被覆空間のはなし

1. 明らか．
2. $f \colon X \to Y$を被覆写像とする．$x \in X$とし$y:=f(x) \in Y$とおく．仮定より，$V \in \tau(y,Y)$と$U \in \tau(x,X)$であって
   $$ f|_{U}^{V} \colon U \to V$$
   が同相写像であるようなものが存在する．
3. $f \colon X \to Y$を局所同相写像とし，$U \in \tau(X)$とする．また，$y \in f^{\rightarrow}(U)$とし，$x \in U$であって$f(x) = y$なるものを取る．仮定より，$Ux \in \tau(x,X)$であって
   $$ f^{\rightarrow}(Ux) \in \tau(Y),\ f_{x}:= f|_{Ux}^{f^{\rightarrow}(Ux)} \colon Ux \approx f^{\rightarrow}(Ux)$$
   を満たすものが存在する．このとき
   $$ U \cap Ux \in \tau(Ux)$$
   より
   $$ y \in f^{\rightarrow}(U\cap Ux) = f_{x}^{\rightarrow}(U\cap Ux)\in \tau(f^{\rightarrow}(Ux)) \subset \tau(Y)$$
   であり，
   $$ f^{\rightarrow}(U\cap Ux) \subset f^{\rightarrow}(U)$$
   が成り立つ．よって$f^{\rightarrow}(U) \subset Y$は開集合である．

$y_{0} \in Y$を取り，
$$ Y_{0}:= \{y \in Y\mid \#f^{\leftarrow}(\{y\}) = \#f^{\leftarrow}(\{y_{0}\})\}$$
とおく．このとき$Y_{0} \subset Y$が開閉集合であることを示せばよい．

1. $y \in Y_{0}$とする．仮定より，開近傍$V \in \tau(y,Y)$と$X$の開集合族$(U_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$であって
   $$ f^{\leftarrow}(V) = \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda} U_{\lambda},\ \forall \lambda\in\Lambda,\ f|_{U_{\lambda}}^{V} \colon U_{\lambda} \approx V$$
   を満たすものが存在する．このとき，任意の$z \in V$に対して
   $$ \#f^{\leftarrow}(\{z\}) = \#\Lambda= \#f^{\leftarrow}(\{y\}) = \#f^{\leftarrow}(\{y_{0}\})$$
   が成り立つので，$V \subset Y_{0}$を得る．よって$Y_{0} \subset Y$は開集合である．
2. 同様にして$Y\smallsetminus Y_{0} \subset Y$が開集合であることもわかる．

さて，$y_{0} \in Y$に対して，開近傍$V \in \tau(y_{0},Y)$と開集合$U \in \tau(X)$であって
$$ f|_{U}^{V} \colon U \approx V$$
なるものが存在する．よって，任意の$y \in Y$に対して
$$ \#f^{\leftarrow}(\{y\}) = \#f^{\leftarrow}(\{y_{0}\}) \geq 1$$
が成り立つ．

$y \in Y$とする．いま$f$は全射局所同相写像なので$f^{\leftarrow}(\{y\})$は非空離散集合である．一方，$f$の固有性より$f^{\leftarrow}(\{y\})$はコンパクトである．したがって$f^{\leftarrow}(\{y\})$は有限集合であるから，有限個の点$x_{1},\ldots,x_{n} \in X$であって
$$ f^{\leftarrow}(\{y\}) = \{x_{1},\ldots,x_{n}\}$$
なるものが存在する．$X$のHausdorff性より，各$x_{i}$の開近傍$O_{i} \in \tau(x_{i},X)$であって
$$ i \neq j \implies O_{i} \cap O_{j} = \varnothing$$
を満たすものが取れる．必要なら小さく取り直すことで
$$ f_{i} := f|_{O_{i}}^{f^{\rightarrow}(O_{i})} \colon O_{i} \approx f^{\rightarrow}(O_{i})$$
としてよい．また，明らかに
$$ y \in \bigcap_{i=1}^{n} f^{\rightarrow}(O_{i}) \in \tau(Y)$$
が成り立つ．

1. $y \in Y$のコンパクト近傍$K \subset Y$を取り，
   $$ V := \I(K) \cap \bigcap_{i=1}^{n} f^{\rightarrow}(O_{i}) \smallsetminus f^{\rightarrow}\left(f^{\leftarrow}(K) \smallsetminus \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}\right)$$
   とおく．
   1. 明らかに
      $$ y \in \I(K) \cap \bigcap_{i=1}^{n} f^{\rightarrow}(O_{i})$$
      であり，
      $$ f^{\leftarrow}(\{y\}) \cap \left(f^{\leftarrow}(K) \smallsetminus \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}\right) \subset \{x_{1},\ldots,x_{n}\} \smallsetminus \bigcup_{i=1}^{n} O_{i} = \varnothing$$
      より
      $$ \{y\} \cap f^{\rightarrow}\left(f^{\leftarrow}(K) \smallsetminus \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}\right) = \varnothing$$
      となるので，$y \in V$が成り立つ．
   2. 仮定より$f^{\leftarrow}(K) \subset X$はコンパクト集合なので，その閉集合
      $$ f^{\leftarrow}(K) \smallsetminus \bigcup_{i=1}^{n} O_{i} \subset f^{\leftarrow}(K)$$
      もコンパクト，したがって
      $$ f^{\rightarrow}\left(f^{\leftarrow}(K) \smallsetminus \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}\right) \subset Y$$
      はHausdorff空間のコンパクト集合ゆえ閉集合であるから，$V \in \tau(Y)$が成り立つ．
   3. 任意の$x \in f^{\leftarrow}(V) \subset f^{\leftarrow}(K)$に対して，
      $$ f(x) \notin f^{\rightarrow}\left(f^{\leftarrow}(K) \smallsetminus \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}\right) \ \leadsto\ x \notin f^{\leftarrow}(K) \smallsetminus \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}$$
      より
      $$ x \in \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}$$
      を得るので，
      $$ f^{\leftarrow}(V) \subset \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}$$
      が成り立つ．そこで$U_{i} := f^{\leftarrow}(V) \cap O_{i} \in \tau(X)$とおくと，
      $$ f^{\leftarrow}(V) = \bigsqcup_{i=1}^{n} U_{i}$$
      であり，$f^{\rightarrow}(U_{i}) = V \cap f^{\rightarrow}(O_{i}) = V$より，
      $$ f|_{U_{i}}^{V} = f_{i}|_{U_{i}}^{V} \colon U_{i} \approx V$$
      が成り立つ．
2. $V:= \bigcap_{i} f^{\rightarrow}(O_{i}) \in \tau(y,Y)$とおく．このとき$f^{\leftarrow}(V) \subset \bigcup_{i} O_{i}$が成り立つことを示せばよい．そこで$x \in f^{\leftarrow}(V)$とすると，$f(x) \in \bigcap_{i}f^{\rightarrow}(O_{i})$より，各$i$に対して，$x'_{i} \in O_{i}$であって
   $$ z:= f(x) = f(x'_{i})$$
   なるものが存在する．仮定より
   $$ \# f^{\leftarrow}(\{z\}) = \# f^{\leftarrow}(\{y\}) = n$$
   であるから，
   $$ \{x,x'_{1},\ldots,x'_{n}\} \subset f^{\leftarrow}(\{z\}),\ \#\{x'_{1},\ldots,x'_{n}\} = n$$
   より，
   $$ x \in \{x'_{1},\ldots,x'_{n}\} \subset \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}$$
   が成り立つ．

proper-loc-homeo-coveringの条件(2)が成り立つことを示せばよい．そこで$y_{0},y_{1} \in Y$とする．仮定より，連続写像$\omega \colon [0,1] \to Y$であって$\omega(i)= y_{i}$なるものが存在する．このとき$\omega^{\rightarrow}([0,1])$は（局所）コンパクトであるから，全射固有局所同相写像
$$ f_{\omega}:= f^{\omega^{\rightarrow}([0,1])} \colon f^{\leftarrow}(\omega^{\rightarrow}([0,1])) \to \omega^{\rightarrow}([0,1])$$
は被覆写像である．よって，$\omega^{\rightarrow}([0,1])$の連結性とfiberより
$$ \#f^{\leftarrow}(\{y_{0}\}) = \#f_{\omega}^{\leftarrow}(\{y_{0}\}) \textcolor{orange}{=} \#f_{\omega}^{\leftarrow}(\{y_{1}\}) = \#f^{\leftarrow}(\{y_{1}\})$$
が成り立つ．

$x \in G$とする．単位元の開近傍$U \in \tau(e,G)$であって$\Gamma_{U} = \{e\}$なるものが存在すれば，$U_{x}:= U \cdot x \in \tau(x,G)$について，
$$ U_{x} \cap U_{x} \cdot \gamma = (U \cap U \cdot x\gamma x^{-1}) \cdot x$$
より，$\Gamma_{U_{x}} = \{e\}$が成り立つので，初めから$x = e$としてよい．

仮定より，$V \in \tau(e,G)$であって
$$ V \cap \Gamma = \{e\}$$
なるものが存在する．この$V$に対して，対称開近傍$U \in \tau(e,G)$であって$UU \subset V$を満たすものが存在する．このとき，$\gamma \in \Gamma_{U}$とすると，$u \in U$であって$u\gamma \in U$なるものが存在するので，
$$ \gamma = u^{-1}(u\gamma) \in U^{-1}U = UU \subset V$$
より，$\gamma =e$が成り立つ．

$G := \{g_{0}=e,g_{1},\ldots,g_{n}\}$とおく．$\alpha$が被覆空間作用であることを示せばよい．

$x \in X$とする．仮定より$x$の$G$軌道
$$ x \cdot G = \{x,x \cdot g_{1},\ldots, x \cdot g_{n}\}$$
はHausdorff空間の$n+1$点集合なので，開近傍$U_{i} \in \tau(x,X),i\in[n],$であって
$$ i\neq j \implies U_{i} \cdot g_{i} \cap U_{j} \cdot g_{j} = \varnothing$$
を満たすものが存在する．そこで
$$ U := \bigcap_{i\in[n]} U_{i} \in \tau(x,X)$$
とおくと，
$$ i\in[n]_{>0} \implies U \cap U \cdot g_{i} \subset U_{0} \cap U_{i} \cdot g_{i} = \varnothing$$
より，$G_{U} = \{e\}$が成り立つ．

非空部分集合
$$ I_{0} := \{t \in I \mid \omega_{1}(t) = \omega_{2}(t)\} \subset I$$
が開閉集合であることを示せばよい．

$\checkmark$ 開集合であること

$t \in I_{0}$とし，$y:= f(\omega_{1}(t)) \in Y$とおく．被覆写像の定義より，開近傍$V \in \tau(y,Y),\,U \in \tau(\omega_{1}(t),X)$であって
$$ f_{t}:= f|_{U}^{V} \colon U \approx V$$
なるものが存在する．そこで
$$ W:= \omega_{1}^{\leftarrow}(U) \cap \omega_{2}^{\leftarrow}(U) \in \tau(t,I)$$
とおくと，任意の$s \in W$に対して，
$$ f_{t}(\omega_{1}(s)) = f(\omega_{1}(s)) = f(\omega_{2}(s)) = f_{t}(\omega_{2}(s))$$
より，$\omega_{1}(s) = \omega_{2}(s)$が成り立つ．よって$W \subset I_{0}$が成り立つ．

$\checkmark$ 閉集合であること

$t \in I \smallsetminus I_{0}$とし，$y:= f(\omega_{1}(t)) \in Y$とおく．仮定より$f(\omega_{2}(t)) = y$であるから，被覆写像の定義より，開近傍$V \in \tau(y,Y), U_{i} \in \tau(\omega_{i}(t),X)$であって
$$ U_{1} \cap U_{2} = \varnothing,\ f_{i}:= f|_{U_{i}}^{V} \colon U_{i} \approx V$$
なるものが存在する．そこで
$$ W:= \omega_{1}^{\leftarrow}(U_{1}) \cap \omega_{2}^{\leftarrow}(U_{2}) \in \tau(t,I)$$
とおくと，任意の$s \in W$に対して，
$$ \omega_{1}(s) \in U_{1},\ \omega_{2}(s) \in U_{2}$$
より，$\omega_{1}(s) \neq \omega_{2}(s)$が成り立つ．よって$W \subset I\smallsetminus I_{0}$が成り立つ．

$\tilde{H}_{1},\tilde{H}_{2}$が条件を満たすとすると，各$z \in Z$に対して，
$$ \tilde{H}_{1}(0,z) = \tilde{h}_{0}(z) = \tilde{H}_{2}(0,z),$$
および
$$ f \circ \tilde{H}_{1}(\cdot,z) = H(\cdot,z) = f \circ \tilde{H}_{2}(\cdot,z)$$
が成り立つので，$[0,1]$の連結性とulpより，
$$ \tilde{H}_{1}(\cdot,z) = \tilde{H}_{2}(\cdot,z) \colon [0,1] \to X$$
が成り立つ．よって$\tilde{H}_{1} = \tilde{H}_{2}$が成り立つ．

Step 1.

$z \in Z$とする．各$t \in [0,1]$に対して，$H(t,z) \in Y$の開近傍$V(t,z) \in \tau(Y)$を，被覆写像の定義にあるように取る．このとき，$[0,1] \times \{z\}$の開被覆$(H^{\leftarrow}(V(t,z)))_{t\in[0,1]}$のLebesgue数を取ることで，有限列$(t_{i})_{i\in[n+1]}$であって
$$ 0 = t_{0} < t_{1} <\cdots< t_{n+1}=1,\ [t_{i},t_{i+1}]\times\{z\} \subset H^{\leftarrow}(V(\prescript{\exists}{}t,z)=:V_{i})$$
を満たすものが存在することがわかる．各$i\in[n]$に対して，$z$の開近傍$N_{i} \in \tau(Z)$であって
$$ [t_{i},t_{i+1}]\times N_{i} \subset H^{\leftarrow}(V_{i})$$
を満たすものが存在するので，
$$ N(z) := \bigcap_{i\in[n]} N_{i} \in \tau(z,Z)$$
とおくと，
$$ \forall i\in[n],\ [t_{i},t_{i+1}] \times N(z) \subset H^{\leftarrow}(V_{i})$$
が成り立つ．

Step 2.

各$z \in Z$に対して，連続写像$\tilde{H}_{z} \colon [0,1] \times N(z) \to X$であって
$$ \tilde{H}_{z}(0,z') = \tilde{h}_{0}(z'),\ f \circ \tilde{H}_{z} = H|[0,1]\times N(z)$$
を満たすものが存在することを示す：
$$ \xymatrix{ {N(z)} \ar[d]_{\iota_{0,N(z)}} \ar[r]^{\tilde{h}_{0}|N(z)}& {X} \ar[d]^{f}\\ {[0,1] \times N(z)} \ar@{.>}[ur]^{\tilde{H}_{z}} \ar[r]_{H} & {Y} }$$

いま$([t_{i},t_{i+1}] \times N(z))_{i\in[n]}$は$[0,1] \times N(z)$の（局所）有限閉被覆なので，各$i\in[n]$に対して，連続写像$\varphi_{i} \colon [t_{i},t_{i+1}] \times N(z) \to X$であって
\begin{align} \varphi_{0}(0,z') &= \tilde{h}_{0}(z');\\ f \circ \varphi_{i} &= H|[t_{i},t_{i+1}]\times N(z);\\ \varphi_{i}|\{t_{i+1}\}\times N(z) &= \varphi_{i+1}|\{t_{i+1}\}\times N(z); \end{align}
を満たすものが存在することを示せばよい．

1. $V_{0}$に対して，$X$の開集合族$(U_{\lambda})_{\lambda}$であって
   $$ f^{\leftarrow}(V_{0}) = \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda_{0}} U_{\lambda},\ f_{\lambda}:= f|_{U_{\lambda}}^{V_{0}} \colon U_{\lambda} \approx V_{0}$$
   を満たすものを取る．そこで$$ W_{\lambda} := (\tilde{h}_{0}|N(z))^{\leftarrow}(U_{\lambda})$$
   とおくと，
   $$ z' \in N(z) \implies f(\tilde{h}_{0}(z')) = H(0,z') \in V_{0} \implies \tilde{h}_{0}(z') \in f^{\leftarrow}(V_{0})$$
   より，$(W_{\lambda})_{\lambda}$は$N(z)$の互いに交わらない開被覆であるから，連続写像族
   $$ [t_{0},t_{1}] \times W_{\lambda} \xrightarrow{H|[t_{0},t_{1}] \times W_{\lambda}} V_{0} \xrightarrow{f_{\lambda}^{-1}} U_{\lambda} \subset X$$
   は貼り合わさって連続写像$\varphi_{0} \colon [t_{0},t_{1}] \times N(z) \to X$を定める．明らかに
   $$ \varphi_{0}(0,z') = f_{\lambda}^{-1}(H(0,z')) = \tilde{h}_{0}(z'),$$
   および
   $$ f \circ \varphi_{0} = H|[t_{0},t_{1}] \times N(z)$$
   が成り立つ．
2. $\varphi_{i}$まで定まったとする．$V_{i+1}$に対して，$X$の開集合族$(U_{\lambda})_{\lambda}$であって
   $$ f^{\leftarrow}(V_{i+1}) = \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda_{i+1}} U_{\lambda},\ f_{\lambda}:= f|_{U_{\lambda}}^{V_{i+1}} \colon U_{\lambda} \approx V_{i+1}$$
   を満たすものを取る．そこで
   $$ W_{\lambda} := \{z' \in N(z) \mid \varphi_{i}(t_{i+1},z') \in U_{\lambda}\}$$
   とおくと，
   $$ z' \in N(z) \implies f(\varphi_{i}(t_{i+1},z')) = H(t_{i+1},z') \in V_{i+1} \implies \varphi_{i}(t_{i+1},z') \in f^{\leftarrow}(V_{i+1})$$
   より，$(W_{\lambda})_{\lambda}$は$N(z)$の互いに交わらない開被覆であるから，連続写像族
   $$ [t_{i+1},t_{i+2}] \times W_{\lambda} \xrightarrow{H|[t_{i+1},t_{i+2}] \times W_{\lambda}} V_{i+1} \xrightarrow{f_{\lambda}^{-1}} U_{\lambda} \subset X$$
   は貼り合わさって連続写像$\varphi_{i+1} \colon [t_{i+1},t_{i+2}] \times N(z) \to X$を定める．明らかに
   $$ f\circ \varphi_{i+1} = H|[t_{i+1},t_{i+2}] \times N(z)$$
   が成り立つ．また，$z' \in W_{\lambda}$のとき，
   $$ f_{\lambda}(\varphi_{i}(t_{i+1},z')) = f(\varphi_{i}(t_{i+1},z')) = H(t_{i+1},z') = f(\varphi_{i+1}(t_{i+1},z')) = f_{\lambda}(\varphi_{i+1}(t_{i+1},z'))$$
   より
   $$ \varphi_{i}(t_{i+1},z') = \varphi_{i+1}(t_{i+1},z')$$
   が成り立つ．

Step 3.

$z,z' \in Z$とする．このとき，任意の$z'' \in N(z) \cap N(z')$に対して，
$$ \tilde{H}_{z}(0,z'') = \tilde{h}_{0}(z'') = \tilde{H}_{z'}(0,z''),$$
および
$$ f \circ (\tilde{H}_{z}|[0,1] \times \{z''\}) = H|[0,1] \times \{z''\} = f \circ (\tilde{H}_{z'}|[0,1] \times \{z''\})$$
より，
$$ \tilde{H}_{z}|[0,1] \times \{z''\} = \tilde{H}_{z'}|[0,1] \times \{z''\}$$
が成り立つ（ulp）．よって
$$ \tilde{H}_{z}|[0,1] \times (N(z)\cap N(z')) = \tilde{H}_{z'}|[0,1] \times (N(z)\cap N(z'))$$
が成り立つ．いま，$([0,1] \times N(z))_{z\in Z}$は$[0,1] \times Z$の開被覆であるから，連続写像族$(\tilde{H}_{z})_{z}$は貼り合わさって連続写像$\tilde{H} \colon [0,1] \times Z \to X$を定める．明らかに
$$ \tilde{H}(0,z) = \tilde{h}_{0}(z),\ f\circ\tilde{H} = H$$
が成り立つ：
$$ \xymatrix{ {Z} \ar[d]_{\iota_{0,Z}} \ar[r]^{\tilde{h}_{0}}& {X} \ar[d]^{f}\\ {[0,1] \times Z} \ar@{.>}[ur]^{\tilde{H}} \ar[r]_{H} & {Y} }$$

以下の図式を考えればよい：
$$ \xymatrix{ {\{0\}} \ar[dd]_{\iota_{0,\{0\}}} \ar[rr]^{\mathrm{const}_{x_{0}}}&& {X} \ar[dd]^{f}\\ &&\\ {[0,1] \times \{0\} \,\approx\, [0,1]} \ar@{.>}[uurr]^{\tilde{\omega}} \ar[rr]_{\omega} && {Y} }$$

1. $\mathbb{D}^{2}$は連結なので，ulpより，一意性がしたがう．
2. 連続写像$H \colon [0,1] \times \mathbb{D}^{2} \to Y$を
   $$ H(t,z) := h_{1}((1-t)z_{0} + tz)$$
   で定めると，
   $$ H(0,z) = y_{0} = f(\mathrm{const}_{x_{0}}(z)),\ H(1,z) = h_{1}(z),\ H(t,z_{0}) = y_{0}$$
   が成り立つ．したがって，hlpより，連続写像$\tilde{H} \colon [0,1] \times \mathbb{D}^{2} \to X$であって，以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
   $$ \xymatrix{ {\mathbb{D}^{2}} \ar[d]_{\iota_{0,\mathbb{D}^{2}}} \ar[r]^{\mathrm{const}_{x_{0}}}& {X} \ar[d]^{f}\\ {[0,1] \times \mathbb{D}^{2}} \ar@{.>}[ur]^{\tilde{H}} \ar[r]_{H} & {Y} }$$
   連続写像$\tilde{h}_{1} \colon \mathbb{D}^{2} \to X$を
   $$ \tilde{h}_{1}(z) := \tilde{H}(1,z)$$
   で定めると
   $$ f(\tilde{h}_{1}(z)) = f(\tilde{H}(1,z)) = H(1,z) = h_{1}(z)$$
   が成り立つ．あとは$\tilde{h}_{1}(z_{0}) = x_{0}$が成り立つことを示せばよい．ここで，連続写像$\omega,\omega_{0} \colon [0,1] \to X$を
   $$ \omega(t) := \tilde{H}(t,z_{0}),\ \omega_{0}(t) := x_{0}$$
   で定めると，
   $$ \omega(0) = x_{0} = \omega_{0}(0),$$
   および
   $$ f(\omega(t)) = f(\tilde{H}(t,z_{0})) = H(t,z_{0}) = y_{0} = f(\omega_{0}(t))$$
   が成り立つので，ulpより，$\omega = \omega_{0}$を得る．したがって
   $$ \tilde{h}_{1}(z_{0}) = \tilde{H}(1,z_{0}) = \omega(1) = \omega_{0}(1) = x_{0}$$
   が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

いま$f$は連続開写像であるから，あとは$f$が全単射であることを示せばよい．

$\checkmark\ f$が全射であること

$y_{0} \in f^{\rightarrow}(X)$を取り，$y_{1} \in Y$とする．$Y$の弧状連結性より，連続写像$\omega \colon [0,1] \to Y$であって$\omega(i) = y_{i}$なるものが存在する．

1. いま$f$は開写像なので，
   $$ y_{0} \in \omega^{\rightarrow}([0,1]) \cap f^{\rightarrow}(X) \subset \omega^{\rightarrow}([0,1])$$
   は非空開集合である．
2. 仮定より$f^{\leftarrow}(\omega^{\rightarrow}([0,1]))$はコンパクトなので，
   $$ \omega^{\rightarrow}([0,1]) \cap f^{\rightarrow}(X) = f^{\rightarrow}(f^{\leftarrow}(\omega^{\rightarrow}([0,1])) \cap X) \subset \omega^{\rightarrow}([0,1])$$
   はHausdorff空間のコンパクト集合ゆえ閉集合である．

したがって，$\omega^{\rightarrow}([0,1])$の連結性より，
$$ y_{1} \in \omega^{\rightarrow}([0,1]) = \omega^{\rightarrow}([0,1]) \cap f^{\rightarrow}(X) \subset f^{\rightarrow}(X)$$
が成り立つ．

$\checkmark\ f$が単射であること

$x_{0},x_{1} \in X,\,f(x_{0}) = f(x_{1})$とする．$X$の弧状連結性より，連続写像$\omega \colon [0,1] \to X$であって$\omega(i) = x_{i}$なるものが存在する．いま$f(\omega(0)) = f(\omega(1))$であるから，連続写像$\varphi_{0} \colon \mathbb{S}^{1} \to X$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {([0,1],\{0,1\})} \ar[d]_{q:= \exp^{1}|[0,1]} \ar[r]^{f \circ \omega} & {(Y,f(x_{0}))}\\ {(\mathbb{S}^{1},z_{0})} \ar@{.>}[ur]_{\varphi_{0}} }$$
この$\varphi_{0}$に対して，$Y$の単連結性より，連続写像$\varphi \colon \mathbb{D}^{2} \to Y$であって$\varphi|\mathbb{S}^{1} = \varphi_{0}$を満たすものが存在する．proper-loc-homeo-coveringより，全射固有局所同相写像$f \colon X \to Y$は被覆写像であるから，連続写像$\tilde{\varphi} \colon (\mathbb{D}^{2},z_{0}) \to (X,x_{0})$であって$f \circ \tilde{\varphi} = \varphi$を満たすものがただ一つ存在する（lift）：
$$ \xymatrix{ & {(X,x_{0})} \ar[d]^{f}\\ {(\mathbb{D}^{2},z_{0})} \ar@{.>}[ur]^{\tilde{\varphi}} \ar[r]_{\varphi} & {(Y,f(x_{0}))} }$$
そこで，合成写像
$$ \omega_{\tilde{\varphi}} \colon [0,1] \xrightarrow{q} \mathbb{S}^{1} \subset \mathbb{D}^{2} \xrightarrow{\tilde{\varphi}} X$$
を考えると，
$$ \omega_{\tilde{\varphi}}(0) = \tilde{\varphi}(z_{0}) = x_{0} = \omega(0),$$
および
$$ f \circ \omega_{\tilde{\varphi}} = f\circ \tilde{\varphi}|\mathbb{S}^{1} \circ q = \varphi|\mathbb{S}^{1} \circ q = \varphi_{0} \circ q = f \circ \omega$$
より$\omega_{\tilde{\varphi}} = \omega$となるので（ulp），
$$ x_{0} = \tilde{\varphi}(z_{0}) = \omega_{\tilde{\varphi}}(1) = \omega(1) = x_{1}$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

明らか．

各$g \in G$に対して，同相写像$\rho(g) \colon X \to X$を
$$ \rho(g)(x) := x \cdot g^{-1}$$
で定めると，$q_{G} \circ \rho(g) = q_{G}$が成り立つので，$\rho(g) \in \Aut(q_{G})$を得る．よって写像$\rho \colon G \to \Aut(q_{G})$が定まるが，さらに
$$ \rho(gg')(x) = x \cdot (gg')^{-1} = x \cdot g'^{-1}g^{-1} = (x \cdot g'^{-1}) \cdot g^{-1} = \rho(g)(\rho(g')(x))$$
が成り立つので，$\rho$は群準同型である．

1. $x_{0},x_{1} \in X,\,q_{G}(x_{0}) = q_{G}(x_{1})$とする．このとき，$g \in G$であって$x_{0} = x_{1} \cdot g$を満たすものが存在するので，$\rho(g) \in \Aut(q_{G})$に対して
   $$ \rho(g)(x_{0}) = x_{1}$$
   が成り立つ．よって$q_{G} \colon X \to X/G$はGalois被覆である．
2. 群準同型$\rho \colon G \to \Aut(q_{G})$が全単射であることを示せばよい．
   1. いま$\alpha$は自由な作用なので，$\rho$は単射である．
   2. $f \in \Aut(q_{G})$とする．$x_{0} \in X$を取り$x_{1} := f(x_{0})$とおくと，被覆変換群の定義より$q_{G}(x_{1}) = q_{G}(f(x_{0})) = q_{G}(x_{0})$となるので，$g \in G$であって
      $$ \rho(g)(x_{0}) = x_{1}$$
      を満たすものが存在する．いま，$X$は連結であって，
      $$ f(x_{0}) = \rho(g)(x_{0}),\ q_{G} \circ f = q_{G} = q_{G} \circ \rho(g)$$
      が成り立つので，ulpより，$f = \rho(g)$を得る．よって$\rho$は全射である．

1. $(x,f) \in X \times \Aut(q)$とする．このとき，任意の開近傍$V \in \tau(f^{-1}(x),X)$に対して，$U:= f^{\rightarrow}(V) \in \tau(x,X)$とおくと，$(x,f)$の開近傍$U \times \{f\} \in \tau(X \times \Aut(q))$について
   $$ (\mathrm{ev}')^{\rightarrow}(U \times \{f\}) \subset V$$
   が成り立つ．また，
   $$ x \cdot (f_{1} \circ f_{2}) = (f_{1} \circ f_{2})^{-1}(x) = f_{2}^{-1}(f_{1}^{-1}(x)) = (x \cdot f_{1}) \cdot f_{2}$$
   も成り立つ．よって$\mathrm{ev}'$は連続作用である．
2. $x \in X$とし，$y := q(x) \in Y$とおき，連結開近傍$V \in \tau(y,Y)$と$X$の開集合族$(U_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$であって
   $$ q^{\leftarrow}(V) = \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda} U_{\lambda},\ q|_{U_{\lambda}}^{V} \colon U_{\lambda} \approx V$$
   を満たすもの，および$\lambda\in\Lambda$であって$x \in U_{\lambda} =: U$なるものを取る．このとき，$g \in \Aut(q)_{U}$とすると，$U \cdot g$の連結性と
   $$ U \cap U \cdot g \neq \varnothing,\ U \cdot g \subset q^{\leftarrow}(V)$$
   より，
   $$ U \cdot g = U \cap U \cdot g \subset U$$
   となる．よって
   $$ (q|_{U}^{V})(x \cdot g) = q(x \cdot g) = q(x) = (q|_{U}^{V})(x)$$
   より，$x \cdot g = x$を得るので，$X$の連結性とulpより，$g = \id_{X}$が成り立つ．

1. $y \in Y$とし，連結開近傍$V \in \tau(y,Y)$と$X$の開集合族$(U_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$であって
   $$ q^{\leftarrow}(V) = \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda} U_{\lambda},\ q|_{U_{\lambda}}^{V} \colon U_{\lambda} \approx V$$
   を満たすものを取る．このとき$W_{\lambda} := q_{\Gamma}(U_{\lambda}) \in \tau(X/\Gamma)$であり，
   $$ \bar{q}^{\leftarrow}(V) = q_{\Gamma}^{\rightarrow}(q^{\leftarrow}(V)) = \bigcup_{\lambda\in\Lambda} W_{\lambda}$$
   が成り立つ．各$\lambda\in\Lambda$に対して，$q_{\Gamma}|_{U_{\lambda}}^{W_{\lambda}}$は全射連続開写像であり，合成写像
   $$ (\bar{q}|_{W_{\lambda}}^{V}) \circ (q_{\Gamma}|_{U_{\lambda}}^{W_{\lambda}}) = q|_{U_{\lambda}}^{V} \colon U_{\lambda} \to W_{\lambda} \to V$$
   が単射なので，全単射連続開写像$q_{\Gamma}|_{W_{\lambda}}^{V}$は同相写像である．また，各$U_{\lambda}$の連結性より
   \begin{align} W_{\lambda} \cap W_{\lambda'} \neq \varnothing &\implies \exists\, \gamma\in\Gamma,\ U_{\lambda} \cap U_{\lambda'} \cdot \gamma \neq \varnothing \\ &\implies \exists\, \gamma \in \Gamma,\ U_{\lambda'}\cdot \gamma \subset U_{\lambda} = (U_{\lambda} \cdot \gamma^{-1}) \cdot \gamma \subset U_{\lambda'} \cdot \gamma\\ &\implies W_{\lambda} = W_{\lambda'} \end{align}
   が成り立つので，$\Lambda$上の同値関係
   $$ \lambda \sim \lambda' :\iff W_{\lambda} = W_{\lambda'}$$
   の完全代表系$\Lambda_{0}$を取れば，
   $$ \bar{q}^{\leftarrow}(V) = \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda_{0}} W_{\lambda},\ \bar{q}|_{W_{\lambda}}^{V} \colon W_{\lambda} \approx V$$
   が成り立つ．
2. $\bar{q}$がGalois被覆であるとする．$x_{0} \in X$を取り，$g \in \Aut(q)$とする．このとき，
   $$ \bar{q}(q_{\Gamma}(x_{0})) = q(x_{0}) = q(g^{-1}(x_{0})) = \bar{q}(g^{*}q_{\Gamma}(x_{0}))$$
   より，$\bar{f} \in \Aut(\bar{q})$であって
   $$ \bar{f}(q_{\Gamma}(x_{0})) = g^{*}q_{\Gamma}(x_{0})$$
   を満たすものが存在する．いま
   $$ \bar{q} \circ \bar{f} \circ q_{\Gamma} = \bar{q} \circ q_{\Gamma} = q = q \circ g^{-1} = \bar{q} \circ q_{\Gamma} \circ g^{-1} = \bar{q} \circ g^{*}q_{\Gamma}$$
   が成り立つので，$X/\Gamma$の連結性とulpより，
   $$ \bar{f} \circ q_{\Gamma} = g^{*}q_{\Gamma}$$
   が成り立つ．よって，
   $$ \Gamma = \Aut(q_{\Gamma}) = \Aut(\bar{f}\circ q_{\Gamma}) = \Aut(g^{*}q_{\Gamma})= g\,\Aut(q_{\Gamma})\,g^{-1} = g\,\Gamma g^{-1}$$
   が成り立つ．

$\Aut(q)/\Gamma \cong \Aut(\bar{q})$であること

$f \in \Aut(q)$とする．

1. $q_{\Gamma}(x) = q_{\Gamma}(x')$とすると，$f_{\Gamma} \in \Aut(q_{\Gamma}) = \Gamma$であって$f_{\Gamma}(x) = x'$なるものが存在する．
2. 仮定より
   $$ f \circ f_{\Gamma} \circ f^{-1} \in f\,\Gamma f^{-1} = \Gamma = \Aut(q_{\Gamma})$$
   であるから，$f'_{\Gamma} \in \Aut(q_{\Gamma})$であって$f \circ f_{\Gamma} \circ f^{-1} = f'_{\Gamma}$なるものが存在する．
3. よって
   $$ q_{\Gamma}(f(x)) = q_{\Gamma}(f'_{\Gamma}(f(x))) = q_{\Gamma}(f(f_{\Gamma}(x))) = q_{\Gamma}(f(x'))$$
   が成り立つ．

以上より
$$ q_{\Gamma}(x) = q_{\Gamma}(x') \implies q_{\Gamma}(f(x)) = q_{\Gamma}(f(x'))$$
が成り立つので，連続写像$\bar{f} \colon X/\Gamma \to X/\Gamma$であって$\bar{f} \circ q_{\Gamma} = q_{\Gamma} \circ f$を満たすものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {X} \ar[d]_{q_{\Gamma}} \ar[r]^{f} & {X} \ar[d]^{q_{\Gamma}}\\ {X/\Gamma} \ar@{.>}[r]_{\bar{f}} & {X/\Gamma} }$$

$f^{-1}, \id_{X}$に対して同様の考察をすることで，
$$ \overline{f^{-1}} \circ \bar{f} = \id_{X/\Gamma} = \bar{f} \circ \overline{f^{-1}}$$
が成り立つことがわかる．さらに
$$ (\bar{q} \circ \bar{f}) \circ q_{\Gamma} = \bar{q} \circ q_{\Gamma} \circ f = q \circ f = q = \bar{q} \circ q_{\Gamma}$$
より$\bar{q} \circ \bar{f} = \bar{q}$が成り立つので，写像$\psi_{\Gamma} \colon \Aut(q) \to \Aut(\bar{q})$を
$$ \psi_{\Gamma}(f) := \bar{f}$$
で定めることができる．

1. 誘導される写像の一意性より，$\psi_{\Gamma}$が群準同型であることがわかる．
2. $\psi_{\Gamma}$の定義より，
   $$ f \in \ker(\psi_{\Gamma}) \iff \bar{f} = \id_{X/\Gamma} \iff \bar{f} \circ q_{\Gamma} = q_{\Gamma} \iff q_{\Gamma} \circ f = q_{\Gamma} \iff f \in \Aut(q_{\Gamma}) = \Gamma$$
   が成り立つので，$\ker(\psi_{\Gamma}) = \Gamma$である．
3. $\bar{f} \in \Aut(\bar{q})$とし，$x_{0} \in X$を取る．このとき，$q_{\Gamma}$の全射性より，$x \in X$であって
   $$ q_{\Gamma}(x) = \bar{f}(q_{\Gamma}(x_{0}))$$
   を満たすものが存在する．いま$q \colon X \to Y$はGalois被覆なので，
   $$ q(x_{0}) = \bar{q}(q_{\Gamma}(x_{0})) = \bar{q}(\bar{f}(q_{\Gamma}(x_{0}))) = \bar{q}(q_{\Gamma}(x)) = q(x)$$
   より，$f \in \Aut(q)$であって$f(x_{0}) = x$なるものが存在する．したがって
   $$ \bar{f}(q_{\Gamma}(x_{0})) = q_{\Gamma}(x) = q_{\Gamma}(f(x_{0})),$$
   および
   $$ \bar{q}\circ (\bar{f} \circ q_{\Gamma}) = \bar{q}\circ q_{\Gamma} = q = q \circ f = \bar{q}\circ (q_{\Gamma} \circ f)$$
   が成り立つので，$X$の連結性とulpより，
   $$ \bar{f}\circ q_{\Gamma} = q_{\Gamma} \circ f$$
   が成り立つ．よって$\psi_{\Gamma}$は全射である．

$\bar{q} \colon X/\Gamma \to Y$がGalois被覆であること

$\bar{q}(q_{\Gamma}(x)) = \bar{q}(q_{\Gamma}(x'))$とする．このとき$q(x)=q(x')$であるから，$f \in \Aut(q)$であって$f(x)=x'$なるものが存在する．そこで，$\bar{f} := \psi_{\Gamma}(f) \in \Aut(\bar{q})$とおくと，
$$ \bar{f}(q_{\Gamma}(x)) = q_{\Gamma}(f(x)) = q_{\Gamma}(x')$$
が成り立つ．

前半

$z \in Z$とし，$y:= q_{Z,Y}(z) \in Y$とおく．このとき，連結開近傍$W \in \tau(y,Y)$と$X$の開集合族$(U_{\lambda})_{\lambda}$，および$Z$の開集合族$(V_{\lambda'})_{\lambda'}$であって
\begin{align} {q_{X,Y}}^{\leftarrow}(W) &= \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda} U_{\lambda},\ q_{X,Y}|_{U_{\lambda}}^{W} \colon U_{\lambda} \approx W\\ {q_{Z,Y}}^{\leftarrow}(W) &= \bigsqcup_{\lambda'\in \Lambda'} V_{\lambda'},\ q_{Z,Y}|_{V_{\lambda'}}^{W} \colon V_{\lambda'} \approx W \end{align}
を満たすものが存在する．$\lambda' \in \Lambda'$であって$z \in V_{\lambda'}=:V$なるものを取り
$$ \Lambda(z) := \{\lambda\in\Lambda \mid U_{\lambda} \cap {q_{X,Z}}^{\leftarrow}(V) \neq \varnothing\}$$
とおく．任意の$\lambda\in\Lambda(z)$に対して，$U_{\lambda}$の連結性と${q_{X,Z}}^{\rightarrow}(U_{\lambda}) \subset {q_{Z,Y}}^{\leftarrow}(W)$より
$$ {q_{X,Z}}^{\rightarrow}(U_{\lambda}) \subset V$$
が成り立つので，
$$ q_{X,Z}|_{U_{\lambda}}^{V} = (q_{Z,Y}|_{V}^{W})^{-1} \circ q_{X,Y}|_{U_{\lambda}}^{W} \colon U_{\lambda} \to W \to V$$
は同相写像である．よって
$$ {q_{X,Z}}^{\leftarrow}(V) = \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda(z)} U_{\lambda},\ q_{X,Z}|_{U_{\lambda}}^{V} \colon U_{\lambda} \approx V$$
が成り立つ．

後半

$q_{X,Z}(x) = q_{X,Z}(x')$とする．このとき
$$ q_{X,Y}(x) = q_{Z,Y}(q_{X,Z}(x)) = q_{Z,Y}(q_{X,Z}(x')) = q_{X,Y}(x')$$
より，$f \in \Aut(q_{X,Y})$であって$f(x) = x'$なるものが存在する．あとは$f \in \Aut(q_{X,Z})$を示せばよい．いま，
$$ q_{X,Z}(f(x)) = q_{X,Z}(x') = q_{X,Z}(x)$$
であり，
$$ q_{Z,Y} \circ (q_{X,Z} \circ f) = q_{X,Y} \circ f = q_{X,Y} = q_{Z,Y} \circ q_{X,Z}$$
であるから，$X$の連結性とulpより，
$$ q_{X,Z} \circ f = q_{X,Z},$$
すなわち$f \in \Aut(q_{X,Z})$が成り立つ．

$x_{0} \in X$を取り
$$ X_{0} := \{x_{1} \in X \mid \exists\, \omega \colon [0,1] \to X:\text{conti.},\ \omega(i) = x_{i}\}$$
とおく．非空部分集合$X_{0} \subset X$が開かつ閉であることを示せばよい．

$\checkmark$ 開集合であること

$x_{1} \in X_{0}$とし，連続写像$\omega \colon [0,1] \to X$であって$\omega(i)=x_{i}$なるものを取る．仮定より，弧状連結開近傍$U \in \tau(x_{1},X)$が存在する．このとき，任意の$x_{2} \in U$に対して，連続写像$\omega' \colon [0,1] \to X$であって$\omega'(i)=x_{i+1}$なるものが存在するので，連続写像$\omega''\colon [0,1] \to X$を
$$ \omega''(t):= \begin{cases} \omega(2t) &, 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ \omega'(2t-1) &, \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases} $$
で定めると，$\omega''(i)=x_{2i}$が成り立つ．よって$U \subset X_{0}$となるので，$X_{0} \subset X$は開集合である．

$\checkmark$ 閉集合であること

$x_{2} \in X\smallsetminus X_{0}$とし，$x_{2}$の弧状連結開近傍$U \in \tau(x_{2},X)$を取る．このとき，$U \subset X \smallsetminus X_{0}$が成り立つ．実際，$U \cap X_{0} \neq \varnothing$であったとすると，上の考察により$x_{2} \in X_{0}$が得られ不合理である．

(1)

基点$x_{0} \in X, \tilde{x}_{0} \in p^{\leftarrow}(\{x_{0}\})$を取り，$q \colon (Z,z_{0}) \to (X,x_{0})$を被覆写像とする．

$\tilde{x} = \tilde{x}_{1} \in \tilde{X}$とし，連続写像$\tilde{\omega} \colon [0,1] \to \tilde{X}$であって$\tilde{\omega}(i)=\tilde{x}_{i}$なるものを取る．このとき，plpより，連続写像$p \circ \tilde{\omega} \colon ([0,1],0) \to (X,x_{0})$に対して，連続写像$\omega_{Z} \colon ([0,1],0) \to (Z,z_{0})$であって$q \circ \omega_{Z} = p \circ \tilde{\omega}$なるものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ & {(Z,z_{0})} \ar[d]^{q}\\ {([0,1],0)} \ar@{.>}[ur]^{\omega_{Z}} \ar[r]_{p \circ \tilde{\omega}} & {(X,x_{0})} }$$

$\omega_{Z}(1) \in Z$が$\tilde{\omega}$の取り方によらないことが，次のようにしてわかる：

1. 別の連続写像$\tilde{\omega}' \colon ([0,1],0,1) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{1})$に対して，連続写像$\tilde{\omega}'' \colon [0,1] \to \tilde{X}$を
   $$ \tilde{\omega}''(t) := \begin{cases} \tilde{\omega}(2t) &, 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ \tilde{\omega}'(2-2t) &, \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}$$
   で定めると，$\tilde{\omega}''(0)=\tilde{x}_{0} = \tilde{\omega}''(1)$より，連続写像$\varphi_{0} \colon (\mathbb{S}^{1},1) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$が誘導される：
   $$ \xymatrix{ {([0,1],0,\frac{1}{2},1)} \ar[d]_{\exp^{1}|[0,1]} \ar[r]^{\tilde{\omega}''} & {(\tilde{X},\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{1},\tilde{x}_{0})}\\ {(\mathbb{S}^{1},1,-1,1)} \ar@{.>}[ur]_{\varphi_{0}} }$$
2. $\tilde{X}$の単連結性より，連続写像$\varphi \colon (\mathbb{D}^{2},1) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$であって$\varphi|\mathbb{S}^{1} = \varphi_{0}$なるものが存在する．
3. 連続写像$p \circ \varphi \colon (\mathbb{D}^{2},1) \to (X,x_{0})$と被覆写像$q$に対して，liftより，連続写像$\tilde{\varphi} \colon (\mathbb{D}^{2},1) \to (Z,z_{0})$であって$q \circ \tilde{\varphi} = p \circ \varphi$を満たすものがただ一つ存在する．
4. $[0,1]$の連結性とulpより，以下の図式は可換である：
   $$ \xymatrix{ &&&& {Z} \ar[d]^{q}\\ {[0,1]} \ar@/_3pc/[rrrr]_{p \circ \tilde{\omega}} \ar[r]_{\approx} \ar[urrrr]^{\omega_{Z}} &[0,\frac{1}{2}] \ar[r]_{\exp^{1}|[0,\frac{1}{2}]} & {\mathbb{S}^{1}} \ar[r]_{\subset} & {\mathbb{D}^{2}} \ar[ur]^{\tilde{\varphi}} \ar[r]_{p \circ \varphi} & {X} }$$
   よって
   $$ \omega_{Z}(1) = \tilde{\varphi}(-1)$$
   が成り立つ．同様に，$\tilde{\omega}'$から定まる連続写像$\omega_{Z}'$に対して
   $$ \omega_{Z}'(1) = \tilde{\varphi}(-1)$$
   が成り立つ．

以上より，写像$f \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (Z,z_{0})$を
$$ f(\tilde{x}) := \omega_{Z}(1)$$
で定めることができる．定義より
$$ q(f(\tilde{x})) = q(\omega_{Z}(1)) = p(\tilde{\omega}(1)) = p(\tilde{x})$$
が成り立つので，あとは$f$の連続性を示せばよい．そこで$\tilde{x} \in \tilde{X}$とし$V \in \tau(f(\tilde{x}),Z)$とする．いま$p,q$は局所同相写像なので，$\tilde{x} \in \tilde{X}$の弧状連結開近傍$U \in \tau(\tilde{X})$と$p(\tilde{x})$の開近傍$W \in \tau(X)$，および$f(\tilde{x})$の開近傍$V' \in \tau(V)$であって
$$ p|_{U}^{W} \colon U \approx W,\ q|_{V'}^{W} \colon V' \approx W$$
を満たすものが存在する．このとき，任意の$\tilde{x}'\in U$に対して，連続写像$\tilde{\omega}' \colon ([0,1],0,1) \to (\tilde{X},\tilde{x},\tilde{x}')$を
$$ \tilde{\omega}(2t) = \tilde{\omega}'(t),\ (\tilde{\omega}')^{\rightarrow}([\tfrac{1}{2},1]) \subset U$$
なるように取ると，写像
$$ \omega_{Z}'\colon [0,1] \to Z;\ t \mapsto \begin{cases} \omega_{Z}(2t) &, 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ \id_{V'}^{Z} \circ (q|_{V'}^{W})^{-1} \circ (p|_{U}^{W})(\tilde{\omega}'(t)) &, \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}$$
は連続であって$q \circ \omega_{Z}' = p \circ \tilde{\omega}'$を満たすので，
$$ f(\tilde{x}') = \omega_{Z}'(1) \in V' \subset V$$
が成り立つ．

(2)

$p \colon \tilde{X} \to X$を普遍被覆とする．このとき，任意の$\tilde{x},\tilde{x}' \in \tilde{X}$に対して，普遍被覆の定義とulpより，
$$ p(\tilde{x}) = p(\tilde{x}') \implies \begin{cases} \exists\, f \colon (\tilde{X},\tilde{x}) \to (\tilde{X},\tilde{x}')&,\ p \circ f = p\\ \exists\, g \colon (\tilde{X},\tilde{x}') \to (\tilde{X},\tilde{x})&,\ p \circ g = p \end{cases}\ \leadsto\ g \circ f = \id_{\tilde{X}} = f \circ g$$
が成り立つ．

1. 基点$z_{0} \in q_{0}^{\leftarrow}(\{x_{0}\})$を取る．仮定より，被覆写像$p_{0} \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (Z_{0},z_{0})$であって$q_{0} \circ p_{0} = p$を満たすものがただ一つ存在する：
   $$ \xymatrix{ {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar@{.>}[r]^{p_{0}} \ar[d]_{p} & {(Z_{0},z_{0})} \ar[d]^{q_{0}}\\ {(X,x_{0})} \ar@{=}[r] & {(X,x_{0})} }$$
   univ-galois(1)より$p_{0} \colon \tilde{X} \to Z_{0}$は普遍被覆であるから，基点$z_{1} \in q_{1}^{\leftarrow}(\{z_{0}\})$に対して，被覆写像$p_{1} \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (Z_{1},z_{1})$であって$q_{1} \circ p_{1} = p_{0}$を満たすものがただ一つ存在する：
   $$ \xymatrix{ {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar@{.>}[r]^{p_{1}} \ar[d]_{p_{0}} & {(Z_{1},z_{1})} \ar[d]^{q_{1}}\\ {(Z_{0},z_{0})} \ar@{=}[r] & {(Z_{0},z_{0})} }$$
   univ-galoisより$p_{1} \colon \tilde{X} \to Z_{1}$はGalois被覆であるから，$\Gamma := \Aut(p_{1})$とおくと，以下の可換図式が得られる：
   $$ \xymatrix{ {\tilde{X}} \ar@/_3.0pc/[dd]_{p} \ar@{=}[r] \ar[d]_{p_{\Gamma}} & {\tilde{X}} \ar@/^3.0pc/[dd]^{p} \ar[d]^{p_{1}} \\ {\tilde{X}/\Gamma} \ar[r]^{\overline{p_{1}}}_{\approx} \ar[d]_{\bar{p}} & {Z_{1}} \ar[d]^{q_{0} \circ q_{1}} \\ {X} \ar@{=}[r] & {X} }$$
   ind-covより$\bar{p}$は被覆写像であるから，
   $$ q_{0} \circ q_{1} = \bar{p} \circ (\overline{p_{1}})^{-1} \colon Z_{1} \to X$$
   は被覆写像である．
2. 基点$\tilde{x}_{1} \in p_{1}^{\leftarrow}(\{\tilde{x}_{0}\})$を取る．前段より$p \circ p_{1} \colon (\tilde{X}_{1},\tilde{x}_{1}) \to (X,x_{0})$は被覆写像であるから，連続写像$f \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (\tilde{X}_{1},\tilde{x}_{1})$であって$(p \circ p_{1}) \circ f = p$を満たすものがただ一つ存在する：
   $$ \xymatrix{ {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar@{.>}[r]^{f} \ar[d]_{p} & {(\tilde{X}_{1},\tilde{x}_{1})} \ar[d]^{p \circ p_{1}} \\ {X} \ar@{=}[r] & X }$$
   このとき，
   $$ p_{1}(f(\tilde{x}_{0})) = \tilde{x}_{0},$$
   および
   $$ p \circ (p_{1} \circ f) = p$$
   が成り立つので，$\tilde{X}$の連結性とulpより，$p_{1} \circ f = \id_{\tilde{X}}$が成り立つ．さらに，
   $$ f(p_{1}(\tilde{x}_{1})) = \tilde{x}_{1},$$
   および
   $$ p_{1} \circ (f \circ p_{1}) = \id_{\tilde{X}} \circ p_{1} = p_{1}$$
   が成り立つので，$\tilde{X}_{1}$の連結性とulpより，$f \circ p_{1} = \id_{\tilde{X}_{1}}$が成り立つ．よって
   $$ p_{1} \colon \tilde{X}_{1} \to \tilde{X}$$
   は同相写像である．

(i)$\implies$(ii)

仮定より，同相写像$f \colon Z_{1} \to Z_{2}$であって$q_{2} \circ f = q_{1}$なるものが存在する．このとき，$p \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (X,x_{0})$の基点つき中間被覆$(q_{(Z_{1},z_{1})},q_{1})$と$(q_{(Z_{2},f(z_{1}))},q_{2})$とは基点つき同型であるから，
$$ \Aut(q_{(Z_{1},z_{1})}) = \Aut(q_{(Z_{2},f(z_{1}))})$$
が成り立つ：
$$ \xymatrix{ {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar[d]_{q_{(Z_{1},z_{1})}} \ar@{=}[r] & {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar[d]^{q_{(Z_{2},f(z_{1}))}}\\ {(Z_{1},z_{1})} \ar[r]^{f}_{\approx} \ar[d]_{q_{1}} & {(Z_{2},f(z_{1}))} \ar[d]^{q_{2}}\\ {(X,x_{0})} \ar@{=}[r] & {(X,x_{0})} }$$

一方，$\tilde{x}_{2} \in {q_{(Z_{2},f(z_{1}))}}^{\leftarrow}(z_{2})$を取ると，普遍被覆の定義より，同相写像$\tilde{g} \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{2}) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$であって$p \circ \tilde{g} = p$を満たすものが存在することがわかる：
$$ \xymatrix{ {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar[rd]^{q_{(Z_{2},z_{2})}} \ar[d]_{q_{(Z_{2},f(z_{1}))}} \ar@/_4.5pc/[dd]_{p} & {(\tilde{X},\tilde{x}_{2})} \ar[d]^{q_{(Z_{2},f(z_{1}))}} \ar@{.>}[l]_{\tilde{g}} \ar@/^4.5pc/[dd]^{p}\\ {(Z_{2},f(z_{1}))} \ar[d]_{q_{2}} & {(Z_{2},z_{2})} \ar[d]^{q_{2}}\\ {(X,x_{0})} \ar@{=}[r] & {(X,x_{0})} }$$

このとき，$\tilde{g} \in \Aut(p)$であり，
$$ q_{(Z_{2},z_{2})} = q_{(Z_{2},f(z_{1}))} \circ \tilde{g}^{-1} = \tilde{g}^{*}q_{(Z_{2},f(z_{1}))}$$
であるから，
$$ \Aut(q_{(Z_{2},z_{2})}) = \Aut(\tilde{g}^{*}q_{(Z_{2},f(z_{1}))}) = \tilde{g}\, \Aut(q_{(Z_{2},f(z_{1}))})\, \tilde{g}^{-1} = \tilde{g}\, \Aut(q_{(Z_{1},z_{1})})\,\tilde{g}^{-1}$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$\Gamma_{i} := \Aut(q_{(Z_{i},z_{i})})$とおく．仮定より，$\tilde{g} \in \Aut(p)$であって
$$ \Gamma_{2} = \tilde{g}\,\Gamma_{1}\,\tilde{g}^{-1}$$
を満たすものが存在する．いま，mor-covより，$q_{(Z_{i},z_{i})}$はGalois被覆であるから，同相写像$\tilde{g} \colon \tilde{X} \to \tilde{X}$が，同相写像
$$ g \colon \tilde{X}/\Gamma_{1} \to \tilde{X}/\Gamma_{2}$$
を誘導することを示せば十分である：
$$ \xymatrix{ & {\tilde{X}} \ar[d] \ar[dl]_{q_{(Z_{1},z_{1})}} \ar[r]^{\tilde{g}}_{\approx} & {\tilde{X}} \ar[d] \ar[dr]^{q_{(Z_{2},z_{2})}} &\\ {Z_{1}} \ar[dr]_{q_{1}} & {\tilde{X}/\Gamma_{1}} \ar[l]^{\approx} \ar[d] \ar@{.>}[r]^{g}_{\approx} & {\tilde{X}/\Gamma_{2}} \ar[r]_{\approx} \ar[d] & {Z_{2}} \ar[dl]^{q_{2}}\\ &{X} \ar@{=}[r] & {X} & }$$

そこで，$\tilde{x},\tilde{x}' \in \tilde{X}$とし，$\tilde{f}_{1} \in \Gamma_{1}$であって$\tilde{f}_{1}(\tilde{x}) = \tilde{x}'$なるものが存在したとすると，$\tilde{f}_{2} \in \Gamma_{2}$であって$\tilde{f}_{2} = \tilde{g} \circ \tilde{f}_{1} \circ \tilde{g}^{-1}$なるものに対して，
$$ \tilde{f}_{2}(\tilde{g}(\tilde{x})) = \tilde{g}(\tilde{f}_{1}(\tilde{x})) = \tilde{g}(\tilde{x}')$$
が成り立つ．よって，連続写像$g \colon \tilde{X}/\Gamma_{1} \to \tilde{X}/\Gamma_{2}$が誘導される：
$$ \xymatrix{ {\tilde{X}} \ar[d]_{p_{\Gamma_{1}}} \ar[r]^{\tilde{g}} & {\tilde{X}} \ar[d]^{p_{\Gamma_{2}}}\\ {\tilde{X}/\Gamma_{1}} \ar@{.>}[r]_{g} & {\tilde{X}/\Gamma_{2}} }$$

$\tilde{g}^{-1},\id_{\tilde{X}}$に対して同様の考察をすることで，$g$が同相写像であることがわかる．

1. $X$を弧状連結とし，$f \colon X \to Y$を全射連続写像とする．
   1. $X \neq \varnothing$より$Y = f^{\rightarrow}(X) \neq \varnothing$である．
   2. 任意の$y_{0},y_{1} \in Y$に対して，$x_{i} \in f^{\leftarrow}(\{y_{i}\})$を取ると，連続写像$\omega_{X} \colon [0,1] \to X$であって$\omega_{X}(i)=x_{i}$なるものが存在するので，連続写像$\omega_{Y} := f \circ \omega \colon [0,1] \to Y$に対して$\omega_{Y}(i) = y_{i}$が成り立つ．
2. 任意の$(x_{0},y_{0}), (x_{1},y_{1}) \in X \times Y$に対して，連続写像$\omega_{X} \colon [0,1] \to X,\,\omega_{Y} \colon [0,1] \to Y$であって
   $$ \omega_{X}(i) = x_{i},\ \omega_{Y}(i) = y_{i}$$
   を満たすものが存在するので，連続写像$\omega_{X \times Y} \colon [0,1] \to X \times Y$を
   $$ \omega_{X\times Y}(t) := (\omega_{X}(t),\omega_{Y}(t))$$
   で定めると，$\omega_{X \times Y}(i) = (x_{i},y_{i})$が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

1. 明らかに$X \neq \varnothing$であり，
   $$ \tau(X) \cap \tau^{c}(X) = \{\varnothing,X\}$$
   が成り立つ．
2. $f \colon X \to \mathbb{2}$を連続写像とする．$x_{0} \in X$を取り
   $$ X_{0} := f^{\leftarrow}(\{f(x_{0})\}) \subset X$$
   とおくと，これは$X$の非空開閉集合であるから$X$に一致する．よって$f$は全射でない．

(ii)$\implies$(i)

もし$X$が連結でないとすると，開閉集合$A \in \tau(X) \cap \tau^{c}(X) \smallsetminus \{\varnothing,X\}$が取れる．このとき，$A,X \smallsetminus A \subset X$は非空開集合であるから，全射連続写像$f \colon X \to \mathbb{2}$を
$$ f(x) := \begin{cases} 0 &, x \in A\\ 1 &, x \in X\smallsetminus A \end{cases}$$
で定めることができるが，これは不合理である．

$f \colon [0,1] \to \mathbb{2}$を連続写像とし，
$$ I_{0} := \{t\in [0,1] \mid \forall t' \in [0,t],\ f(t') = f(0)\}$$
とおく．このとき，$0 \in I_{0} \neq \varnothing$より，
$$ s:= \sup I_{0} \in [0,1]$$
が定まる．

1. $f^{\leftarrow}(\{f(0)\}) \in \tau(0,[0,1])$より，$\delta_{0} > 0$であって
   $$ [0,\delta_{0}] \subset f^{\leftarrow}(\{f(0)\})$$
   を満たすものが存在する．よって$\delta_{0} \in I_{0}$であるから，
   $$ 0 < \delta_{0} \leq s$$
   が成り立つ．
2. $f^{\leftarrow}(\{f(s)\}) \in \tau(s,[0,1])$より，$\delta > 0$であって
   $$ [s-\delta,s] \subset f^{\leftarrow}(\{f(s)\})$$
   を満たすものが存在する．このとき，$t \in I_{0}$であって$s-\delta < t$なるものが存在するので，
   $$ \forall t' \in [0,s] = [0,t] \cup [t,s],\ f(t') = f(t) = f(0)$$
   が成り立つ．よって$s \in I_{0}$，したがって$I_{0} = [0,s]$が成り立つ．
3. もし$s < 1$であるとすると，$\delta > 0$であって
   $$ [s,s+\delta] \subset f^{\leftarrow}(\{f(s)\})$$
   なるものが存在するが，このとき
   $$ \forall t' \in [0,s+\delta] = [0,s] \cup [s,s+\delta],\ f(t') = f(s) = f(0)$$
   より$s+\delta \in I_{0}$となって，$s$が$I_{0}$の上界であることに反する．よって$s=1$が成り立つ．

以上より$[0,1] = I_{0}$が成り立つので，$f$は全射でない．

$X$を連結空間とし，$f \colon X \to Y$を全射連続写像とする．

1. $X \neq \varnothing$より$Y = f^{\rightarrow}(X) \neq \varnothing$である．
2. $g \colon Y \to \mathbb{2}$を連続写像とすると，連続写像
   $$ g \circ f \colon X \to Y \to \mathbb{2}$$
   は全射でないので，$g$も全射でない．

明らかに$\bigcup_{\lambda} C_{\lambda} \neq \varnothing$である．また，
$$ f \colon \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_{\lambda} \to \mathbb{2}$$
を連続写像とし，$x_{0} \in \bigcap_{\lambda} C_{\lambda}$を取ると，
$$ \forall \lambda\in\Lambda,\ C_{\lambda} \textcolor{orange}{=} (f|C_{\lambda})^{\leftarrow}(\{f(x_{0})\}) = f^{\leftarrow}(\{f(x_{0})\}) \cap C_{\lambda}$$
より，
$$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_{\lambda} = f^{\leftarrow}(\{f(x_{0})\})$$
が成り立つので，$f$は全射でない．

$X$を弧状連結空間とし，$x_{0} \in X$を取る．任意の$x = x_{1} \in X$に対して，連続写像$\omega_{x} \colon [0,1] \to X$であって$\omega(i)=x_{i}$なるものが存在する．そこで
$$ C_{x} := \omega_{x}^{\rightarrow}([0,1])$$
とおくと，これは連結であり
$$ x_{0} \in \bigcap_{x\in X} C_{x} \neq \varnothing$$
が成り立つ．よってcnctdより
$$ X = \bigcup_{x\in X} C_{x}$$
は連結である．