終域に余誘導される位相

任意の$C \subset X$に対して
$$ f^{-1}(X \smallsetminus C) = Y \smallsetminus f^{-1}(C)$$
が成り立つことからしたがう．

(i)$\implies$(ii)

明らか．

(ii)$\implies$(i)

$W \in \tau(Z)$とする．このとき
$$ f^{-1}(g^{-1}(W)) = (g \circ f)^{-1}(W) \in \tau(Y)$$
より$g^{-1}(W) \in \tau(f)$が成り立つ．

$\tau(X)$に関して$f \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$が連続であるとする．このとき，等化位相の普遍性より$\id_{X} \colon (X,\tau(f)) \to (X,\tau(X))$は連続である．
$$ \xymatrix{ {(Y,\tau(Y))} \ar[r]^{f} \ar[d]_{f} & {(X,\tau(X))} \\ {(X,\tau(f))} \ar[ur]_{\id_{X}} }$$

(i)$\implies$(ii)

明らか．

(ii)$\implies$(i)

$f \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$の連続性より，$\tau(f) \supset \tau(X)$であるから，あとは$\tau(X) \supset \tau(f)$を示せばよい．そこで位相空間$(X,\tau(f))$と写像$\id_{X} \colon X \to X$を考えると，
$$ f = \id_{X} \circ f \colon (Y,\tau(Y)) \xrightarrow{f} (X,\tau(X)) \xrightarrow{\id_{X}} (X,\tau(f))$$
は連続なので，
$$ \id_{X} \colon (X,\tau(X)) \to (X,\tau(f))$$
は連続である．

$f$が開写像のとき，任意の$U \in \tau(f)$に対して$f^{-1}(U) \in \tau(Y)$と$f$の全射性より
$$ U = f(f^{-1}(U)) \in \tau(X)$$
が成り立つ．$f$が閉写像のときも同様である．

• $f$が全射であることは明らか．
• $U \in \tau(f)$とする．このとき，$f^{-1}(U) \in \tau(Y)$と$s$の連続性から
  $$ U = (f \circ s)^{-1}(U) = s^{-1}(f^{-1}(U)) \in \tau(X)$$
  が成り立つ．

• $f$の全射性より，$\overline{g}$の一意性がしたがう．
• $x \in X$とする．仮定より$\{g(y) \mid y \in f^{-1}(x)\}$は単集合であるから，写像$\overline{g} \colon X \to Z$が
  $$ \{\overline{g}(x)\} = \{g(y) \mid y \in f^{-1}(x)\}$$
  により定まる．
• 明らかに$\overline{g} \circ f = g$が成り立つ．したがって定理2の系より
  $$ \overline{g} \colon (X,\tau(X)) \to (Z,\tau(Z))$$
  は連続である．

(i)$\implies$(ii)

$V \subset Y$を$f$飽和開集合とする．このとき$f^{-1}(f(V)) = V \in \tau(Y)$より$f(V) \in \tau(X)$となる．よって
$$ g(V) = \overline{g}(f(V)) \in \tau(Z)$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$U \in \tau(X)$とする．$V = f^{-1}(U) \in \tau(Y)$とおくと，$f$の全射性より$f^{-1}(f(V)) = f^{-1}(U) = V$となるので，$V \subset Y$は$f$飽和開集合である．よって
$$ \overline{g}(U) = \overline{g}(f(V)) = g(V) \in \tau(Z)$$
が成り立つ．

1. 任意の$W \subset Z$に対して，等化位相の定義と$f$の連続性より，
   \begin{align} W \in \tau(g) &\iff g^{-1}(W) \in \tau(X)\\ &\implies (g \circ f)^{-1}(W) = f^{-1}(g^{-1}(W)) \in \tau(Y)\\ &\iff W \in \tau(g \circ f) \end{align}
   が成り立つ．
2. $f$が等化写像ならば
   $$ f^{-1}(g^{-1}(W)) \in \tau(Y) \implies g^{-1}(W) \in \tau(X)$$
   が成り立つ．

全射性については明らか．

1. $\tau(Z) = \tau(g \circ f) \supset \tau(g) \supset \tau(Z)$より，$\tau(g) = \tau(Z)$を得る．
2. $\tau(g \circ f) = \tau(g) = \tau(Z)$が成り立つ．

任意の$B \subset Y$に対して
$$ f^{A}(B \cap f^{-1}(A)) = f(B \cap f^{-1}(A)) = f(B) \cap A$$
が成り立つことからしたがう．

1. $f$は連続なので$f^{A} \colon (f^{-1}(A),\tau(Y)|f^{-1}(A)) \to (A,\tau(X)|A)$は連続である．よって$\tau(f^{A}) \supset \tau(X)|A$を得る．
2. 1. $U \in \tau(f^{A})$とする．このとき$f^{-1}(A) \in \tau(Y)$より
      $$ f^{-1}(U) = (f^{A})^{-1}(U) \in \tau(Y)|f^{-1}(A) \subset \tau(Y)$$
      となるので，$U \in \tau(X)$を得る．よって$U = U \cap A \in \tau(X)|A$が成り立つ．
   2. 補題8より
      $$ f^{A} \colon (f^{-1}(A),\tau(Y)|f^{-1}(A)) \to (A,\tau(X)|A)$$
      は全射連続開写像であるから，命題3より等化写像である．
   3. (1)と同様．
   4. (2)と同様．

(i)$\implies$(ii)

明らか．

(ii)$\implies$(i)

仮定より，各$\lambda \in \Lambda$に対して
$$ g \colon (X,\tau(f_{\lambda})) \to (Z,\tau(Z))$$
は連続である．よって，任意の$U \in \tau(Z)$に対して
$$ g^{-1}(U) \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \tau(f_{\lambda}) = \tau(f_{\bullet})$$
が成り立つ．

$X$の位相$\tau(X)$に関して，
$$ \forall \lambda \in \Lambda,\, f_{\lambda} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \to (X,\tau(X)):\text{continuous}$$
が成り立つとする．このとき，等化位相の普遍性より$\id_{X} \colon (X,\tau(f_{\bullet})) \to (X,\tau(X))$は連続である．
$$ \xymatrix{ {(X_{\lambda},\tau_{\lambda})} \ar[r]^{f_{\lambda}} \ar[d]_{f_{\lambda}} & {(X,\tau(X))}\\ {(X,\tau(f_{\bullet}))} \ar[ur]_{\id_{X}} }$$

• 任意の$(\mu,\lambda) \in \coprod \Lambda_{\bullet}$に対して
  $$ f_{\mu} \circ f_{\mu,\lambda} \colon (X_{\mu,\lambda},\tau_{\mu,\lambda}) \xrightarrow{f_{\mu,\lambda}} (X_{\mu},\tau_{\mu}) \xrightarrow{f_{\mu}} (X,\tau(f_{\bullet}))$$
  は連続写像の合成ゆえ連続である．よって定理10の系より
  $$ \tau(X) \supset \tau(f_{\bullet})$$
  が成り立つ．
• $\mu \in M$とする．このとき，任意の$\lambda \in \Lambda_{\mu}$に対して
  $$ f_{\mu} \circ f_{\mu,\lambda} \colon (X_{\mu,\lambda},\tau_{\mu,\lambda}) \to (X,\tau(X))$$
  は連続であるから，等化位相$\tau_{\mu}$の普遍性より，$f_{\mu} \colon (X_{\mu},\tau_{\mu}) \to (X,\tau(X))$は連続である．よって定理10の系より
  $$ \tau(f_{\bullet}) \supset \tau(X)$$
  が成り立つ．

任意の部分集合$A_{\lambda} \subset X_{\lambda}$に対して
$$ \forall \mu \in \Lambda,\ i_{\mu}^{-1}(i_{\lambda}(A_{\lambda})) = \begin{cases} A_{\lambda} &, \mu = \lambda\\ \varnothing &, \mu \neq \lambda \end{cases}$$
が成り立つことからしたがう．

• 一意性は補題1.2よりしたがう．
• 写像$\nabla(f_{\bullet}) \colon \coprod X_{\bullet} = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \{\lambda\} \times X_{\lambda} \to X$を
  $$ \nabla(f_{\bullet})(\lambda,x_{\lambda}) = f_{\lambda}(x_{\lambda})$$
  で定める．このとき，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
  $$ \nabla(f_{\bullet}) \circ i_{\lambda} = f_{\lambda} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \to (X,\tau(X)):\text{continuous}$$
  が成り立つ．よって
  $$ \nabla(f_{\bullet}) \colon \left(\coprod X_{\bullet},\tau(i_{\bullet})\right) \to (X,\tau(X))$$
  は連続である．

1. 各$f_{\lambda}$が開写像であるとき，任意の$U \in \tau(i_{\bullet})$に対して
   $$ \nabla(f_{\bullet})(U) = \nabla(f_{\bullet})\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{\lambda}(i_{\lambda}^{-1}(U))\right) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda}(i_{\lambda}^{-1}(U)) \in \tau(X)$$
   が成り立つ．
2. 仮定より，閉集合$C \in \tau(i_{\bullet})$に対して$(f_{\lambda}(i_{\lambda}^{-1}(C)))_{\lambda \in \Lambda}$は$X$の局所有限な閉集合族なので
   $$ \nabla(f_{\bullet})(C) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda}(i_{\lambda}^{-1}(C)) \in \tau^{c}(X)$$
   が成り立つ（ 参考 ）．

• $\coprod f_{\bullet} = \nabla((i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda})$とおけばよい．
• 任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
  \begin{align} \left(\coprod g_{\bullet} \circ \coprod f_{\bullet}\right) \circ i_{X_{\lambda}} &= \coprod g_{\bullet} \circ i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda}\\ &= i_{Z_{\lambda}} \circ g_{\lambda} \circ f_{\lambda}\\ &= i_{Z_{\lambda}} \circ h_{\lambda}\\ &= \coprod h_{\bullet} \circ i_{X_{\lambda}} \end{align}
  が成り立つので，補題1.2より結論を得る．
  $$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[rr]^{f_{\lambda}} \ar@/^2pc/[rrrr]^{h_{\lambda}} \ar[d]_{i_{X_{\lambda}}}& {} & {Y_{\lambda}} \ar[rr]^{g_{\lambda}} \ar[d]_{i_{Y_{\lambda}}} & {} & {Z_{\lambda}} \ar[d]^{i_{Z_{\lambda}}}\\ {\coprod X_{\bullet}} \ar[rr]_{\coprod f_{\bullet}} \ar@/_2pc/[rrrr]_{\coprod h_{\bullet}} & {} & {\coprod Y_{\bullet}} \ar[rr]_{\coprod g_{\bullet}} & {} & {\coprod Z_{\bullet}} }$$

1. 命題12より各$i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda}$は開写像であるから，定理14と$\coprod f_{\bullet}$の定義よりしたがう．
2. 命題12より各$i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda}$は閉写像であり，$(i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda}(X_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda}$は局所有限であるから，定理14より結論を得る．
3. 等化位相の推移性（命題13（もしくは定理14のあとの注意），定理7）より
   \begin{align} \tau\left(\coprod f_{\bullet}\right) &= \tau((i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda})\\ &= \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \tau(i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda})\\ &= \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \tau(i_{Y_{\lambda}})\\ &= \tau(i_{Y_{\bullet}}) \end{align}
   が成り立つ．

• $X = \coprod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda},\, Y = \coprod_{\mu \in M} Y_{\mu}$とおく．
• $\lambda \in \Lambda$とする．このとき$\mu(\lambda) \in M$であって$\lambda \in \Lambda_{\mu(\lambda)}$となるものがただ一つ存在する．そこで自然な入射の合成を$f_{\lambda} = i_{Y_{\mu(\lambda)}} \circ i_{\lambda}^{\mu(\lambda)}$とおくと
  $$ f_{\lambda} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \xrightarrow{i_{\lambda}^{\mu(\lambda)}} (Y_{\mu(\lambda)},\tau_{\mu(\lambda)}) \xrightarrow{i_{Y_{\mu(\lambda)}}} (Y,\tau(Y))$$
  は連続である．よって，余積空間$(X,\tau(X))$の普遍性より，連続写像$f \colon (X,\tau(X)) \to (Y,\tau(Y))$であって，以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
  $$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{f_{\lambda}} \ar[d]_{i_{\lambda}} & {Y}\\ {X} \ar@{.>}[ur]_{f} }$$
• $\mu \in M$とする．任意の$\lambda \in \Lambda_{\mu}$に対して$i_{\lambda} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \to (X,\tau(X))$は連続なので，余積空間$(Y_{\mu},\tau_{\mu})$の普遍性より，連続写像$i_{\Lambda_{\mu}} \colon (Y_{\mu},\tau_{\mu}) \to (X,\tau(X))$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
  $$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{i_{\lambda}} \ar[d]_{i_{\lambda}^{\mu}} & {X}\\ {Y_{\mu}} \ar@{.>}[ur]_{i_{\Lambda_{\mu}}} }$$
  よって，余積空間$(Y,\tau(Y))$の普遍性より，連続写像$g \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
  $$ \xymatrix{ {Y_{\mu}} \ar[r]^{i_{\Lambda_{\mu}}} \ar[d]_{i_{Y_{\mu}}} & {X}\\ {Y} \ar@{.>}[ur]_{g} }$$
• いま，任意の$(\mu(\lambda),\lambda) \in \coprod \Lambda_{\bullet}$に対して
  $$ (g \circ f) \circ i_{\lambda} = g \circ f_{\lambda} = g \circ i_{Y_{\mu(\lambda)}} \circ i_{\lambda}^{\mu(\lambda)} = i_{\Lambda_{\mu(\lambda)}} \circ i_{\lambda}^{\mu(\lambda)} = i_{\lambda} = \id_{X} \circ i_{\lambda}$$
  が成り立つので，補題1.2より$g \circ f = \id_{X}$を得る．
  $$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{i_{\lambda}} \ar[d]_{i_{\lambda}} & {X}\\ {\coprod X_{\bullet}} \ar[ur]_{g \circ f} \ar@/_1.5pc/[ur]_{\id_{X}} }$$
• また，$\mu \in M$とすると，任意の$\lambda \in \Lambda_{\mu}$に対して
  $$ (f \circ g \circ i_{Y_{\mu}}) \circ i_{\lambda}^{\mu} = f \circ i_{\Lambda_{\mu}} \circ i_{\lambda}^{\mu} = f \circ i_{\lambda} = f_{\lambda} = i_{Y_{\mu}} \circ i_{\lambda}^{\mu}$$
  となるので，補題1.2より$(f \circ g) \circ i_{Y_{\mu}} = i_{Y_{\mu}} = \id_{Y} \circ i_{Y_{\mu}}$が成り立つ．よって$f \circ g = \id_{Y}$を得る．
  $$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{i_{Y_{\mu}} \circ i_{\lambda}^{\mu}} \ar[d]_{i_{\lambda}^{\mu}} & {Y} & {Y_{\mu}} \ar[r]^{i_{Y_{\mu}}} \ar[d]_{i_{Y_{\mu}}} & {Y}\\ {Y_{\mu}} \ar[ur]_{i_{Y_{\mu}}} \ar@/_1.5pc/[ur]_{f \circ g \circ i_{Y_{\mu}}} & {} & {\coprod Y_{\bullet}} \ar[ur]_{f \circ g} \ar@/_1.5pc/[ur]_{\id_{Y}} }$$

$\Lambda$の分割として$(\{\varphi(\lambda)\})_{\lambda \in \Lambda}$を考えればよい．

• 各$\lambda \in \Lambda$に対して，$(X_{\lambda},\tau_{\lambda})$と$(Y_{\varphi(\lambda)},\tau_{\varphi(\lambda)})$との同相を与える写像を$f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to Y_{\varphi(\lambda)}$とする．
• このとき，定理14の系より$\coprod_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda \in \Lambda} \colon \coprod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \to \coprod_{\lambda \in \Lambda} Y_{\varphi(\lambda)}$は全単射連続開写像ゆえ同相写像である．
• $\Lambda$の分割$(\{\varphi^{-1}(\mu)\})_{\mu \in M}$を考えて，定理16より同相$\coprod_{\lambda \in \Lambda} Y_{\varphi(\lambda)} \approx \coprod_{\mu \in M} Y_{\mu}$を得る．

$\tau(i_{A_{\bullet}}) \supset \tau(i_{X_{\bullet}})|\coprod A_{\bullet}$

$\lambda \in \Lambda$とする．任意の$a_{\lambda} \in A_{\lambda}$に対して
$$ \incl{\coprod A_{\bullet}}{\coprod X_{\bullet}} \circ i_{A_{\lambda}}(a_{\lambda}) = (\lambda,a_{\lambda}) = i_{X_{\lambda}} \circ \incl{A_{\lambda}}{X_{\lambda}}(a_{\lambda}) = \coprod \incl{A_{\bullet}}{X_{\bullet}} \circ i_{A_{\lambda}}(a_{\lambda}) $$
が成り立つので，補題1.2より
$$ \incl{\coprod A_{\bullet}}{\coprod X_{\bullet}} = \coprod \incl{A_{\bullet}}{X_{\bullet}} \colon \coprod A_{\bullet} \to \coprod X_{\bullet}$$
が成り立つ．
$$ \xymatrix{ {A_{\lambda}} \ar[rr]^{\incl{A_{\lambda}}{X_{\lambda}}} \ar[d]_{i_{A_{\lambda}}} & {} & {X_{\lambda}} \ar[d]^{i_{X_{\lambda}}} \\ {\coprod A_{\bullet}} \ar[rr]_{\incl{\coprod A_{\bullet}}{\coprod X_{\bullet}} = \coprod \incl{A_{\bullet}}{X_{\bullet}}} & {} & {\coprod X_{\bullet}} }$$
したがって，包含写像
$$ \incl{\coprod A_{\bullet}}{\coprod X_{\bullet}} = \coprod \incl{A_{\bullet}}{X_{\bullet}} \colon \left(\coprod A_{\bullet},\tau(i_{A_{\bullet}})\right) \to \left(\coprod X_{\bullet},\tau(i_{X_{\bullet}})\right)$$
は連続であるから，
$$ \tau(i_{A_{\bullet}}) \supset \tau(i_{X_{\bullet}})|\coprod A_{\bullet}$$
が成り立つ．

$\tau(i_{A_{\bullet}}) \subset \tau(i_{X_{\bullet}})|\coprod A_{\bullet}$

$U_{A} \in \tau(i_{A_{\bullet}})$とする．各$\lambda \in \Lambda$に対して，$i_{A_{\lambda}}^{-1}(U_{A}) \in \tau_{\lambda}|A_{\lambda}$より，$U_{\lambda} \in \tau_{\lambda}$であって$i_{A_{\lambda}}^{-1}(U_{A}) = U_{\lambda} \cap A_{\lambda}$となるものが存在する．そこで$U = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{X_{\lambda}}(U_{\lambda}) \subset \coprod X_{\bullet}$とおくと，命題12より$U \in \tau(i_{X_{\bullet}})$であり，$i_{X_{\lambda}}^{-1}(U) = U_{\lambda}$が成り立つ．このとき
\begin{align} U_{A} &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{A_{\lambda}}(i_{A_{\lambda}}^{-1}(U_{A}))\\ &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{X_{\lambda}}(U_{\lambda} \cap A_{\lambda})\\ &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{X_{\lambda}}(i_{X_{\lambda}}^{-1}(U) \cap A_{\lambda})\\ &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U \cap i_{X_{\lambda}}(A_{\lambda})\\ &= U \cap \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{A_{\lambda}}(A_{\lambda})\\ &= U \cap \coprod A_{\bullet} \end{align}
より，$U_{A} \in \tau(i_{X_{\bullet}})|\coprod A_{\bullet}$を得る．

定理14の系より
$$ \coprod f_{\bullet} = \coprod \incl{f_{\bullet}(X_{\bullet})}{Y_{\bullet}} \circ \coprod f_{\bullet}^{f_{\bullet}(X_{\bullet})}$$
が成り立つ．$\coprod f_{\bullet}^{f_{\bullet}(X_{\bullet})}$は同相写像であり，包含写像$\coprod \incl{f_{\bullet}(X_{\bullet})}{Y_{\bullet}} = \incl{\coprod f_{\bullet}(X_{\bullet})}{\coprod Y_{\bullet}}$は位相的埋め込みであるから，$\coprod f_{\bullet}$は位相的埋め込みである（命題21）．
$$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[rr]^{f_{\lambda}^{f_{\lambda}(X_{\lambda})}}_{\approx} \ar@/^2.5pc/[rrrr]^{f_{\lambda}}_{\text{top. emb.}} \ar[d]_{i_{X_{\lambda}}}& {} & {f_{\lambda}(X_{\lambda})} \ar[rr]^{\incl{f_{\lambda}(X_{\lambda})}{Y_{\lambda}}}_{\text{top. emb.}} \ar[d]_{i_{f_{\lambda}(X_{\lambda})}} & {} & {Y_{\lambda}} \ar[d]^{i_{Y_{\lambda}}}\\ {\coprod X_{\bullet}} \ar[rr]^{\coprod f_{\bullet}^{f_{\bullet}(X_{\bullet})}}_{\approx} \ar@/_2.5pc/[rrrr]^{\coprod f_{\bullet}} & {} & {\coprod f_{\bullet}(X_{\bullet})} \ar[rr]^{\coprod \incl{f_{\bullet}(X_{\bullet})}{Y_{\bullet}}}_{\text{top. emb.}} & {} & {\coprod Y_{\bullet}} }$$

1. 1. 各$\lambda \in \Lambda$に対して$i_{X_{\lambda}}^{-1}\left(\coprod \overline{A_{\bullet}}\right) = \overline{A_{\lambda}} \in \tau^{c}_{\lambda}$が成り立つので，$\coprod \overline{A_{\bullet}} \subset \coprod X_{\bullet}$は$\coprod A_{\bullet}$を含む閉集合である．よって$\overline{\coprod A_{\bullet}} \subset \coprod \overline{A_{\bullet}}$が成り立つ．
   2. $x = (\lambda,x_{\lambda}) \in \coprod \overline{A_{\bullet}}$とする．このとき，任意の$U \in \tau(x,\coprod X_{\bullet})$に対して，$x_{\lambda} \in i_{X_{\lambda}}^{-1}(U) \cap \overline{A_{\lambda}}$より$a_{\lambda} \in i_{X_{\lambda}}^{-1}(U) \cap A_{\lambda}$が取れることから，
      $$ i_{X_{\lambda}}(a_{\lambda}) \in i_{X_{\lambda}}(i_{X_{\lambda}}^{-1}(U) \cap A_{\lambda}) = U \cap i_{X_{\lambda}}(A_{\lambda}) \subset U \cap \coprod A_{\bullet} \neq \varnothing$$
      が成り立つ．よって$x \in \overline{\coprod A_{\bullet}}$を得る．
2. 1. 各$\lambda \in \Lambda$に対して，$i_{X_{\lambda}}^{-1}(\mathrm{int}(\coprod A_{\bullet})) \subset X_{\lambda}$は$A_{\lambda}$に含まれる開集合であるから，$i_{X_{\lambda}}^{-1}(\mathrm{int}(\coprod A_{\bullet})) \subset \mathrm{int}(A_{\lambda})$が成り立つ．よって
      $$ \mathrm{int}\left(\coprod A_{\bullet}\right) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{X_{\lambda}}\left(i_{X_{\lambda}}^{-1}\left(\mathrm{int}\left(\coprod A_{\bullet}\right)\right)\right) \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{X_{\lambda}}(\mathrm{int}(A_{\lambda})) = \coprod \mathrm{int}(A_{\bullet})$$
      が成り立つ．
   2. $\coprod \mathrm{int}(A_{\bullet}) \subset \coprod X_{\bullet}$は$\coprod A_{\bullet}$に含まれる開集合であるから$\coprod \mathrm{int}(A_{\bullet}) \subset \mathrm{int}(\coprod A_{\bullet})$が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

1. $T_{1}$空間への単射連続写像$i_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to \coprod X_{\bullet}$が存在するので，命題2.20より，$X_{\lambda}$は$T_{1}$空間である．
2. $T_{2}$空間への単射連続写像$i_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to \coprod X_{\bullet}$が存在するので，命題2.23より，$X_{\lambda}$は$T_{2}$空間である．
3. 命題12より$X_{\lambda}$は正則空間の部分空間$i_{\lambda}(X_{\lambda}) \subset \coprod X_{\bullet}$と同相なので，命題2.26より，$X_{\lambda}$は正則空間である．
4. 命題12より$X_{\lambda}$は正規空間の閉部分空間$i_{\lambda}(X_{\lambda}) \subset \coprod X_{\bullet}$と同相なので，命題2.29より，$X_{\lambda}$は正規空間である．

(ii)$\implies$(i)

1. $x = (\lambda,x_{\lambda}) \in \coprod X_{\bullet}$とする．仮定より$\{x_{\lambda}\} \in \tau^{c}(X_{\lambda})$であるから，命題12より$\{x\} = i_{\lambda}(\{x_{\lambda}\}) \in \tau^{c}(\coprod X_{\bullet})$が成り立つ．
2. $x = (\lambda,x_{\lambda}) \neq (\mu,y_{\mu}) = y$とする．$\lambda \neq \mu$のときは$U = i_{\lambda}(X_{\lambda}),\,V = i_{\mu}(X_{\mu})$とおく；$\lambda = \mu$のとき，$x_{\lambda} \neq y_{\lambda}$より，$U_{\lambda} \in \tau(x_{\lambda},X_{\lambda}),\,V_{\lambda} \in \tau(y_{\lambda},X_{\lambda})$であって$U_{\lambda} \cap V_{\lambda} = \varnothing$となるものが存在する．そこで$U = i_{\lambda}(U_{\lambda}),\,V = i_{\lambda}(V_{\lambda})$とおく．命題12より，いづれの場合も
   $$ U \in \tau\left(x,\coprod X_{\bullet}\right),\ V \in \tau\left(y,\coprod X_{\bullet}\right),\ U \cap V = \varnothing$$
   が成り立つ．
3. $x = (\lambda,x_{\lambda}) \in \coprod X_{\bullet},\,F \in \tau^{c}(\coprod X_{\bullet}),\, x \notin F$とする．このとき
   $$ x_{\lambda} \in X_{\lambda},\ i_{\lambda}^{-1}(F) \in \tau^{c}(X_{\lambda}),\ x_{\lambda} \notin i_{\lambda}^{-1}(F)$$
   より，$U_{\lambda} \in \tau(x_{\lambda},X_{\lambda}),\,V_{\lambda} \in \tau(i_{\lambda}^{-1}(F),X_{\lambda})$であって$U_{\lambda} \cap V_{\lambda} = \varnothing$となるものが存在する．そこで$U = i_{\lambda}(U_{\lambda}),\,V = i_{\lambda}(V_{\lambda}) \cup \bigcup_{\mu \neq \lambda} i_{\mu}(X_{\mu})$とおくと，命題12より，
   $$ U \in \tau\left(x,\coprod X_{\bullet}\right),\ V \in \tau\left(F,\coprod X_{\bullet} \right),\ U \cap V = \varnothing$$
   が成り立つ．
4. $C,F \in \tau^{c}(\coprod X_{\bullet}),\,C \cap F = \varnothing$とする．このとき各$\lambda \in \Lambda$に対して，
   $$ i_{\lambda}^{-1}(C),i_{\lambda}^{-1}(F) \in \tau^{c}(X_{\lambda}),\ i_{\lambda}^{-1}(C) \cap i_{\lambda}^{-1}(F) = \varnothing$$
   より，それぞれの開近傍$U_{\lambda}, V_{\lambda} \in \tau(X_{\lambda})$であって$U_{\lambda} \cap V_{\lambda} = \varnothing$となるものが存在する．そこで$U = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{\lambda}(U_{\lambda}), V = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{\lambda}(V_{\lambda})$とおくと，命題12より，
   $$ U \in \tau\left(C,\coprod X_{\bullet}\right),\ V \in \tau\left(F,\coprod X_{\bullet}\right),\ U \cap V = \varnothing$$
   が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$U \in \tau(X)$とする．このとき，
$$ f(U) = f^{f(X)}(U) \in \tau(Y)|f(X)$$
より，$V \in \tau(Y)$であって$f(U) = V \cap f(X)$となるものが存在する．したがって$f$の単射性より
$$ U = f^{-1}(f(U)) = f^{-1}(V \cap f(X)) = f^{-1}(V) \cap X = f^{-1}(V) \in f^{-1}(\tau(Y))$$
を得る．

(ii)$\implies$(i)

全単射連続写像
$$ f^{f(X)} \colon (X,\tau(X)) \to (f(X),\tau(Y)|f(X))$$
が開写像であることを示せばよい．そこで$U \in \tau(X)$とすると，仮定より$V \in \tau(Y)$であって$U = f^{-1}(V)$となるものが存在する．したがって
$$ f^{f(X)}(U) = f(f^{-1}(V) \cap X) = V \cap f(X) \in \tau(Y)|f(X)$$
が成り立つ．

1. $g \circ f$の単射性より$f$の単射性がしたがう．また，命題2.2より
   $$ \tau(X) = (g \circ f)^{-1}(\tau(Z)) = f^{-1}(g^{-1}(\tau(Z))) \subset f^{-1}(\tau(Y)) \subset \tau(X)$$
   が成り立つので，$\tau(X) = f^{-1}(\tau(Y))$を得る．
2. $f,g$の単射性より$g \circ f$の単射性がしたがう．また，命題2.2より
   $$ \tau(X) = f^{-1}(\tau(Y)) = f^{-1}(g^{-1}(\tau(Z))) = (g \circ f)^{-1}(\tau(Z))$$
   が成り立つ．

$U \in \tau(X)$とする．このとき$f$の単射性より
$$ g^{-1}(g(U)) = f^{-1}(f(U)) = U \in \tau(X)$$
となるので，$g(U) \in \tau(f^{f(X)})$を得る．したがって$g$は開写像である．同様にして$g$が閉写像であることもわかる．

以下の可換図式を眺めればわかる：
$$ \xymatrix{ {}&{} & {(f(X),\tau(f^{f(X)}))} \ar[dd]^{\text{conti. bij.}}\\ {(X,\tau(X))} \ar[urr]^{\approx} \ar[rrd]_{\text{conti. bij.}}\\ {}&{} & {(f(X),\tau(Y)|f(X))} }$$

1. 定理2.7の系．
2. 同上．
3. $C \in \tau^{c}(X)$とすると，仮定より$C \subset X$はコンパクトであるからその連続像$f(C) \subset Y$はコンパクト，したがって閉集合である．よって(2)より結論を得る．
4. 仮定より$f \colon X \to Y$は完全写像，とくに閉写像である（ 参考 ）．