終域に余誘導される位相

任意の$C\subset X$に対して
$$f^{-1}(X\setminus C)=Y\setminus f^{-1}(C)$$
が成り立つことからしたがう．

(i)$⟹$(ii)

明らか．

(ii)$⟹$(i)

$W\in \tau (Z)$とする．このとき
$$f^{-1}(g^{-1}(W))=(g\circ f{)}^{-1}(W)\in \tau (Y)$$
より$g^{-1}(W)\in \tau (f)$が成り立つ．

$\tau (X)$に関して$f:(Y,\tau (Y))\to (X,\tau (X))$が連続であるとする．このとき，等化位相の普遍性より${\mathrm{id}}_X:(X,\tau (f))\to (X,\tau (X))$は連続である．
$$(Y,\tau (Y))ff(X,\tau (X))(X,\tau (f)){\mathrm{id}}_X$$

(i)$⟹$(ii)

明らか．

(ii)$⟹$(i)

$f:(Y,\tau (Y))\to (X,\tau (X))$の連続性より，$\tau (f)\supset \tau (X)$であるから，あとは$\tau (X)\supset \tau (f)$を示せばよい．そこで位相空間$(X,\tau (f))$と写像${\mathrm{id}}_X:X\to X$を考えると，
$$f={\mathrm{id}}_X\circ f:(Y,\tau (Y))\stackrel{f}{\to }(X,\tau (X))\stackrel{{\mathrm{id}}_X}{\to }(X,\tau (f))$$
は連続なので，
$${\mathrm{id}}_X:(X,\tau (X))\to (X,\tau (f))$$
は連続である．

$f$が開写像のとき，任意の$U\in \tau (f)$に対して$f^{-1}(U)\in \tau (Y)$と$f$の全射性より
$$U=f(f^{-1}(U))\in \tau (X)$$
が成り立つ．$f$が閉写像のときも同様である．

• $f$が全射であることは明らか．
• $U\in \tau (f)$とする．このとき，$f^{-1}(U)\in \tau (Y)$と$s$の連続性から
  $$U=(f\circ s{)}^{-1}(U)=s^{-1}(f^{-1}(U))\in \tau (X)$$
  が成り立つ．

• $f$の全射性より，$\bar{g}$の一意性がしたがう．
• $x\in X$とする．仮定より$\{g(y)\mid y\in f^{-1}(x)\}$は単集合であるから，写像$\bar{g}:X\to Z$が
  $$\{\bar{g}(x)\}=\{g(y)\mid y\in f^{-1}(x)\}$$
  により定まる．
• 明らかに$\bar{g}\circ f=g$が成り立つ．したがって定理2の系より
  $$\bar{g}:(X,\tau (X))\to (Z,\tau (Z))$$
  は連続である．

(i)$⟹$(ii)

$V\subset Y$を$f$飽和開集合とする．このとき$f^{-1}(f(V))=V\in \tau (Y)$より$f(V)\in \tau (X)$となる．よって
$$g(V)=\bar{g}(f(V))\in \tau (Z)$$
が成り立つ．

(ii)$⟹$(i)

$U\in \tau (X)$とする．$V=f^{-1}(U)\in \tau (Y)$とおくと，$f$の全射性より$f^{-1}(f(V))=f^{-1}(U)=V$となるので，$V\subset Y$は$f$飽和開集合である．よって
$$\bar{g}(U)=\bar{g}(f(V))=g(V)\in \tau (Z)$$
が成り立つ．

1. 任意の$W\subset Z$に対して，等化位相の定義と$f$の連続性より，
   $$\begin{array}{rl}W\in \tau (g)& ⟺g^{-1}(W)\in \tau (X)\\ & ⟹(g\circ f{)}^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W))\in \tau (Y)\\ & ⟺W\in \tau (g\circ f)\end{array}$$
   が成り立つ．
2. $f$が等化写像ならば
   $$f^{-1}(g^{-1}(W))\in \tau (Y)⟹g^{-1}(W)\in \tau (X)$$
   が成り立つ．

全射性については明らか．

1. $\tau (Z)=\tau (g\circ f)\supset \tau (g)\supset \tau (Z)$より，$\tau (g)=\tau (Z)$を得る．
2. $\tau (g\circ f)=\tau (g)=\tau (Z)$が成り立つ．

任意の$B\subset Y$に対して
$$f^A(B\cap f^{-1}(A))=f(B\cap f^{-1}(A))=f(B)\cap A$$
が成り立つことからしたがう．

1. $f$は連続なので$f^A:(f^{-1}(A),\tau (Y)|f^{-1}(A))\to (A,\tau (X)|A)$は連続である．よって$\tau (f^A)\supset \tau (X)|A$を得る．
2. 1. $U\in \tau (f^A)$とする．このとき$f^{-1}(A)\in \tau (Y)$より
      $$f^{-1}(U)=(f^A{)}^{-1}(U)\in \tau (Y)|f^{-1}(A)\subset \tau (Y)$$
      となるので，$U\in \tau (X)$を得る．よって$U=U\cap A\in \tau (X)|A$が成り立つ．
   2. 補題8より
      $$f^A:(f^{-1}(A),\tau (Y)|f^{-1}(A))\to (A,\tau (X)|A)$$
      は全射連続開写像であるから，命題3より等化写像である．
   3. (1)と同様．
   4. (2)と同様．

(i)$⟹$(ii)

明らか．

(ii)$⟹$(i)

仮定より，各$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対して
$$g:(X,\tau (f_{\lambda }))\to (Z,\tau (Z))$$
は連続である．よって，任意の$U\in \tau (Z)$に対して
$$g^{-1}(U)\in \bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\tau (f_{\lambda })=\tau (f_{\bullet })$$
が成り立つ．

$X$の位相$\tau (X)$に関して，
$$\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda },f_{\lambda }:(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda })\to (X,\tau (X)):\text{continuous}$$
が成り立つとする．このとき，等化位相の普遍性より${\mathrm{id}}_X:(X,\tau (f_{\bullet }))\to (X,\tau (X))$は連続である．
$$(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda })f_{\lambda }{f}_{\lambda }(X,\tau (X))(X,\tau (f_{\bullet })){\mathrm{id}}_X$$

• 任意の$(\mu ,\lambda )\in \coprod {\mathrm{\Lambda }}_{\bullet }$に対して
  $$f_{\mu }\circ f_{\mu ,\lambda }:(X_{\mu ,\lambda },{\tau }_{\mu ,\lambda })\stackrel{f_{\mu ,\lambda }}{\to }(X_{\mu },{\tau }_{\mu })\stackrel{f_{\mu }}{\to }(X,\tau (f_{\bullet }))$$
  は連続写像の合成ゆえ連続である．よって定理10の系より
  $$\tau (X)\supset \tau (f_{\bullet })$$
  が成り立つ．
• $\mu \in M$とする．このとき，任意の$\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_{\mu }$に対して
  $$f_{\mu }\circ f_{\mu ,\lambda }:(X_{\mu ,\lambda },{\tau }_{\mu ,\lambda })\to (X,\tau (X))$$
  は連続であるから，等化位相${\tau }_{\mu }$の普遍性より，$f_{\mu }:(X_{\mu },{\tau }_{\mu })\to (X,\tau (X))$は連続である．よって定理10の系より
  $$\tau (f_{\bullet })\supset \tau (X)$$
  が成り立つ．

任意の部分集合$A_{\lambda }\subset X_{\lambda }$に対して
$$\mathrm{\forall }\mu \in \mathrm{\Lambda },i_{\mu }^{-1}(i_{\lambda }(A_{\lambda }))=\{\begin{array}{ll}{A}_{\lambda }& ,\mu =\lambda \\ \varnothing & ,\mu \ne \lambda \end{array}$$
が成り立つことからしたがう．

• 一意性は補題1.2よりしたがう．
• 写像$\mathrm{\nabla }(f_{\bullet }):\coprod X_{\bullet }=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\{\lambda \}\times X_{\lambda }\to X$を
  $$\mathrm{\nabla }(f_{\bullet })(\lambda ,x_{\lambda })=f_{\lambda }(x_{\lambda })$$
  で定める．このとき，任意の$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対して
  $$\mathrm{\nabla }(f_{\bullet })\circ i_{\lambda }=f_{\lambda }:(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda })\to (X,\tau (X)):\text{continuous}$$
  が成り立つ．よって
  $$\mathrm{\nabla }(f_{\bullet }):(\coprod X_{\bullet },\tau (i_{\bullet }))\to (X,\tau (X))$$
  は連続である．

1. 各$f_{\lambda }$が開写像であるとき，任意の$U\in \tau (i_{\bullet })$に対して
   $$\mathrm{\nabla }(f_{\bullet })(U)=\mathrm{\nabla }(f_{\bullet })(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{i}_{\lambda }(i_{\lambda }^{-1}(U)))=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{f}_{\lambda }(i_{\lambda }^{-1}(U))\in \tau (X)$$
   が成り立つ．
2. 仮定より，閉集合$C\in \tau (i_{\bullet })$に対して$(f_{\lambda }(i_{\lambda }^{-1}(C)){)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$は$X$の局所有限な閉集合族なので
   $$\mathrm{\nabla }(f_{\bullet })(C)=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{f}_{\lambda }(i_{\lambda }^{-1}(C))\in {\tau }^c(X)$$
   が成り立つ（ 参考 ）．

• $\coprod f_{\bullet }=\mathrm{\nabla }((i_{Y_{\lambda }}\circ f_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }})$とおけばよい．
• 任意の$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対して
  $$\begin{array}{rl}(\coprod g_{\bullet }\circ \coprod f_{\bullet })\circ i_{X_{\lambda }}& =\coprod g_{\bullet }\circ i_{Y_{\lambda }}\circ f_{\lambda }\\ & =i_{Z_{\lambda }}\circ g_{\lambda }\circ f_{\lambda }\\ & =i_{Z_{\lambda }}\circ h_{\lambda }\\ & =\coprod h_{\bullet }\circ i_{X_{\lambda }}\end{array}$$
  が成り立つので，補題1.2より結論を得る．
  $$X_{\lambda }{f}_{\lambda }{h}_{\lambda }{i}_{X_{\lambda }}{Y}_{\lambda }{g}_{\lambda }{i}_{Y_{\lambda }}{Z}_{\lambda }{i}_{Z_{\lambda }}\coprod X_{\bullet }\coprod f_{\bullet }\coprod h_{\bullet }\coprod Y_{\bullet }\coprod g_{\bullet }\coprod Z_{\bullet }$$

1. 命題12より各$i_{Y_{\lambda }}\circ f_{\lambda }$は開写像であるから，定理14と$\coprod f_{\bullet }$の定義よりしたがう．
2. 命題12より各$i_{Y_{\lambda }}\circ f_{\lambda }$は閉写像であり，$(i_{Y_{\lambda }}\circ f_{\lambda }(X_{\lambda }){)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$は局所有限であるから，定理14より結論を得る．
3. 等化位相の推移性（命題13（もしくは定理14のあとの注意），定理7）より
   $$\begin{array}{rl}\tau (\coprod f_{\bullet })& =\tau ((i_{Y_{\lambda }}\circ f_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }})\\ & =\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\tau (i_{Y_{\lambda }}\circ f_{\lambda })\\ & =\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\tau (i_{Y_{\lambda }})\\ & =\tau (i_{Y_{\bullet }})\end{array}$$
   が成り立つ．

• $X=\coprod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda },Y=\coprod _{\mu \in M}{Y}_{\mu }$とおく．
• $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$とする．このとき$\mu (\lambda )\in M$であって$\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_{\mu (\lambda )}$となるものがただ一つ存在する．そこで自然な入射の合成を$f_{\lambda }=i_{Y_{\mu (\lambda )}}\circ i_{\lambda }^{\mu (\lambda )}$とおくと
  $$f_{\lambda }:(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda })\stackrel{i_{\lambda }^{\mu (\lambda )}}{\to }(Y_{\mu (\lambda )},{\tau }_{\mu (\lambda )})\stackrel{i_{Y_{\mu (\lambda )}}}{\to }(Y,\tau (Y))$$
  は連続である．よって，余積空間$(X,\tau (X))$の普遍性より，連続写像$f:(X,\tau (X))\to (Y,\tau (Y))$であって，以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
  $$X_{\lambda }{f}_{\lambda }{i}_{\lambda }YXf$$
• $\mu \in M$とする．任意の$\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_{\mu }$に対して$i_{\lambda }:(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda })\to (X,\tau (X))$は連続なので，余積空間$(Y_{\mu },{\tau }_{\mu })$の普遍性より，連続写像$i_{{\mathrm{\Lambda }}_{\mu }}:(Y_{\mu },{\tau }_{\mu })\to (X,\tau (X))$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
  $$X_{\lambda }{i}_{\lambda }{i}_{\lambda }^{\mu }X{Y}_{\mu }{i}_{{\mathrm{\Lambda }}_{\mu }}$$
  よって，余積空間$(Y,\tau (Y))$の普遍性より，連続写像$g:(Y,\tau (Y))\to (X,\tau (X))$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
  $$Y_{\mu }{i}_{{\mathrm{\Lambda }}_{\mu }}{i}_{Y_{\mu }}XYg$$
• いま，任意の$(\mu (\lambda ),\lambda )\in \coprod {\mathrm{\Lambda }}_{\bullet }$に対して
  $$(g\circ f)\circ i_{\lambda }=g\circ f_{\lambda }=g\circ i_{Y_{\mu (\lambda )}}\circ i_{\lambda }^{\mu (\lambda )}=i_{{\mathrm{\Lambda }}_{\mu (\lambda )}}\circ i_{\lambda }^{\mu (\lambda )}=i_{\lambda }={\mathrm{id}}_X\circ i_{\lambda }$$
  が成り立つので，補題1.2より$g\circ f={\mathrm{id}}_X$を得る．
  $$X_{\lambda }{i}_{\lambda }{i}_{\lambda }X\coprod X_{\bullet }g\circ f{\mathrm{id}}_X$$
• また，$\mu \in M$とすると，任意の$\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_{\mu }$に対して
  $$(f\circ g\circ i_{Y_{\mu }})\circ i_{\lambda }^{\mu }=f\circ i_{{\mathrm{\Lambda }}_{\mu }}\circ i_{\lambda }^{\mu }=f\circ i_{\lambda }=f_{\lambda }=i_{Y_{\mu }}\circ i_{\lambda }^{\mu }$$
  となるので，補題1.2より$(f\circ g)\circ i_{Y_{\mu }}=i_{Y_{\mu }}={\mathrm{id}}_Y\circ i_{Y_{\mu }}$が成り立つ．よって$f\circ g={\mathrm{id}}_Y$を得る．
  $$X_{\lambda }{i}_{Y_{\mu }}\circ i_{\lambda }^{\mu }{i}_{\lambda }^{\mu }Y{Y}_{\mu }{i}_{Y_{\mu }}{i}_{Y_{\mu }}Y{Y}_{\mu }{i}_{Y_{\mu }}f\circ g\circ i_{Y_{\mu }}\coprod Y_{\bullet }f\circ g{\mathrm{id}}_Y$$

$\mathrm{\Lambda }$の分割として$(\{\phi (\lambda )\}{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$を考えればよい．

• 各$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対して，$(X_{\lambda },{\tau }_{\lambda })$と$(Y_{\phi (\lambda )},{\tau }_{\phi (\lambda )})$との同相を与える写像を$f_{\lambda }:X_{\lambda }\to Y_{\phi (\lambda )}$とする．
• このとき，定理14の系より$\coprod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{f}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}:\coprod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }\to \coprod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{Y}_{\phi (\lambda )}$は全単射連続開写像ゆえ同相写像である．
• $\mathrm{\Lambda }$の分割$(\{{\phi }^{-1}(\mu )\}{)}_{\mu \in M}$を考えて，定理16より同相$\coprod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{Y}_{\phi (\lambda )}\approx \coprod _{\mu \in M}{Y}_{\mu }$を得る．