大学数学基礎解説

文献あり

被覆空間のはなし

トポロジー,位相空間論

325

被覆写像と局所同相写像

$X, Y$ を位相空間とし $f : X \to Y$ を連続写像とする．

任意の $y \in Y$ に対して，その開近傍 $V \in τ (y, Y)$ と $X$ の開集合族 $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ であって
$f^{\leftarrow} (V) = ⨆_{λ \in Λ} U_{λ} \land \forall λ \in Λ, f |_{U_{λ}}^{V} : U_{λ} \to V : homeo.$
を満たすものが存在するとき， $f$ を被覆写像という．
任意の $x \in X$ に対して，その開近傍 $U \in τ (x, X)$ であって
$V := f^{\to} (U) \in τ (Y) \land f |_{U}^{V} : U \to V : homeo.$
を満たすものが存在するとき， $f$ を局所同相写像という．

同相写像は被覆写像である．
被覆写像は局所同相写像である．
局所同相写像は開写像である．

明らか．
$f : X \to Y$ を被覆写像とする． $x \in X$ とし $y := f (x) \in Y$ とおく．仮定より， $V \in τ (y, Y)$ と $U \in τ (x, X)$ であって
$f |_{U}^{V} : U \to V$
が同相写像であるようなものが存在する．
$f : X \to Y$ を局所同相写像とし， $U \in τ (X)$ とする．また， $y \in f^{\to} (U)$ とし， $x \in U$ であって $f (x) = y$ なるものを取る．仮定より， $U x \in τ (x, X)$ であって
$f^{\to} (U x) \in τ (Y), f_{x} := f |_{U x}^{f^{\to} (U x)} : U x \approx f^{\to} (U x)$
を満たすものが存在する．このとき
$U \cap U x \in τ (U x)$
より
$y \in f^{\to} (U \cap U x) = f_{x}^{\to} (U \cap U x) \in τ (f^{\to} (U x)) \subset τ (Y)$
であり，
$f^{\to} (U \cap U x) \subset f^{\to} (U)$
が成り立つ．よって $f^{\to} (U) \subset Y$ は開集合である．

$X$ を位相空間， $Y$ を連結空間とし， $f : X \to Y$ を被覆写像とする．このとき，任意の $y, y^{'} \in Y$ に対して
$# f^{\leftarrow} ({y}) = # f^{\leftarrow} ({y^{'}})$
が成り立つ．とくに $f$ は全射である．

$y_{0} \in Y$ を取り，
$Y_{0} := {y \in Y ∣ # f^{\leftarrow} ({y}) = # f^{\leftarrow} ({y_{0}})}$
とおく．このとき $Y_{0} \subset Y$ が開閉集合であることを示せばよい．

$y \in Y_{0}$ とする．仮定より，開近傍 $V \in τ (y, Y)$ と $X$ の開集合族 $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ であって
$f^{\leftarrow} (V) = ⨆_{λ \in Λ} U_{λ}, \forall λ \in Λ, f |_{U_{λ}}^{V} : U_{λ} \approx V$
を満たすものが存在する．このとき，任意の $z \in V$ に対して
$# f^{\leftarrow} ({z}) = # Λ = # f^{\leftarrow} ({y}) = # f^{\leftarrow} ({y_{0}})$
が成り立つので， $V \subset Y_{0}$ を得る．よって $Y_{0} \subset Y$ は開集合である．
同様にして $Y ∖ Y_{0} \subset Y$ が開集合であることもわかる．

さて， $y_{0} \in Y$ に対して，開近傍 $V \in τ (y_{0}, Y)$ と開集合 $U \in τ (X)$ であって
$f |_{U}^{V} : U \approx V$
なるものが存在する．よって，任意の $y \in Y$ に対して
$# f^{\leftarrow} ({y}) = # f^{\leftarrow} ({y_{0}}) \geq 1$
が成り立つ．

局所同相写像が被覆写像であるための十分条件

（ [3] Lemma 2 ）

$X, Y$ を非空Hausdorff空間とし， $f : X \to Y$ を全射固有局所同相写像とする．このとき，以下のいづれかが成り立つならば， $f$ は被覆写像である：

$Y$ は局所コンパクトである；
任意の $y, y^{'} \in Y$ に対して
$# f^{\leftarrow} ({y}) = # f^{\leftarrow} ({y^{'}})$
が成り立つ．

$y \in Y$ とする．いま $f$ は全射局所同相写像なので $f^{\leftarrow} ({y})$ は非空離散集合である．一方， $f$ の固有性より $f^{\leftarrow} ({y})$ はコンパクトである．したがって $f^{\leftarrow} ({y})$ は有限集合であるから，有限個の点 $x_{1}, \dots, x_{n} \in X$ であって
$f^{\leftarrow} ({y}) = {x_{1}, \dots, x_{n}}$
なるものが存在する． $X$ のHausdorff性より，各 $x_{i}$ の開近傍 $O_{i} \in τ (x_{i}, X)$ であって
$i \neq j ⟹ O_{i} \cap O_{j} = \emptyset$
を満たすものが取れる．必要なら小さく取り直すことで
$f_{i} := f |_{O_{i}}^{f^{\to} (O_{i})} : O_{i} \approx f^{\to} (O_{i})$
としてよい．また，明らかに
$y \in ⋂_{i = 1}^{n} f^{\to} (O_{i}) \in τ (Y)$
が成り立つ．

$y \in Y$ のコンパクト近傍 $K \subset Y$ を取り，
$V := Int (K) \cap ⋂_{i = 1}^{n} f^{\to} (O_{i}) ∖ f^{\to} (f^{\leftarrow} (K) ∖ ⋃_{i = 1}^{n} O_{i})$
とおく．
1. 明らかに
  $y \in Int (K) \cap ⋂_{i = 1}^{n} f^{\to} (O_{i})$
  であり，
  $f^{\leftarrow} ({y}) \cap (f^{\leftarrow} (K) ∖ ⋃_{i = 1}^{n} O_{i}) \subset {x_{1}, \dots, x_{n}} ∖ ⋃_{i = 1}^{n} O_{i} = \emptyset$
  より
  ${y} \cap f^{\to} (f^{\leftarrow} (K) ∖ ⋃_{i = 1}^{n} O_{i}) = \emptyset$
  となるので， $y \in V$ が成り立つ．
2. 仮定より $f^{\leftarrow} (K) \subset X$ はコンパクト集合なので，その閉集合
  $f^{\leftarrow} (K) ∖ ⋃_{i = 1}^{n} O_{i} \subset f^{\leftarrow} (K)$
  もコンパクト，したがって
  $f^{\to} (f^{\leftarrow} (K) ∖ ⋃_{i = 1}^{n} O_{i}) \subset Y$
  はHausdorff空間のコンパクト集合ゆえ閉集合であるから， $V \in τ (Y)$ が成り立つ．
3. 任意の $x \in f^{\leftarrow} (V) \subset f^{\leftarrow} (K)$ に対して，
  $f (x) \notin f^{\to} (f^{\leftarrow} (K) ∖ ⋃_{i = 1}^{n} O_{i}) ⇝ x \notin f^{\leftarrow} (K) ∖ ⋃_{i = 1}^{n} O_{i}$
  より
  $x \in ⋃_{i = 1}^{n} O_{i}$
  を得るので，
  $f^{\leftarrow} (V) \subset ⋃_{i = 1}^{n} O_{i}$
  が成り立つ．そこで $U_{i} := f^{\leftarrow} (V) \cap O_{i} \in τ (X)$ とおくと，
  $f^{\leftarrow} (V) = ⨆_{i = 1}^{n} U_{i}$
  であり， $f^{\to} (U_{i}) = V \cap f^{\to} (O_{i}) = V$ より，
  $f |_{U_{i}}^{V} = f_{i} |_{U_{i}}^{V} : U_{i} \approx V$
  が成り立つ．
$V := ⋂_{i} f^{\to} (O_{i}) \in τ (y, Y)$ とおく．このとき $f^{\leftarrow} (V) \subset ⋃_{i} O_{i}$ が成り立つことを示せばよい．そこで $x \in f^{\leftarrow} (V)$ とすると， $f (x) \in ⋂_{i} f^{\to} (O_{i})$ より，各 $i$ に対して， $x_{i}^{'} \in O_{i}$ であって
$z := f (x) = f (x_{i}^{'})$
なるものが存在する．仮定より
$# f^{\leftarrow} ({z}) = # f^{\leftarrow} ({y}) = n$
であるから，
${x, x_{1}^{'}, \dots, x_{n}^{'}} \subset f^{\leftarrow} ({z}), # {x_{1}^{'}, \dots, x_{n}^{'}} = n$
より，
$x \in {x_{1}^{'}, \dots, x_{n}^{'}} \subset ⋃_{i = 1}^{n} O_{i}$
が成り立つ．

$X, Y$ をHausdorff空間とし， $f : X \to Y$ を全射連続写像とする． $X$ がコンパクト空間であるとき，次は同値である：

$f$ は被覆写像である；
$f$ は局所同相写像である．

$X$ をHausdorff空間， $Y$ を弧状連結Hausdorff空間とする．このとき，任意の全射固有局所同相写像 $f : X \to Y$ は被覆写像である．

命題1の条件(2)が成り立つことを示せばよい．そこで $y_{0}, y_{1} \in Y$ とする．仮定より，連続写像 $ω : [0, 1] \to Y$ であって $ω (i) = y_{i}$ なるものが存在する．このとき $ω^{\to} ([0, 1])$ は（局所）コンパクトであるから，全射固有局所同相写像
$f_{ω} := f^{ω^{\to} ([0, 1])} : f^{\leftarrow} (ω^{\to} ([0, 1])) \to ω^{\to} ([0, 1])$
は被覆写像である．よって， $ω^{\to} ([0, 1])$ の連結性と補題2より
$# f^{\leftarrow} ({y_{0}}) = # f_{ω}^{\leftarrow} ({y_{0}}) = # f_{ω}^{\leftarrow} ({y_{1}}) = # f^{\leftarrow} ({y_{1}})$
が成り立つ．

被覆写像の例

$X$ を位相空間， $G$ を離散群とし， $α : X \times G \to X$ を連続作用とする．任意の $x \in X$ に対して， $U \in τ (x, X)$ であって
$G_{U} := {g \in G ∣ U \cap U \cdot g \neq \emptyset} = {e}$
を満たすものが存在するとき， $α$ を被覆空間作用という．

（ [9] 命題23 ）

$α$ が被覆空間作用ならば， $α$ は自由であり，商写像 $q : X \to X / G$ は被覆写像である．

$G$ を位相群とし， $Γ < G$ を離散部分群とする．このとき， $Γ$ による連続作用
$G \times Γ \to G; (g, γ) \mapsto g γ$
は被覆空間作用である．

$x \in G$ とする．単位元の開近傍 $U \in τ (e, G)$ であって $Γ_{U} = {e}$ なるものが存在すれば， $U_{x} := U \cdot x \in τ (x, G)$ について，
$U_{x} \cap U_{x} \cdot γ = (U \cap U \cdot x γ x^{- 1}) \cdot x$
より， $Γ_{U_{x}} = {e}$ が成り立つので，初めから $x = e$ としてよい．

仮定より， $V \in τ (e, G)$ であって
$V \cap Γ = {e}$
なるものが存在する．この $V$ に対して，対称開近傍 $U \in τ (e, G)$ であって $U U \subset V$ を満たすものが存在する．このとき， $γ \in Γ_{U}$ とすると， $u \in U$ であって $u γ \in U$ なるものが存在するので，
$γ = u^{- 1} (u γ) \in U^{- 1} U = U U \subset V$
より， $γ = e$ が成り立つ．

$n \in N_{> 0}$ とする．このとき， $Z^{n}$ は加法群 $R^{n}$ の離散（正規）部分群なので，商写像
$\exp^{n} : R^{n} \to R^{n} / Z^{n} \approx (R / Z)^{n} \approx (S^{1})^{n} =: T^{n}; x \mapsto (e^{2 π x_{1} \sqrt{- 1}}, \dots, e^{2 π x_{n} \sqrt{- 1}})$
は被覆写像である．

補足

商写像 $q : R \to R / Z$ は開写像なので，積写像 $\prod q : R^{n} \to (R / Z)^{n}$ が同相
$R^{n} / Z^{n} \approx (R / Z)^{n}$
を誘導する（cf. [8]命題2の系）．
連続写像
$\exp^{1} : R \to S^{1} := {z \in C ∣ ∥ z ∥ = 1}; x \mapsto e^{2 π x \sqrt{- 1}}$
は位相群 $(R, +)$ から位相群 $(S^{1}, \times)$ への全射準同型ゆえ連続な群同型写像
$\overset{―}{\exp^{1}} : R / Z ≅ S^{1}$
を誘導する．ところで， $R / Z$ はコンパクト空間 $[0, 1]$ の連続像ゆえコンパクトなので，全単射連続写像 $\overset{―}{\exp^{1}}$ は同相写像である．
同様にして，連続写像
$R \to S^{1}; x \mapsto e^{\frac{2 π x \sqrt{- 1}}{n}}$
は，同相
$R / n Z \approx S^{1}$
を誘導する．
$\exp^{1} |] 0, 1.5 [$ は局所同相写像だが，被覆写像ではない．

$n \in Z ∖ {0}$ とし，連続写像 $p_{n} : S^{1} \to S^{1}$ を
$p_{n} (z) := z^{n}$
で定める．このとき，同相写像 ${\tilde{p}}_{n} : R \to R$ を
${\tilde{p}}_{n} (x) := n x$
で定めると， $\exp^{1} \circ {\tilde{p}}_{n} = p_{n} \circ \exp^{1}$ が成り立つ：
$R {\tilde{p}}_{n} \exp^{1} R \exp^{1} S^{1} p_{n} S^{1}$

よって $p_{n}$ はコンパクトHausdorff空間 $S^{1}$ からHausdorff空間 $S^{1}$ への全射局所同相写像であるから，系1より，被覆写像である．また，以下の図式も可換になる：
$R quoti. quoti. R / n Z \approx S^{1} p_{n} R / Z \approx \overset{―}{\exp^{1}} S^{1}$

$X$ をHausdorff空間， $G$ を有限群とし， $α : X \times G \to X$ を連続作用とする．このとき， $α$ が自由な作用ならば，商写像 $q : X \to X / G$ は被覆写像である．

$G := {g_{0} = e, g_{1}, \dots, g_{n}}$ とおく． $α$ が被覆空間作用であることを示せばよい．

$x \in X$ とする．仮定より $x$ の $G$ 軌道
$x \cdot G = {x, x \cdot g_{1}, \dots, x \cdot g_{n}}$
はHausdorff空間の $n + 1$ 点集合なので，開近傍 $U_{i} \in τ (x, X), i \in [n],$ であって
$i \neq j ⟹ U_{i} \cdot g_{i} \cap U_{j} \cdot g_{j} = \emptyset$
を満たすものが存在する．そこで
$U := ⋂_{i \in [n]} U_{i} \in τ (x, X)$
とおくと，
$i \in [n]_{> 0} ⟹ U \cap U \cdot g_{i} \subset U_{0} \cap U_{i} \cdot g_{i} = \emptyset$
より， $G_{U} = {e}$ が成り立つ．

有限巡回群 $G := Z / n Z$ による $S^{1}$ への連続作用を
$(z, m + n Z) \mapsto z e^{\frac{2 π m \sqrt{- 1}}{n}}$
で定めると，これは自由な作用であるから，商写像 $q : S^{1} \to S^{1} / G$ は被覆写像である．さらに
$q (z) = q (z^{'}) ⟺ p_{n} (z) = p_{n} (z^{'})$
が成り立つので，全単射連続写像 ${\bar{p}}_{n} : S^{1} / G \to S^{1}$ が誘導される：
$S^{1} p_{n} q S^{1} S^{1} / G {\bar{p}}_{n}$
いま $S^{1} / G$ はコンパクト空間であり $S^{1}$ はHausdorff空間であるから，結局 ${\bar{p}}_{n} : S^{1} / G \approx S^{1}$ が成り立つ．

実射影空間への商写像
$S^{n} \to S^{n} / S^{0} \approx R P^{n}$
は被覆写像である．

局所同相写像が同相写像であるための十分条件

Unique Lifting Property

$X, Y$ を位相空間とし， $f : X \to Y$ を被覆写像とする．また， $I$ を連結空間とし， $ω_{1}, ω_{2} : I \to X$ を連続写像とする．このとき，
$\exists t_{0} \in I, ω_{1} (t_{0}) = ω_{2} (t_{0}) \land f \circ ω_{1} = f \circ ω_{2} ⟹ ω_{1} = ω_{2}$
が成り立つ．

非空部分集合
$I_{0} := {t \in I ∣ ω_{1} (t) = ω_{2} (t)} \subset I$
が開閉集合であることを示せばよい．

$✓$ 開集合であること

$t \in I_{0}$ とし， $y := f (ω_{1} (t)) \in Y$ とおく．被覆写像の定義より，開近傍 $V \in τ (y, Y), U \in τ (ω_{1} (t), X)$ であって
$f_{t} := f |_{U}^{V} : U \approx V$
なるものが存在する．そこで
$W := ω_{1}^{\leftarrow} (U) \cap ω_{2}^{\leftarrow} (U) \in τ (t, I)$
とおくと，任意の $s \in W$ に対して，
$f_{t} (ω_{1} (s)) = f (ω_{1} (s)) = f (ω_{2} (s)) = f_{t} (ω_{2} (s))$
より， $ω_{1} (s) = ω_{2} (s)$ が成り立つ．よって $W \subset I_{0}$ が成り立つ．

$✓$ 閉集合であること

$t \in I ∖ I_{0}$ とし， $y := f (ω_{1} (t)) \in Y$ とおく．仮定より $f (ω_{2} (t)) = y$ であるから，被覆写像の定義より，開近傍 $V \in τ (y, Y), U_{i} \in τ (ω_{i} (t), X)$ であって
$U_{1} \cap U_{2} = \emptyset, f_{i} := f |_{U_{i}}^{V} : U_{i} \approx V$
なるものが存在する．そこで
$W := ω_{1}^{\leftarrow} (U_{1}) \cap ω_{2}^{\leftarrow} (U_{2}) \in τ (t, I)$
とおくと，任意の $s \in W$ に対して，
$ω_{1} (s) \in U_{1}, ω_{2} (s) \in U_{2}$
より， $ω_{1} (s) \neq ω_{2} (s)$ が成り立つ．よって $W \subset I ∖ I_{0}$ が成り立つ．

Homotopy Lifting Property

$X, Y$ を位相空間とし， $f : X \to Y$ を被覆写像とする．また， $Z$ を位相空間とし，連続写像 ${\tilde{h}}_{0} : Z \to X, H : [0, 1] \times Z \to Y$ が
$H (0, z) = f ({\tilde{h}}_{0} (z))$
を満たしているとする．このとき，連続写像 $\tilde{H} : [0, 1] \times Z \to X$ であって，以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
$Z ι_{0, Z} {\tilde{h}}_{0} X f [0, 1] \times Z \tilde{H} H Y$
ただし， $ι_{0, Z} (z) := (0, z)$ である．

（一意性）

${\tilde{H}}_{1}, {\tilde{H}}_{2}$ が条件を満たすとすると，各 $z \in Z$ に対して，
${\tilde{H}}_{1} (0, z) = {\tilde{h}}_{0} (z) = {\tilde{H}}_{2} (0, z),$
および
$f \circ {\tilde{H}}_{1} (\cdot, z) = H (\cdot, z) = f \circ {\tilde{H}}_{2} (\cdot, z)$
が成り立つので， $[0, 1]$ の連結性と補題6より，
${\tilde{H}}_{1} (\cdot, z) = {\tilde{H}}_{2} (\cdot, z) : [0, 1] \to X$
が成り立つ．よって ${\tilde{H}}_{1} = {\tilde{H}}_{2}$ が成り立つ．

（存在）

Step 1.

$z \in Z$ とする．各 $t \in [0, 1]$ に対して， $H (t, z) \in Y$ の開近傍 $V (t, z) \in τ (Y)$ を，被覆写像の定義にあるように取る．このとき， $[0, 1] \times {z}$ の開被覆 $(H^{\leftarrow} (V (t, z)))_{t \in [0, 1]}$ のLebesgue数を取ることで，有限列 $(t_{i})_{i \in [n + 1]}$ であって
$0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n + 1} = 1, [t_{i}, t_{i + 1}] \times {z} \subset H^{\leftarrow} (V ({}^{\exists}t, z) =: V_{i})$
を満たすものが存在することがわかる．各 $i \in [n]$ に対して， $z$ の開近傍 $N_{i} \in τ (Z)$ であって
$[t_{i}, t_{i + 1}] \times N_{i} \subset H^{\leftarrow} (V_{i})$
を満たすものが存在するので，
$N (z) := ⋂_{i \in [n]} N_{i} \in τ (z, Z)$
とおくと，
$\forall i \in [n], [t_{i}, t_{i + 1}] \times N (z) \subset H^{\leftarrow} (V_{i})$
が成り立つ．

Step 2.

各 $z \in Z$ に対して，連続写像 ${\tilde{H}}_{z} : [0, 1] \times N (z) \to X$ であって
${\tilde{H}}_{z} (0, z^{'}) = {\tilde{h}}_{0} (z^{'}), f \circ {\tilde{H}}_{z} = H | [0, 1] \times N (z)$
を満たすものが存在することを示す：
$N (z) ι_{0, N (z)} {\tilde{h}}_{0} | N (z) X f [0, 1] \times N (z) {\tilde{H}}_{z} H Y$

いま $([t_{i}, t_{i + 1}] \times N (z))_{i \in [n]}$ は $[0, 1] \times N (z)$ の（局所）有限閉被覆なので，各 $i \in [n]$ に対して，連続写像 $φ_{i} : [t_{i}, t_{i + 1}] \times N (z) \to X$ であって
$\begin{aligned} φ_{0} (0, z^{'}) & = {\tilde{h}}_{0} (z^{'}); \\ f \circ φ_{i} & = H | [t_{i}, t_{i + 1}] \times N (z); \\ φ_{i} | {t_{i + 1}} \times N (z) & = φ_{i + 1} | {t_{i + 1}} \times N (z); \end{aligned}$
を満たすものが存在することを示せばよい．

$V_{0}$ に対して， $X$ の開集合族 $(U_{λ})_{λ}$ であって
$f^{\leftarrow} (V_{0}) = ⨆_{λ \in Λ_{0}} U_{λ}, f_{λ} := f |_{U_{λ}}^{V_{0}} : U_{λ} \approx V_{0}$
を満たすものを取る．そこで $W_{λ} := ({\tilde{h}}_{0} | N (z))^{\leftarrow} (U_{λ})$
とおくと，
$z^{'} \in N (z) ⟹ f ({\tilde{h}}_{0} (z^{'})) = H (0, z^{'}) \in V_{0} ⟹ {\tilde{h}}_{0} (z^{'}) \in f^{\leftarrow} (V_{0})$
より， $(W_{λ})_{λ}$ は $N (z)$ の互いに交わらない開被覆であるから，連続写像族
$[t_{0}, t_{1}] \times W_{λ} \overset{H | [t_{0}, t_{1}] \times W_{λ}}{\to} V_{0} \overset{f_{λ}^{- 1}}{\to} U_{λ} \subset X$
は貼り合わさって連続写像 $φ_{0} : [t_{0}, t_{1}] \times N (z) \to X$ を定める．明らかに
$φ_{0} (0, z^{'}) = f_{λ}^{- 1} (H (0, z^{'})) = {\tilde{h}}_{0} (z^{'}),$
および
$f \circ φ_{0} = H | [t_{0}, t_{1}] \times N (z)$
が成り立つ．
$φ_{i}$ まで定まったとする． $V_{i + 1}$ に対して， $X$ の開集合族 $(U_{λ})_{λ}$ であって
$f^{\leftarrow} (V_{i + 1}) = ⨆_{λ \in Λ_{i + 1}} U_{λ}, f_{λ} := f |_{U_{λ}}^{V_{i + 1}} : U_{λ} \approx V_{i + 1}$
を満たすものを取る．そこで
$W_{λ} := {z^{'} \in N (z) ∣ φ_{i} (t_{i + 1}, z^{'}) \in U_{λ}}$
とおくと，
$z^{'} \in N (z) ⟹ f (φ_{i} (t_{i + 1}, z^{'})) = H (t_{i + 1}, z^{'}) \in V_{i + 1} ⟹ φ_{i} (t_{i + 1}, z^{'}) \in f^{\leftarrow} (V_{i + 1})$
より， $(W_{λ})_{λ}$ は $N (z)$ の互いに交わらない開被覆であるから，連続写像族
$[t_{i + 1}, t_{i + 2}] \times W_{λ} \overset{H | [t_{i + 1}, t_{i + 2}] \times W_{λ}}{\to} V_{i + 1} \overset{f_{λ}^{- 1}}{\to} U_{λ} \subset X$
は貼り合わさって連続写像 $φ_{i + 1} : [t_{i + 1}, t_{i + 2}] \times N (z) \to X$ を定める．明らかに
$f \circ φ_{i + 1} = H | [t_{i + 1}, t_{i + 2}] \times N (z)$
が成り立つ．また， $z^{'} \in W_{λ}$ のとき，
$f_{λ} (φ_{i} (t_{i + 1}, z^{'})) = f (φ_{i} (t_{i + 1}, z^{'})) = H (t_{i + 1}, z^{'}) = f (φ_{i + 1} (t_{i + 1}, z^{'})) = f_{λ} (φ_{i + 1} (t_{i + 1}, z^{'}))$
より
$φ_{i} (t_{i + 1}, z^{'}) = φ_{i + 1} (t_{i + 1}, z^{'})$
が成り立つ．

Step 3.

$z, z^{'} \in Z$ とする．このとき，任意の $z^{″} \in N (z) \cap N (z^{'})$ に対して，
${\tilde{H}}_{z} (0, z^{″}) = {\tilde{h}}_{0} (z^{″}) = {\tilde{H}}_{z^{'}} (0, z^{″}),$
および
$f \circ ({\tilde{H}}_{z} | [0, 1] \times {z^{″}}) = H | [0, 1] \times {z^{″}} = f \circ ({\tilde{H}}_{z^{'}} | [0, 1] \times {z^{″}})$
より，
${\tilde{H}}_{z} | [0, 1] \times {z^{″}} = {\tilde{H}}_{z^{'}} | [0, 1] \times {z^{″}}$
が成り立つ（補題6）．よって
${\tilde{H}}_{z} | [0, 1] \times (N (z) \cap N (z^{'})) = {\tilde{H}}_{z^{'}} | [0, 1] \times (N (z) \cap N (z^{'}))$
が成り立つ．いま， $([0, 1] \times N (z))_{z \in Z}$ は $[0, 1] \times Z$ の開被覆であるから，連続写像族 $({\tilde{H}}_{z})_{z}$ は貼り合わさって連続写像 $\tilde{H} : [0, 1] \times Z \to X$ を定める．明らかに
$\tilde{H} (0, z) = {\tilde{h}}_{0} (z), f \circ \tilde{H} = H$
が成り立つ：
$Z ι_{0, Z} {\tilde{h}}_{0} X f [0, 1] \times Z \tilde{H} H Y$

$X, Y$ を位相空間， $f : (X, x_{0}) \to (Y, y_{0})$ を被覆写像とし， $ω : ([0, 1], 0) \to (Y, y_{0})$ を連続写像とする．このとき，連続写像 $\tilde{ω} : ([0, 1], 0) \to (X, x_{0})$ であって $f \circ \tilde{ω} = ω$ を満たすものがただ一つ存在する：
$(X, x_{0}) f ([0, 1], 0) \tilde{ω} ω (Y, y_{0})$

以下の図式を考えればよい：
${0} ι_{0, {0}} {const}_{x_{0}} X f [0, 1] \times {0} \approx [0, 1] \tilde{ω} ω Y$

$X, Y$ を位相空間， $f : (X, x_{0}) \to (Y, y_{0})$ を被覆写像とし， $h_{1} : (D^{2}, z_{0}) \to (Y, y_{0})$ を連続写像とする．ただし
$D^{2} := {z \in C ∣ ∥ z ∥ \leq 1}$
である．このとき，連続写像 ${\tilde{h}}_{1} : (D^{2}, z_{0}) \to (X, x_{0})$ であって $f \circ {\tilde{h}}_{1} = h_{1}$ を満たすものがただ一つ存在する：
$(X, x_{0}) f (D^{2}, z_{0}) {\tilde{h}}_{1} h_{1} (Y, y_{0})$

$D^{2}$ は連結なので，補題6より，一意性がしたがう．
連続写像 $H : [0, 1] \times D^{2} \to Y$ を
$H (t, z) := h_{1} ((1 - t) z_{0} + t z)$
で定めると，
$H (0, z) = y_{0} = f ({const}_{x_{0}} (z)), H (1, z) = h_{1} (z), H (t, z_{0}) = y_{0}$
が成り立つ．したがって，定理1より，連続写像 $\tilde{H} : [0, 1] \times D^{2} \to X$ であって，以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
$D^{2} ι_{0, D^{2}} {const}_{x_{0}} X f [0, 1] \times D^{2} \tilde{H} H Y$
連続写像 ${\tilde{h}}_{1} : D^{2} \to X$ を
${\tilde{h}}_{1} (z) := \tilde{H} (1, z)$
で定めると
$f ({\tilde{h}}_{1} (z)) = f (\tilde{H} (1, z)) = H (1, z) = h_{1} (z)$
が成り立つ．あとは ${\tilde{h}}_{1} (z_{0}) = x_{0}$ が成り立つことを示せばよい．ここで，連続写像 $ω, ω_{0} : [0, 1] \to X$ を
$ω (t) := \tilde{H} (t, z_{0}), ω_{0} (t) := x_{0}$
で定めると，
$ω (0) = x_{0} = ω_{0} (0),$
および
$f (ω (t)) = f (\tilde{H} (t, z_{0})) = H (t, z_{0}) = y_{0} = f (ω_{0} (t))$
が成り立つので，補題6より， $ω = ω_{0}$ を得る．したがって
${\tilde{h}}_{1} (z_{0}) = \tilde{H} (1, z_{0}) = ω (1) = ω_{0} (1) = x_{0}$
が成り立つ．

$Y$ を弧状連結空間とする．任意の連続写像 $φ_{0} : S^{1} \to Y$ に対して，連続写像 $φ : D^{2} \to Y$ であって $φ | S^{1} = φ_{0}$ を満たすものが存在するとき， $Y$ を単連結空間という．

$Y_{1}, Y_{2}$ が単連結ならば， $Y_{1} \times Y_{2}$ も単連結である．実際，任意の連続写像 $φ_{0} : S^{1} \to Y_{1} \times Y_{2}$ に対して，
$S^{1} \overset{φ_{0}}{\to} Y_{1} \times Y_{2} \overset{proj.}{\to} Y_{i}$
の拡張 $φ_{i} : D^{2} \to Y_{i}$ を取り，連続写像 $φ : D^{2} \to Y_{1} \times Y_{2}$ を
$φ (z) := (φ_{1} (z), φ_{2} (z))$
で定めれば， $φ | S^{1} = φ_{0}$ が成り立つ．

$R$ は単連結である．実際，任意の連続写像 $φ_{0} : S^{1} \to R$ に対して，連続写像 $H : [0, 1] \times S^{1} \to R$ および $H^{'} : [0, 1] \times S^{1} \to D^{2}$ を
$H (t, z) := (1 - t) φ_{0} (z), H^{'} (t, z) := (1 - t) z$
で定めると， $S^{1}$ の錐 $C S^{1}$ を介して，連続写像 $φ : D^{2} \approx C S^{1} \to R$ が誘導され， $φ | S^{1} = φ_{0}$ が成り立つ：
$[0, 1] \times S^{1} H^{'} quoti. H φ : D^{2} C S^{1} \approx R$

したがって，任意の $n \in N_{> 0}$ に対して， $R^{n}$ は単連結である．

（ [3] Theorem 2 ）

$X$ を弧状連結Hausdorff空間， $Y$ を単連結Hausdorff空間とし， $f : X \to Y$ を局所同相写像とする．このとき次は同値である：

$f$ は固有写像である；
$f$ は同相写像である．

(i) $⟹$ (ii)

いま $f$ は連続開写像であるから，あとは $f$ が全単射であることを示せばよい．

$✓ f$ が全射であること

$y_{0} \in f^{\to} (X)$ を取り， $y_{1} \in Y$ とする． $Y$ の弧状連結性より，連続写像 $ω : [0, 1] \to Y$ であって $ω (i) = y_{i}$ なるものが存在する．

いま $f$ は開写像なので，
$y_{0} \in ω^{\to} ([0, 1]) \cap f^{\to} (X) \subset ω^{\to} ([0, 1])$
は非空開集合である．
仮定より $f^{\leftarrow} (ω^{\to} ([0, 1]))$ はコンパクトなので，
$ω^{\to} ([0, 1]) \cap f^{\to} (X) = f^{\to} (f^{\leftarrow} (ω^{\to} ([0, 1])) \cap X) \subset ω^{\to} ([0, 1])$
はHausdorff空間のコンパクト集合ゆえ閉集合である．

したがって， $ω^{\to} ([0, 1])$ の連結性より，
$y_{1} \in ω^{\to} ([0, 1]) = ω^{\to} ([0, 1]) \cap f^{\to} (X) \subset f^{\to} (X)$
が成り立つ．

$✓ f$ が単射であること

$x_{0}, x_{1} \in X, f (x_{0}) = f (x_{1})$ とする． $X$ の弧状連結性より，連続写像 $ω : [0, 1] \to X$ であって $ω (i) = x_{i}$ なるものが存在する．いま $f (ω (0)) = f (ω (1))$ であるから，連続写像 $φ_{0} : S^{1} \to X$ であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
$([0, 1], {0, 1}) q := \exp^{1} | [0, 1] f \circ ω (Y, f (x_{0})) (S^{1}, z_{0}) φ_{0}$
この $φ_{0}$ に対して， $Y$ の単連結性より，連続写像 $φ : D^{2} \to Y$ であって $φ | S^{1} = φ_{0}$ を満たすものが存在する．命題1より，全射固有局所同相写像 $f : X \to Y$ は被覆写像であるから，連続写像 $\tilde{φ} : (D^{2}, z_{0}) \to (X, x_{0})$ であって $f \circ \tilde{φ} = φ$ を満たすものがただ一つ存在する（系4）：
$(X, x_{0}) f (D^{2}, z_{0}) \tilde{φ} φ (Y, f (x_{0}))$
そこで，合成写像
$ω_{\tilde{φ}} : [0, 1] \overset{q}{\to} S^{1} \subset D^{2} \overset{\tilde{φ}}{\to} X$
を考えると，
$ω_{\tilde{φ}} (0) = \tilde{φ} (z_{0}) = x_{0} = ω (0),$
および
$f \circ ω_{\tilde{φ}} = f \circ \tilde{φ} | S^{1} \circ q = φ | S^{1} \circ q = φ_{0} \circ q = f \circ ω$
より $ω_{\tilde{φ}} = ω$ となるので（補題6），
$x_{0} = \tilde{φ} (z_{0}) = ω_{\tilde{φ}} (1) = ω (1) = x_{1}$
が成り立つ．

(ii) $⟹$ (i)

明らか．

被覆変換群とGalois対応

被覆変換群

被覆写像 $q : X \to Y$ に対して， $X$ の自己同相群 $Homeo (X)$ の部分群
$Aut (q) := {f \in Homeo (X) ∣ q \circ f = q}$
を， $q$ の被覆変換群という．

$q : X \to Y$ を被覆写像とする．このとき，任意の $g \in Homeo (X)$ に対して， $g^{*} q := q \circ g^{- 1} : X \to Y$ は被覆写像であり，
$\begin{aligned} f \in Aut (g^{*} q) & ⟺ (q \circ g^{- 1}) \circ f = q \circ g^{- 1} \\ ⟺ q \circ (g^{- 1} \circ f \circ g) = q \\ ⟺ g^{- 1} \circ f \circ g \in Aut (q) \end{aligned}$
より，
$Aut (g^{*} q) = g Aut (q) g^{- 1}$
が成り立つ．

$q : X \to Y$ を被覆写像とする．このとき，任意の同相写像 $g : Y \to Y^{'}$ に対して， $g \circ q : X \to Y^{'}$ は被覆写像であり，
$\begin{aligned} f \in Aut (g \circ q) & ⟺ (g \circ q) \circ f = g \circ q \\ ⟺ q \circ f = q \\ ⟺ f \in Aut (q) \end{aligned}$
より，
$Aut (g \circ q) = Aut (q)$
が成り立つ．

$q : X \to Y$ を被覆写像とする．任意の $x_{0}, x_{1} \in X$ に対して，
$q (x_{0}) = q (x_{1}) ⟹ \exists f \in Aut (q), f (x_{0}) = x_{1}$
が成り立つとき， $(q, X)$ をGalois被覆（空間）という．

$⟸$ は常に成り立つことに注意する．したがって， $q : X \to Y$ がGalois被覆であるためには，誘導される写像 $\bar{q} : Aut (q) ∖ X \to Y$ が同相写像であることが必要かつ十分である：
$X q quoti. Y Aut (q) ∖ X \bar{q}$

$X$ を位相空間， $G$ を離散群とし， $α : X \times G \to X$ を被覆空間作用とする．このとき次が成り立つ：

商写像 $q_{G} : X \to X / G$ はGalois被覆である；
$X$ が連結ならば， $Aut (q_{G}) ≅ G$ が成り立つ．

各 $g \in G$ に対して，同相写像 $ρ (g) : X \to X$ を
$ρ (g) (x) := x \cdot g^{- 1}$
で定めると， $q_{G} \circ ρ (g) = q_{G}$ が成り立つので， $ρ (g) \in Aut (q_{G})$ を得る．よって写像 $ρ : G \to Aut (q_{G})$ が定まるが，さらに
$ρ (g g^{'}) (x) = x \cdot (g g^{'})^{- 1} = x \cdot g^{' - 1} g^{- 1} = (x \cdot g^{' - 1}) \cdot g^{- 1} = ρ (g) (ρ (g^{'}) (x))$
が成り立つので， $ρ$ は群準同型である．

$x_{0}, x_{1} \in X, q_{G} (x_{0}) = q_{G} (x_{1})$ とする．このとき， $g \in G$ であって $x_{0} = x_{1} \cdot g$ を満たすものが存在するので， $ρ (g) \in Aut (q_{G})$ に対して
$ρ (g) (x_{0}) = x_{1}$
が成り立つ．よって $q_{G} : X \to X / G$ はGalois被覆である．
群準同型 $ρ : G \to Aut (q_{G})$ が全単射であることを示せばよい．
1. いま $α$ は自由な作用なので， $ρ$ は単射である．
2. $f \in Aut (q_{G})$ とする． $x_{0} \in X$ を取り $x_{1} := f (x_{0})$ とおくと，被覆変換群の定義より $q_{G} (x_{1}) = q_{G} (f (x_{0})) = q_{G} (x_{0})$ となるので， $g \in G$ であって
  $ρ (g) (x_{0}) = x_{1}$
  を満たすものが存在する．いま， $X$ は連結であって，
  $f (x_{0}) = ρ (g) (x_{0}), q_{G} \circ f = q_{G} = q_{G} \circ ρ (g)$
  が成り立つので，補題6より， $f = ρ (g)$ を得る．よって $ρ$ は全射である．

$Aut (R^{n} \overset{\exp^{n}}{\to} T^{n}) ≅ Z^{n}$ .
$Aut (S^{1} \overset{p_{n}}{\to} S^{1}) ≅ Z / n Z$ .
$Aut (S^{n} \overset{quoti.}{\to} R P^{n}) ≅ Z / 2 Z$ .

部分群から被覆空間へ

位相空間 $X$ の各点が連結開集合（resp. 弧状連結開集合）からなる局所開基を持つとき， $X$ を局所連結空間（resp. 局所弧状連結空間）という．

$q : X \to Y$ を被覆写像とする． $X$ が連結かつ局所連結ならば，離散群 $Aut (q)$ による作用
${ev}^{'} : X \times Aut (q) \to X; (x, f) \mapsto f^{- 1} (x)$
は被覆空間作用である．

$(x, f) \in X \times Aut (q)$ とする．このとき，任意の開近傍 $V \in τ (f^{- 1} (x), X)$ に対して， $U := f^{\to} (V) \in τ (x, X)$ とおくと， $(x, f)$ の開近傍 $U \times {f} \in τ (X \times Aut (q))$ について
$({ev}^{'})^{\to} (U \times {f}) \subset V$
が成り立つ．また，
$x \cdot (f_{1} \circ f_{2}) = (f_{1} \circ f_{2})^{- 1} (x) = f_{2}^{- 1} (f_{1}^{- 1} (x)) = (x \cdot f_{1}) \cdot f_{2}$
も成り立つ．よって ${ev}^{'}$ は連続作用である．
$x \in X$ とし， $y := q (x) \in Y$ とおき，連結開近傍 $V \in τ (y, Y)$ と $X$ の開集合族 $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ であって
$q^{\leftarrow} (V) = ⨆_{λ \in Λ} U_{λ}, q |_{U_{λ}}^{V} : U_{λ} \approx V$
を満たすもの，および $λ \in Λ$ であって $x \in U_{λ} =: U$ なるものを取る．このとき， $g \in Aut (q)_{U}$ とすると， $U \cdot g$ の連結性と
$U \cap U \cdot g \neq \emptyset, U \cdot g \subset q^{\leftarrow} (V)$
より，
$U \cdot g = U \cap U \cdot g \subset U$
となる．よって
$(q |_{U}^{V}) (x \cdot g) = q (x \cdot g) = q (x) = (q |_{U}^{V}) (x)$
より， $x \cdot g = x$ を得るので， $X$ の連結性と補題6より， $g = {id}_{X}$ が成り立つ．

以下，連結かつ局所連結な位相空間のみ考える．

$q : X \to Y$ を被覆写像とする．このとき， $Aut (q)$ の作用は自由なので，基点 $y_{0} \in Y, x_{0} \in q^{\leftarrow} ({y_{0}}) =: F (y_{0})$ を取るごとに，単射
${ev}_{x_{0}} : Aut (q) \to F (y_{0}); f \mapsto f (x_{0})$
が定まる．したがって，
$q : Galois ⟺ \forall y_{0} \in Y, \forall x_{0} \in F (y_{0}), {ev}_{x_{0}} : bijection$
が成り立つ．一般に
$# Aut (q) \leq # F (y_{0})$
であるから，或る（したがってすべての（cf. 補題2））ファイバーが有限集合ならば，
$q : Galois ⟺ \exists y_{0} \in Y, # Aut (q) = # F (y_{0})$
が成り立つ．

$q : X \to Y$ を被覆写像とする．このとき，任意の部分群 $Γ < Aut (q)$ に対して，商写像
$q_{Γ} : X \to X / Γ$
はGalois被覆であり，
$Aut (q_{Γ}) = Γ$
が成り立つ（cf. 命題3）．

$q : X \to Y$ を被覆写像とし， $Γ < Aut (q)$ とすると，
$q_{Γ} (x) = q_{Γ} (x^{'}) ⟹ q (x) = q (x^{'})$
より，連続写像 $\bar{q} : X / Γ \to Y$ が誘導される：
$X q_{Γ} q Y X / Γ \bar{q}$

この $\bar{q}$ について次が成り立つ：

$\bar{q} : X / Γ \to Y$ は被覆写像である；
$\bar{q} : X / Γ \to Y$ がGalois被覆ならば， $Γ ◃ Aut (q)$ である．

$y \in Y$ とし，連結開近傍 $V \in τ (y, Y)$ と $X$ の開集合族 $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ であって
$q^{\leftarrow} (V) = ⨆_{λ \in Λ} U_{λ}, q |_{U_{λ}}^{V} : U_{λ} \approx V$
を満たすものを取る．このとき $W_{λ} := q_{Γ} (U_{λ}) \in τ (X / Γ)$ であり，
${\bar{q}}^{\leftarrow} (V) = q_{Γ}^{\to} (q^{\leftarrow} (V)) = ⋃_{λ \in Λ} W_{λ}$
が成り立つ．各 $λ \in Λ$ に対して， $q_{Γ} |_{U_{λ}}^{W_{λ}}$ は全射連続開写像であり，合成写像
$(\bar{q} |_{W_{λ}}^{V}) \circ (q_{Γ} |_{U_{λ}}^{W_{λ}}) = q |_{U_{λ}}^{V} : U_{λ} \to W_{λ} \to V$
が単射なので，全単射連続開写像 $q_{Γ} |_{W_{λ}}^{V}$ は同相写像である．また，各 $U_{λ}$ の連結性より
$\begin{aligned} W_{λ} \cap W_{λ^{'}} \neq \emptyset & ⟹ \exists γ \in Γ, U_{λ} \cap U_{λ^{'}} \cdot γ \neq \emptyset \\ ⟹ \exists γ \in Γ, U_{λ^{'}} \cdot γ \subset U_{λ} = (U_{λ} \cdot γ^{- 1}) \cdot γ \subset U_{λ^{'}} \cdot γ \\ ⟹ W_{λ} = W_{λ^{'}} \end{aligned}$
が成り立つので， $Λ$ 上の同値関係
$λ \sim λ^{'} : ⟺ W_{λ} = W_{λ^{'}}$
の完全代表系 $Λ_{0}$ を取れば，
${\bar{q}}^{\leftarrow} (V) = ⨆_{λ \in Λ_{0}} W_{λ}, \bar{q} |_{W_{λ}}^{V} : W_{λ} \approx V$
が成り立つ．
$\bar{q}$ がGalois被覆であるとする． $x_{0} \in X$ を取り， $g \in Aut (q)$ とする．このとき，
$\bar{q} (q_{Γ} (x_{0})) = q (x_{0}) = q (g^{- 1} (x_{0})) = \bar{q} (g^{*} q_{Γ} (x_{0}))$
より， $\bar{f} \in Aut (\bar{q})$ であって
$\bar{f} (q_{Γ} (x_{0})) = g^{*} q_{Γ} (x_{0})$
を満たすものが存在する．いま
$\bar{q} \circ \bar{f} \circ q_{Γ} = \bar{q} \circ q_{Γ} = q = q \circ g^{- 1} = \bar{q} \circ q_{Γ} \circ g^{- 1} = \bar{q} \circ g^{*} q_{Γ}$
が成り立つので， $X / Γ$ の連結性と補題6より，
$\bar{f} \circ q_{Γ} = g^{*} q_{Γ}$
が成り立つ．よって，
$Γ = Aut (q_{Γ}) = Aut (\bar{f} \circ q_{Γ}) = Aut (g^{*} q_{Γ}) = g Aut (q_{Γ}) g^{- 1} = g Γ g^{- 1}$
が成り立つ．

$q : X \to Y$ をGalois被覆とし， $Γ ◃ Aut (q)$ とする．このとき次が成り立つ：

$Aut (q) / Γ ≅ Aut (\bar{q})$ ;
$\bar{q} : X / Γ \to Y$ はGalois被覆である．

$Aut (q) / Γ ≅ Aut (\bar{q})$ であること

$f \in Aut (q)$ とする．

$q_{Γ} (x) = q_{Γ} (x^{'})$ とすると， $f_{Γ} \in Aut (q_{Γ}) = Γ$ であって $f_{Γ} (x) = x^{'}$ なるものが存在する．
仮定より
$f \circ f_{Γ} \circ f^{- 1} \in f Γ f^{- 1} = Γ = Aut (q_{Γ})$
であるから， $f_{Γ}^{'} \in Aut (q_{Γ})$ であって $f \circ f_{Γ} \circ f^{- 1} = f_{Γ}^{'}$ なるものが存在する．
よって
$q_{Γ} (f (x)) = q_{Γ} (f_{Γ}^{'} (f (x))) = q_{Γ} (f (f_{Γ} (x))) = q_{Γ} (f (x^{'}))$
が成り立つ．

以上より
$q_{Γ} (x) = q_{Γ} (x^{'}) ⟹ q_{Γ} (f (x)) = q_{Γ} (f (x^{'}))$
が成り立つので，連続写像 $\bar{f} : X / Γ \to X / Γ$ であって $\bar{f} \circ q_{Γ} = q_{Γ} \circ f$ を満たすものがただ一つ存在する：
$X q_{Γ} f X q_{Γ} X / Γ \bar{f} X / Γ$

$f^{- 1}, {id}_{X}$ に対して同様の考察をすることで，
$\overset{―}{f^{- 1}} \circ \bar{f} = {id}_{X / Γ} = \bar{f} \circ \overset{―}{f^{- 1}}$
が成り立つことがわかる．さらに
$(\bar{q} \circ \bar{f}) \circ q_{Γ} = \bar{q} \circ q_{Γ} \circ f = q \circ f = q = \bar{q} \circ q_{Γ}$
より $\bar{q} \circ \bar{f} = \bar{q}$ が成り立つので，写像 $ψ_{Γ} : Aut (q) \to Aut (\bar{q})$ を
$ψ_{Γ} (f) := \bar{f}$
で定めることができる．

誘導される写像の一意性より， $ψ_{Γ}$ が群準同型であることがわかる．
$ψ_{Γ}$ の定義より，
$f \in \ker (ψ_{Γ}) ⟺ \bar{f} = {id}_{X / Γ} ⟺ \bar{f} \circ q_{Γ} = q_{Γ} ⟺ q_{Γ} \circ f = q_{Γ} ⟺ f \in Aut (q_{Γ}) = Γ$
が成り立つので， $\ker (ψ_{Γ}) = Γ$ である．
$\bar{f} \in Aut (\bar{q})$ とし， $x_{0} \in X$ を取る．このとき， $q_{Γ}$ の全射性より， $x \in X$ であって
$q_{Γ} (x) = \bar{f} (q_{Γ} (x_{0}))$
を満たすものが存在する．いま $q : X \to Y$ はGalois被覆なので，
$q (x_{0}) = \bar{q} (q_{Γ} (x_{0})) = \bar{q} (\bar{f} (q_{Γ} (x_{0}))) = \bar{q} (q_{Γ} (x)) = q (x)$
より， $f \in Aut (q)$ であって $f (x_{0}) = x$ なるものが存在する．したがって
$\bar{f} (q_{Γ} (x_{0})) = q_{Γ} (x) = q_{Γ} (f (x_{0})),$
および
$\bar{q} \circ (\bar{f} \circ q_{Γ}) = \bar{q} \circ q_{Γ} = q = q \circ f = \bar{q} \circ (q_{Γ} \circ f)$
が成り立つので， $X$ の連結性と補題6より，
$\bar{f} \circ q_{Γ} = q_{Γ} \circ f$
が成り立つ．よって $ψ_{Γ}$ は全射である．

$\bar{q} : X / Γ \to Y$ がGalois被覆であること

$\bar{q} (q_{Γ} (x)) = \bar{q} (q_{Γ} (x^{'}))$ とする．このとき $q (x) = q (x^{'})$ であるから， $f \in Aut (q)$ であって $f (x) = x^{'}$ なるものが存在する．そこで， $\bar{f} := ψ_{Γ} (f) \in Aut (\bar{q})$ とおくと，
$\bar{f} (q_{Γ} (x)) = q_{Γ} (f (x)) = q_{Γ} (x^{'})$
が成り立つ．

$q : X \to Y$ を被覆写像とし， $Γ < Aut (q)$ とする． $Aut (q)$ における $Γ$ の正規化群を $ν (Γ)$ とおく：
$ν (Γ) := {f \in Aut (q) ∣ f Γ f^{- 1} = Γ} .$

このとき，上の証明と同様にして，群準同型 $ψ_{Γ} : ν (Γ) \to Aut (\bar{q})$ が定義でき， $\ker (ψ_{Γ}) = Γ$ が成り立つ．さらに， $q : X \to Y$ がGalois被覆であるとき，任意の $\bar{f} \in Aut (\bar{q})$ に対して， $f \in Aut (q)$ であって $q_{Γ} \circ f = \bar{f} \circ q_{Γ}$ なるものが存在するが，
$Γ = Aut (q_{Γ}) = Aut (\bar{f} \circ q_{Γ}) = Aut (q_{Γ} \circ f) = Aut ((f^{- 1})^{*} q_{Γ}) = f^{- 1} Aut (q_{Γ}) f = f^{- 1} Γ f$
より， $f^{- 1} \in ν (Γ)$ ，したがって $f \in ν (Γ)$ が成り立つ．よって $ψ_{Γ}$ は全射であるから，準同型定理より
$ν (Γ) / Γ ≅ Aut (\bar{q})$
が成り立つ．

基点つき中間被覆

$q_{X, Y} : X \to Y, q_{Z, Y} : Z \to Y$ を被覆写像とし， $q_{X, Z} : X \to Z$ を連続写像とする．このとき
$q_{X, Y} = q_{Z, Y} \circ q_{X, Z} ⟹ q_{X, Z} : covering$
が成り立つ．さらに
$q_{X, Y} : Galois ⟹ q_{X, Z} : Galois$
が成り立つ．
$X q_{X, Y} q_{X, Z} Z q_{Z, Y} Y Y$

前半

$z \in Z$ とし， $y := q_{Z, Y} (z) \in Y$ とおく．このとき，連結開近傍 $W \in τ (y, Y)$ と $X$ の開集合族 $(U_{λ})_{λ}$ ，および $Z$ の開集合族 $(V_{λ^{'}})_{λ^{'}}$ であって
$\begin{aligned} {q_{X, Y}}^{\leftarrow} (W) & = ⨆_{λ \in Λ} U_{λ}, q_{X, Y} |_{U_{λ}}^{W} : U_{λ} \approx W \\ {q_{Z, Y}}^{\leftarrow} (W) & = ⨆_{λ^{'} \in Λ^{'}} V_{λ^{'}}, q_{Z, Y} |_{V_{λ^{'}}}^{W} : V_{λ^{'}} \approx W \end{aligned}$
を満たすものが存在する． $λ^{'} \in Λ^{'}$ であって $z \in V_{λ^{'}} =: V$ なるものを取り
$Λ (z) := {λ \in Λ ∣ U_{λ} \cap {q_{X, Z}}^{\leftarrow} (V) \neq \emptyset}$
とおく．任意の $λ \in Λ (z)$ に対して， $U_{λ}$ の連結性と ${q_{X, Z}}^{\to} (U_{λ}) \subset {q_{Z, Y}}^{\leftarrow} (W)$ より
${q_{X, Z}}^{\to} (U_{λ}) \subset V$
が成り立つので，
$q_{X, Z} |_{U_{λ}}^{V} = (q_{Z, Y} |_{V}^{W})^{- 1} \circ q_{X, Y} |_{U_{λ}}^{W} : U_{λ} \to W \to V$
は同相写像である．よって
${q_{X, Z}}^{\leftarrow} (V) = ⨆_{λ \in Λ (z)} U_{λ}, q_{X, Z} |_{U_{λ}}^{V} : U_{λ} \approx V$
が成り立つ．

後半

$q_{X, Z} (x) = q_{X, Z} (x^{'})$ とする．このとき
$q_{X, Y} (x) = q_{Z, Y} (q_{X, Z} (x)) = q_{Z, Y} (q_{X, Z} (x^{'})) = q_{X, Y} (x^{'})$
より， $f \in Aut (q_{X, Y})$ であって $f (x) = x^{'}$ なるものが存在する．あとは $f \in Aut (q_{X, Z})$ を示せばよい．いま，
$q_{X, Z} (f (x)) = q_{X, Z} (x^{'}) = q_{X, Z} (x)$
であり，
$q_{Z, Y} \circ (q_{X, Z} \circ f) = q_{X, Y} \circ f = q_{X, Y} = q_{Z, Y} \circ q_{X, Z}$
であるから， $X$ の連結性と補題6より，
$q_{X, Z} \circ f = q_{X, Z},$
すなわち $f \in Aut (q_{X, Z})$ が成り立つ．

$q : (X, x_{0}) \to (Y, y_{0})$ を被覆写像とする．被覆写像の組 $(q^{'} : (X, x_{0}) \to (Z, z_{0}), q^{″} : (Z, z_{0}) \to (Y, y_{0}))$ であって $q = q^{″} \circ q^{'}$ を満たすものを， $q$ の基点つき中間被覆という．

$q = q^{″} \circ q^{'}$ なる被覆写像 $q, q^{'} q^{″}$ について， $Aut (q^{'}) < Aut (q)$ が成り立つ．実際， $f \in Aut (q^{'})$ とすると，
$q \circ f = q^{″} \circ (q^{'} \circ f) = q^{″} \circ q^{'} = q$
より， $f \in Aut (q)$ が成り立つ．

$q : (X, x_{0}) \to (Y, y_{0})$ を被覆写像とする．ふたつの基点つき中間被覆 $(q_{i}^{'} : (X, x_{0}) \to (Z_{i}, z_{i}), q_{i}^{″} : (Z_{i}, z_{i}) \to (Y, y_{0})), i \in {1, 2},$ に対して，同相写像 $f : (Z_{1}, z_{1}) \to (Z_{2}, z_{2})$ であって $q_{2}^{″} \circ f = q_{1}^{″}$ を満たすものが存在するとき， $(q_{1}^{'}, q_{1}^{″})$ と $(q_{2}^{'}, q_{2}^{″})$ とは基点つき同型であるという．
$(X, x_{0}) q q_{1}^{'} (X, x_{0}) q_{2}^{'} q (Z_{1}, z_{1}) f \approx q_{1}^{″} (Z_{2}, z_{2}) q_{2}^{″} (Y, y_{0}) (Y, y_{0})$

上の状況で，
$f (q_{1}^{'} (x_{0})) = f (z_{1}) = z_{2} = q_{2}^{'} (x_{0}),$
および
$q_{2}^{″} \circ (f \circ q_{1}^{'}) = q_{1}^{″} \circ q_{1}^{'} = q = q_{2}^{″} \circ q_{2}^{'}$
が成り立つので， $X$ の連結性と補題6より， $f \circ q_{1}^{'} = q_{2}^{'}$ が成り立つ．よって
$Aut (q_{1}^{'}) = Aut (q_{2}^{'})$
が成り立つ．

$q : (X, x_{0}) \to (Y, y_{0})$ がGalois被覆であるとき，任意の基点つき中間被覆 $(q^{'}, q^{″})$ は $Aut (q)$ の部分群 $Γ := Aut (q^{'})$ による商空間からなる基点つき中間被覆と基点つき同型である：
$(X, x_{0}) q q_{Γ} (X, x_{0}) q q^{'} (X / Γ, q_{Γ} (x_{0})) \overset{―}{q^{'}} \approx \bar{q} (Z, z_{0}) q^{″} (Y, y_{0}) (Y, y_{0})$

（補題8より $q^{'} : X \to Z$ はGalois被覆なので，誘導される写像 $\overset{―}{q^{'}} : X / Γ \to Z$ は同相写像であることに注意する．）

Galois対応

以上をまとめて次を得る：

Galois対応

$q_{G} : (X, x_{0}) \to (Y, y_{0})$ をGalois被覆とする．このとき， $G := Aut (q_{G})$ の部分群全体のなす集合から， $q_{G}$ の基点つき中間被覆の基点つき同型類全体のなす集合への写像を
$Γ \mapsto [(X, x_{0}) \overset{q_{Γ}}{\to} (X / Γ, q_{Γ} (x_{0})) \overset{q_{G / Γ} := \overset{―}{q_{G}}}{\to} (Y, y_{0})]$
で定めると，これは
$[(X, x_{0}) \overset{q^{'}}{\to} (Z, z_{0}) \overset{q^{″}}{\to} (Y, y_{0})] \mapsto Aut (q^{'})$
を逆写像とする全単射である．さらに
$Γ ◃ G ⟺ q_{G / Γ} : Galois ⇝ Aut (q_{G / Γ}) ≅ G / Γ$
が成り立つ．

$Γ^{'} < Γ < G$ のとき，命題4（または補題8）より，誘導される写像 $q_{Γ / Γ^{'}} := \overset{―}{q_{Γ}} : X / Γ^{'} \to X / Γ$ も被覆写像である：
$X q_{Γ^{'}} q_{G} X q_{Γ} q_{G} X / Γ^{'} q_{G / Γ^{'}} \overset{―}{q_{Γ}} X / Γ q_{G / Γ} X / G X / G$

例11より $q_{Γ} : X \to X / Γ$ はGalois被覆なので，
$Γ^{'} ◃ Γ ⟺ q_{Γ / Γ^{'}} : Galois ⇝ Aut (q_{Γ / Γ^{'}}) ≅ Γ / Γ^{'}$
が成り立つ．

部分群と中間被覆のGalois対応

$G X q_{G} q_{Γ^{'}} Γ incl. X / Γ^{'} q_{Γ / Γ^{'}} Γ^{'} incl. X / Γ q_{G / Γ} {{id}_{X}} incl. X / G$

以下の対応がある（cf. 補題4，命題3，例1，例2）：
$Z R \exp^{1} n Z S^{1} n m Z S^{1} p_{n} {0} S^{1}$

普遍被覆空間

普遍被覆

位相空間 $X$ が連結かつ局所弧状連結ならば， $X$ は弧状連結である．

$x_{0} \in X$ を取り
$X_{0} := {x_{1} \in X ∣ \exists ω : [0, 1] \to X : conti., ω (i) = x_{i}}$
とおく．非空部分集合 $X_{0} \subset X$ が開かつ閉であることを示せばよい．

$✓$ 開集合であること

$x_{1} \in X_{0}$ とし，連続写像 $ω : [0, 1] \to X$ であって $ω (i) = x_{i}$ なるものを取る．仮定より，弧状連結開近傍 $U \in τ (x_{1}, X)$ が存在する．このとき，任意の $x_{2} \in U$ に対して，連続写像 $ω^{'} : [0, 1] \to X$ であって $ω^{'} (i) = x_{i + 1}$ なるものが存在するので，連続写像 $ω^{″} : [0, 1] \to X$ を
$ω^{″} (t) := {\begin{cases} ω (2 t) & , 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ ω^{'} (2 t - 1) & , \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}$
で定めると， $ω^{″} (i) = x_{2 i}$ が成り立つ．よって $U \subset X_{0}$ となるので， $X_{0} \subset X$ は開集合である．

$✓$ 閉集合であること

$x_{2} \in X ∖ X_{0}$ とし， $x_{2}$ の弧状連結開近傍 $U \in τ (x_{2}, X)$ を取る．このとき， $U \subset X ∖ X_{0}$ が成り立つ．実際， $U \cap X_{0} \neq \emptyset$ であったとすると，上の考察により $x_{2} \in X_{0}$ が得られ不合理である．

以下，連結かつ局所弧状連結な位相空間のみ考える．

$p : \tilde{X} \to X$ を被覆写像とする．任意の基点 $x_{0} \in X, {\tilde{x}}_{0} \in p^{\leftarrow} ({x_{0}})$ ，および任意の被覆写像 $q : (Z, z_{0}) \to (X, x_{0})$ に対して，連続写像 $f : (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) \to (Z, z_{0})$ であって $q \circ f = p$ を満たすものが存在するとき， $(p, \tilde{X})$ を $X$ 上の普遍被覆（空間）という．
$(\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) f p (Z, z_{0}) q (X, x_{0}) (X, x_{0})$

補題8より $f$ は被覆写像である．
$\tilde{X}$ の連結性と補題6より， $q \circ f = p$ なる $f : (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) \to (Z, z_{0})$ は一意的である．したがって $X$ 上の普遍被覆は互いに同相である．

$X$ を（連結かつ局所弧状連結な）位相空間とする．このとき次が成り立つ：

$\tilde{X}$ が単連結ならば，任意の被覆写像 $p : \tilde{X} \to X$ は普遍被覆である；
普遍被覆はGalois被覆である．

(1)

基点 $x_{0} \in X, {\tilde{x}}_{0} \in p^{\leftarrow} ({x_{0}})$ を取り， $q : (Z, z_{0}) \to (X, x_{0})$ を被覆写像とする．

$\tilde{x} = {\tilde{x}}_{1} \in \tilde{X}$ とし，連続写像 $\tilde{ω} : [0, 1] \to \tilde{X}$ であって $\tilde{ω} (i) = {\tilde{x}}_{i}$ なるものを取る．このとき，系3より，連続写像 $p \circ \tilde{ω} : ([0, 1], 0) \to (X, x_{0})$ に対して，連続写像 $ω_{Z} : ([0, 1], 0) \to (Z, z_{0})$ であって $q \circ ω_{Z} = p \circ \tilde{ω}$ なるものがただ一つ存在する：
$(Z, z_{0}) q ([0, 1], 0) ω_{Z} p \circ \tilde{ω} (X, x_{0})$

$ω_{Z} (1) \in Z$ が $\tilde{ω}$ の取り方によらないことが，次のようにしてわかる：

別の連続写像 ${\tilde{ω}}^{'} : ([0, 1], 0, 1) \to (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}, {\tilde{x}}_{1})$ に対して，連続写像 ${\tilde{ω}}^{″} : [0, 1] \to \tilde{X}$ を
${\tilde{ω}}^{″} (t) := {\begin{cases} \tilde{ω} (2 t) & , 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ {\tilde{ω}}^{'} (2 - 2 t) & , \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}$
で定めると， ${\tilde{ω}}^{″} (0) = {\tilde{x}}_{0} = {\tilde{ω}}^{″} (1)$ より，連続写像 $φ_{0} : (S^{1}, 1) \to (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0})$ が誘導される：
$([0, 1], 0, \frac{1}{2}, 1) \exp^{1} | [0, 1] {\tilde{ω}}^{″} (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}, {\tilde{x}}_{1}, {\tilde{x}}_{0}) (S^{1}, 1, - 1, 1) φ_{0}$
$\tilde{X}$ の単連結性より，連続写像 $φ : (D^{2}, 1) \to (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0})$ であって $φ | S^{1} = φ_{0}$ なるものが存在する．
連続写像 $p \circ φ : (D^{2}, 1) \to (X, x_{0})$ と被覆写像 $q$ に対して，系4より，連続写像 $\tilde{φ} : (D^{2}, 1) \to (Z, z_{0})$ であって $q \circ \tilde{φ} = p \circ φ$ を満たすものがただ一つ存在する．
$[0, 1]$ の連結性と補題6より，以下の図式は可換である：
$Z q [0, 1] p \circ \tilde{ω} \approx ω_{Z} [0, \frac{1}{2}] \exp^{1} | [0, \frac{1}{2}] S^{1} \subset D^{2} \tilde{φ} p \circ φ X$
よって
$ω_{Z} (1) = \tilde{φ} (- 1)$
が成り立つ．同様に， ${\tilde{ω}}^{'}$ から定まる連続写像 $ω_{Z}^{'}$ に対して
$ω_{Z}^{'} (1) = \tilde{φ} (- 1)$
が成り立つ．

以上より，写像 $f : (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) \to (Z, z_{0})$ を
$f (\tilde{x}) := ω_{Z} (1)$
で定めることができる．定義より
$q (f (\tilde{x})) = q (ω_{Z} (1)) = p (\tilde{ω} (1)) = p (\tilde{x})$
が成り立つので，あとは $f$ の連続性を示せばよい．そこで $\tilde{x} \in \tilde{X}$ とし $V \in τ (f (\tilde{x}), Z)$ とする．いま $p, q$ は局所同相写像なので， $\tilde{x} \in \tilde{X}$ の弧状連結開近傍 $U \in τ (\tilde{X})$ と $p (\tilde{x})$ の開近傍 $W \in τ (X)$ ，および $f (\tilde{x})$ の開近傍 $V^{'} \in τ (V)$ であって
$p |_{U}^{W} : U \approx W, q |_{V^{'}}^{W} : V^{'} \approx W$
を満たすものが存在する．このとき，任意の ${\tilde{x}}^{'} \in U$ に対して，連続写像 ${\tilde{ω}}^{'} : ([0, 1], 0, 1) \to (\tilde{X}, \tilde{x}, {\tilde{x}}^{'})$ を
$\tilde{ω} (2 t) = {\tilde{ω}}^{'} (t), ({\tilde{ω}}^{'})^{\to} ([\frac{1}{2}, 1]) \subset U$
なるように取ると，写像
$ω_{Z}^{'} : [0, 1] \to Z; t \mapsto {\begin{cases} ω_{Z} (2 t) & , 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ {id}_{V^{'}}^{Z} \circ (q |_{V^{'}}^{W})^{- 1} \circ (p |_{U}^{W}) ({\tilde{ω}}^{'} (t)) & , \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}$
は連続であって $q \circ ω_{Z}^{'} = p \circ {\tilde{ω}}^{'}$ を満たすので，
$f ({\tilde{x}}^{'}) = ω_{Z}^{'} (1) \in V^{'} \subset V$
が成り立つ．

(2)

$p : \tilde{X} \to X$ を普遍被覆とする．このとき，任意の $\tilde{x}, {\tilde{x}}^{'} \in \tilde{X}$ に対して，普遍被覆の定義と補題6より，
$p (\tilde{x}) = p ({\tilde{x}}^{'}) ⟹ {\begin{cases} \exists f : (\tilde{X}, \tilde{x}) \to (\tilde{X}, {\tilde{x}}^{'}) & , p \circ f = p \\ \exists g : (\tilde{X}, {\tilde{x}}^{'}) \to (\tilde{X}, \tilde{x}) & , p \circ g = p \end{cases} ⇝ g \circ f = {id}_{\tilde{X}} = f \circ g$
が成り立つ．

$R^{n}$ は単連結であったから，
$\exp^{n} : R^{n} \to T^{n}; x \mapsto (e^{2 π x_{1} \sqrt{- 1}}, \dots, e^{2 π x_{n} \sqrt{- 1}})$
は普遍被覆である（cf. 例6，例1）．

$p : (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) \to (X, x_{0})$ を単連結普遍被覆とする．このとき次が成り立つ：

任意の被覆写像 $q_{1} : Z_{1} \to Z_{0}, q_{0} : Z_{0} \to X$ に対して，合成写像 $q_{0} \circ q_{1} : Z_{1} \to X$ は被覆写像である（cf. 命題4，補題8）；
任意の被覆写像 $p_{1} : {\tilde{X}}_{1} \to \tilde{X}$ は同相写像である．

基点 $z_{0} \in q_{0}^{\leftarrow} ({x_{0}})$ を取る．仮定より，被覆写像 $p_{0} : (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) \to (Z_{0}, z_{0})$ であって $q_{0} \circ p_{0} = p$ を満たすものがただ一つ存在する：
$(\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) p_{0} p (Z_{0}, z_{0}) q_{0} (X, x_{0}) (X, x_{0})$
命題6(1)より $p_{0} : \tilde{X} \to Z_{0}$ は普遍被覆であるから，基点 $z_{1} \in q_{1}^{\leftarrow} ({z_{0}})$ に対して，被覆写像 $p_{1} : (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) \to (Z_{1}, z_{1})$ であって $q_{1} \circ p_{1} = p_{0}$ を満たすものがただ一つ存在する：
$(\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) p_{1} p_{0} (Z_{1}, z_{1}) q_{1} (Z_{0}, z_{0}) (Z_{0}, z_{0})$
命題6より $p_{1} : \tilde{X} \to Z_{1}$ はGalois被覆であるから， $Γ := Aut (p_{1})$ とおくと，以下の可換図式が得られる：
$\tilde{X} p p_{Γ} \tilde{X} p p_{1} \tilde{X} / Γ \overset{―}{p_{1}} \approx \bar{p} Z_{1} q_{0} \circ q_{1} X X$
命題4より $\bar{p}$ は被覆写像であるから，
$q_{0} \circ q_{1} = \bar{p} \circ (\overset{―}{p_{1}})^{- 1} : Z_{1} \to X$
は被覆写像である．
基点 ${\tilde{x}}_{1} \in p_{1}^{\leftarrow} ({{\tilde{x}}_{0}})$ を取る．前段より $p \circ p_{1} : ({\tilde{X}}_{1}, {\tilde{x}}_{1}) \to (X, x_{0})$ は被覆写像であるから，連続写像 $f : (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) \to ({\tilde{X}}_{1}, {\tilde{x}}_{1})$ であって $(p \circ p_{1}) \circ f = p$ を満たすものがただ一つ存在する：
$(\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) f p ({\tilde{X}}_{1}, {\tilde{x}}_{1}) p \circ p_{1} X X$
このとき，
$p_{1} (f ({\tilde{x}}_{0})) = {\tilde{x}}_{0},$
および
$p \circ (p_{1} \circ f) = p$
が成り立つので， $\tilde{X}$ の連結性と補題6より， $p_{1} \circ f = {id}_{\tilde{X}}$ が成り立つ．さらに，
$f (p_{1} ({\tilde{x}}_{1})) = {\tilde{x}}_{1},$
および
$p_{1} \circ (f \circ p_{1}) = {id}_{\tilde{X}} \circ p_{1} = p_{1}$
が成り立つので， ${\tilde{X}}_{1}$ の連結性と補題6より， $f \circ p_{1} = {id}_{{\tilde{X}}_{1}}$ が成り立つ．よって
$p_{1} : {\tilde{X}}_{1} \to \tilde{X}$
は同相写像である．

連結かつ局所弧状連結な位相空間 $X$ が単連結な普遍被覆を持つためには， $X$ が半局所単連結であること，すなわち任意の $x \in X$ に対して，開近傍 $V \in τ (x, X)$ であって
$\forall φ_{0} : (S^{1}, 1) \to (V, x), \exists φ : D^{2} \to X, φ | S^{1} = {id}_{V}^{X} \circ φ_{0}$
を満たすものが存在することが必要かつ十分である．

$✓$ 必要性

$p : \tilde{X} \to X$ を単連結普遍被覆とし， $x \in X$ とする．開近傍 $V \in τ (x, X)$ と $\tilde{X}$ の開集合 $U$ であって
$p_{x} := p |_{U}^{V} : U \approx V$
なるものを取る．このとき，任意の連続写像 $φ_{0} : (S^{1}, 1) \to (V, x)$ に対して，連続写像
${\tilde{φ}}_{0} := {id}_{U}^{\tilde{X}} \circ p_{x}^{- 1} \circ φ_{0} : S^{1} \to V \approx U \subset \tilde{X}$
を考えると， $\tilde{X}$ の単連結性より，連続写像 $\tilde{φ} : D^{2} \to \tilde{X}$ であって $\tilde{φ} | S^{1} = {\tilde{φ}}_{0}$ を満たすものが存在する．そこで
$φ := p \circ \tilde{φ} : D^{2} \to \tilde{X} \to X$
とおくと， $φ | S^{1} = {id}_{V}^{X} \circ φ_{0}$ が成り立つ．

$✓$ 十分性

実際に $p : \tilde{X} \to X$ を構成すればよいが，長くなるので割愛する．たとえば，[2]Theorem 2.5.13，[5]定理5.3.19，[7]定理4.9，などを参照せられたい．

分類定理

以下， $X$ の普遍被覆 $p : \tilde{X} \to X$ が存在すると仮定し，基点 $x_{0} \in X, {\tilde{x}}_{0} \in p^{\leftarrow} ({x_{0}})$ を固定する．

ふたつの被覆写像 $q_{i} : Z_{i} \to X, i \in {1, 2},$ について，同相写像 $f : Z_{1} \to Z_{2}$ であって $q_{2} \circ f = q_{1}$ を満たすものが存在するとき， $q_{1}$ と $q_{2}$ とは同型であるという．
$Z_{1} q_{1} f \approx Z_{2} q_{2} X X$

任意の被覆写像 $q : (Z, z_{0}) \to (X, x_{0})$ に対して，被覆写像 $q_{(Z, z_{0})} : (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) \to (Z, z_{0})$ であって $q \circ q_{(Z, z_{0})} = p$ を満たすものがただ一つ存在する：
$(\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) q_{(Z, z_{0})} p (Z, z_{0}) q (X, x_{0}) (X, x_{0})$

とくに $(q_{(Z, z_{0})}, q)$ は $p : (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) \to (X, x_{0})$ の基点つき中間被覆である．

被覆空間の分類定理

$q_{i} : Z_{i} \to X, i \in {1, 2},$ を被覆写像とし，基点 $z_{i} \in q_{i}^{\leftarrow} ({x_{0}})$ を取る．このとき次は同値である：

$q_{1}$ と $q_{2}$ とは同型である；
$Aut (q_{(Z_{1}, z_{1})})$ と $Aut (q_{(Z_{2}, z_{2})})$ とは $Aut (p)$ において共軛である．

(i) $⟹$ (ii)

仮定より，同相写像 $f : Z_{1} \to Z_{2}$ であって $q_{2} \circ f = q_{1}$ なるものが存在する．このとき， $p : (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) \to (X, x_{0})$ の基点つき中間被覆 $(q_{(Z_{1}, z_{1})}, q_{1})$ と $(q_{(Z_{2}, f (z_{1}))}, q_{2})$ とは基点つき同型であるから，
$Aut (q_{(Z_{1}, z_{1})}) = Aut (q_{(Z_{2}, f (z_{1}))})$
が成り立つ：
$(\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) q_{(Z_{1}, z_{1})} (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) q_{(Z_{2}, f (z_{1}))} (Z_{1}, z_{1}) f \approx q_{1} (Z_{2}, f (z_{1})) q_{2} (X, x_{0}) (X, x_{0})$

一方， ${\tilde{x}}_{2} \in {q_{(Z_{2}, f (z_{1}))}}^{\leftarrow} (z_{2})$ を取ると，普遍被覆の定義より，同相写像 $\tilde{g} : (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{2}) \to (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0})$ であって $p \circ \tilde{g} = p$ を満たすものが存在することがわかる：
$(\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) q_{(Z_{2}, z_{2})} q_{(Z_{2}, f (z_{1}))} p (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{2}) q_{(Z_{2}, f (z_{1}))} \tilde{g} p (Z_{2}, f (z_{1})) q_{2} (Z_{2}, z_{2}) q_{2} (X, x_{0}) (X, x_{0})$

このとき， $\tilde{g} \in Aut (p)$ であり，
$q_{(Z_{2}, z_{2})} = q_{(Z_{2}, f (z_{1}))} \circ {\tilde{g}}^{- 1} = {\tilde{g}}^{*} q_{(Z_{2}, f (z_{1}))}$
であるから，
$Aut (q_{(Z_{2}, z_{2})}) = Aut ({\tilde{g}}^{*} q_{(Z_{2}, f (z_{1}))}) = \tilde{g} Aut (q_{(Z_{2}, f (z_{1}))}) {\tilde{g}}^{- 1} = \tilde{g} Aut (q_{(Z_{1}, z_{1})}) {\tilde{g}}^{- 1}$
が成り立つ．

(ii) $⟹$ (i)

$Γ_{i} := Aut (q_{(Z_{i}, z_{i})})$ とおく．仮定より， $\tilde{g} \in Aut (p)$ であって
$Γ_{2} = \tilde{g} Γ_{1} {\tilde{g}}^{- 1}$
を満たすものが存在する．いま，補題8より， $q_{(Z_{i}, z_{i})}$ はGalois被覆であるから，同相写像 $\tilde{g} : \tilde{X} \to \tilde{X}$ が，同相写像
$g : \tilde{X} / Γ_{1} \to \tilde{X} / Γ_{2}$
を誘導することを示せば十分である：
$\tilde{X} q_{(Z_{1}, z_{1})} \tilde{g} \approx \tilde{X} q_{(Z_{2}, z_{2})} Z_{1} q_{1} \tilde{X} / Γ_{1} \approx g \approx \tilde{X} / Γ_{2} \approx Z_{2} q_{2} X X$

そこで， $\tilde{x}, {\tilde{x}}^{'} \in \tilde{X}$ とし， ${\tilde{f}}_{1} \in Γ_{1}$ であって ${\tilde{f}}_{1} (\tilde{x}) = {\tilde{x}}^{'}$ なるものが存在したとすると， ${\tilde{f}}_{2} \in Γ_{2}$ であって ${\tilde{f}}_{2} = \tilde{g} \circ {\tilde{f}}_{1} \circ {\tilde{g}}^{- 1}$ なるものに対して，
${\tilde{f}}_{2} (\tilde{g} (\tilde{x})) = \tilde{g} ({\tilde{f}}_{1} (\tilde{x})) = \tilde{g} ({\tilde{x}}^{'})$
が成り立つ．よって，連続写像 $g : \tilde{X} / Γ_{1} \to \tilde{X} / Γ_{2}$ が誘導される：
$\tilde{X} p_{Γ_{1}} \tilde{g} \tilde{X} p_{Γ_{2}} \tilde{X} / Γ_{1} g \tilde{X} / Γ_{2}$

${\tilde{g}}^{- 1}, {id}_{\tilde{X}}$ に対して同様の考察をすることで， $g$ が同相写像であることがわかる．

附：連結性について

位相空間 $X$ に対して，
${\emptyset, X} \subset τ (X) \cap τ^{c} (X)$
より，
$X \neq \emptyset ⟺ 2 \leq # (τ (X) \cap τ^{c} (X))$
が成り立つ．

$X$ を位相空間とする．

$# (τ (X) \cap τ^{c} (X)) = 2$ が成り立つとき， $X$ を連結空間という．
$X$ が空でなく，任意の $x_{0}, x_{1} \in X$ に対して，連続写像 $ω : [0, 1] \to X$ であって $ω (i) = x_{i}$ なるものが存在するとき， $X$ を弧状連結空間という．
部分集合 $A \subset X$ が相対位相に関して連結空間（resp. 弧状連結空間）であるとき， $A$ を連結集合（resp. 弧状連結集合）という．

非空位相空間 $X$ が弧状連結であるためには，任意の連続写像 $φ_{0} : S^{0} \to X$ に対して，連続写像 $φ : D^{1} \to X$ であって $φ | S^{0} = φ_{0}$ を満たすものが存在することが必要かつ十分である（cf. 定義3）．一般に， $n \in N$ としたとき，任意の $k \in [n]$ と任意の連続写像 $φ_{0} : S^{k} \to X$ に対して，連続写像 $φ : D^{k + 1} \to X$ であって $φ | S^{k} = φ_{0}$ を満たすものが存在するとき， $X (\neq \emptyset)$ を $n$ 連結空間という．

弧状連結空間の連続像は弧状連結である．
$X, Y$ が弧状連結ならば， $X \times Y$ も弧状連結である．

$X$ を弧状連結とし， $f : X \to Y$ を全射連続写像とする．
1. $X \neq \emptyset$ より $Y = f^{\to} (X) \neq \emptyset$ である．
2. 任意の $y_{0}, y_{1} \in Y$ に対して， $x_{i} \in f^{\leftarrow} ({y_{i}})$ を取ると，連続写像 $ω_{X} : [0, 1] \to X$ であって $ω_{X} (i) = x_{i}$ なるものが存在するので，連続写像 $ω_{Y} := f \circ ω : [0, 1] \to Y$ に対して $ω_{Y} (i) = y_{i}$ が成り立つ．
任意の $(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}) \in X \times Y$ に対して，連続写像 $ω_{X} : [0, 1] \to X, ω_{Y} : [0, 1] \to Y$ であって
$ω_{X} (i) = x_{i}, ω_{Y} (i) = y_{i}$
を満たすものが存在するので，連続写像 $ω_{X \times Y} : [0, 1] \to X \times Y$ を
$ω_{X \times Y} (t) := (ω_{X} (t), ω_{Y} (t))$
で定めると， $ω_{X \times Y} (i) = (x_{i}, y_{i})$ が成り立つ．

$X$ を位相空間とする．このとき次は同値である：

$X$ は連結である；
$X \neq \emptyset$ であり，離散空間 $2 := ({0, 1}, P ({0, 1}))$ への任意の連続写像は全射ではない．

(i) $⟹$ (ii)

明らかに $X \neq \emptyset$ であり，
$τ (X) \cap τ^{c} (X) = {\emptyset, X}$
が成り立つ．
$f : X \to 2$ を連続写像とする． $x_{0} \in X$ を取り
$X_{0} := f^{\leftarrow} ({f (x_{0})}) \subset X$
とおくと，これは $X$ の非空開閉集合であるから $X$ に一致する．よって $f$ は全射でない．

(ii) $⟹$ (i)

もし $X$ が連結でないとすると，開閉集合 $A \in τ (X) \cap τ^{c} (X) ∖ {\emptyset, X}$ が取れる．このとき， $A, X ∖ A \subset X$ は非空開集合であるから，全射連続写像 $f : X \to 2$ を
$f (x) := {\begin{cases} 0 & , x \in A \\ 1 & , x \in X ∖ A \end{cases}$
で定めることができるが，これは不合理である．

位相空間 $X$ の部分集合 $A, B \subset X$ が $A \subset B \subset Cl (A)$ を満たしているとき，
$A : connected ⟹ B : connected$
が成り立つ．実際，

$A \neq \emptyset$ より $B \neq \emptyset$ である．
$f : B \to 2$ を連続写像とすると，
$f^{\to} (B) = f^{\to} ({Cl}_{B} (A)) \subset {Cl}_{2} (f^{\to} (A)) = f^{\to} (A) = (f | A)^{\to} (A) \neq 2$
が成り立つので， $f$ は全射でない．

単位閉区間 $[0, 1]$ は連結である．

$f : [0, 1] \to 2$ を連続写像とし，
$I_{0} := {t \in [0, 1] ∣ \forall t^{'} \in [0, t], f (t^{'}) = f (0)}$
とおく．このとき， $0 \in I_{0} \neq \emptyset$ より，
$s := sup I_{0} \in [0, 1]$
が定まる．

$f^{\leftarrow} ({f (0)}) \in τ (0, [0, 1])$ より， $δ_{0} > 0$ であって
$[0, δ_{0}] \subset f^{\leftarrow} ({f (0)})$
を満たすものが存在する．よって $δ_{0} \in I_{0}$ であるから，
$0 < δ_{0} \leq s$
が成り立つ．
$f^{\leftarrow} ({f (s)}) \in τ (s, [0, 1])$ より， $δ > 0$ であって
$[s - δ, s] \subset f^{\leftarrow} ({f (s)})$
を満たすものが存在する．このとき， $t \in I_{0}$ であって $s - δ < t$ なるものが存在するので，
$\forall t^{'} \in [0, s] = [0, t] \cup [t, s], f (t^{'}) = f (t) = f (0)$
が成り立つ．よって $s \in I_{0}$ ，したがって $I_{0} = [0, s]$ が成り立つ．
もし $s < 1$ であるとすると， $δ > 0$ であって
$[s, s + δ] \subset f^{\leftarrow} ({f (s)})$
なるものが存在するが，このとき
$\forall t^{'} \in [0, s + δ] = [0, s] \cup [s, s + δ], f (t^{'}) = f (s) = f (0)$
より $s + δ \in I_{0}$ となって， $s$ が $I_{0}$ の上界であることに反する．よって $s = 1$ が成り立つ．

以上より $[0, 1] = I_{0}$ が成り立つので， $f$ は全射でない．

連結空間の連続像は連結である．

$X$ を連結空間とし， $f : X \to Y$ を全射連続写像とする．

$X \neq \emptyset$ より $Y = f^{\to} (X) \neq \emptyset$ である．
$g : Y \to 2$ を連続写像とすると，連続写像
$g \circ f : X \to Y \to 2$
は全射でないので， $g$ も全射でない．

$X$ を位相空間とする．このとき，任意の連結部分集合族 $(C_{λ})_{λ \in Λ}$ に対して，
$⋂_{λ \in Λ} C_{λ} \neq \emptyset ⟹ ⋃_{λ \in Λ} C_{λ} : connected$
が成り立つ．

明らかに $⋃_{λ} C_{λ} \neq \emptyset$ である．また，
$f : ⋃_{λ \in Λ} C_{λ} \to 2$
を連続写像とし， $x_{0} \in ⋂_{λ} C_{λ}$ を取ると，
$\forall λ \in Λ, C_{λ} = (f | C_{λ})^{\leftarrow} ({f (x_{0})}) = f^{\leftarrow} ({f (x_{0})}) \cap C_{λ}$
より，
$⋃_{λ \in Λ} C_{λ} = f^{\leftarrow} ({f (x_{0})})$
が成り立つので， $f$ は全射でない．

閉円板 $D^{2}$ は連結である．実際，各 $z \in D^{2}$ に対して，
$C_{z} := {t z \in D^{2} ∣ t \in [0, 1]}$
は連結であり，
$0 \in ⋂_{z \in D^{2}} C_{z} \neq \emptyset$
が成り立つので，命題10より
$D^{2} = ⋃_{z \in D^{2}} C_{z}$
は連結である．

$X, Y$ が連結ならば， $X \times Y$ も連結である．実際， $(x_{0}, y_{0}) \in X \times Y$ を取ると，任意の $x \in X$ に対して，
$X \times {y_{0}}, {x} \times Y : connected, (x, y_{0}) \in (X \times {y_{0}}) \cap ({x} \times Y) \neq \emptyset$
より
$C_{x} := (X \times {y_{0}}) \cup ({x} \times Y)$
は連結であり，
$(x_{0}, y_{0}) \in ⋂_{x \in X} C_{x} \neq \emptyset$
が成り立つので，命題10より
$X \times Y = ⋃_{x \in X} C_{x}$
は連結である．

弧状連結空間は連結である．

$X$ を弧状連結空間とし， $x_{0} \in X$ を取る．任意の $x = x_{1} \in X$ に対して，連続写像 $ω_{x} : [0, 1] \to X$ であって $ω (i) = x_{i}$ なるものが存在する．そこで
$C_{x} := ω_{x}^{\to} ([0, 1])$
とおくと，これは連結であり
$x_{0} \in ⋂_{x \in X} C_{x} \neq \emptyset$
が成り立つ．よって命題10より
$X = ⋃_{x \in X} C_{x}$
は連結である．

$R^{n}$ は弧状連結である．実際，任意の $x_{0}, x_{1} \in R^{n}$ に対して，連続写像 $ω : [0, 1] \to R^{n}$ を
$ω (t) := (1 - t) x_{0} + t x_{1}$
で定めると， $ω (i) = x_{i}$ が成り立つ．
$S^{n} ∖ {⋆} \approx R^{n}$ は連結なので， $S^{n} = Cl (S^{n} ∖ {⋆})$ も連結である．

参考文献

[1]

J. Dugundji, Topology

[2]

Edwin H. Spanier, Algebraic Topology, Springer

[3]

Chung-Wu Ho, A Note on Proper Maps, Proc. Amer. Math. Soc.

[4]

Yan Shuo Tan, A Skeleton in the Category: The Secret Theory of Covering Spaces (pdf), 閲覧日 2024年11月18日, https://math.uchicago.edu/~may/REU2012/REUPapers/Tan.pdf

[5]

河澄響矢, トポロジーの基礎下, 東京大学出版会

[6]

佐藤隆夫, 基本群と被覆空間, 裳華房

[7]

flag3, 基本群と被覆空間の Galois 理論 (pdf), 閲覧日 2024年11月17日, https://flag3.github.io/pi1.pdf

[8]

うすい, 商空間, 閲覧日 2024年11月15日, https://mathlog.info/books/YkRlfdOIHt5lJsIDYmdq/sEFcBSHTBAsl0Ui8HHV9

[9]

Unknown, 固有作用とその周辺, Mathlog, Tue Sep 12 2023, アクセス日: Mon Nov 25 2024

[10]

Unknown, Galois接続入門, Mathlog, Tue Oct 01 2024, アクセス日: Mon Nov 25 2024

投稿日：2024年11月20日

更新日：2024年11月25日

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被覆空間のはなし

被覆写像と局所同相写像
局所同相写像が被覆写像であるための十分条件
被覆写像の例
局所同相写像が同相写像であるための十分条件
被覆変換群とGalois対応
被覆変換群
部分群から被覆空間へ
基点つき中間被覆
Galois対応
普遍被覆空間
普遍被覆
分類定理
附：連結性について
参考文献

被覆空間のはなし

被覆写像と局所同相写像

局所同相写像が被覆写像であるための十分条件

被覆写像の例

補足

局所同相写像が同相写像であるための十分条件

✓ 開集合であること

✓ 閉集合であること

Step 1.

Step 2.

Step 3.

(i)⟹(ii)

✓ fが全射であること

✓ fが単射であること

(ii)⟹(i)

被覆変換群とGalois対応

被覆変換群

部分群から被覆空間へ

Aut(q)/Γ≅Aut(q¯)であること

q¯:X/Γ→YがGalois被覆であること

基点つき中間被覆

前半

後半

Galois対応

普遍被覆空間

普遍被覆

✓ 開集合であること

✓ 閉集合であること

(1)

(2)

✓ 必要性

✓ 十分性

分類定理

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

附：連結性について

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

参考文献

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$✓$ 開集合であること

$✓$ 閉集合であること

(i) $⟹$ (ii)

$✓ f$ が全射であること

$✓ f$ が単射であること

(ii) $⟹$ (i)

$Aut (q) / Γ ≅ Aut (\bar{q})$ であること

$\bar{q} : X / Γ \to Y$ がGalois被覆であること

$✓$ 開集合であること

$✓$ 閉集合であること

$✓$ 必要性

$✓$ 十分性

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)