cap q^{\rightarrow}(C(\omega'_{0})) \neq \varnothing$$
とすると，$\omega_{1} \in C(\omega_{0}),\omega'_{1} \in C(\omega'_{0})$であって$q(\omega_{1}) = q(\omega'_{1})$となるものが存在するが，このとき，$\omega_{1} \simeq_{\{0,1\}} \omega'_{1}$より
$$ \exists\,H\colon \omega_{0} \simeq_{\{0\}} \omega_{1} \simeq_{\{0\}} \omega'_{1} \simeq_{\{0\}} \omega'_{0},\ \forall s\in[0,1],\ H(s,1) \in V$$
となるので，$C(\omega_{0}) = C(\omega'_{0})$を得る．よって
$$ p^{\leftarrow}(V) = q^{\rightarrow}(\mathrm{ev}_{1}^{\leftarrow}(V)) = \bigsqcup_{\omega_{0}\in\Lambda} q^{\rightarrow}(C(\omega_{0}))$$
となる．
各$\omega_{0} \in \Lambda$に対して，
$$ q^{\leftarrow}(q^{\rightarrow}(C(\omega_{0}))) \subset \mathrm{ev}_{1}^{\leftarrow}(V)$$
と上の考察より
$$ q^{\leftarrow}(q^{\rightarrow}(C(\omega_{0}))) = C(\omega_{0}) \in \tau(\Omega(X;x_{0}))$$
となるので，$q^{\rightarrow}(C(\omega_{0})) \subset \Pi(X;x_{0})$は開集合である．

あとは，各$\omega_{0} \in \Lambda$に対して，連続開写像
$$ p_{\omega_{0}}:= p|_{q^{\rightarrow}(C(\omega_{0}))}^{V} \colon q^{\rightarrow}(C(\omega_{0})) \to V$$
が全単射であることを示せばよい．

$x_{1} \in V$とする．$\omega_{0}(1),x_{1} \in V$より，経路$\zeta\in\Omega(V;\omega_{0}(1),x_{1})$が存在する．そこで$\omega_{1}:= \omega_{0}\bullet\zeta \in \Omega(X;x_{0},x_{1})$とおくと，$\omega_{1}\in C(\omega_{0})$であり，
$$ p_{\omega_{0}}(q(\omega_{1})) = \mathrm{ev}_{1}(\omega_{1}) = \omega_{1}(1) = x_{1}$$
が成り立つ．よって$p_{\omega_{0}}$は全射である．
$\omega_{1},\omega_{2} \in C(\omega_{0})$とし
$$ \omega_{1}(1) = p_{\omega_{0}}(q(\omega_{1})) \textcolor{orange}{=} p_{\omega_{0}}(q(\omega_{2})) = \omega_{2}(1)\ (\,=:x_{1} \in V\,)$$
とする．$\omega_{i} \in C(\omega_{0})$より，経路$\zeta_{i} \in \Omega(V;\omega_{0}(1),x_{1})$であって$[\omega_{i}]_{\ast} = [\omega_{0}\bullet\zeta_{i}]_{\ast}$なるものが存在する．このとき，$V$の半単連結性より$[\zeta_{2}^{-1}\bullet\zeta_{1}]_{\ast} = [\const{x_{1}}]_{\ast}$であるから，
\begin{align} q(\omega_{1}) &= [\omega_{1}]_{\ast} \\ &= [\omega_{0}]_{\ast}\star[\zeta_{1}]_{\ast}\\ &= [\omega_{0}]_{\ast}\star[\zeta_{2}]_{\ast}\star[\zeta_{2}]_{\ast}^{-1}\star[\zeta_{1}]_{\ast}\\ &= [\omega_{0}]_{\ast}\star[\zeta_{2}]_{\ast}\star[\const{x_{1}}]_{\ast}\\ &= [\omega_{0}]_{\ast}\star[\zeta_{2}]_{\ast}\\ &= [\omega_{2}]_{\ast}\\ &= q(\omega_{2}) \end{align}
が成り立つ．よって$p_{\omega_{0}}$は単射である．

$\Pi(X;x_{0})$が弧状連結であること

$q\colon \Omega(X;x_{0}) \to \Pi(X;x_{0})$は全射連続写像なので，$\Omega(X;x_{0})$が弧状連結であることを示せばよい．そこで$\omega \in \Omega(X;x_{0})$とすると，
$$ \mathbb{I} \times (\mathbb{I},0) \to (X,x_{0});\ (s,t) \mapsto \omega(st)$$
は連続なので，curryingより
$$ \hat{\omega} \colon \mathbb{I} \to (X,x_{0})^{(\mathbb{I},0)} = \Omega(X;x_{0});\ s \mapsto [t \mapsto \omega(st)]$$
は連続であり，
$$ \hat{\omega}(0) = \const{x_{0}},\ \hat{\omega}(1) = \omega$$
となる．

$\Pi(X;x_{0})$が単連結であること

Step 1.

ev-contiより，写像
$$ [0,1] \times \Omega(X;x_{0}) \times (\mathbb{I},0) \to (X,x_{0});\ (s,\omega,t) \mapsto \mathrm{ev}(st,\omega) = \omega(st)$$
は連続なので，curryingより
$$ H \colon [0,1] \times \Omega(X;x_{0}) \to (X,x_{0})^{(\mathbb{I},0)} = \Omega(X;x_{0});\ (s,\omega) \mapsto [t \mapsto \omega(st)]$$
は連続であり，
\begin{align} H(0,\omega)(t) &= \omega(0) = x_{0} = \const{x_{0}}(t);\\ H(1,\omega)(t) &= \omega(t);\\ H(s,\omega)(1) &= \omega(s); \end{align}
が成り立つ．

Step 2.

$\tilde{X} := \Pi(X;x_{0}),\,\tilde{x}_{0} := [\const{x_{0}}]_{\ast} \in \tilde{X}$とおき，$\tilde{\omega} \in \Omega(\tilde{X};\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{0})$とする．このとき
$$ [\tilde{\omega}]_{\ast} = [\const{\tilde{x}_{0}}]_{\ast}$$
が成り立つことを示せばよい（cf. 1-cnctd）．

$X$の閉路$p \circ \tilde{\omega} \in \Omega(X;x_{0},x_{0})$に対して，$\tilde{X}$の経路$\tilde{\omega}' \colon \mathbb{I} \to \tilde{X}$を
$$ \tilde{\omega}'(s) := q(H(s,p\circ\tilde{\omega}))$$
で定める．
このとき，
$$ \tilde{\omega}'(0) = q(H(0,p\circ\tilde{\omega})) = q(\const{x_{0}}) = \tilde{x}_{0} = \tilde{\omega}(0),$$
および
$$ p(\tilde{\omega}'(s)) = \mathrm{ev}_{1}(H(s,p\circ\tilde{\omega})) = (p\circ\tilde{\omega})(s) = p(\tilde{\omega}(s))$$
が成り立つので，cov-mapとcov-sp補題7より，$\tilde{\omega}' = \tilde{\omega}$が成り立つ．
$$ \xymatrix{ && {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar[d]^{p}\\ {(\mathbb{I},0)} \ar[urr]^{\tilde{\omega}',\ \tilde{\omega}} \ar[rr]_{p\circ\tilde{\omega}'\,=\,p\circ\tilde{\omega}} && {(X,x_{0})} }$$
よって
\begin{align} p_{\ast}([\tilde{\omega}]_{\ast}) &= [p\circ\tilde{\omega}]_{\ast} \\ &= q(p\circ\tilde{\omega}) \\ &= q(H(1,p\circ\tilde{\omega})) \\ &= \tilde{\omega}'(1) \\ &= \tilde{\omega}(1) \\ &= \tilde{x}_{0} \\ &= [\const{x_{0}}]_{\ast}\\ &= [p\circ\const{\tilde{x}_{0}}]_{\ast} \\ &= p_{\ast}([\const{\tilde{x}_{0}}]_{\ast}) \end{align}
が成り立つ．
cov-map，ind-monoより$p_{\ast} \colon \pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to \pi_{1}(X,x_{0})$は単射なので，
$$ [\tilde{\omega}]_{\ast} = [\const{\tilde{x}_{0}}]_{\ast}$$
を得る．