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大学数学基礎
文献あり

終域に余誘導される位相

1938
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$$\newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{incl}[2]{\mathrm{id}_{#1}^{#2}} \newcommand{supp}[1]{\mathrm{supp}(#1)} \newcommand{transpose}[0]{\mathsf{T}} $$

写像による等化位相

$X$を集合,$(Y,\tau(Y))$を位相空間とし,$f \colon Y \to X$を写像とする.このとき
$$ \tau(f) = \{U \subset X \mid f^{-1}(U) \in \tau(Y)\}$$
とおくと,これは$X$の位相を定める.$\tau(f)$を($f$による)等化位相(identification topology)という.

  • 等化位相の定義より
    $$ f \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(f))$$
    は連続である.
  • 任意の$x \in X \smallsetminus f(Y)$に対して$f^{-1}(\{x\}) = \varnothing \in \tau(Y)$となるので,$\tau(f)|(X \smallsetminus f(Y))$は離散位相である.
等化位相の閉集合系

$X$を集合,$(Y,\tau(Y))$を位相空間とし,$f \colon Y \to X$を写像とする.このとき
$$ \tau(f)^{c} = \tau^{c}(f) := \{C \subset X \mid f^{-1}(C) \in \tau^{c}(Y)\}$$
が成り立つ.

任意の$C \subset X$に対して
$$ f^{-1}(X \smallsetminus C) = Y \smallsetminus f^{-1}(C)$$
が成り立つことからしたがう.

等化位相の普遍性

$X$を集合,$(Y,\tau(Y))$を位相空間とし,$f \colon Y \to X$を写像とする.このとき,任意の位相空間$(Z,\tau(Z))$と写像$g \colon X \to Z$に対して,次は同値である:

  1. $g \colon (X,\tau(f)) \to (Z,\tau(Z)):\text{continuous}$;
  2. $g \circ f \colon (Y,\tau(Y)) \to (Z,\tau(Z)):\text{continuous}$.
    $$ \xymatrix{ {Y} \ar[r]^{g \circ f} \ar[d]_{f} & {Z} \\ {X} \ar[ur]_{g} }$$

(i)$\implies$(ii)

明らか.

(ii)$\implies$(i)

$W \in \tau(Z)$とする.このとき
$$ f^{-1}(g^{-1}(W)) = (g \circ f)^{-1}(W) \in \tau(Y)$$
より$g^{-1}(W) \in \tau(f)$が成り立つ.

等化位相$\tau(f)$$f \colon Y \to X$が連続となるような$X$の位相のうち最も細かい(強い),すなわち最も開集合が多いものである.

$\tau(X)$に関して$f \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$が連続であるとする.このとき,等化位相の普遍性より$\id_{X} \colon (X,\tau(f)) \to (X,\tau(X))$は連続である.
$$ \xymatrix{ {(Y,\tau(Y))} \ar[r]^{f} \ar[d]_{f} & {(X,\tau(X))} \\ {(X,\tau(f))} \ar[ur]_{\id_{X}} }$$

等化写像と等化空間

$f \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$を連続写像とする.$\tau(f) = \tau(X)$,すなわち任意の$U \subset X$に対して
$$ f^{-1}(U) \in \tau(Y) \implies U \in \tau(X)$$
が成り立つとき,$f$等化写像(identification map)という.とくに$f$が全射であるとき$(X,\tau(X))$を($f$による)等化空間(identification space)という.(何を``identify"しているのかについては5節冒頭の注意を参照されたい.)

$f \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$を連続写像とする.このとき次は同値である:

  1. $f$は等化写像である;
  2. 任意の位相空間$(Z,\tau(Z))$と写像$g \colon X \to Z$に対して,
    $$ g \circ f \colon (Y,\tau(Y)) \to (Z,\tau(Z)):\text{continuous} \implies g \colon (X,\tau(X)) \to (Z,\tau(Z)):\text{continuous}$$
    が成り立つ.

(i)$\implies$(ii)

明らか.

(ii)$\implies$(i)

$f \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$の連続性より,$\tau(f) \supset \tau(X)$であるから,あとは$\tau(X) \supset \tau(f)$を示せばよい.そこで位相空間$(X,\tau(f))$と写像$\id_{X} \colon X \to X$を考えると,
$$ f = \id_{X} \circ f \colon (Y,\tau(Y)) \xrightarrow{f} (X,\tau(X)) \xrightarrow{\id_{X}} (X,\tau(f))$$
は連続なので,
$$ \id_{X} \colon (X,\tau(X)) \to (X,\tau(f))$$
は連続である.

等化写像となるための十分条件(cf. 定理2.7の系)

$f \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$を全射連続写像とする.このとき,$f$が開写像(resp. 閉写像)ならば$f$は全射等化写像である.

$f$が開写像のとき,任意の$U \in \tau(f)$に対して$f^{-1}(U) \in \tau(Y)$$f$の全射性より
$$ U = f(f^{-1}(U)) \in \tau(X)$$
が成り立つ.$f$が閉写像のときも同様である.

等化写像となるための十分条件

$f \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$を連続写像とする.このとき,連続写像$s \colon (X,\tau(X)) \to (Y,\tau(Y))$であって$f \circ s = \id_{X}$となるものが存在するならば,$f$は全射等化写像である.

  • $f$が全射であることは明らか.
  • $U \in \tau(f)$とする.このとき,$f^{-1}(U) \in \tau(Y)$$s$の連続性から
    $$ U = (f \circ s)^{-1}(U) = s^{-1}(f^{-1}(U)) \in \tau(X)$$
    が成り立つ.
等化空間の普遍性

$f \colon Y \to X$を全射等化写像とする.また,$g \colon Y \to Z$を連続写像とする.このとき,任意の$y \in Y$に対して$g|f^{-1}(f(y))$が定値写像である,すなわち任意の$y,y' \in Y$に対して
$$ f(y) = f(y') \implies g(y) = g(y')$$
が成り立つならば,連続写像$\overline{g} \colon X \to Z$であって$\overline{g} \circ f = g$を満たすものがただ一つ存在する.
$$ \xymatrix{ {Y} \ar[r]^{g} \ar[d]_{f} & {Z} \\ {X} \ar@{.>}[ur]_{\overline{g}} }$$

  • $f$の全射性より,$\overline{g}$の一意性がしたがう.
  • $x \in X$とする.仮定より$\{g(y) \mid y \in f^{-1}(x)\}$は単集合であるから,写像$\overline{g} \colon X \to Z$
    $$ \{\overline{g}(x)\} = \{g(y) \mid y \in f^{-1}(x)\}$$
    により定まる.
  • 明らかに$\overline{g} \circ f = g$が成り立つ.したがって定理2の系より
    $$ \overline{g} \colon (X,\tau(X)) \to (Z,\tau(Z))$$
    は連続である.

$f \colon Y \to X$を写像とし,$B \subset Y$とする.$f^{-1}(f(B)) = B$が成り立つとき,$B$$f$飽和集合($f$-saturated subset)という.

定理5の連続写像$\overline{g} \colon X \to Z$について,次は同値である:

  1. $\overline{g}$は開写像(resp. 閉写像)である;
  2. 任意の$f$飽和開集合$V \subset Y$(resp. $f$飽和閉集合$C \subset Y$)に対して,$g(V) \in \tau(Z)$(resp. $g(C) \in \tau^{c}(Z)$)が成り立つ.

(i)$\implies$(ii)

$V \subset Y$$f$飽和開集合とする.このとき$f^{-1}(f(V)) = V \in \tau(Y)$より$f(V) \in \tau(X)$となる.よって
$$ g(V) = \overline{g}(f(V)) \in \tau(Z)$$
が成り立つ.

(ii)$\implies$(i)

$U \in \tau(X)$とする.$V = f^{-1}(U) \in \tau(Y)$とおくと,$f$の全射性より$f^{-1}(f(V)) = f^{-1}(U) = V$となるので,$V \subset Y$$f$飽和開集合である.よって
$$ \overline{g}(U) = \overline{g}(f(V)) = g(V) \in \tau(Z)$$
が成り立つ.

等化位相の推移性

$f \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$を連続写像,$Z$を集合,$g \colon X \to Z$を写像とする.このとき,$Z$上のふたつの等化位相$\tau(g \circ f)$$\tau(g)$について,次が成り立つ:

  1. $\tau(g \circ f) \supset \tau(g)$;
  2. $f \colon Y \to X$が等化写像ならば,$\tau(g \circ f) \subset \tau(g)$も成り立つ.
    $$ \xymatrix{ {} & {Y} \ar[dl]_{f} \ar[dd]^{g \circ f}\\ {X} \ar[dr]_{g} & {}\\ {} & {Z} }$$
  1. 任意の$W \subset Z$に対して,等化位相の定義と$f$の連続性より,
    \begin{align} W \in \tau(g) &\iff g^{-1}(W) \in \tau(X)\\ &\implies (g \circ f)^{-1}(W) = f^{-1}(g^{-1}(W)) \in \tau(Y)\\ &\iff W \in \tau(g \circ f) \end{align}
    が成り立つ.
  2. $f$が等化写像ならば
    $$ f^{-1}(g^{-1}(W)) \in \tau(Y) \implies g^{-1}(W) \in \tau(X)$$
    が成り立つ.

$f \colon Y \to X,\, g \colon X \to Z$を連続写像とする.

  1. $g \circ f$が(全射)等化写像ならば,$g$は(全射)等化写像である;
  2. $f,g$が(全射)等化写像ならば,$g \circ f$も(全射)等化写像である.

全射性については明らか.

  1. $\tau(Z) = \tau(g \circ f) \supset \tau(g) \supset \tau(Z)$より,$\tau(g) = \tau(Z)$を得る.
  2. $\tau(g \circ f) = \tau(g) = \tau(Z)$が成り立つ.

等化位相と相対位相

$f \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$を開写像(resp. 閉写像)とする.このとき,任意の$A \subset X$に対して
$$ f^{A} \colon (f^{-1}(A),\tau(Y)|f^{-1}(A)) \to (A,\tau(X)|A)$$
は開写像(resp. 閉写像)である.

任意の$B \subset Y$に対して
$$ f^{A}(B \cap f^{-1}(A)) = f(B \cap f^{-1}(A)) = f(B) \cap A$$
が成り立つことからしたがう.

$f \colon Y \to X$を等化写像とし,$A \subset X$とする.$A$上のふたつの位相,すなわち

  • 相対位相$\tau(X)|A$
  • 部分空間$(f^{-1}(A),\tau(Y)|A)$からの写像$f^{A} \colon f^{-1}(A) \to A$による等化位相$\tau(f^{A})$

を考える.

  1. $\tau(f^{A}) \supset \tau(X)|A$が成り立つ;
  2. 以下のいづれかが成り立つとき,$\tau(f^{A}) \subset \tau(X)|A$が成り立つ:
    1. $A \in \tau(X)$;
    2. $f:\text{open surjection}$;
    3. $A \in \tau^{c}(X)$;
    4. $f:\text{closed surjection}$.
  1. $f$は連続なので$f^{A} \colon (f^{-1}(A),\tau(Y)|f^{-1}(A)) \to (A,\tau(X)|A)$は連続である.よって$\tau(f^{A}) \supset \tau(X)|A$を得る.
    1. $U \in \tau(f^{A})$とする.このとき$f^{-1}(A) \in \tau(Y)$より
      $$ f^{-1}(U) = (f^{A})^{-1}(U) \in \tau(Y)|f^{-1}(A) \subset \tau(Y)$$
      となるので,$U \in \tau(X)$を得る.よって$U = U \cap A \in \tau(X)|A$が成り立つ.
    2. 補題8より
      $$ f^{A} \colon (f^{-1}(A),\tau(Y)|f^{-1}(A)) \to (A,\tau(X)|A)$$
      は全射連続開写像であるから,命題3より等化写像である.
    3. (1)と同様.
    4. (2)と同様.

写像族による等化位相

$X$を集合,$((X_{\lambda},\tau_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間族とし,$f_{\bullet} = (f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to X)_{\lambda \in \Lambda}$を写像族とする.このとき,$\bigcap_{\lambda \in \Lambda} \tau(f_{\lambda})$を($f_{\bullet}$による)等化位相といい$\tau(f_{\bullet})$で表わす.

  • 等化位相の定義より,各$\lambda \in \Lambda$に対して
    $$ f_{\lambda} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \xrightarrow{f_{\lambda}} (X,\tau(f_{\lambda})) \xrightarrow{\id_{X}} (X,\tau(f_{\bullet}))$$
    は連続である.
  • 開集合系および閉集合系について
    \begin{align} U \in \tau(f_{\bullet}) &\iff \forall \lambda \in \Lambda,\ f_{\lambda}^{-1}(U) \in \tau_{\lambda},\\ C \in \tau^{c}(f_{\bullet}) &\iff \forall \lambda \in \Lambda,\ f_{\lambda}^{-1}(C) \in \tau_{\lambda}^{c} \end{align}
    が成り立つ.
等化位相の普遍性

$X$を集合,$((X_{\lambda},\tau_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間族とし,$f_{\bullet} = (f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to X)_{\lambda \in \Lambda}$を写像族とする.このとき,任意の位相空間$(Z,\tau(Z))$と写像$g \colon X \to Z$に対して,次は同値である:

  1. $g \colon (X,\tau(f_{\bullet})) \to (Z,\tau(Z)):\text{continuous}$;
  2. $\forall \lambda \in \Lambda,\, g \circ f_{\lambda} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \to (Z,\tau(Z)):\text{continuous}$.
    $$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{g \circ f_{\lambda}} \ar[d]_{f_{\lambda}} & {Z}\\ {X} \ar[ur]_{g} }$$

(i)$\implies$(ii)

明らか.

(ii)$\implies$(i)

仮定より,各$\lambda \in \Lambda$に対して
$$ g \colon (X,\tau(f_{\lambda})) \to (Z,\tau(Z))$$
は連続である.よって,任意の$U \in \tau(Z)$に対して
$$ g^{-1}(U) \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \tau(f_{\lambda}) = \tau(f_{\bullet})$$
が成り立つ.

等化位相$\tau(f_{\bullet})$は任意の$\lambda \in \Lambda$に対して$f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to X$が連続となるような$X$の位相のうち最も細かいものである.

$X$の位相$\tau(X)$に関して,
$$ \forall \lambda \in \Lambda,\, f_{\lambda} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \to (X,\tau(X)):\text{continuous}$$
が成り立つとする.このとき,等化位相の普遍性より$\id_{X} \colon (X,\tau(f_{\bullet})) \to (X,\tau(X))$は連続である.
$$ \xymatrix{ {(X_{\lambda},\tau_{\lambda})} \ar[r]^{f_{\lambda}} \ar[d]_{f_{\lambda}} & {(X,\tau(X))}\\ {(X,\tau(f_{\bullet}))} \ar[ur]_{\id_{X}} }$$

等化位相の推移性

$X,\Lambda$を集合,$(\Lambda_{\mu})_{\mu \in M}$$\Lambda$の分割,$(X_{\mu})_{\mu \in M}$を集合族,$((X_{\mu,\lambda},\tau_{\mu,\lambda}))_{(\mu,\lambda) \in \coprod \Lambda_{\bullet}}$を位相空間族とし,

  • $f_{\bullet} = (f_{\mu} \colon X_{\mu} \to X)_{\mu \in M}$
  • $f_{\mu,\bullet} = (f_{\mu,\lambda} \colon X_{\mu,\lambda} \to X_{\mu})_{\lambda \in \Lambda_{\mu}},\ \mu \in M$

を写像族とする.各$\mu \in M$に対して$X_{\mu}$$f_{\mu,\bullet}$による等化位相$\tau_{\mu}$を与える.このとき,$X$上のふたつの位相,すなわち$f_{\bullet}$による等化位相$\tau(f_{\bullet})$$(f_{\mu} \circ f_{\mu,\lambda})_{(\mu,\lambda) \in \coprod \Lambda_{\bullet}}$による等化位相$\tau(X)$とは一致する.
$$ \xymatrix{ {X_{\mu,\lambda}} \ar@<-1ex>[r] \ar[r] \ar@<1ex>[r]^{f_{\mu,\lambda}} & {X_{\mu}} \ar@<-.5ex>[r] \ar@<.5ex>[r]^{f_{\mu}} & {X} }$$

  • 任意の$(\mu,\lambda) \in \coprod \Lambda_{\bullet}$に対して
    $$ f_{\mu} \circ f_{\mu,\lambda} \colon (X_{\mu,\lambda},\tau_{\mu,\lambda}) \xrightarrow{f_{\mu,\lambda}} (X_{\mu},\tau_{\mu}) \xrightarrow{f_{\mu}} (X,\tau(f_{\bullet}))$$
    は連続写像の合成ゆえ連続である.よって定理10の系より
    $$ \tau(X) \supset \tau(f_{\bullet})$$
    が成り立つ.
  • $\mu \in M$とする.このとき,任意の$\lambda \in \Lambda_{\mu}$に対して
    $$ f_{\mu} \circ f_{\mu,\lambda} \colon (X_{\mu,\lambda},\tau_{\mu,\lambda}) \to (X,\tau(X))$$
    は連続であるから,等化位相$\tau_{\mu}$の普遍性より,$f_{\mu} \colon (X_{\mu},\tau_{\mu}) \to (X,\tau(X))$は連続である.よって定理10の系より
    $$ \tau(f_{\bullet}) \supset \tau(X)$$
    が成り立つ.

余積空間

普遍性とその帰結

$((X_{\lambda},\tau_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間族とする.このとき,自然な入射からなる写像族$i_{\bullet} = i_{X_{\bullet}} = (i_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to \coprod X_{\bullet})_{\lambda \in \Lambda}$による等化位相を余積位相,直和位相などといい,位相空間$(\coprod X_{\bullet},\tau(i_{\bullet}))$$((X_{\lambda},\tau_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda}$余積空間,直和空間,位相和などという.

任意の$\lambda \in \Lambda$に対して,自然な入射$i_{\lambda} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \to (\coprod X_{\bullet},\tau(i_{\bullet}))$は開写像かつ閉写像である.したがって$i_{\lambda}$は位相的埋め込みである(定理2.7の系).

任意の部分集合$A_{\lambda} \subset X_{\lambda}$に対して
$$ \forall \mu \in \Lambda,\ i_{\mu}^{-1}(i_{\lambda}(A_{\lambda})) = \begin{cases} A_{\lambda} &, \mu = \lambda\\ \varnothing &, \mu \neq \lambda \end{cases}$$
が成り立つことからしたがう.

余積位相の普遍性

任意の位相空間$(Z,\tau(Z))$と写像$g \colon \coprod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \to Z$に対して,次は同値である:

  1. $g \colon (\coprod X_{\bullet},\tau(i_{\bullet})) \to (Z,\tau(Z)):\text{continuous}$;
  2. $\forall \lambda \in \Lambda,\, g \circ i_{\lambda} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \to (Z,\tau(Z)):\text{continuous}$.
    $$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{g \circ i_{\lambda}} \ar[d]_{i_{\lambda}} & {Z}\\ {\coprod X_{\bullet}} \ar[ur]_{g} }$$
余積空間の普遍性

任意の位相空間$(X,\tau(X))$と連続写像族$f_{\bullet} = (f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to X)_{\lambda \in \Lambda}$に対して,連続写像
$$ \nabla(f_{\bullet}) \colon \left(\coprod X_{\bullet},\tau(i_{\bullet})\right) \to (X,\tau(X))$$
であって,
$$ \forall \lambda \in \Lambda,\ \nabla(f_{\bullet}) \circ i_{\lambda} = f_{\lambda}$$
が成り立つものがただ一つ存在する.
$$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{f_{\lambda}} \ar[d]_{i_{\lambda}} & {X}\\ {\coprod X_{\bullet}} \ar@{.>}[ur]_{\nabla(f_{\bullet})} }$$
さらに,

  1. $f_{\lambda}$が開写像ならば,$\nabla(f_{\bullet})$は開写像である;
  2. $f_{\lambda}$が閉写像であって$(f_{\lambda}(X_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda}$が局所有限ならば,$\nabla(f_{\bullet})$は閉写像である.
  • 一意性は補題1.2よりしたがう.
  • 写像$\nabla(f_{\bullet}) \colon \coprod X_{\bullet} = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \{\lambda\} \times X_{\lambda} \to X$
    $$ \nabla(f_{\bullet})(\lambda,x_{\lambda}) = f_{\lambda}(x_{\lambda})$$
    で定める.このとき,任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
    $$ \nabla(f_{\bullet}) \circ i_{\lambda} = f_{\lambda} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \to (X,\tau(X)):\text{continuous}$$
    が成り立つ.よって
    $$ \nabla(f_{\bullet}) \colon \left(\coprod X_{\bullet},\tau(i_{\bullet})\right) \to (X,\tau(X))$$
    は連続である.
  1. $f_{\lambda}$が開写像であるとき,任意の$U \in \tau(i_{\bullet})$に対して
    $$ \nabla(f_{\bullet})(U) = \nabla(f_{\bullet})\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{\lambda}(i_{\lambda}^{-1}(U))\right) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda}(i_{\lambda}^{-1}(U)) \in \tau(X)$$
    が成り立つ.
  2. 仮定より,閉集合$C \in \tau(i_{\bullet})$に対して$(f_{\lambda}(i_{\lambda}^{-1}(C)))_{\lambda \in \Lambda}$$X$の局所有限な閉集合族なので
    $$ \nabla(f_{\bullet})(C) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda}(i_{\lambda}^{-1}(C)) \in \tau^{c}(X)$$
    が成り立つ( 参考 ).

$$ \forall \lambda \in \Lambda,\ \nabla(f_{\bullet}) \circ i_{\lambda} = f_{\lambda}$$
と等化位相の推移性(命題13)より
$$ \tau(\nabla(f_{\bullet})) = \tau(f_{\bullet})$$
が成り立つ($\Lambda$の分割として$(\Lambda)$を考えればよい).
$$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar@<-.5ex>[r] \ar@<.5ex>[r]^{i_{\lambda}} \ar@/^2.0pc/[rr]^{f_{\lambda}} & {\coprod X_{\bullet}} \ar[r]^{\nabla(f_{\bullet})} & {X} }$$

$f_{\bullet} = (f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to Y_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を連続写像族とする.このとき,連続写像$\coprod f_{\bullet} = \coprod_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda} \colon \coprod X_{\bullet} \to \coprod Y_{\bullet}$であって,任意の$\lambda \in \Lambda$に対して$\coprod f_{\bullet} \circ i_{X_{\lambda}} = i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda}$が成り立つようなものがただ一つ存在する.
$$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{f_{\lambda}} \ar[d]_{i_{X_{\lambda}}} & {Y_{\lambda}} \ar[d]^{i_{Y_{\lambda}}} \\ {\coprod X_{\bullet}} \ar@{.>}[r]_{\coprod f_{\bullet}} & {\coprod Y_{\bullet}} }$$
さらに,連続写像族$g_{\bullet} = (g_{\lambda} \colon Y_{\lambda} \to Z_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$に対して,$h_{\bullet} = (g_{\lambda} \circ f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to Z_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$とおくと,
$$ \coprod g_{\bullet} \circ \coprod f_{\bullet} = \coprod h_{\bullet} \colon \coprod X_{\bullet} \to \coprod Z_{\bullet}$$
が成り立つ.

  • $\coprod f_{\bullet} = \nabla((i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda})$とおけばよい.
  • 任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
    \begin{align} \left(\coprod g_{\bullet} \circ \coprod f_{\bullet}\right) \circ i_{X_{\lambda}} &= \coprod g_{\bullet} \circ i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda}\\ &= i_{Z_{\lambda}} \circ g_{\lambda} \circ f_{\lambda}\\ &= i_{Z_{\lambda}} \circ h_{\lambda}\\ &= \coprod h_{\bullet} \circ i_{X_{\lambda}} \end{align}
    が成り立つので,補題1.2より結論を得る.
    $$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[rr]^{f_{\lambda}} \ar@/^2pc/[rrrr]^{h_{\lambda}} \ar[d]_{i_{X_{\lambda}}}& {} & {Y_{\lambda}} \ar[rr]^{g_{\lambda}} \ar[d]_{i_{Y_{\lambda}}} & {} & {Z_{\lambda}} \ar[d]^{i_{Z_{\lambda}}}\\ {\coprod X_{\bullet}} \ar[rr]_{\coprod f_{\bullet}} \ar@/_2pc/[rrrr]_{\coprod h_{\bullet}} & {} & {\coprod Y_{\bullet}} \ar[rr]_{\coprod g_{\bullet}} & {} & {\coprod Z_{\bullet}} }$$
開写像の和・閉写像の和・等化写像の和

$f_{\bullet} = (f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to Y_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を連続写像族とする.このとき次が成り立つ:

  1. $f_{\lambda}$が開写像ならば,$\coprod f_{\bullet}$は開写像である;
  2. $f_{\lambda}$が閉写像ならば,$\coprod f_{\bullet}$は閉写像である;
  3. $f_{\lambda}$が等化写像ならば,$\coprod f_{\bullet}$は等化写像である.
  1. 命題12より各$i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda}$は開写像であるから,定理14と$\coprod f_{\bullet}$の定義よりしたがう.
  2. 命題12より各$i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda}$は閉写像であり,$(i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda}(X_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda}$は局所有限であるから,定理14より結論を得る.
  3. 等化位相の推移性(命題13(もしくは定理14のあとの注意),定理7)より
    \begin{align} \tau\left(\coprod f_{\bullet}\right) &= \tau((i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda})\\ &= \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \tau(i_{Y_{\lambda}} \circ f_{\lambda})\\ &= \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \tau(i_{Y_{\lambda}})\\ &= \tau(i_{Y_{\bullet}}) \end{align}
    が成り立つ.

等化写像の積については次ページで扱う.

余積空間の結合性

$((X_{\lambda},\tau_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間族,$(\Lambda_{\mu})_{\mu \in M}$$\Lambda$の分割とする.各$\mu \in M$に対して$((X_{\lambda},\tau_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda_{\mu}}$の余積空間を$(Y_{\mu},\tau_{\mu})$とおく.このとき,余積空間$(\coprod X_{\bullet},\tau(i_{X_{\bullet}}))$$(\coprod Y_{\bullet},\tau(i_{Y_{\bullet}}))$とは同相である.

  • $X = \coprod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda},\, Y = \coprod_{\mu \in M} Y_{\mu}$とおく.
  • $\lambda \in \Lambda$とする.このとき$\mu(\lambda) \in M$であって$\lambda \in \Lambda_{\mu(\lambda)}$となるものがただ一つ存在する.そこで自然な入射の合成を$f_{\lambda} = i_{Y_{\mu(\lambda)}} \circ i_{\lambda}^{\mu(\lambda)}$とおくと
    $$ f_{\lambda} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \xrightarrow{i_{\lambda}^{\mu(\lambda)}} (Y_{\mu(\lambda)},\tau_{\mu(\lambda)}) \xrightarrow{i_{Y_{\mu(\lambda)}}} (Y,\tau(Y))$$
    は連続である.よって,余積空間$(X,\tau(X))$の普遍性より,連続写像$f \colon (X,\tau(X)) \to (Y,\tau(Y))$であって,以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する:
    $$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{f_{\lambda}} \ar[d]_{i_{\lambda}} & {Y}\\ {X} \ar@{.>}[ur]_{f} }$$
  • $\mu \in M$とする.任意の$\lambda \in \Lambda_{\mu}$に対して$i_{\lambda} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \to (X,\tau(X))$は連続なので,余積空間$(Y_{\mu},\tau_{\mu})$の普遍性より,連続写像$i_{\Lambda_{\mu}} \colon (Y_{\mu},\tau_{\mu}) \to (X,\tau(X))$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する:
    $$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{i_{\lambda}} \ar[d]_{i_{\lambda}^{\mu}} & {X}\\ {Y_{\mu}} \ar@{.>}[ur]_{i_{\Lambda_{\mu}}} }$$
    よって,余積空間$(Y,\tau(Y))$の普遍性より,連続写像$g \colon (Y,\tau(Y)) \to (X,\tau(X))$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する:
    $$ \xymatrix{ {Y_{\mu}} \ar[r]^{i_{\Lambda_{\mu}}} \ar[d]_{i_{Y_{\mu}}} & {X}\\ {Y} \ar@{.>}[ur]_{g} }$$
  • いま,任意の$(\mu(\lambda),\lambda) \in \coprod \Lambda_{\bullet}$に対して
    $$ (g \circ f) \circ i_{\lambda} = g \circ f_{\lambda} = g \circ i_{Y_{\mu(\lambda)}} \circ i_{\lambda}^{\mu(\lambda)} = i_{\Lambda_{\mu(\lambda)}} \circ i_{\lambda}^{\mu(\lambda)} = i_{\lambda} = \id_{X} \circ i_{\lambda}$$
    が成り立つので,補題1.2より$g \circ f = \id_{X}$を得る.
    $$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{i_{\lambda}} \ar[d]_{i_{\lambda}} & {X}\\ {\coprod X_{\bullet}} \ar[ur]_{g \circ f} \ar@/_1.5pc/[ur]_{\id_{X}} }$$
  • また,$\mu \in M$とすると,任意の$\lambda \in \Lambda_{\mu}$に対して
    $$ (f \circ g \circ i_{Y_{\mu}}) \circ i_{\lambda}^{\mu} = f \circ i_{\Lambda_{\mu}} \circ i_{\lambda}^{\mu} = f \circ i_{\lambda} = f_{\lambda} = i_{Y_{\mu}} \circ i_{\lambda}^{\mu}$$
    となるので,補題1.2より$(f \circ g) \circ i_{Y_{\mu}} = i_{Y_{\mu}} = \id_{Y} \circ i_{Y_{\mu}}$が成り立つ.よって$f \circ g = \id_{Y}$を得る.
    $$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{i_{Y_{\mu}} \circ i_{\lambda}^{\mu}} \ar[d]_{i_{\lambda}^{\mu}} & {Y} & {Y_{\mu}} \ar[r]^{i_{Y_{\mu}}} \ar[d]_{i_{Y_{\mu}}} & {Y}\\ {Y_{\mu}} \ar[ur]_{i_{Y_{\mu}}} \ar@/_1.5pc/[ur]_{f \circ g \circ i_{Y_{\mu}}} & {} & {\coprod Y_{\bullet}} \ar[ur]_{f \circ g} \ar@/_1.5pc/[ur]_{\id_{Y}} }$$
(余積空間の可換性)

$((X_{\lambda},\tau_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間族とする.このとき,任意の全単射$\varphi \colon \Lambda \to \Lambda$に対して,$(\coprod X_{\bullet},\tau(i_{X_{\bullet}}))$$(\coprod X_{\varphi(\bullet)},\tau(i_{X_{\varphi(\bullet)}}))$とは同相である.

$\Lambda$の分割として$(\{\varphi(\lambda)\})_{\lambda \in \Lambda}$を考えればよい.

$((X_{\lambda},\tau_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda},\, ((Y_{\mu},\tau_{\mu}))_{\mu \in M}$を位相空間族とし,$\varphi \colon \Lambda \to M$を全単射とする.このとき,各$\lambda \in \Lambda$に対して$X_{\lambda}$$Y_{\varphi(\lambda)}$とが同相ならば,余積空間$(\coprod X_{\bullet},\tau(i_{X_{\bullet}}))$$(\coprod Y_{\bullet},\tau(i_{Y_{\bullet}}))$とは同相である.

  • $\lambda \in \Lambda$に対して,$(X_{\lambda},\tau_{\lambda})$$(Y_{\varphi(\lambda)},\tau_{\varphi(\lambda)})$との同相を与える写像を$f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to Y_{\varphi(\lambda)}$とする.
  • このとき,定理14の系より$\coprod_{\lambda \in \Lambda} f_{\lambda \in \Lambda} \colon \coprod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \to \coprod_{\lambda \in \Lambda} Y_{\varphi(\lambda)}$は全単射連続開写像ゆえ同相写像である.
  • $\Lambda$の分割$(\{\varphi^{-1}(\mu)\})_{\mu \in M}$を考えて,定理16より同相$\coprod_{\lambda \in \Lambda} Y_{\varphi(\lambda)} \approx \coprod_{\mu \in M} Y_{\mu}$を得る.

余積位相と相対位相

余積位相の相対位相と相対位相の余積位相

$((X_{\lambda},\tau_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間族とし,各$\lambda \in \Lambda$に対して部分集合$A_{\lambda} \subset X_{\lambda}$が与えられているとする.余積集合$\coprod A_{\bullet}$上のふたつの位相,すなわち

  • 余積空間$(\coprod X_{\bullet},\tau(i_{X_{\bullet}}))$の相対位相
  • 位相空間族$((A_{\lambda},\tau_{\lambda}|A_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda}$の余積位相

は一致する.

$\tau(i_{A_{\bullet}}) \supset \tau(i_{X_{\bullet}})|\coprod A_{\bullet}$

$\lambda \in \Lambda$とする.任意の$a_{\lambda} \in A_{\lambda}$に対して
$$ \incl{\coprod A_{\bullet}}{\coprod X_{\bullet}} \circ i_{A_{\lambda}}(a_{\lambda}) = (\lambda,a_{\lambda}) = i_{X_{\lambda}} \circ \incl{A_{\lambda}}{X_{\lambda}}(a_{\lambda}) = \coprod \incl{A_{\bullet}}{X_{\bullet}} \circ i_{A_{\lambda}}(a_{\lambda}) $$
が成り立つので,補題1.2より
$$ \incl{\coprod A_{\bullet}}{\coprod X_{\bullet}} = \coprod \incl{A_{\bullet}}{X_{\bullet}} \colon \coprod A_{\bullet} \to \coprod X_{\bullet}$$
が成り立つ.
$$ \xymatrix{ {A_{\lambda}} \ar[rr]^{\incl{A_{\lambda}}{X_{\lambda}}} \ar[d]_{i_{A_{\lambda}}} & {} & {X_{\lambda}} \ar[d]^{i_{X_{\lambda}}} \\ {\coprod A_{\bullet}} \ar[rr]_{\incl{\coprod A_{\bullet}}{\coprod X_{\bullet}} = \coprod \incl{A_{\bullet}}{X_{\bullet}}} & {} & {\coprod X_{\bullet}} }$$
したがって,包含写像
$$ \incl{\coprod A_{\bullet}}{\coprod X_{\bullet}} = \coprod \incl{A_{\bullet}}{X_{\bullet}} \colon \left(\coprod A_{\bullet},\tau(i_{A_{\bullet}})\right) \to \left(\coprod X_{\bullet},\tau(i_{X_{\bullet}})\right)$$
は連続であるから,
$$ \tau(i_{A_{\bullet}}) \supset \tau(i_{X_{\bullet}})|\coprod A_{\bullet}$$
が成り立つ.

$\tau(i_{A_{\bullet}}) \subset \tau(i_{X_{\bullet}})|\coprod A_{\bullet}$

$U_{A} \in \tau(i_{A_{\bullet}})$とする.各$\lambda \in \Lambda$に対して,$i_{A_{\lambda}}^{-1}(U_{A}) \in \tau_{\lambda}|A_{\lambda}$より,$U_{\lambda} \in \tau_{\lambda}$であって$i_{A_{\lambda}}^{-1}(U_{A}) = U_{\lambda} \cap A_{\lambda}$となるものが存在する.そこで$U = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{X_{\lambda}}(U_{\lambda}) \subset \coprod X_{\bullet}$とおくと,命題12より$U \in \tau(i_{X_{\bullet}})$であり,$i_{X_{\lambda}}^{-1}(U) = U_{\lambda}$が成り立つ.このとき
\begin{align} U_{A} &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{A_{\lambda}}(i_{A_{\lambda}}^{-1}(U_{A}))\\ &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{X_{\lambda}}(U_{\lambda} \cap A_{\lambda})\\ &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{X_{\lambda}}(i_{X_{\lambda}}^{-1}(U) \cap A_{\lambda})\\ &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U \cap i_{X_{\lambda}}(A_{\lambda})\\ &= U \cap \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{A_{\lambda}}(A_{\lambda})\\ &= U \cap \coprod A_{\bullet} \end{align}
より,$U_{A} \in \tau(i_{X_{\bullet}})|\coprod A_{\bullet}$を得る.

(位相的埋め込みの和)

$f_{\bullet} = (f_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to Y_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を位相的埋め込みの族とする.このとき$\coprod f_{\bullet} \colon \coprod X_{\bullet} \to \coprod Y_{\bullet}$は位相的埋め込みである.

定理14の系より
$$ \coprod f_{\bullet} = \coprod \incl{f_{\bullet}(X_{\bullet})}{Y_{\bullet}} \circ \coprod f_{\bullet}^{f_{\bullet}(X_{\bullet})}$$
が成り立つ.$\coprod f_{\bullet}^{f_{\bullet}(X_{\bullet})}$は同相写像であり,包含写像$\coprod \incl{f_{\bullet}(X_{\bullet})}{Y_{\bullet}} = \incl{\coprod f_{\bullet}(X_{\bullet})}{\coprod Y_{\bullet}}$は位相的埋め込みであるから,$\coprod f_{\bullet}$は位相的埋め込みである(命題21).
$$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[rr]^{f_{\lambda}^{f_{\lambda}(X_{\lambda})}}_{\approx} \ar@/^2.5pc/[rrrr]^{f_{\lambda}}_{\text{top. emb.}} \ar[d]_{i_{X_{\lambda}}}& {} & {f_{\lambda}(X_{\lambda})} \ar[rr]^{\incl{f_{\lambda}(X_{\lambda})}{Y_{\lambda}}}_{\text{top. emb.}} \ar[d]_{i_{f_{\lambda}(X_{\lambda})}} & {} & {Y_{\lambda}} \ar[d]^{i_{Y_{\lambda}}}\\ {\coprod X_{\bullet}} \ar[rr]^{\coprod f_{\bullet}^{f_{\bullet}(X_{\bullet})}}_{\approx} \ar@/_2.5pc/[rrrr]^{\coprod f_{\bullet}} & {} & {\coprod f_{\bullet}(X_{\bullet})} \ar[rr]^{\coprod \incl{f_{\bullet}(X_{\bullet})}{Y_{\bullet}}}_{\text{top. emb.}} & {} & {\coprod Y_{\bullet}} }$$

$((X_{\lambda},\tau_{\lambda}))_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間族とし,$A_{\lambda} \subset X_{\lambda},\,\lambda \in \Lambda,\,$とする.このとき次が成り立つ:

  1. $\overline{\coprod_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}} = \coprod_{\lambda \in \Lambda} \overline{A_{\lambda}}$;
  2. $\mathrm{int}(\coprod_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}) = \coprod_{\lambda \in \Lambda} \mathrm{int}(A_{\lambda})$.
    1. $\lambda \in \Lambda$に対して$i_{X_{\lambda}}^{-1}\left(\coprod \overline{A_{\bullet}}\right) = \overline{A_{\lambda}} \in \tau^{c}_{\lambda}$が成り立つので,$\coprod \overline{A_{\bullet}} \subset \coprod X_{\bullet}$$\coprod A_{\bullet}$を含む閉集合である.よって$\overline{\coprod A_{\bullet}} \subset \coprod \overline{A_{\bullet}}$が成り立つ.
    2. $x = (\lambda,x_{\lambda}) \in \coprod \overline{A_{\bullet}}$とする.このとき,任意の$U \in \tau(x,\coprod X_{\bullet})$に対して,$x_{\lambda} \in i_{X_{\lambda}}^{-1}(U) \cap \overline{A_{\lambda}}$より$a_{\lambda} \in i_{X_{\lambda}}^{-1}(U) \cap A_{\lambda}$が取れることから,
      $$ i_{X_{\lambda}}(a_{\lambda}) \in i_{X_{\lambda}}(i_{X_{\lambda}}^{-1}(U) \cap A_{\lambda}) = U \cap i_{X_{\lambda}}(A_{\lambda}) \subset U \cap \coprod A_{\bullet} \neq \varnothing$$
      が成り立つ.よって$x \in \overline{\coprod A_{\bullet}}$を得る.
    1. $\lambda \in \Lambda$に対して,$i_{X_{\lambda}}^{-1}(\mathrm{int}(\coprod A_{\bullet})) \subset X_{\lambda}$$A_{\lambda}$に含まれる開集合であるから,$i_{X_{\lambda}}^{-1}(\mathrm{int}(\coprod A_{\bullet})) \subset \mathrm{int}(A_{\lambda})$が成り立つ.よって
      $$ \mathrm{int}\left(\coprod A_{\bullet}\right) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{X_{\lambda}}\left(i_{X_{\lambda}}^{-1}\left(\mathrm{int}\left(\coprod A_{\bullet}\right)\right)\right) \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{X_{\lambda}}(\mathrm{int}(A_{\lambda})) = \coprod \mathrm{int}(A_{\bullet})$$
      が成り立つ.
    2. $\coprod \mathrm{int}(A_{\bullet}) \subset \coprod X_{\bullet}$$\coprod A_{\bullet}$に含まれる開集合であるから$\coprod \mathrm{int}(A_{\bullet}) \subset \mathrm{int}(\coprod A_{\bullet})$が成り立つ.

余積空間と分離公理

$(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間族とする.このとき,任意の$i \in [4]$に対して,次は同値である:

  1. $\coprod X_{\bullet}$$T_{i}$分離公理を満たす;
  2. $X_{\lambda}$$T_{i}$分離公理を満たす.

(i)$\implies$(ii)

  1. $T_{1}$空間への単射連続写像$i_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to \coprod X_{\bullet}$が存在するので,命題2.20より,$X_{\lambda}$$T_{1}$空間である.
  2. $T_{2}$空間への単射連続写像$i_{\lambda} \colon X_{\lambda} \to \coprod X_{\bullet}$が存在するので,命題2.23より,$X_{\lambda}$$T_{2}$空間である.
  3. 命題12より$X_{\lambda}$は正則空間の部分空間$i_{\lambda}(X_{\lambda}) \subset \coprod X_{\bullet}$と同相なので,命題2.26より,$X_{\lambda}$は正則空間である.
  4. 命題12より$X_{\lambda}$は正規空間の閉部分空間$i_{\lambda}(X_{\lambda}) \subset \coprod X_{\bullet}$と同相なので,命題2.29より,$X_{\lambda}$は正規空間である.

(ii)$\implies$(i)

  1. $x = (\lambda,x_{\lambda}) \in \coprod X_{\bullet}$とする.仮定より$\{x_{\lambda}\} \in \tau^{c}(X_{\lambda})$であるから,命題12より$\{x\} = i_{\lambda}(\{x_{\lambda}\}) \in \tau^{c}(\coprod X_{\bullet})$が成り立つ.
  2. $x = (\lambda,x_{\lambda}) \neq (\mu,y_{\mu}) = y$とする.$\lambda \neq \mu$のときは$U = i_{\lambda}(X_{\lambda}),\,V = i_{\mu}(X_{\mu})$とおく;$\lambda = \mu$のとき,$x_{\lambda} \neq y_{\lambda}$より,$U_{\lambda} \in \tau(x_{\lambda},X_{\lambda}),\,V_{\lambda} \in \tau(y_{\lambda},X_{\lambda})$であって$U_{\lambda} \cap V_{\lambda} = \varnothing$となるものが存在する.そこで$U = i_{\lambda}(U_{\lambda}),\,V = i_{\lambda}(V_{\lambda})$とおく.命題12より,いづれの場合も
    $$ U \in \tau\left(x,\coprod X_{\bullet}\right),\ V \in \tau\left(y,\coprod X_{\bullet}\right),\ U \cap V = \varnothing$$
    が成り立つ.
  3. $x = (\lambda,x_{\lambda}) \in \coprod X_{\bullet},\,F \in \tau^{c}(\coprod X_{\bullet}),\, x \notin F$とする.このとき
    $$ x_{\lambda} \in X_{\lambda},\ i_{\lambda}^{-1}(F) \in \tau^{c}(X_{\lambda}),\ x_{\lambda} \notin i_{\lambda}^{-1}(F)$$
    より,$U_{\lambda} \in \tau(x_{\lambda},X_{\lambda}),\,V_{\lambda} \in \tau(i_{\lambda}^{-1}(F),X_{\lambda})$であって$U_{\lambda} \cap V_{\lambda} = \varnothing$となるものが存在する.そこで$U = i_{\lambda}(U_{\lambda}),\,V = i_{\lambda}(V_{\lambda}) \cup \bigcup_{\mu \neq \lambda} i_{\mu}(X_{\mu})$とおくと,命題12より,
    $$ U \in \tau\left(x,\coprod X_{\bullet}\right),\ V \in \tau\left(F,\coprod X_{\bullet} \right),\ U \cap V = \varnothing$$
    が成り立つ.
  4. $C,F \in \tau^{c}(\coprod X_{\bullet}),\,C \cap F = \varnothing$とする.このとき各$\lambda \in \Lambda$に対して,
    $$ i_{\lambda}^{-1}(C),i_{\lambda}^{-1}(F) \in \tau^{c}(X_{\lambda}),\ i_{\lambda}^{-1}(C) \cap i_{\lambda}^{-1}(F) = \varnothing$$
    より,それぞれの開近傍$U_{\lambda}, V_{\lambda} \in \tau(X_{\lambda})$であって$U_{\lambda} \cap V_{\lambda} = \varnothing$となるものが存在する.そこで$U = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{\lambda}(U_{\lambda}), V = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} i_{\lambda}(V_{\lambda})$とおくと,命題12より,
    $$ U \in \tau\left(C,\coprod X_{\bullet}\right),\ V \in \tau\left(F,\coprod X_{\bullet}\right),\ U \cap V = \varnothing$$
    が成り立つ.

附:位相的埋め込みについての補足

位相的埋め込みは全射等化写像と類似の性質を持つ.

$f \colon (X,\tau(X)) \to (Y,\tau(Y))$を連続写像とする.このとき$\tau(X) \supset f^{-1}(\tau(Y))$が成り立つのだった(定理2.3の系).

(cf. 定義2)

$f \colon (X,\tau(X)) \to (Y,\tau(Y))$を単射連続写像とする.このとき次は同値である:

  1. $f$は位相的埋め込みである,すなわち全単射連続写像
    $$ f^{f(X)} \colon (X,\tau(X)) \to (f(X),\tau(Y)|f(X))$$
    は同相写像である;
  2. $\tau(X) = f^{-1}(\tau(Y))$が成り立つ.

(i)$\implies$(ii)

$U \in \tau(X)$とする.このとき,
$$ f(U) = f^{f(X)}(U) \in \tau(Y)|f(X)$$
より,$V \in \tau(Y)$であって$f(U) = V \cap f(X)$となるものが存在する.したがって$f$の単射性より
$$ U = f^{-1}(f(U)) = f^{-1}(V \cap f(X)) = f^{-1}(V) \cap X = f^{-1}(V) \in f^{-1}(\tau(Y))$$
を得る.

(ii)$\implies$(i)

全単射連続写像
$$ f^{f(X)} \colon (X,\tau(X)) \to (f(X),\tau(Y)|f(X))$$
が開写像であることを示せばよい.そこで$U \in \tau(X)$とすると,仮定より$V \in \tau(Y)$であって$U = f^{-1}(V)$となるものが存在する.したがって
$$ f^{f(X)}(U) = f(f^{-1}(V) \cap X) = V \cap f(X) \in \tau(Y)|f(X)$$
が成り立つ.

(cf. 定理7の系)

$f \colon X \to Y,\,g \colon Y \to Z$を連続写像とする.このとき次が成り立つ:

  1. $g \circ f$が位相的埋め込みならば,$f$は位相的埋め込みである;
  2. $f,g$が位相的埋め込みならば,$g \circ f$も位相的埋め込みである.
  1. $g \circ f$の単射性より$f$の単射性がしたがう.また,命題2.2より
    $$ \tau(X) = (g \circ f)^{-1}(\tau(Z)) = f^{-1}(g^{-1}(\tau(Z))) \subset f^{-1}(\tau(Y)) \subset \tau(X)$$
    が成り立つので,$\tau(X) = f^{-1}(\tau(Y))$を得る.
  2. $f,g$の単射性より$g \circ f$の単射性がしたがう.また,命題2.2より
    $$ \tau(X) = f^{-1}(\tau(Y)) = f^{-1}(g^{-1}(\tau(Z))) = (g \circ f)^{-1}(\tau(Z))$$
    が成り立つ.

$f \colon (X,\tau(X)) \to (Y,\tau(Y))$を連続写像とする.像$f(X)$上のふたつの位相

  • 写像$f^{f(X)} \colon (X,\tau(X)) \to f(X)$による等化位相$\tau(f^{f(X)})$
  • 相対位相$\tau(Y)|f(X)$

を考える.相対位相の普遍性より$f^{f(X)} \colon (X,\tau(X)) \to (f(X),\tau(Y)|f(X))$は連続であるから,定理2の系より$\tau(f^{f(X)}) \supset \tau(Y)|f(X)$が成り立つ.

$f \colon (X,\tau(X)) \to (Y,\tau(Y))$を単射連続写像とする.このとき全単射連続写像
$$ g := f^{f(X)} \colon (X,\tau(X)) \to (f(X),\tau(f^{f(X)}))$$
は開写像かつ閉写像である.したがって$g$は同相写像である.

$U \in \tau(X)$とする.このとき$f$の単射性より
$$ g^{-1}(g(U)) = f^{-1}(f(U)) = U \in \tau(X)$$
となるので,$g(U) \in \tau(f^{f(X)})$を得る.したがって$g$は開写像である.同様にして$g$が閉写像であることもわかる.

所謂“はめ込まれた部分多様体”の位相とは等化位相$\tau(f^{f(X)})$に他ならない.

$f \colon (X,\tau(X)) \to (Y,\tau(Y))$を単射連続写像とする.このとき次は同値である:

  1. $f$は位相的埋め込みである;
  2. $\tau(f^{f(X)}) = \tau(Y)|f(X)$が成り立つ.

以下の可換図式を眺めればわかる:
$$ \xymatrix{ {}&{} & {(f(X),\tau(f^{f(X)}))} \ar[dd]^{\text{conti. bij.}}\\ {(X,\tau(X))} \ar[urr]^{\approx} \ar[rrd]_{\text{conti. bij.}}\\ {}&{} & {(f(X),\tau(Y)|f(X))} }$$

位相的埋め込みとなるための十分条件

$f \colon (X,\tau(X)) \to (Y,\tau(Y))$を単射連続写像とする.このとき以下のいづれかが成り立つならば,$f$は位相的埋め込みである:

  1. $f$は開写像である;
  2. $f$は閉写像である;
  3. $X$はコンパクト空間であり$Y$はハウスドルフ空間である;
  4. $Y$はコンパクト生成ハウスドルフ空間であり$f$は固有写像である.
  1. 定理2.7の系.
  2. 同上.
  3. $C \in \tau^{c}(X)$とすると,仮定より$C \subset X$はコンパクトであるからその連続像$f(C) \subset Y$はコンパクト,したがって閉集合である.よって(2)より結論を得る.
  4. 仮定より$f \colon X \to Y$は完全写像,とくに閉写像である( 参考 ).

参考文献

[1]
N. Bourbaki, General Topology Chapters 1--4
[2]
J. Dugundji, Topology
[3]
小松醇郎,中岡稔,菅原正博, 『位相幾何学 I』, 岩波書店
投稿日:20231029
更新日:27日前

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うすい
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