Skyrmionがフェルミオンである理由

SkyrmionはWess-Zumino-Witten項(WZW項)
\begin{align} \Gamma_{WZ}&=\frac{-iN_c}{240\pi^2} \int_{D_5^+}d^5 x \ \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta\gamma} {\rm tr}(L_\mu L_\nu L_\alpha L_\beta L_\gamma),\\ L_\mu &:=U^\dagger \partial_\mu U \end{align}
と深い関係をもちます。Skyrme模型・非線形シグマ模型に量子アノマリーの効果を取り入れるにはWZW項が必要です。QCDのアノマリーによるメソンの崩壊過程は、WZW項によりこれらの模型に取り入れられますMathlog1。またSkyrme模型のトポロジカル不変量がバリオン荷であることは、WZW項のゲージ化を通じて理解できますMathlog1。

ところでSkyrmionが核子であるというなら、それはフェルミオンであるはずです。ここでフェルミオンとは空間の$2\pi$回転に対して状態・波動関数に$e^{i\pi}=-1$の位相がつくオブジェクトのことです。しかしSkyrmionはボソンのソリトンです。有限個のボソンからフェルミオンを作ることは不可能なので、Skyrmionもフェルミオンになることはないように思えます。ところが本記事で示すように、Wess-Zumino-Witten項を通じてSkyrmionがフェルミオンであることがわかります。

以下の説明はRef.Zahed1986に則していますが、この議論はWittenの論文Witten1983Bに基づいています。Skyrme模型、WZW項の基礎に関してはMathlog記事Mathlog2Mathlog3Mathlog1をご参照ください。

$2\pi$回転に対するWess-Zumino-Witten項の位相への寄与

次の問題を考えます：

(a)は簡単で、Skyrmionの質量（エネルギー）を$M$とすると、この過程に対応する作用を$\Delta S$とすると位相は
\begin{align} \exp(i\Delta S) =\exp(-iMT) \end{align}
となります。

次に(b)の場合を考えます。ところが、通常のSkyrme模型の作用
\begin{align} iS=i\int d^4x\left[ -\frac{f_\pi^2}{4}{\rm tr}(L_\mu L^\mu)+\frac{1}{4}\epsilon^2{\rm tr}([L_\mu,L_\nu]^2)\right], \ \ \ L_\mu:=U^\dagger\partial_\mu U\tag{1} \end{align}
では、(a)と(b)の過程に関して区別がつきません。なぜならEq.(1)の時間微分を含む項は時間微分の2乗の項だからです。例えばEq.(1)の第１項の時間微分を含む項の時間積分は
\begin{align} -\frac{f_\pi^2}{4}i\int_0^T dt\ {\rm tr}(L_0 L^0) =\frac{f_\pi^2}{4}i\int_0^T dt\ {\rm tr}\left(\frac{\partial}{\partial t}U^\dagger \frac{\partial}{\partial t} U\right) \end{align}
です。ここでゆっくり回転することから$U=U(\epsilon t), \ \epsilon\ll 1$とします。$\tilde t=\epsilon t$と変数変換すれば
\begin{align} =\epsilon\int_0^{\epsilon T} d\tilde t\ {\rm tr}\left(\frac{\partial}{\partial \tilde t}U^\dagger \frac{\partial}{\partial \tilde t} U\right) \end{align}
となります。$T$を$\epsilon T$が一定になるように大きくとれば、この積分は$\epsilon\to 0$でゼロになります。

ところがWZW項は時間の微分をひとつだけ持ちます。上の議論からわかるように、時間微分が1つの項はその時間積分が$\epsilon\rightarrow 0$でも有限で残ります。つまり(a)に対する(b)の相対位相はWZW項のみからもたらされます。よって(b)の過程の位相は以下のように与えられます：
\begin{align} \exp(i\Delta S) = \exp\left(-iMT+\frac{-iN_c}{240\pi^2} \int_{D_5^+}d^5 x \ \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta\gamma} {\rm tr}(L_\mu L_\nu L_\alpha L_\beta L_\gamma)\right) \tag{2} \end{align}
ここで$D_5^+$は境界が空間$S^3$であるような5次元の領域です（ この記事 参照のこと）。

Eq.(2)のWZW項の寄与を計算したいのですが、そのためにはSkyrme解$U$を$D_5$上に拡張しなければなりません。その際以下が重要です:

1.よりSU(3)で考えます。$U_3({\boldsymbol x})$を
\begin{align} U_3({\boldsymbol x}) = \begin{pmatrix} U({\boldsymbol x}) & \\ & 1 \end{pmatrix} , \ \ \ U({\boldsymbol x})=\cos f(r) + i\vec\tau\cdot \vec{\hat n} \sin f(r) \ \ \ \ (\hat n^i&:=x^i/r, \ \ \ \tau^i\text{はPauli行列}) \end{align}
とします。これはSU(2)のSkyrme解をSU(3)の左上に埋め込んだものです。Skyrme解に関しては この記事 をご参照ください。
2.より、Skyrmionの空間回転をアイソスピンでの回転に焼き直します。$U_3({\boldsymbol x},t)$を
\begin{align} U_3({\boldsymbol x},t) &:=\begin{pmatrix} e^{it/2} & & \\ & e^{-it/2} & \\ & & 1 \end{pmatrix} U_3({\boldsymbol x}) \begin{pmatrix} e^{-it/2} & & \\ & e^{it/2} & \\ & & 1 \end{pmatrix} \end{align}
で定義します。これはアイソスピンの第3方向を軸とした回転であり、$z$軸まわりの回転と同等です。$U_3({\boldsymbol x},t)は$$t$が$0$から$2\pi$まで進むと1回転します(※脚注)。これを少し変形しておきます：
\begin{align} U_3({\boldsymbol x,t}) = \begin{pmatrix} 1 & & \\ & e^{-it} & \\ & & e^{it} \end{pmatrix} U_3({\boldsymbol x}) \begin{pmatrix} 1 & & \\ & e^{it} & \\ & & e^{-it} \end{pmatrix} \end{align}

次に$U$の5次元への拡張を考えます。5次元目の座標を$\rho$とすると、5次元へ拡張されたSkyrmion$\tilde U({\boldsymbol x},t, \rho)$は境界条件として
\begin{align} \tilde U({\boldsymbol x},t, \rho=1)=U({\boldsymbol x},t) \end{align}
を満たすようにすればよいです。改めて、${\boldsymbol x}, t,\rho$に依存する
\begin{align} \tilde U({\boldsymbol x},t,\rho)= A^\dagger(t,\rho)U_3({\boldsymbol x})A(t,\rho) \end{align}
を定義します。そして以下の$A(t,\rho)$を採用します：
\begin{align} A(t,\rho)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \rho e^{-it} & \sqrt{1-\rho^2}\\ 0 & -\sqrt{1-\rho^2} & \rho e^{it} \end{pmatrix} \end{align}
ここで$\rho$は$[0,1]$の範囲のパラメータとします。$\rho$が$1$のとき通常の回転となります。$D^5_+$は$S^3\times \text{disc}$であり、disc部分が$\rho, t$で構成されます。パラメータの範囲はそれぞれ$[0,1], [0,2\pi] $となっています。これは$\rho$を動径方向、$t$を角度方向とした2次元の極座標に対応します。
$S^3$及び時間と5次元目の座標から構成されるdisc

以上から
\begin{align} &\tilde U({\boldsymbol x},t,\rho)= A^\dagger(t,\rho)U_3({\boldsymbol x})A(t,\rho),\\ &U_3({\boldsymbol x}) = \begin{pmatrix} U({\boldsymbol x}) & \\ & 1 \end{pmatrix} , \ \ \ U({\boldsymbol x})=\cos f(r) + i\vec\tau\cdot \vec{\hat n} \sin f(r),\\ &A(t,\rho)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \rho e^{-it} & \sqrt{1-\rho^2}\\ 0 & -\sqrt{1-\rho^2} & \rho e^{it} \end{pmatrix} \end{align}
として、計算すべき量は
\begin{align} \Gamma_{WZ}(t=2\pi):=\frac{-iN_c}{240\pi^2} \int_0^1 d\rho \int_0^{2\pi} dt \int d^3x \ \epsilon^{\alpha\beta\gamma\mu\nu} {\rm tr}(\tilde L_\alpha\tilde L_\beta\tilde L_\gamma\tilde L_\mu\tilde L_\nu), \ \ \ \ \tilde L_\mu:=\tilde U^\dagger\partial_\mu \tilde U \tag{3} \end{align}
です。このとき状態につく位相は$\exp(i\Gamma_{WZ}(t=2\pi))$です。

具体的な計算

Eq.(3)の積分は以下のようになります：

カラー数と統計性の関係

ということで、断熱的な$2\pi$回転によりもたらされる(a)との相対位相は
\begin{align} \exp(i\Gamma_{WZ}(t=2\pi))=\exp(iN_c\pi B) \end{align}
となります。

核子は$B=1$であるので、$N_c$が奇数ならフェルミオン（$\exp(i\pi)=-1$の位相がつく）、偶数ならボソン（位相はつかない）になることがわかります。現実は$N_c=3$なのでSkyrmionはフェルミオンとなり、「Skyrmion=核子」の描像と整合的です。前の記事で、WZW項の係数が$N_c$であれば、Skyrme模型・非線形シグマ模型がQCDの低エネルギー有効理論として整合的になることを述べましたMathlog1。そして本記事の例でもまたその整合性が確認できます。

まとめ

本記事ではSkyrmionがフェルミオンであることを示しました。断熱的なSkyrmionの空間$2\pi$回転に関する位相はWess-Zumino-Witten項のみからもたらされます。その位相を計算すると、$N_c$が奇数ならSkyrmionはフェルミオン、偶数ならボソンとなることがわかります。このように、WZW項は非常に巧妙な形でSkyrmionにフェルミオンとしての性質をもたらします。

本記事ではflavorがSU(3)のSkyrmionに関して議論しました。SU(2)の場合はWZW項がゼロになるので本記事の議論を適用することはできません。これに関してはまた他の記事で書こうと思います。

おしまい。${}_\blacksquare$

(※脚注) $t=2\pi$で一周するのは、前の議論における$\epsilon T={\rm const.}$の定数を$2\pi$にした場合に対応します。このとき$\epsilon\to 0$で$T\to \infty$であり、十分ゆっくり回転していることになります。

Appendix

WZW項の被積分関数$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\mu\nu} {\rm tr}(\tilde L_\alpha\tilde L_\beta\tilde L_\gamma\tilde L_\mu\tilde L_\nu) $は$5\epsilon^{ij}\epsilon^{abc} {\rm tr}(\tilde L_i\tilde L_j\tilde L_a\tilde L_b\tilde L_c)$になることを示します（$i,j$: $\rho,t$のインデックス、$a,b,c$:$\boldsymbol x$のインデックス）。

まず$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\mu\nu}{\rm tr}(\cdots)$を$\epsilon^{ij}\epsilon^{abc}{\rm tr}(\cdots)$に書きなおします。このとき$\rm tr$部分は

• $\tilde L_i$と$\tilde L_j$が隣り合うものを$\rm tr$の中で巡回したもの
• $\tilde L_a$を1つはさんで$\tilde L_i$と$\tilde L_j$が隣り合うものを$\rm tr$の中で巡回したもの

の2つの場合に分けることができます。すなわち
\begin{align} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\mu\nu}{\rm tr}(\tilde L_\alpha\tilde L_\beta\tilde L_\gamma\tilde L_\mu\tilde L_\nu) &=\epsilon^{ij}\epsilon^{abc} \Big\{ {\rm tr}(\tilde L_i\tilde L_j\tilde L_a\tilde L_b\tilde L_c) +{\rm tr}(\tilde L_c \tilde L_i\tilde L_j\tilde L_a\tilde L_b) +\cdots +{\rm tr}(\tilde L_j \tilde L_a\tilde L_b\tilde L_c\tilde L_i)\\ &\hspace{1.5cm}-{\rm tr}(\tilde L_i\tilde L_a\tilde L_j\tilde L_b\tilde L_c) -{\rm tr}(\tilde L_c L_i\tilde L_a\tilde L_j\tilde L_b) -\cdots -{\rm tr}(\tilde L_a \tilde L_j\tilde L_b\tilde L_c\tilde L_i)\Big\}\\ &=5\epsilon^{ij}\epsilon^{abc} {\rm tr}(\tilde L_i\tilde L_j\tilde L_a\tilde L_b\tilde L_c) -5\epsilon^{ij}\epsilon^{abc}{\rm tr}(\tilde L_i \tilde L_a\tilde L_j\tilde L_b\tilde L_c) \end{align}
と書けます。ここで最後の行の第2項は（がんばって）計算するとゼロになります。

ゆえに
\begin{align} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\mu\nu}{\rm tr}(\tilde L_\alpha\tilde L_\beta\tilde L_\gamma\tilde L_\mu\tilde L_\nu)=5\epsilon^{ij}\epsilon^{abc} {\rm tr}(\tilde L_i\tilde L_j\tilde L_a\tilde L_b\tilde L_c) \end{align}
になります。${}_\blacksquare$