$X,Y$を位相空間とし$f \colon X \to Y$を連続写像とする．
$X$を位相空間，$Y$を連結空間とし，$f \colon X \to Y$を被覆写像とする．このとき，任意の$y,y' \in Y$に対して
$$
\#f^{\leftarrow}(\{y\}) = \#f^{\leftarrow}(\{y'\})$$
が成り立つ．とくに$f$は全射である．
$y_{0} \in Y$を取り，
$$
Y_{0}:= \{y \in Y\mid \#f^{\leftarrow}(\{y\}) = \#f^{\leftarrow}(\{y_{0}\})\}$$
とおく．このとき$Y_{0} \subset Y$が開閉集合であることを示せばよい．
さて，$y_{0} \in Y$に対して，開近傍$V \in \tau(y_{0},Y)$と開集合$U \in \tau(X)$であって
$$
f|_{U}^{V} \colon U \approx V$$
なるものが存在する．よって，任意の$y \in Y$に対して
$$
\#f^{\leftarrow}(\{y\}) = \#f^{\leftarrow}(\{y_{0}\}) \geq 1$$
が成り立つ．
$X,Y$を非空Hausdorff空間とし，$f \colon X \to Y$を全射固有局所同相写像とする．このとき，以下のいづれかが成り立つならば，$f$は被覆写像である：
$y \in Y$とする．いま$f$は全射局所同相写像なので$f^{\leftarrow}(\{y\})$は非空離散集合である．一方，$f$の固有性より$f^{\leftarrow}(\{y\})$はコンパクトである．したがって$f^{\leftarrow}(\{y\})$は有限集合であるから，有限個の点$x_{1},\ldots,x_{n} \in X$であって
$$
f^{\leftarrow}(\{y\}) = \{x_{1},\ldots,x_{n}\}$$
なるものが存在する．$X$のHausdorff性より，各$x_{i}$の開近傍$O_{i} \in \tau(x_{i},X)$であって
$$
i \neq j \implies O_{i} \cap O_{j} = \varnothing$$
を満たすものが取れる．必要なら小さく取り直すことで
$$
f_{i} := f|_{O_{i}}^{f^{\rightarrow}(O_{i})} \colon O_{i} \approx f^{\rightarrow}(O_{i})$$
としてよい．また，明らかに
$$
y \in \bigcap_{i=1}^{n} f^{\rightarrow}(O_{i}) \in \tau(Y)$$
が成り立つ．
$X,Y$をHausdorff空間とし，$f \colon X \to Y$を全射連続写像とする．$X$がコンパクト空間であるとき，次は同値である：
$X$をHausdorff空間，$Y$を弧状連結Hausdorff空間とする．このとき，任意の全射固有局所同相写像$f \colon X \to Y$は被覆写像である．
proper-loc-homeo-coveringの条件(2)が成り立つことを示せばよい．そこで$y_{0},y_{1} \in Y$とする．仮定より，連続写像$\omega \colon [0,1] \to Y$であって$\omega(i)= y_{i}$なるものが存在する．このとき$\omega^{\rightarrow}([0,1])$は（局所）コンパクトであるから，全射固有局所同相写像
$$
f_{\omega}:= f^{\omega^{\rightarrow}([0,1])} \colon f^{\leftarrow}(\omega^{\rightarrow}([0,1])) \to \omega^{\rightarrow}([0,1])$$
は被覆写像である．よって，$\omega^{\rightarrow}([0,1])$の連結性とfiberより
$$
\#f^{\leftarrow}(\{y_{0}\}) = \#f_{\omega}^{\leftarrow}(\{y_{0}\}) \textcolor{orange}{=} \#f_{\omega}^{\leftarrow}(\{y_{1}\}) = \#f^{\leftarrow}(\{y_{1}\})$$
が成り立つ．
$X$を位相空間，$G$を離散群とし，$\alpha \colon X \times G \to X$を連続作用とする．任意の$x \in X$に対して，$U \in \tau(x,X)$であって
$$
G_{U} := \{g \in G \mid U \cap U \cdot g \neq \varnothing\} = \{e\}$$
を満たすものが存在するとき，$\alpha$を被覆空間作用という．
$\alpha$が被覆空間作用ならば，$\alpha$は自由であり，商写像$q \colon X \to X/G$は被覆写像である．
$G$を位相群とし，$\Gamma < G$を離散部分群とする．このとき，$\Gamma$による連続作用
$$
G \times \Gamma \to G;\ (g,\gamma) \mapsto g\gamma$$
は被覆空間作用である．
$x \in G$とする．単位元の開近傍$U \in \tau(e,G)$であって$\Gamma_{U} = \{e\}$なるものが存在すれば，$U_{x}:= U \cdot x \in \tau(x,G)$について，
$$
U_{x} \cap U_{x} \cdot \gamma = (U \cap U \cdot x\gamma x^{-1}) \cdot x$$
より，$\Gamma_{U_{x}} = \{e\}$が成り立つので，初めから$x = e$としてよい．
仮定より，$V \in \tau(e,G)$であって
$$
V \cap \Gamma = \{e\}$$
なるものが存在する．この$V$に対して，対称開近傍$U \in \tau(e,G)$であって$UU \subset V$を満たすものが存在する．このとき，$\gamma \in \Gamma_{U}$とすると，$u \in U$であって$u\gamma \in U$なるものが存在するので，
$$
\gamma = u^{-1}(u\gamma) \in U^{-1}U = UU \subset V$$
より，$\gamma =e$が成り立つ．
$n\in\mathbb{N}_{>0}$とする．このとき，$\mathbb{Z}^{n}$は加法群$\mathbb{R}^{n}$の離散（正規）部分群なので，商写像
$$
\exp^{n} \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}/\mathbb{Z}^{n} \approx (\mathbb{R}/\mathbb{Z})^{n} \approx (\mathbb{S}^{1})^{n} =: \mathbb{T}^{n};\ x \mapsto (e^{2\pi x_{1}\sqrt{-1}},\ldots,e^{2\pi x_{n}\sqrt{-1}})$$
は被覆写像である．
$n \in \mathbb{Z}\smallsetminus\{0\}$とし，連続写像$p_{n} \colon \mathbb{S}^{1} \to \mathbb{S}^{1}$を
$$
p_{n}(z) := z^{n}$$
で定める．このとき，同相写像$\tilde{p}_{n} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を
$$
\tilde{p}_{n}(x) := nx$$
で定めると，$\exp^{1} \circ \tilde{p}_{n} = p_{n} \circ \exp^{1}$が成り立つ：
$$
\xymatrix{
{\mathbb{R}} \ar[r]^{\tilde{p}_{n}} \ar[d]_{\exp^{1}} & {\mathbb{R}} \ar[d]^{\exp^{1}}\\
{\mathbb{S}^{1}} \ar[r]_{p_{n}} & {\mathbb{S}^{1}}
}$$
よって$p_{n}$はコンパクトHausdorff空間$\mathbb{S}^{1}$からHausdorff空間$\mathbb{S}^{1}$への全射局所同相写像であるから，cpt-hausより，被覆写像である．また，以下の図式も可換になる：
$$
\xymatrix{
{\mathbb{R}} \ar[r]^{\text{quoti.}\qquad}\ar[rd]_{\text{quoti.}} & {\mathbb{R}/n\mathbb{Z}} \ar[r]_{\approx} \ar@{.>}[d] & {\mathbb{S}^{1}} \ar[d]^{p_{n}}\\
&{\mathbb{R}/\mathbb{Z}} \ar[r]_{\approx}^{\overline{\exp^{1}}} & {\mathbb{S}^{1}}
}$$
$X$をHausdorff空間，$G$を有限群とし，$\alpha \colon X \times G \to X$を連続作用とする．このとき，$\alpha$が自由な作用ならば，商写像$q \colon X \to X/G$は被覆写像である．
$G := \{g_{0}=e,g_{1},\ldots,g_{n}\}$とおく．$\alpha$が被覆空間作用であることを示せばよい．
$x \in X$とする．仮定より$x$の$G$軌道
$$
x \cdot G = \{x,x \cdot g_{1},\ldots, x \cdot g_{n}\}$$
はHausdorff空間の$n+1$点集合なので，開近傍$U_{i} \in \tau(x,X),i\in[n],$であって
$$
i\neq j \implies U_{i} \cdot g_{i} \cap U_{j} \cdot g_{j} = \varnothing$$
を満たすものが存在する．そこで
$$
U := \bigcap_{i\in[n]} U_{i} \in \tau(x,X)$$
とおくと，
$$
i\in[n]_{>0} \implies U \cap U \cdot g_{i} \subset U_{0} \cap U_{i} \cdot g_{i} = \varnothing$$
より，$G_{U} = \{e\}$が成り立つ．
有限巡回群$G:= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$による$\mathbb{S}^{1}$への連続作用を
$$
(z,m+n\mathbb{Z}) \mapsto ze^{\frac{2\pi m \sqrt{-1}}{n}}$$
で定めると，これは自由な作用であるから，商写像$q \colon \mathbb{S}^{1} \to \mathbb{S}^{1}/G$は被覆写像である．さらに
$$
q(z) =q(z') \iff p_{n}(z) = p_{n}(z')$$
が成り立つので，全単射連続写像$\bar{p}_{n} \colon \mathbb{S}^{1}/G \to \mathbb{S}^{1}$が誘導される：
$$
\xymatrix{
{\mathbb{S}^{1}} \ar[r]^{p_{n}} \ar[d]_{q} & {\mathbb{S}^{1}}\\
{\mathbb{S}^{1}/G} \ar@{.>}[ur]_{\bar{p}_{n}}
}$$
いま$\mathbb{S}^{1}/G$はコンパクト空間であり$\mathbb{S}^{1}$はHausdorff空間であるから，結局$\bar{p}_{n} \colon \mathbb{S}^{1}/G \approx \mathbb{S}^{1}$が成り立つ．
実射影空間への商写像
$$
\mathbb{S}^{n} \to \mathbb{S}^{n}/\mathbb{S}^{0} \approx \mathbb{R}P^{n}$$
は被覆写像である．
$X,Y$を位相空間とし，$f \colon X \to Y$を被覆写像とする．また，$I$を連結空間とし，$\omega_{1},\omega_{2} \colon I \to X$を連続写像とする．このとき，
$$
\exists\, t_{0} \in I,\ \omega_{1}(t_{0}) = \omega_{2}(t_{0}) \,\land\, f \circ \omega_{1} = f \circ \omega_{2} \implies \omega_{1} = \omega_{2}$$
が成り立つ．
非空部分集合
$$
I_{0} := \{t \in I \mid \omega_{1}(t) = \omega_{2}(t)\} \subset I$$
が開閉集合であることを示せばよい．
$t \in I_{0}$とし，$y:= f(\omega_{1}(t)) \in Y$とおく．被覆写像の定義より，開近傍$V \in \tau(y,Y),\,U \in \tau(\omega_{1}(t),X)$であって
$$
f_{t}:= f|_{U}^{V} \colon U \approx V$$
なるものが存在する．そこで
$$
W:= \omega_{1}^{\leftarrow}(U) \cap \omega_{2}^{\leftarrow}(U) \in \tau(t,I)$$
とおくと，任意の$s \in W$に対して，
$$
f_{t}(\omega_{1}(s)) = f(\omega_{1}(s)) = f(\omega_{2}(s)) = f_{t}(\omega_{2}(s))$$
より，$\omega_{1}(s) = \omega_{2}(s)$が成り立つ．よって$W \subset I_{0}$が成り立つ．
$t \in I \smallsetminus I_{0}$とし，$y:= f(\omega_{1}(t)) \in Y$とおく．仮定より$f(\omega_{2}(t)) = y$であるから，被覆写像の定義より，開近傍$V \in \tau(y,Y), U_{i} \in \tau(\omega_{i}(t),X)$であって
$$
U_{1} \cap U_{2} = \varnothing,\ f_{i}:= f|_{U_{i}}^{V} \colon U_{i} \approx V$$
なるものが存在する．そこで
$$
W:= \omega_{1}^{\leftarrow}(U_{1}) \cap \omega_{2}^{\leftarrow}(U_{2}) \in \tau(t,I)$$
とおくと，任意の$s \in W$に対して，
$$
\omega_{1}(s) \in U_{1},\ \omega_{2}(s) \in U_{2}$$
より，$\omega_{1}(s) \neq \omega_{2}(s)$が成り立つ．よって$W \subset I\smallsetminus I_{0}$が成り立つ．
$X,Y$を位相空間とし，$f \colon X \to Y$を被覆写像とする．また，$Z$を位相空間とし，連続写像$\tilde{h}_{0} \colon Z \to X,\,H \colon [0,1] \times Z \to Y$が
$$
H(0,z) = f(\tilde{h}_{0}(z))$$
を満たしているとする．このとき，連続写像$\tilde{H} \colon [0,1] \times Z \to X$であって，以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
$$
\xymatrix{
{Z} \ar[d]_{\iota_{0,Z}} \ar[r]^{\tilde{h}_{0}}& {X} \ar[d]^{f}\\
{[0,1] \times Z} \ar@{.>}[ur]^{\tilde{H}} \ar[r]_{H} & {Y}
}$$
ただし，$\iota_{0,Z}(z) := (0,z)$である．
$\tilde{H}_{1},\tilde{H}_{2}$が条件を満たすとすると，各$z \in Z$に対して，
$$
\tilde{H}_{1}(0,z) = \tilde{h}_{0}(z) = \tilde{H}_{2}(0,z),$$
および
$$
f \circ \tilde{H}_{1}(\cdot,z) = H(\cdot,z) = f \circ \tilde{H}_{2}(\cdot,z)$$
が成り立つので，$[0,1]$の連結性とulpより，
$$
\tilde{H}_{1}(\cdot,z) = \tilde{H}_{2}(\cdot,z) \colon [0,1] \to X$$
が成り立つ．よって$\tilde{H}_{1} = \tilde{H}_{2}$が成り立つ．
$z \in Z$とする．各$t \in [0,1]$に対して，$H(t,z) \in Y$の開近傍$V(t,z) \in \tau(Y)$を，被覆写像の定義にあるように取る．このとき，$[0,1] \times \{z\}$の開被覆$(H^{\leftarrow}(V(t,z)))_{t\in[0,1]}$のLebesgue数を取ることで，有限列$(t_{i})_{i\in[n+1]}$であって
$$
0 = t_{0} < t_{1} <\cdots< t_{n+1}=1,\ [t_{i},t_{i+1}]\times\{z\} \subset H^{\leftarrow}(V(\prescript{\exists}{}t,z)=:V_{i})$$
を満たすものが存在することがわかる．各$i\in[n]$に対して，$z$の開近傍$N_{i} \in \tau(Z)$であって
$$
[t_{i},t_{i+1}]\times N_{i} \subset H^{\leftarrow}(V_{i})$$
を満たすものが存在するので，
$$
N(z) := \bigcap_{i\in[n]} N_{i} \in \tau(z,Z)$$
とおくと，
$$
\forall i\in[n],\ [t_{i},t_{i+1}] \times N(z) \subset H^{\leftarrow}(V_{i})$$
が成り立つ．
各$z \in Z$に対して，連続写像$\tilde{H}_{z} \colon [0,1] \times N(z) \to X$であって
$$
\tilde{H}_{z}(0,z') = \tilde{h}_{0}(z'),\ f \circ \tilde{H}_{z} = H|[0,1]\times N(z)$$
を満たすものが存在することを示す：
$$
\xymatrix{
{N(z)} \ar[d]_{\iota_{0,N(z)}} \ar[r]^{\tilde{h}_{0}|N(z)}& {X} \ar[d]^{f}\\
{[0,1] \times N(z)} \ar@{.>}[ur]^{\tilde{H}_{z}} \ar[r]_{H} & {Y}
}$$
いま$([t_{i},t_{i+1}] \times N(z))_{i\in[n]}$は$[0,1] \times N(z)$の（局所）有限閉被覆なので，各$i\in[n]$に対して，連続写像$\varphi_{i} \colon [t_{i},t_{i+1}] \times N(z) \to X$であって
\begin{align}
\varphi_{0}(0,z') &= \tilde{h}_{0}(z');\\
f \circ \varphi_{i} &= H|[t_{i},t_{i+1}]\times N(z);\\
\varphi_{i}|\{t_{i+1}\}\times N(z) &= \varphi_{i+1}|\{t_{i+1}\}\times N(z);
\end{align}
を満たすものが存在することを示せばよい．
$z,z' \in Z$とする．このとき，任意の$z'' \in N(z) \cap N(z')$に対して，
$$
\tilde{H}_{z}(0,z'') = \tilde{h}_{0}(z'') = \tilde{H}_{z'}(0,z''),$$
および
$$
f \circ (\tilde{H}_{z}|[0,1] \times \{z''\}) = H|[0,1] \times \{z''\} = f \circ (\tilde{H}_{z'}|[0,1] \times \{z''\})$$
より，
$$
\tilde{H}_{z}|[0,1] \times \{z''\} = \tilde{H}_{z'}|[0,1] \times \{z''\}$$
が成り立つ（ulp）．よって
$$
\tilde{H}_{z}|[0,1] \times (N(z)\cap N(z')) = \tilde{H}_{z'}|[0,1] \times (N(z)\cap N(z'))$$
が成り立つ．いま，$([0,1] \times N(z))_{z\in Z}$は$[0,1] \times Z$の開被覆であるから，連続写像族$(\tilde{H}_{z})_{z}$は貼り合わさって連続写像$\tilde{H} \colon [0,1] \times Z \to X$を定める．明らかに
$$
\tilde{H}(0,z) = \tilde{h}_{0}(z),\ f\circ\tilde{H} = H$$
が成り立つ：
$$
\xymatrix{
{Z} \ar[d]_{\iota_{0,Z}} \ar[r]^{\tilde{h}_{0}}& {X} \ar[d]^{f}\\
{[0,1] \times Z} \ar@{.>}[ur]^{\tilde{H}} \ar[r]_{H} & {Y}
}$$
$X,Y$を位相空間，$f \colon (X,x_{0}) \to (Y,y_{0})$を被覆写像とし，$\omega \colon ([0,1],0) \to (Y,y_{0})$を連続写像とする．このとき，連続写像$\tilde{\omega} \colon ([0,1],0) \to (X,x_{0})$であって$f \circ \tilde{\omega} = \omega$を満たすものがただ一つ存在する：
$$
\xymatrix{
& {(X,x_{0})} \ar[d]^{f}\\
{([0,1],0)} \ar@{.>}[ur]^{\tilde{\omega}} \ar[r]_{\omega} & {(Y,y_{0})}
}$$
以下の図式を考えればよい：
$$
\xymatrix{
{\{0\}} \ar[dd]_{\iota_{0,\{0\}}} \ar[rr]^{\mathrm{const}_{x_{0}}}&& {X} \ar[dd]^{f}\\
&&\\
{[0,1] \times \{0\} \,\approx\, [0,1]} \ar@{.>}[uurr]^{\tilde{\omega}} \ar[rr]_{\omega} && {Y}
}$$
$X,Y$を位相空間，$f \colon (X,x_{0}) \to (Y,y_{0})$を被覆写像とし，$h_{1} \colon (\mathbb{D}^{2},z_{0}) \to (Y,y_{0})$ を連続写像とする．ただし
$$
\mathbb{D}^{2} := \{z \in \mathbb{C} \mid \|z\| \leq 1\}$$
である．このとき，連続写像$\tilde{h}_{1} \colon (\mathbb{D}^{2},z_{0}) \to (X,x_{0})$であって$f \circ \tilde{h}_{1} = h_{1}$を満たすものがただ一つ存在する：
$$
\xymatrix{
& {(X,x_{0})} \ar[d]^{f}\\
{(\mathbb{D}^{2},z_{0})} \ar@{.>}[ur]^{\tilde{h}_{1}} \ar[r]_{h_{1}} & {(Y,y_{0})}
}$$
$Y$を弧状連結空間とする．任意の連続写像$\varphi_{0} \colon \mathbb{S}^{1} \to Y$に対して，連続写像$\varphi \colon \mathbb{D}^{2} \to Y$であって$\varphi|\mathbb{S}^{1} = \varphi_{0}$を満たすものが存在するとき，$Y$を単連結空間という．
$Y_{1},Y_{2}$が単連結ならば，$Y_{1} \times Y_{2}$も単連結である．実際，任意の連続写像$\varphi_{0} \colon \mathbb{S}^{1} \to Y_{1} \times Y_{2}$に対して，
$$
\mathbb{S}^{1} \xrightarrow{\varphi_{0}} Y_{1} \times Y_{2} \xrightarrow{\text{proj.}} Y_{i}$$
の拡張$\varphi_{i} \colon \mathbb{D}^{2} \to Y_{i}$を取り，連続写像$\varphi \colon \mathbb{D}^{2} \to Y_{1} \times Y_{2}$を
$$
\varphi(z) := (\varphi_{1}(z),\varphi_{2}(z))$$
で定めれば，$\varphi|\mathbb{S}^{1} = \varphi_{0}$が成り立つ．
$\mathbb{R}$は単連結である．実際，任意の連続写像$\varphi_{0} \colon \mathbb{S}^{1} \to \mathbb{R}$に対して，連続写像$H \colon [0,1] \times \mathbb{S}^{1} \to \mathbb{R}$および$H' \colon [0,1] \times \mathbb{S}^{1} \to \mathbb{D}^{2}$を
$$
H(t,z) := (1-t)\varphi_{0}(z),\ H'(t,z) := (1-t)z$$
で定めると，$\mathbb{S}^{1}$の錐$C\mathbb{S}^{1}$を介して，連続写像$\varphi \colon \mathbb{D}^{2} \approx C\mathbb{S}^{1} \to \mathbb{R}$が誘導され，$\varphi|\mathbb{S}^{1} = \varphi_{0}$が成り立つ：
$$
\xymatrix{
{\mathbb{D}^{2}} & {[0,1] \times \mathbb{S}^{1}} \ar[l]_{H'} \ar[d]_{\text{quoti.}} \ar[r]^{H} & \mathbb{R}\\
&{C\mathbb{S}^{1}} \ar@{.>}[ul]^{\approx} \ar@{.>}[ur]&
}$$
したがって，任意の$n \in \mathbb{N}_{>0}$に対して，$\mathbb{R}^{n}$は単連結である．
$X$を弧状連結Hausdorff空間，$Y$を単連結Hausdorff空間とし，$f \colon X \to Y$を局所同相写像とする．このとき次は同値である：
いま$f$は連続開写像であるから，あとは$f$が全単射であることを示せばよい．
$y_{0} \in f^{\rightarrow}(X)$を取り，$y_{1} \in Y$とする．$Y$の弧状連結性より，連続写像$\omega \colon [0,1] \to Y$であって$\omega(i) = y_{i}$なるものが存在する．
したがって，$\omega^{\rightarrow}([0,1])$の連結性より，
$$
y_{1} \in \omega^{\rightarrow}([0,1]) = \omega^{\rightarrow}([0,1]) \cap f^{\rightarrow}(X) \subset f^{\rightarrow}(X)$$
が成り立つ．
$x_{0},x_{1} \in X,\,f(x_{0}) = f(x_{1})$とする．$X$の弧状連結性より，連続写像$\omega \colon [0,1] \to X$であって$\omega(i) = x_{i}$なるものが存在する．いま$f(\omega(0)) = f(\omega(1))$であるから，連続写像$\varphi_{0} \colon \mathbb{S}^{1} \to X$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
$$
\xymatrix{
{([0,1],\{0,1\})} \ar[d]_{q:= \exp^{1}|[0,1]} \ar[r]^{f \circ \omega} & {(Y,f(x_{0}))}\\
{(\mathbb{S}^{1},z_{0})} \ar@{.>}[ur]_{\varphi_{0}}
}$$
この$\varphi_{0}$に対して，$Y$の単連結性より，連続写像$\varphi \colon \mathbb{D}^{2} \to Y$であって$\varphi|\mathbb{S}^{1} = \varphi_{0}$を満たすものが存在する．proper-loc-homeo-coveringより，全射固有局所同相写像$f \colon X \to Y$は被覆写像であるから，連続写像$\tilde{\varphi} \colon (\mathbb{D}^{2},z_{0}) \to (X,x_{0})$であって$f \circ \tilde{\varphi} = \varphi$を満たすものがただ一つ存在する（lift）：
$$
\xymatrix{
& {(X,x_{0})} \ar[d]^{f}\\
{(\mathbb{D}^{2},z_{0})} \ar@{.>}[ur]^{\tilde{\varphi}} \ar[r]_{\varphi} & {(Y,f(x_{0}))}
}$$
そこで，合成写像
$$
\omega_{\tilde{\varphi}} \colon [0,1] \xrightarrow{q} \mathbb{S}^{1} \subset \mathbb{D}^{2} \xrightarrow{\tilde{\varphi}} X$$
を考えると，
$$
\omega_{\tilde{\varphi}}(0) = \tilde{\varphi}(z_{0}) = x_{0} = \omega(0),$$
および
$$
f \circ \omega_{\tilde{\varphi}} = f\circ \tilde{\varphi}|\mathbb{S}^{1} \circ q = \varphi|\mathbb{S}^{1} \circ q = \varphi_{0} \circ q = f \circ \omega$$
より$\omega_{\tilde{\varphi}} = \omega$となるので（ulp），
$$
x_{0} = \tilde{\varphi}(z_{0}) = \omega_{\tilde{\varphi}}(1) = \omega(1) = x_{1}$$
が成り立つ．
明らか．
被覆写像$q \colon X \to Y$に対して，$X$の自己同相群$\mathrm{Homeo}(X)$の部分群
$$
\Aut(q) := \{f \in \mathrm{Homeo}(X) \mid q \circ f = q\}$$
を，$q$の被覆変換群という．
$q \colon X \to Y$を被覆写像とする．このとき，任意の$g \in \mathrm{Homeo}(X)$に対して，$g^{*}q := q \circ g^{-1} \colon X \to Y$は被覆写像であり，
\begin{align}
f \in \Aut(g^{*}q)
&\iff (q \circ g^{-1}) \circ f = q \circ g^{-1}\\
&\iff q \circ (g^{-1} \circ f \circ g) = q\\
&\iff g^{-1} \circ f \circ g \in \Aut(q)
\end{align}
より，
$$
\Aut(g^{*}q) = g\,\Aut(q)\,g^{-1}$$
が成り立つ．
$q \colon X \to Y$を被覆写像とする．このとき，任意の同相写像$g \colon Y \to Y'$に対して，$g \circ q \colon X \to Y'$は被覆写像であり，
\begin{align}
f \in \Aut(g \circ q)
&\iff (g \circ q) \circ f = g \circ q\\
&\iff q \circ f = q\\
&\iff f \in \Aut(q)
\end{align}
より，
$$
\Aut(g \circ q) = \Aut(q)$$
が成り立つ．
$q \colon X \to Y$を被覆写像とする．任意の$x_{0},x_{1} \in X$に対して，
$$
q(x_{0}) = q(x_{1}) \implies \exists f \in \Aut(q),\ f(x_{0}) = x_{1}$$
が成り立つとき，$(q,X)$をGalois被覆（空間）という．
$\impliedby$は常に成り立つことに注意する．したがって，$q \colon X \to Y$がGalois被覆であるためには，誘導される写像$\bar{q} \colon \Aut(q)\backslash X \to Y$が同相写像であることが必要かつ十分である：
$$
\xymatrix{
{X} \ar[r]^{q} \ar[d]_{\text{quoti.}} & {Y} \\
{\Aut(q)\backslash X\qquad} \ar@{.>}[ur]_{\bar{q}}
}$$
$X$を位相空間，$G$を離散群とし，$\alpha \colon X \times G \to X$を被覆空間作用とする．このとき次が成り立つ：
各$g \in G$に対して，同相写像$\rho(g) \colon X \to X$を
$$
\rho(g)(x) := x \cdot g^{-1}$$
で定めると，$q_{G} \circ \rho(g) = q_{G}$が成り立つので，$\rho(g) \in \Aut(q_{G})$を得る．よって写像$\rho \colon G \to \Aut(q_{G})$が定まるが，さらに
$$
\rho(gg')(x) = x \cdot (gg')^{-1} = x \cdot g'^{-1}g^{-1} = (x \cdot g'^{-1}) \cdot g^{-1} = \rho(g)(\rho(g')(x))$$
が成り立つので，$\rho$は群準同型である．
位相空間$X$の各点が連結開集合（resp. 弧状連結開集合）からなる局所開基を持つとき，$X$を局所連結空間（resp. 局所弧状連結空間）という．
$q \colon X \to Y$を被覆写像とする．$X$が連結かつ局所連結ならば，離散群$\Aut(q)$による作用
$$
\mathrm{ev}' \colon X \times \Aut(q) \to X;\ (x,f) \mapsto f^{-1}(x)$$
は被覆空間作用である．
以下，連結かつ局所連結な位相空間のみ考える．
$q \colon X \to Y$を被覆写像とする．このとき，$\Aut(q)$の作用は自由なので，基点$y_{0} \in Y,\,x_{0} \in q^{\leftarrow}(\{y_{0}\}) =: F(y_{0})$を取るごとに，単射
$$
\mathrm{ev}_{x_{0}} \colon \Aut(q) \to F(y_{0});\ f \mapsto f(x_{0})$$
が定まる．したがって，
$$
q:\text{Galois} \iff \forall y_{0} \in Y,\ \forall x_{0} \in F(y_{0}),\ \mathrm{ev}_{x_{0}}:\text{bijection}$$
が成り立つ．一般に
$$
\#\Aut(q) \leq \#F(y_{0})$$
であるから，或る（したがってすべての（cf. fiber））ファイバーが有限集合ならば，
$$
q:\text{Galois} \iff \exists\, y_{0} \in Y,\ \#\Aut(q) = \#F(y_{0})$$
が成り立つ．
$q \colon X \to Y$を被覆写像とする．このとき，任意の部分群$\Gamma < \Aut(q)$に対して，商写像
$$
q_{\Gamma} \colon X \to X/\Gamma$$
はGalois被覆であり，
$$
\Aut(q_{\Gamma}) = \Gamma$$
が成り立つ（cf. cov-action）．
$q \colon X \to Y$を被覆写像とし，$\Gamma < \Aut(q)$とすると，
$$
q_{\Gamma}(x) = q_{\Gamma}(x') \implies q(x) = q(x')$$
より，連続写像$\bar{q} \colon X/\Gamma \to Y$が誘導される：
$$
\xymatrix{
{X} \ar[d]_{q_{\Gamma}} \ar[r]^{q} & {Y}\\
{X/\Gamma} \ar@{.>}[ur]_{\bar{q}}
}$$
この$\bar{q}$について次が成り立つ：
$q \colon X \to Y$をGalois被覆とし，$\Gamma \triangleleft \Aut(q)$とする．このとき次が成り立つ：
$f \in \Aut(q)$とする．
以上より
$$
q_{\Gamma}(x) = q_{\Gamma}(x') \implies q_{\Gamma}(f(x)) = q_{\Gamma}(f(x'))$$
が成り立つので，連続写像$\bar{f} \colon X/\Gamma \to X/\Gamma$であって$\bar{f} \circ q_{\Gamma} = q_{\Gamma} \circ f$を満たすものがただ一つ存在する：
$$
\xymatrix{
{X} \ar[d]_{q_{\Gamma}} \ar[r]^{f} & {X} \ar[d]^{q_{\Gamma}}\\
{X/\Gamma} \ar@{.>}[r]_{\bar{f}} & {X/\Gamma}
}$$
$f^{-1}, \id_{X}$に対して同様の考察をすることで，
$$
\overline{f^{-1}} \circ \bar{f} = \id_{X/\Gamma} = \bar{f} \circ \overline{f^{-1}}$$
が成り立つことがわかる．さらに
$$
(\bar{q} \circ \bar{f}) \circ q_{\Gamma} = \bar{q} \circ q_{\Gamma} \circ f = q \circ f = q = \bar{q} \circ q_{\Gamma}$$
より$\bar{q} \circ \bar{f} = \bar{q}$が成り立つので，写像$\psi_{\Gamma} \colon \Aut(q) \to \Aut(\bar{q})$を
$$
\psi_{\Gamma}(f) := \bar{f}$$
で定めることができる．
$\bar{q}(q_{\Gamma}(x)) = \bar{q}(q_{\Gamma}(x'))$とする．このとき$q(x)=q(x')$であるから，$f \in \Aut(q)$であって$f(x)=x'$なるものが存在する．そこで，$\bar{f} := \psi_{\Gamma}(f) \in \Aut(\bar{q})$とおくと，
$$
\bar{f}(q_{\Gamma}(x)) = q_{\Gamma}(f(x)) = q_{\Gamma}(x')$$
が成り立つ．
$q \colon X \to Y$を被覆写像とし，$\Gamma < \Aut(q)$とする．$\Aut(q)$における$\Gamma$の正規化群を$\nu(\Gamma)$とおく：
$$
\nu(\Gamma) := \{f\in \Aut(q) \mid f\,\Gamma f^{-1} = \Gamma\}.$$
このとき，上の証明と同様にして，群準同型$\psi_{\Gamma} \colon \nu(\Gamma) \to \Aut(\bar{q})$が定義でき，$\ker(\psi_{\Gamma}) = \Gamma$が成り立つ．さらに，$q \colon X \to Y$がGalois被覆であるとき，任意の$\bar{f} \in \Aut(\bar{q})$に対して，$f \in \Aut(q)$であって$q_{\Gamma} \circ f = \bar{f} \circ q_{\Gamma}$なるものが存在するが，
$$
\Gamma = \Aut(q_{\Gamma}) = \Aut(\bar{f} \circ q_{\Gamma}) = \Aut(q_{\Gamma} \circ f) = \Aut((f^{-1})^{*}q_{\Gamma}) = f^{-1}\Aut(q_{\Gamma})f = f^{-1}\Gamma f$$
より，$f^{-1} \in \nu(\Gamma)$，したがって$f\in\nu(\Gamma)$が成り立つ．よって$\psi_{\Gamma}$は全射であるから，準同型定理より
$$
\nu(\Gamma)/\Gamma \cong \Aut(\bar{q})$$
が成り立つ．
$q_{X,Y} \colon X \to Y,\,q_{Z,Y} \colon Z \to Y$を被覆写像とし，$q_{X,Z} \colon X \to Z$を連続写像とする．このとき
$$
q_{X,Y} = q_{Z,Y} \circ q_{X,Z} \implies q_{X,Z}:\text{covering}$$
が成り立つ．さらに
$$
q_{X,Y}:\text{Galois} \implies q_{X,Z}:\text{Galois}$$
が成り立つ．
$$
\xymatrix{
{X} \ar[d]_{q_{X,Y}} \ar[r]^{q_{X,Z}} & {Z} \ar[d]^{q_{Z,Y}}\\
{Y} \ar@{=}[r] & {Y}
}$$
$z \in Z$とし，$y:= q_{Z,Y}(z) \in Y$とおく．このとき，連結開近傍$W \in \tau(y,Y)$と$X$の開集合族$(U_{\lambda})_{\lambda}$，および$Z$の開集合族$(V_{\lambda'})_{\lambda'}$であって
\begin{align}
{q_{X,Y}}^{\leftarrow}(W) &= \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda} U_{\lambda},\ q_{X,Y}|_{U_{\lambda}}^{W} \colon U_{\lambda} \approx W\\
{q_{Z,Y}}^{\leftarrow}(W) &= \bigsqcup_{\lambda'\in \Lambda'} V_{\lambda'},\ q_{Z,Y}|_{V_{\lambda'}}^{W} \colon V_{\lambda'} \approx W
\end{align}
を満たすものが存在する．$\lambda' \in \Lambda'$であって$z \in V_{\lambda'}=:V$なるものを取り
$$
\Lambda(z) := \{\lambda\in\Lambda \mid U_{\lambda} \cap {q_{X,Z}}^{\leftarrow}(V) \neq \varnothing\}$$
とおく．任意の$\lambda\in\Lambda(z)$に対して，$U_{\lambda}$の連結性と${q_{X,Z}}^{\rightarrow}(U_{\lambda}) \subset {q_{Z,Y}}^{\leftarrow}(W)$より
$$
{q_{X,Z}}^{\rightarrow}(U_{\lambda}) \subset V$$
が成り立つので，
$$
q_{X,Z}|_{U_{\lambda}}^{V} = (q_{Z,Y}|_{V}^{W})^{-1} \circ q_{X,Y}|_{U_{\lambda}}^{W} \colon U_{\lambda} \to W \to V$$
は同相写像である．よって
$$
{q_{X,Z}}^{\leftarrow}(V) = \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda(z)} U_{\lambda},\ q_{X,Z}|_{U_{\lambda}}^{V} \colon U_{\lambda} \approx V$$
が成り立つ．
$q_{X,Z}(x) = q_{X,Z}(x')$とする．このとき
$$
q_{X,Y}(x) = q_{Z,Y}(q_{X,Z}(x)) = q_{Z,Y}(q_{X,Z}(x')) = q_{X,Y}(x')$$
より，$f \in \Aut(q_{X,Y})$であって$f(x) = x'$なるものが存在する．あとは$f \in \Aut(q_{X,Z})$を示せばよい．いま，
$$
q_{X,Z}(f(x)) = q_{X,Z}(x') = q_{X,Z}(x)$$
であり，
$$
q_{Z,Y} \circ (q_{X,Z} \circ f) = q_{X,Y} \circ f = q_{X,Y} = q_{Z,Y} \circ q_{X,Z}$$
であるから，$X$の連結性とulpより，
$$
q_{X,Z} \circ f = q_{X,Z},$$
すなわち$f \in \Aut(q_{X,Z})$が成り立つ．
$q \colon (X,x_{0}) \to (Y,y_{0})$を被覆写像とする．被覆写像の組$(q'\colon (X,x_{0}) \to (Z,z_{0}), q'' \colon (Z,z_{0})\to(Y,y_{0}))$であって$q = q''\circ q'$を満たすものを，$q$の基点つき中間被覆という．
$q = q'' \circ q'$なる被覆写像$q,q'q''$について，$\Aut(q') < \Aut(q)$が成り立つ．実際，$f \in \Aut(q')$とすると，
$$
q \circ f = q'' \circ (q' \circ f) = q'' \circ q' = q$$
より，$f \in \Aut(q)$が成り立つ．
$q \colon (X,x_{0}) \to (Y,y_{0})$を被覆写像とする．ふたつの基点つき中間被覆$(q'_{i}\colon (X,x_{0}) \to (Z_{i},z_{i}), q''_{i} \colon (Z_{i},z_{i})\to(Y,y_{0})),i\in\{1,2\},$に対して，同相写像$f \colon (Z_{1},z_{1}) \to (Z_{2},z_{2})$であって$q''_{2} \circ f = q''_{1}$を満たすものが存在するとき，$(q'_{1},q''_{1})$と$(q'_{2},q''_{2})$とは基点つき同型であるという．
$$
\xymatrix{
{(X,x_{0})} \ar@/_3.0pc/[dd]_{q} \ar[d]_{q'_{1}} \ar@{=}[r] & {(X,x_{0})} \ar[d]^{q'_{2}} \ar@/^3.0pc/[dd]^{q} \\
{(Z_{1},z_{1})} \ar@{.>}[r]^{f}_{\approx} \ar[d]_{q''_{1}}& {(Z_{2},z_{2})} \ar[d]^{q''_{2}}\\
{(Y,y_{0})} \ar@{=}[r] & {(Y,y_{0})}
}$$
上の状況で，
$$
f(q'_{1}(x_{0})) = f(z_{1}) = z_{2} = q'_{2}(x_{0}),$$
および
$$
q''_{2} \circ (f \circ q'_{1}) = q''_{1} \circ q'_{1} = q = q''_{2} \circ q'_{2}$$
が成り立つので，$X$の連結性とulpより，$f \circ q'_{1} = q'_{2}$が成り立つ．よって
$$
\Aut(q'_{1}) = \Aut(q'_{2})$$
が成り立つ．
$q \colon (X,x_{0}) \to (Y,y_{0})$がGalois被覆であるとき，任意の基点つき中間被覆$(q',q'')$は$\Aut(q)$の部分群$\Gamma:= \Aut(q')$による商空間からなる基点つき中間被覆と基点つき同型である：
$$
\xymatrix{
{(X,x_{0})} \ar@/_3.0pc/[dd]_{q} \ar[d]_{q_{\Gamma}} \ar@{=}[r] & {(X,x_{0})} \ar@/^3.0pc/[dd]^{q} \ar[d]^{q'}\\
{(X/\Gamma,q_{\Gamma}(x_{0}))} \ar@{.>}[r]^{\overline{q'}}_{\approx} \ar@{.>}[d]_{\bar{q}} & {(Z,z_{0})} \ar[d]^{q''}\\
{(Y,y_{0})} \ar@{=}[r] & {(Y,y_{0})}
}$$
（mor-covより$q' \colon X \to Z$はGalois被覆なので，誘導される写像$\overline{q'} \colon X/\Gamma \to Z$は同相写像であることに注意する．）
以上をまとめて次を得る：
$q_{G} \colon (X,x_{0}) \to (Y,y_{0})$をGalois被覆とする．このとき，$G:= \Aut(q_{G})$の部分群全体のなす集合から，$q_{G}$の基点つき中間被覆の基点つき同型類全体のなす集合への写像を
$$
\Gamma \mapsto [(X,x_{0}) \xrightarrow{q_{\Gamma}} (X/\Gamma,q_{\Gamma}(x_{0})) \xrightarrow{q_{G/\Gamma}:= \overline{q_{G}}} (Y,y_{0})]$$
で定めると，これは
$$
[(X,x_{0}) \xrightarrow{q'} (Z,z_{0}) \xrightarrow{q''} (Y,y_{0})] \mapsto \Aut(q')$$
を逆写像とする全単射である．さらに
$$
\Gamma \triangleleft G \iff q_{G/\Gamma}:\text{Galois}\ \leadsto\ \Aut(q_{G/\Gamma}) \cong G/\Gamma$$
が成り立つ．
$\Gamma' < \Gamma < G$のとき，ind-cov（またはmor-cov）より，誘導される写像$q_{\Gamma/\Gamma'} := \overline{q_{\Gamma}} \colon X/\Gamma' \to X/\Gamma$も被覆写像である：
$$
\xymatrix{
{X} \ar[d]_{q_{\Gamma'}} \ar@{=}[r] \ar@/_3.0pc/[dd]_{q_{G}} & {X} \ar[d]^{q_{\Gamma}} \ar@/^3.0pc/[dd]^{q_{G}}\\
{X/\Gamma'} \ar[d]_{q_{G/\Gamma'}} \ar@{.>}[r]^{\overline{q_{\Gamma}}} & {X/\Gamma} \ar[d]^{q_{G/\Gamma}} \\
{X/G} \ar@{=}[r] & {X/G}
}$$
ex-galoisより$q_{\Gamma} \colon X \to X/\Gamma$はGalois被覆なので，
$$
\Gamma' \triangleleft \Gamma \iff q_{\Gamma/\Gamma'}:\text{Galois}\ \leadsto\ \Aut(q_{\Gamma/\Gamma'}) \cong \Gamma/\Gamma'$$
が成り立つ．
$$ \xymatrix{ {G} \ar@{--}[rrddd] && {X} \ar@/^3.0pc/[ddd]^{q_{G}} \ar[d]^{q_{\Gamma'}} \\ {\Gamma} \ar@{--}[rrd] \ar[u]^{\text{incl.}} && {X/\Gamma'} \ar[d]^{q_{\Gamma/\Gamma'}}\\ {\Gamma'} \ar@{.}[rru] \ar[u]^{\text{incl.}} && {X/\Gamma} \ar[d]^{q_{G/\Gamma}}\\ {\{\id_{X}\}} \ar@{.}[rruuu] \ar[u]^{\text{incl.}} && {X/G} }$$
以下の対応がある（cf. discrete-subgroup，cov-action，torus，circle）：
$$
\xymatrix{
{\mathbb{Z}} \ar@{--}[rrddd]&& {\mathbb{R}} \ar[d] \ar@/^3.0pc/[ddd]^{\exp^{1}}\\
{n\mathbb{Z}} \ar[u] \ar@{--}[rrd] && {\mathbb{S}^{1}} \ar[d]\\
{nm\mathbb{Z}} \ar[u] \ar@{.}[rru] && {\mathbb{S}^{1}} \ar[d]^{p_{n}}\\
{\{0\}} \ar[u] \ar@{.}[rruuu] && {\mathbb{S}^{1}}
}$$
位相空間$X$が連結かつ局所弧状連結ならば，$X$は弧状連結である．
$x_{0} \in X$を取り
$$
X_{0} := \{x_{1} \in X \mid \exists\, \omega \colon [0,1] \to X:\text{conti.},\ \omega(i) = x_{i}\}$$
とおく．非空部分集合$X_{0} \subset X$が開かつ閉であることを示せばよい．
$x_{1} \in X_{0}$とし，連続写像$\omega \colon [0,1] \to X$であって$\omega(i)=x_{i}$なるものを取る．仮定より，弧状連結開近傍$U \in \tau(x_{1},X)$が存在する．このとき，任意の$x_{2} \in U$に対して，連続写像$\omega' \colon [0,1] \to X$であって$\omega'(i)=x_{i+1}$なるものが存在するので，連続写像$\omega''\colon [0,1] \to X$を
$$
\omega''(t):= \begin{cases}
\omega(2t) &, 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\
\omega'(2t-1) &, \frac{1}{2} \leq t \leq 1
\end{cases}
$$
で定めると，$\omega''(i)=x_{2i}$が成り立つ．よって$U \subset X_{0}$となるので，$X_{0} \subset X$は開集合である．
$x_{2} \in X\smallsetminus X_{0}$とし，$x_{2}$の弧状連結開近傍$U \in \tau(x_{2},X)$を取る．このとき，$U \subset X \smallsetminus X_{0}$が成り立つ．実際，$U \cap X_{0} \neq \varnothing$であったとすると，上の考察により$x_{2} \in X_{0}$が得られ不合理である．
以下，連結かつ局所弧状連結な位相空間のみ考える．
$p \colon \tilde{X} \to X$を被覆写像とする．任意の基点$x_{0} \in X, \tilde{x}_{0} \in p^{\leftarrow}(\{x_{0}\})$，および任意の被覆写像$q \colon (Z,z_{0}) \to (X,x_{0})$に対して，連続写像$f \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (Z,z_{0})$であって$q \circ f = p$を満たすものが存在するとき，$(p,\tilde{X})$を$X$上の普遍被覆（空間）という．
$$
\xymatrix{
{(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar@{.>}[r]^{f} \ar[d]_{p} & {(Z,z_{0})} \ar[d]^{q}\\
{(X,x_{0})} \ar@{=}[r] & {(X,x_{0})}
}$$
$X$を（連結かつ局所弧状連結な）位相空間とする．このとき次が成り立つ：
基点$x_{0} \in X, \tilde{x}_{0} \in p^{\leftarrow}(\{x_{0}\})$を取り，$q \colon (Z,z_{0}) \to (X,x_{0})$を被覆写像とする．
$\tilde{x} = \tilde{x}_{1} \in \tilde{X}$とし，連続写像$\tilde{\omega} \colon [0,1] \to \tilde{X}$であって$\tilde{\omega}(i)=\tilde{x}_{i}$なるものを取る．このとき，plpより，連続写像$p \circ \tilde{\omega} \colon ([0,1],0) \to (X,x_{0})$に対して，連続写像$\omega_{Z} \colon ([0,1],0) \to (Z,z_{0})$であって$q \circ \omega_{Z} = p \circ \tilde{\omega}$なるものがただ一つ存在する：
$$
\xymatrix{
& {(Z,z_{0})} \ar[d]^{q}\\
{([0,1],0)} \ar@{.>}[ur]^{\omega_{Z}} \ar[r]_{p \circ \tilde{\omega}} & {(X,x_{0})}
}$$
$\omega_{Z}(1) \in Z$が$\tilde{\omega}$の取り方によらないことが，次のようにしてわかる：
以上より，写像$f \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (Z,z_{0})$を
$$
f(\tilde{x}) := \omega_{Z}(1)$$
で定めることができる．定義より
$$
q(f(\tilde{x})) = q(\omega_{Z}(1)) = p(\tilde{\omega}(1)) = p(\tilde{x})$$
が成り立つので，あとは$f$の連続性を示せばよい．そこで$\tilde{x} \in \tilde{X}$とし$V \in \tau(f(\tilde{x}),Z)$とする．いま$p,q$は局所同相写像なので，$\tilde{x} \in \tilde{X}$の弧状連結開近傍$U \in \tau(\tilde{X})$と$p(\tilde{x})$の開近傍$W \in \tau(X)$，および$f(\tilde{x})$の開近傍$V' \in \tau(V)$であって
$$
p|_{U}^{W} \colon U \approx W,\ q|_{V'}^{W} \colon V' \approx W$$
を満たすものが存在する．このとき，任意の$\tilde{x}'\in U$に対して，連続写像$\tilde{\omega}' \colon ([0,1],0,1) \to (\tilde{X},\tilde{x},\tilde{x}')$を
$$
\tilde{\omega}(2t) = \tilde{\omega}'(t),\ (\tilde{\omega}')^{\rightarrow}([\tfrac{1}{2},1]) \subset U$$
なるように取ると，写像
$$
\omega_{Z}'\colon [0,1] \to Z;\ t \mapsto \begin{cases}
\omega_{Z}(2t) &, 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\
\id_{V'}^{Z} \circ (q|_{V'}^{W})^{-1} \circ (p|_{U}^{W})(\tilde{\omega}'(t)) &, \frac{1}{2} \leq t \leq 1
\end{cases}$$
は連続であって$q \circ \omega_{Z}' = p \circ \tilde{\omega}'$を満たすので，
$$
f(\tilde{x}') = \omega_{Z}'(1) \in V' \subset V$$
が成り立つ．
$p \colon \tilde{X} \to X$を普遍被覆とする．このとき，任意の$\tilde{x},\tilde{x}' \in \tilde{X}$に対して，普遍被覆の定義とulpより，
$$
p(\tilde{x}) = p(\tilde{x}') \implies \begin{cases}
\exists\, f \colon (\tilde{X},\tilde{x}) \to (\tilde{X},\tilde{x}')&,\ p \circ f = p\\
\exists\, g \colon (\tilde{X},\tilde{x}') \to (\tilde{X},\tilde{x})&,\ p \circ g = p
\end{cases}\ \leadsto\ g \circ f = \id_{\tilde{X}} = f \circ g$$
が成り立つ．
$\mathbb{R}^{n}$は単連結であったから，
$$
\exp^{n} \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{T}^{n};\ x \mapsto (e^{2\pi x_{1} \sqrt{-1}},\ldots,e^{2\pi x_{n} \sqrt{-1}})$$
は普遍被覆である（cf. R-1-connected，torus）．
連結かつ局所弧状連結な位相空間$X$が単連結な普遍被覆を持つためには，$X$が半局所単連結であること，すなわち任意の$x \in X$に対して，開近傍$V \in \tau(x,X)$であって
$$
\forall \varphi_{0} \colon (\mathbb{S}^{1},1) \to (V,x),\ \exists\, \varphi \colon \mathbb{D}^{2} \to X,\ \varphi|\mathbb{S}^{1} = \id_{V}^{X} \circ \varphi_{0}$$
を満たすものが存在することが必要かつ十分である．
$p \colon \tilde{X} \to X$を単連結普遍被覆とし，$x \in X$とする．開近傍$V \in \tau(x,X)$と$\tilde{X}$の開集合$U$であって
$$
p_{x}:= p|_{U}^{V} \colon U \approx V$$
なるものを取る．このとき，任意の連続写像$\varphi_{0} \colon (\mathbb{S}^{1},1) \to (V,x)$に対して，連続写像
$$
\tilde{\varphi}_{0} := \id_{U}^{\tilde{X}} \circ p_{x}^{-1} \circ \varphi_{0} \colon \mathbb{S}^{1} \to V \approx U \subset \tilde{X}$$
を考えると，$\tilde{X}$の単連結性より，連続写像$\tilde{\varphi} \colon \mathbb{D}^{2} \to \tilde{X}$であって$\tilde{\varphi}|\mathbb{S}^{1} = \tilde{\varphi}_{0}$を満たすものが存在する．そこで
$$
\varphi := p \circ \tilde{\varphi} \colon \mathbb{D}^{2} \to \tilde{X} \to X$$
とおくと，$\varphi|\mathbb{S}^{1} = \id_{V}^{X} \circ \varphi_{0}$が成り立つ．
実際に$p \colon \tilde{X} \to X$を構成すればよいが，長くなるので割愛する．たとえば，spanierTheorem 2.5.13，kwzm定理5.3.19，flag3定理4.9，などを参照せられたい．
以下，$X$の普遍被覆$p \colon \tilde{X} \to X$が存在すると仮定し，基点$x_{0} \in X, \tilde{x}_{0} \in p^{\leftarrow}(\{x_{0}\})$を固定する．
ふたつの被覆写像$q_{i} \colon Z_{i} \to X,i\in\{1,2\},$について，同相写像$f \colon Z_{1} \to Z_{2}$であって$q_{2} \circ f = q_{1}$を満たすものが存在するとき，$q_{1}$と$q_{2}$とは同型であるという．
$$
\xymatrix{
{Z_{1}} \ar[d]_{q_{1}} \ar@{.>}[r]^{f}_{\approx} & {Z_{2}} \ar[d]^{q_{2}}\\
{X} \ar@{=}[r] & {X}
}$$
任意の被覆写像$q \colon (Z,z_{0}) \to (X,x_{0})$に対して，被覆写像$q_{(Z,z_{0})} \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (Z,z_{0})$であって$q \circ q_{(Z,z_{0})} = p$を満たすものがただ一つ存在する：
$$
\xymatrix{
{(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar@{.>}[r]^{q_{(Z,z_{0})}} \ar[d]_{p} & {(Z,z_{0})} \ar[d]^{q}\\
{(X,x_{0})} \ar@{=}[r] & {(X,x_{0})}
}$$
とくに$(q_{(Z,z_{0})},q)$は$p \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (X,x_{0})$の基点つき中間被覆である．
$q_{i} \colon Z_{i} \to X,i\in\{1,2\},$を被覆写像とし，基点$z_{i} \in q_{i}^{\leftarrow}(\{x_{0}\})$を取る．このとき次は同値である：
仮定より，同相写像$f \colon Z_{1} \to Z_{2}$であって$q_{2} \circ f = q_{1}$なるものが存在する．このとき，$p \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{0}) \to (X,x_{0})$の基点つき中間被覆$(q_{(Z_{1},z_{1})},q_{1})$と$(q_{(Z_{2},f(z_{1}))},q_{2})$とは基点つき同型であるから，
$$
\Aut(q_{(Z_{1},z_{1})}) = \Aut(q_{(Z_{2},f(z_{1}))})$$
が成り立つ：
$$
\xymatrix{
{(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar[d]_{q_{(Z_{1},z_{1})}} \ar@{=}[r] & {(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar[d]^{q_{(Z_{2},f(z_{1}))}}\\
{(Z_{1},z_{1})} \ar[r]^{f}_{\approx} \ar[d]_{q_{1}} & {(Z_{2},f(z_{1}))} \ar[d]^{q_{2}}\\
{(X,x_{0})} \ar@{=}[r] & {(X,x_{0})}
}$$
一方，$\tilde{x}_{2} \in {q_{(Z_{2},f(z_{1}))}}^{\leftarrow}(z_{2})$を取ると，普遍被覆の定義より，同相写像$\tilde{g} \colon (\tilde{X},\tilde{x}_{2}) \to (\tilde{X},\tilde{x}_{0})$であって$p \circ \tilde{g} = p$を満たすものが存在することがわかる：
$$
\xymatrix{
{(\tilde{X},\tilde{x}_{0})} \ar[rd]^{q_{(Z_{2},z_{2})}} \ar[d]_{q_{(Z_{2},f(z_{1}))}} \ar@/_4.5pc/[dd]_{p} & {(\tilde{X},\tilde{x}_{2})} \ar[d]^{q_{(Z_{2},f(z_{1}))}} \ar@{.>}[l]_{\tilde{g}} \ar@/^4.5pc/[dd]^{p}\\
{(Z_{2},f(z_{1}))} \ar[d]_{q_{2}} & {(Z_{2},z_{2})} \ar[d]^{q_{2}}\\
{(X,x_{0})} \ar@{=}[r] & {(X,x_{0})}
}$$
このとき，$\tilde{g} \in \Aut(p)$であり，
$$
q_{(Z_{2},z_{2})} = q_{(Z_{2},f(z_{1}))} \circ \tilde{g}^{-1} = \tilde{g}^{*}q_{(Z_{2},f(z_{1}))}$$
であるから，
$$
\Aut(q_{(Z_{2},z_{2})}) = \Aut(\tilde{g}^{*}q_{(Z_{2},f(z_{1}))}) = \tilde{g}\, \Aut(q_{(Z_{2},f(z_{1}))})\, \tilde{g}^{-1} = \tilde{g}\, \Aut(q_{(Z_{1},z_{1})})\,\tilde{g}^{-1}$$
が成り立つ．
$\Gamma_{i} := \Aut(q_{(Z_{i},z_{i})})$とおく．仮定より，$\tilde{g} \in \Aut(p)$であって
$$
\Gamma_{2} = \tilde{g}\,\Gamma_{1}\,\tilde{g}^{-1}$$
を満たすものが存在する．いま，mor-covより，$q_{(Z_{i},z_{i})}$はGalois被覆であるから，同相写像$\tilde{g} \colon \tilde{X} \to \tilde{X}$が，同相写像
$$
g \colon \tilde{X}/\Gamma_{1} \to \tilde{X}/\Gamma_{2}$$
を誘導することを示せば十分である：
$$
\xymatrix{
& {\tilde{X}} \ar[d] \ar[dl]_{q_{(Z_{1},z_{1})}} \ar[r]^{\tilde{g}}_{\approx} & {\tilde{X}} \ar[d] \ar[dr]^{q_{(Z_{2},z_{2})}} &\\
{Z_{1}} \ar[dr]_{q_{1}} & {\tilde{X}/\Gamma_{1}} \ar[l]^{\approx} \ar[d] \ar@{.>}[r]^{g}_{\approx} & {\tilde{X}/\Gamma_{2}} \ar[r]_{\approx} \ar[d] & {Z_{2}} \ar[dl]^{q_{2}}\\
&{X} \ar@{=}[r] & {X} &
}$$
そこで，$\tilde{x},\tilde{x}' \in \tilde{X}$とし，$\tilde{f}_{1} \in \Gamma_{1}$であって$\tilde{f}_{1}(\tilde{x}) = \tilde{x}'$なるものが存在したとすると，$\tilde{f}_{2} \in \Gamma_{2}$であって$\tilde{f}_{2} = \tilde{g} \circ \tilde{f}_{1} \circ \tilde{g}^{-1}$なるものに対して，
$$
\tilde{f}_{2}(\tilde{g}(\tilde{x})) = \tilde{g}(\tilde{f}_{1}(\tilde{x})) = \tilde{g}(\tilde{x}')$$
が成り立つ．よって，連続写像$g \colon \tilde{X}/\Gamma_{1} \to \tilde{X}/\Gamma_{2}$が誘導される：
$$
\xymatrix{
{\tilde{X}} \ar[d]_{p_{\Gamma_{1}}} \ar[r]^{\tilde{g}} & {\tilde{X}} \ar[d]^{p_{\Gamma_{2}}}\\
{\tilde{X}/\Gamma_{1}} \ar@{.>}[r]_{g} & {\tilde{X}/\Gamma_{2}}
}$$
$\tilde{g}^{-1},\id_{\tilde{X}}$に対して同様の考察をすることで，$g$が同相写像であることがわかる．
位相空間$X$に対して，
$$
\{\varnothing,X\} \subset \tau(X) \cap \tau^{c}(X)$$
より，
$$
X \neq \varnothing \iff 2 \leq \#(\tau(X)\cap\tau^{c}(X))$$
が成り立つ．
$X$を位相空間とする．
非空位相空間$X$が弧状連結であるためには，任意の連続写像$\varphi_{0} \colon \mathbb{S}^{0} \to X$に対して，連続写像$\varphi \colon \mathbb{D}^{1} \to X$であって$\varphi|\mathbb{S}^{0} = \varphi_{0}$を満たすものが存在することが必要かつ十分である（cf. 1-cntd）．一般に，$n \in \mathbb{N}$としたとき，任意の$k \in [n]$と任意の連続写像$\varphi_{0} \colon \mathbb{S}^{k} \to X$に対して，連続写像$\varphi \colon \mathbb{D}^{k+1} \to X$であって$\varphi|\mathbb{S}^{k} = \varphi_{0}$を満たすものが存在するとき，$X\ (\,\neq \varnothing\,)$を$n$連結空間という．
$X$を位相空間とする．このとき次は同値である：
もし$X$が連結でないとすると，開閉集合$A \in \tau(X) \cap \tau^{c}(X) \smallsetminus \{\varnothing,X\}$が取れる．このとき，$A,X \smallsetminus A \subset X$は非空開集合であるから，全射連続写像$f \colon X \to \mathbb{2}$を
$$
f(x) := \begin{cases}
0 &, x \in A\\
1 &, x \in X\smallsetminus A
\end{cases}$$
で定めることができるが，これは不合理である．
位相空間$X$の部分集合$A,B \subset X$が$A \subset B \subset \cl(A)$を満たしているとき，
$$
A:\text{connected} \implies B:\text{connected}$$
が成り立つ．実際，
単位閉区間$[0,1]$は連結である．
$f \colon [0,1] \to \mathbb{2}$を連続写像とし，
$$
I_{0} := \{t\in [0,1] \mid \forall t' \in [0,t],\ f(t') = f(0)\}$$
とおく．このとき，$0 \in I_{0} \neq \varnothing$より，
$$
s:= \sup I_{0} \in [0,1]$$
が定まる．
以上より$[0,1] = I_{0}$が成り立つので，$f$は全射でない．
連結空間の連続像は連結である．
$X$を連結空間とし，$f \colon X \to Y$を全射連続写像とする．
$X$を位相空間とする．このとき，任意の連結部分集合族$(C_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$に対して，
$$
\bigcap_{\lambda\in\Lambda} C_{\lambda} \neq \varnothing \implies \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_{\lambda}:\text{connected}$$
が成り立つ．
明らかに$\bigcup_{\lambda} C_{\lambda} \neq \varnothing$である．また，
$$
f \colon \bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_{\lambda} \to \mathbb{2}$$
を連続写像とし，$x_{0} \in \bigcap_{\lambda} C_{\lambda}$を取ると，
$$
\forall \lambda\in\Lambda,\ C_{\lambda} \textcolor{orange}{=} (f|C_{\lambda})^{\leftarrow}(\{f(x_{0})\}) = f^{\leftarrow}(\{f(x_{0})\}) \cap C_{\lambda}$$
より，
$$
\bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_{\lambda} = f^{\leftarrow}(\{f(x_{0})\})$$
が成り立つので，$f$は全射でない．
閉円板$\mathbb{D}^{2}$は連結である．実際，各$z \in \mathbb{D}^{2}$に対して，
$$
C_{z} := \{tz \in \mathbb{D}^{2} \mid t \in [0,1]\}$$
は連結であり，
$$
0 \in \bigcap_{z \in \mathbb{D}^{2}} C_{z} \neq \varnothing$$
が成り立つので，cnctdより
$$
\mathbb{D}^{2} = \bigcup_{z \in \mathbb{D}^{2}} C_{z}$$
は連結である．
$X,Y$が連結ならば，$X \times Y$も連結である．実際，$(x_{0},y_{0}) \in X \times Y$を取ると，任意の$x \in X$に対して，
$$
X \times \{y_{0}\},\ \{x\} \times Y:\text{connected},\ (x,y_{0}) \in (X \times \{y_{0}\}) \cap (\{x\} \times Y)\neq \varnothing$$
より
$$
C_{x} := (X \times \{y_{0}\}) \cup (\{x\} \times Y)$$
は連結であり，
$$
(x_{0},y_{0}) \in \bigcap_{x\in X} C_{x} \neq \varnothing$$
が成り立つので，cnctdより
$$
X\times Y = \bigcup_{x\in X} C_{x}$$
は連結である．
弧状連結空間は連結である．
$X$を弧状連結空間とし，$x_{0} \in X$を取る．任意の$x = x_{1} \in X$に対して，連続写像$\omega_{x} \colon [0,1] \to X$であって$\omega(i)=x_{i}$なるものが存在する．そこで
$$
C_{x} := \omega_{x}^{\rightarrow}([0,1])$$
とおくと，これは連結であり
$$
x_{0} \in \bigcap_{x\in X} C_{x} \neq \varnothing$$
が成り立つ．よってcnctdより
$$
X = \bigcup_{x\in X} C_{x}$$
は連結である．