K^２のmomentの計算

定義

\begin{align} \beta_n:=\frac{\Gamma(n+\frac12)}{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)},\kappa(z):=\frac{1}{\pi}\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)(1-zt)}},K(x)=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}\sqrt{1-x^2t^2}},K'(x)=K(\sqrt{1-x^2}) \end{align}

momentは$\int x^{n}f(x)dx$で定義されるものです.

二項係数付きマクローリン級数の微分方程式の導出およびmomentの計算

この記事で紹介されている計算方法がかなり重要なものとなっています.
ある関数の微分方程式に,何らかの関数をかけて,部分積分などを通していくつかの関係式を得るというものです.

これについては二項係数付き級数以外にも,別記事で紹介した,
\begin{align} \int_0^{\infty}x^{s}Ai(x)^2dx,\int_{-\infty}^{\infty}Ai(x)e^{-sx}dx,\int_{-\infty}^{\infty}Ai(x)^2e^{-sx}dx \end{align}
も本質的な計算は同じものになっています.

この「何らかの関数」というものが上の式では,$x^{s},e^{-sx}$に当たります.
他にも,ルジャンドル多項式$P_n(x)$をかけた計算も考えられます.
それについては,

多重超幾何級数のFourier-Legendre展開

[1] 論文

でみられます.

今回はこのような手法を$\sum_{n\geq0}\beta_n^3x^n $に使っていくつかの式を得ることが目的です.

まず,clousenの公式等から,
\begin{align} \sum_{n\geq0}\beta_n^3x^n=\left(\sum_{n\geq0}\beta_n^2\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)^n\right)^2=\kappa\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)^2 \end{align}
がわかります.$\kappa(\frac{1-x}{2})$について次が知られています.
$f(x)=\kappa(\frac{1-x}{2}),\kappa(\frac{1+x}{2})$は次を満たす
\begin{align} (1)\ \ \frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\right]-\frac14f(x) =0 \end{align}
$f(x)=\kappa(\frac{1-x}{2})^2,\kappa(\frac{1-x}{2})\kappa(\frac{1+x}{2}),\kappa(\frac{1+x}{2})^2$は次を満たす.
\begin{align} (2)\ \ \frac{d}{dx}\left((1-x^2)\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\right]-(1-x^2)f(x)\right)-xf(x)=0 \end{align}
今回はこの式を用いて$\kappa(\frac{1-x}{2})^2$などのmomentを考えます.

微分方程式とmoment

(2)を満たす関数$f(x)$について
\begin{align} I_s:=\int_0^1x(1-x^2)^{s}f(x)dx=\frac{1}{2}\int_0^1x^{s}f(\sqrt{1-x})dx \end{align}
を考えます.(2)の微分方程式を用いて変形していきます.
\begin{eqnarray} I_s&=&\int_0^1(1-x^2)^{s}\times xf(x)dx\\ &=&\int_0^1(1-x^2)^s\frac{d}{dx}\left((1-x^2)\left(\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\right]-f(x)\right)\right)dx\\ &=&\left[(1-x^2)^{s+1}\left(\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\right]-f(x)\right)\right]_0^1+\int_0^12sx(1-x^2)^{s}\left(\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\right]-f(x)\right)dx\\ &=&A_1-2sI_s+2s\int_0^1x(1-x^2)^s\frac{d}{dx}\left[(1-x^2) \frac{d}{dx}f(x)\right]dx\\ &=&A_1-2sI_s+2s\left(\left[x(1-x^2)^{s}\times (1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\right]_0^1-\int_0^1\left((1-x^2)^{s+1}-2sx^2(1-x^2)^{s}\right)\frac{df(x)}{dx}dx\right)\\ &=&A_1+2sA_2-2sI_s-2s\int_0^1((1-x^2)^{s+1}-2s(1-(1-x^2))(1-x^2)^s)\frac{df(x)}{dx}dx\\ &=&A_1+2sA_2-2sI_s-2s\int_0^1((2s+1)(1-x^2)^{s+1}-2s(1-x^2)^s)\frac{df(x)}{dx}dx\\ &=&A_1+2sA_2-2sI_s-2s\left(\left[((2s+1)(1-x^2)^{s+1}-2s(1-x^2)^{s})f(x)\right]_0^1+\int_0^1x((2s+1)(2s+2)(1-x^2)^s-4s(1-x^2)^{s-1})f(x)dx\right)\\ &=&A_1+2sA_2-2s\left[((2s+1)(1-x^2)^{s+1}-2s(1-x^2)^s)f(x)\right]_0^1+(2s)^3I_{s-1}-2s((2s+1)(2s+2)+1)I_s \end{eqnarray}
よって,
\begin{align} (2s+1)^3I_s-(2s)^3I_{s-1}=A_1+2sA_2-2sA_3 \end{align}
\begin{align} \begin{cases} A_1:=\left[(1-x^2)^{s+1}\left(\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\right]-f(x)\right)\right]_0^1\\ A_2:=\left[x(1-x^2)^{s+1}\frac{d}{dx}f(x)\right]_0^1\\ A_3:=\left[((2s+1)(1-x^2)^{s+1}-2s(1-x^2)^s)f(x)\right]_0^1 \end{cases} \end{align}
となります.$s\gt0$で,
\begin{align} A_1=f(0)-f''(0),A_2=0,A_3=-f(0) \end{align}
なので,
\begin{align} (2s+1)^3I_s-(2s)^3I_{s-1}=(2s+1)f(0)-f''(0) \end{align}
がわかりました.今回$f(x)$は前述した微分方程式を満たす条件以外用いていないので,
\begin{align} \int_0^1x^{s}\kappa\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)^2dx,\int_0^1x^{s}\kappa\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)\kappa\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{2}\right)dx,\int_0^1x^s\kappa\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{2}\right)^2dx \end{align}
がすべて同じ漸化式を満たすことがわかります.
次に$f(0),f''(0)$について考えてみましょう.
\begin{align} f(0)=\kappa\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{\pi}{\Gamma(\frac34)^4} \end{align}です.
\begin{eqnarray} \left[\frac{d^2}{dx^2}\kappa\left(\frac{1-x}{2}\right)^2\right]_{x=0}&=&\left[\frac{d^2}{dx^2}\kappa\left(\frac{1+x}{2}\right)^2\right]_{x=0}=\left[2\left(\frac{d}{dx}\kappa\left(\frac{1-x}{2}\right)\right)^2+2\kappa\left(\frac12\right)\frac{d^2}{dx^2}\kappa\left(\frac{1-x}{2}\right)\right]_{x=0}\\ &=&2\left(\sum_{n\geq0}\frac{n\beta_n^2}{2^n}\right)^2+2\kappa\left(\frac12\right)\sum_{n\geq0}\frac{n(n-1)\beta_n^2}{2^n} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left[\frac{d^2}{dx^2}\kappa\left(\frac{1-x}{2}\right)\kappa\left(\frac{1+x}{2}\right)\right]_{x=0}=-2\left(\sum_{n\geq0}\frac{n\beta_n^2}{2^n}\right)^2+2\kappa\left(\frac12\right)\sum_{n\geq0}\frac{n(n-1)\beta_n^2}{2^n} \end{eqnarray}
です.
\begin{align} \frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx}\kappa\left(\frac{1-x}{2}\right)-\frac{1}{4}\kappa\left(\frac{1-x}{2}\right)=0 \end{align}
より,
\begin{align} \sum_{n\geq0}\frac{n(n-1)\beta_n^2}{2^n}=\frac{1}{4}\kappa\left(\frac12\right) \end{align}
です.
\begin{eqnarray} \sum_{n\geq0}\frac{n\beta_n^2}{2^n}&=&\left[\frac{1}{\pi}\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\frac{d}{dx}\frac{1}{\sqrt{1-xt^2}}\right]_{x=\frac12}\\ &=&\frac{1}{\pi}\int_0^1\frac{t^2}{2\sqrt{1-t^2}}\frac{dt}{(1-\frac12t^2)^{3/2}}=\frac{\sqrt2}{\pi}\int_0^1\frac{\sqrt{1-x^2}}{(1+x^2)^{3/2}}dx\\ &=&\frac{1}{2\sqrt{2}}\ _2F_1\left[\begin{matrix} \frac32,\frac12\\2 \end{matrix};-1 \right]\\ &=&\frac{\Gamma(\frac34)^2}{\pi^{3/2}} \end{eqnarray}
です.(途中Kummerの定理を用いた)
以上から,次を得ます.

あとは初期値がわかれば漸化式を解くことができます.

積分とmoment

ここから書くことは, moment変換/moment逆変換 に述べられている式を参考にしています.

積分表示を利用することによりいくつかのmomentを求めることができます.
\begin{eqnarray} \int_0^1x^{s-1}\left(\kappa\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{2}\right)-\kappa\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)\right)dx &=&\int_0^1(1-x)^{s-1}\left(\kappa\left(\frac{1+\sqrt{x}}{2}\right)-\kappa\left(\frac{1-\sqrt{x}}{2}\right)\right)dx\\ &=&\frac{1}{\pi}\int_0^1(1-x)^{s-1}\int_0^1\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1+\sqrt{x}}{2}t}}-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1-\sqrt{x}}{2}t}}\right)\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}dx\\ &=&\frac{1}{\pi}\int_0^1(1-x)^{s-1}\int_0^1\frac{\sqrt2}{\sqrt{2-t}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{t}{2-t}\sqrt{x}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{t}{2-t}\sqrt{x}}}\right)\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}dx\\ &=&\frac{\sqrt2}{\pi}\sum_{n\geq0}\frac{(\frac12)_n}{n!}(1-(-1)^n)\int_0^1(1-x)^{s-1}x^{n/2}dx\int_0^1\frac{t^{n-1/2}}{(2-t)^{n+1/2}}\frac{dt}{\sqrt{1-t}}\\ &=&\frac{2}{\pi}\sum_{n\geq0}\frac{\Gamma(n+\frac34)\Gamma(n+\frac54)}{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)\Gamma(n+\frac32)}\frac{\Gamma(s)\Gamma(n+\frac32)}{\Gamma(n+s+\frac32)}\int_0^1\frac{t^{2n+1/2}}{(2-t)^{2n+3/2}}\frac{dt}{\sqrt{1-t}}\\ &=&\frac{1}{\pi}\sum_{n\geq0}\frac{\Gamma(n+\frac34)\Gamma(n+\frac54)}{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)\Gamma(n+\frac32)}\frac{\Gamma(s)\Gamma(n+\frac32)}{\Gamma(n+s+\frac{3}{2})}\frac{\Gamma(n+\frac34)\Gamma(\frac12)}{\Gamma(n+\frac54)}\\ &=&\frac{\Gamma(\frac34)^2}{\pi}\frac{\Gamma(s)}{\Gamma(s+\frac32)}\ _2F_1\left[\begin{matrix} \frac34,\frac34\\s+\frac32 \end{matrix};1 \right]\\ &=&\frac{\Gamma(\frac34)^2}{\pi}\frac{\Gamma(s)^2}{\Gamma(s+\frac{3}{4})^2} \end{eqnarray}

これは[1]で証明されているものです.
これにより,
\begin{align} \kappa\left(\frac{1}{x}\pm0i\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}(\kappa(x)\pm i\kappa(1-x)) \end{align}
から,次がわかります.

一つ目を使うことで次のように計算できます.
\begin{eqnarray} \int_0^1x^{s-1}\left(\kappa\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{2}\right)^2-\kappa\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)^2\right)dx&=&\frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{\kappa(1-t)}{\sqrt{t}}\int_0^t\frac{x^{s-1}}{\sqrt{t-x}}dtdx\\ &=&\frac{2}{\pi}\int_0^1x^{s-1}\kappa(1-x)dx\int_0^1\frac{t^{s-1}}{\sqrt{1-t}}dt\\ &=&\frac{2}{\pi^2}\frac{\Gamma(s)^3\Gamma(\frac12)^3}{\Gamma(s+\frac12)^3} \end{eqnarray}

初期値の計算

\begin{align} (2s+1)^3I(s)-(2s)^3I(s-1)=h(s) \end{align}
の漸化式は,特に$s=n,n+\frac12$で次のように$\beta_n$を含む形で解を得られます.
\begin{align} (2n+2)^3\beta_{n+1}^3I(n)-(2n)^3\beta_n^3I(n-1)=\beta_n^3h(n)\\ \Leftrightarrow I(n)=\frac{1}{(2n+1)^3\beta_n^3}\left(I(0)+\sum_{k=1}^{n}\beta_k^3h(k)\right) \end{align}
\begin{align} \frac{I(n+\frac12)}{\beta_{n+1}^3}-\frac{I(n-\frac12)}{\beta_n^3}=\frac{h(n+\frac12)}{(2n+1)^3\beta_n^3}\\ \Leftrightarrow I\left(n-\frac12\right)=\beta_n^3\left(I\left(-\frac12\right)+\sum_{k=1}^{n}\frac{h(k-\frac12)}{(2k)^3\beta_k^3}\right) \end{align}
$I(0)$に関しては$\lim_{n\to0}n^3I(n-1)=0$であれば,
\begin{align} I(n)=\frac{1}{(2n+1)^3\beta_n^3}\sum_{k=0}^{n}\beta_k^3h(k) \end{align}
とできます.
\begin{eqnarray} \lim_{n\to0}n^3I_1(n-1)&=&\lim_{n\to0}n^3\int_0^1x^{n-1}\kappa\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)^2dx\\ &=&\lim_{n\to0}n^3\sum_{m\geq0}\frac{\beta_m^3}{n+m}=0 \end{eqnarray}
なので
\begin{align} \int_0^1x^{n-1}\kappa\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)^2dx=\frac{1}{8n^3\beta_n^3}\sum_{k=0}^n\left(\left(4k+1\right)\beta_k^3\frac{\pi}{\Gamma(\frac{3}{4})^4}-\frac{4\Gamma(\frac34)^4}{\pi^3}\beta_k^3\right) \end{align}
がわかりました.

他の$I(-\frac{1}{2})$もいい感じに計算することで次がわかります.

余談

今回用いた微分方程式から,次がわかります.

\begin{align} \int_0^1\frac{\kappa(x)\kappa(1-x)}{1-xt}dx=\pi\kappa(t)^2 \end{align}
なので,$J_2(n)=\pi\sum_{k=0}^{n}\beta_k^2\beta_{n-k}^2$ですが,他の場合はどうなるのでしょうか.

途中に紹介した,
\begin{align} \kappa\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{2}\right)\kappa\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}{2}\right)=\frac{1}{\pi}\int_0^x\frac{\kappa(1-t)}{\sqrt{t(x-t)}}dt \end{align}
から,NKSさんの 非整数階積分と随伴作用素 等に書かれていることを使えば,
\begin{align} \kappa(x)\kappa(1-x)=\frac{\pi}{2}\sum_{n\geq0}(4n+1)\beta_n^4P_{2n}(2x-1) \end{align}
がわかります.