Apéry数の母関数

前の記事 でRogersによる母関数の等式
\begin{align} \frac 1{1+u}\sum_{0\leq n}\binom{2n}n\left(\frac{u}{9(1+u)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k&=\F32{\frac 12,\frac 14,\frac 34}{1,1}{\frac{256u}{9(1+3u)^4}} \end{align}
について扱った. それは
\begin{align} 3^n\F43{\frac{n+1}3,\frac{n+2}3,\frac{n+3}3,-n}{1,1,1}{1}&=\sum_{k=0}^n\frac{(-n,n+1)_k}{9^kk!^2}\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k \end{align}
と表される等式と同値であるが, これを超幾何級数の観点から直接示すのは容易ではなさそうである. 今回は別のアプローチを用いて母関数
\begin{align} \sum_{0\leq n}\binom{2n}nu^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k \end{align}
を超幾何関数で表すとともに, Apéry数
\begin{align} \sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2 \end{align}
の母関数を超幾何関数で表したいと思う.

導出

前の記事 の系3において$b=\frac 12$として得られるAlmkvistの恒等式
\begin{align} \sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k&=\sum_{k=0}^n\binom{n}k^2\binom{3k}{2n} \end{align}
を用いると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\binom{2n}nx^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{0\leq k}\frac{(3k)!}{k!^2}\frac{1}{(n-k)!^2(3k-2n)!}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(3k)!}{k!^2}\sum_{0\leq n}\frac{1}{(n-k)!^2(3k-2n)!}x^n\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(3k)!}{k!^2}x^k\sum_{0\leq n}\frac{1}{n!^2(k-2n)!}x^n\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(3k)!}{k!^3}x^k\F21{-\frac k2,\frac{1-k}2}{1}{4x} \end{align}
を得る. ここで, 二次変換公式
\begin{align} \F21{\frac a2,\frac{a+1}2}{1+a-b}{\frac{4t}{(1+t)^2}}&=(1+t)^a\F21{a,b}{1+a-b}{t} \end{align}
より
\begin{align} \F21{-\frac k2,\frac{1-k}2}{1}{\frac{4t}{(1+t)^2}}&=(1+t)^{-k}\F21{-k,-k}1{t} \end{align}
となるから, $\displaystyle x=\frac{t}{(1+t)^2}$とすると,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\binom{2n}n\left(\frac{t}{(1+t)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k&=\sum_{0\leq k}\frac{(3k)!}{k!^3}\left(\frac{t}{(1+t)^3}\right)^k\F21{-k,-k}{1}{t} \end{align}
を得る. ここで, Pfaffの変換公式
\begin{align} \F21{a,b}{c}{t}&=(1-t)^{-a}\F21{a,c-b}{c}{\frac{t}{t-1}} \end{align}
を用いると,
\begin{align} \F21{-k,-k}{1}{t}&=(1-t)^k\F21{-k,k+1}{1}{\frac{t}{t-1}} \end{align}
となるから,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\binom{2n}n\left(\frac{t}{(1+t)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k&=\sum_{0\leq k}\frac{(3k)!}{k!^3}\left(\frac{t(1-t)}{(1+t)^3}\right)^k\F21{-k,k+1}{1}{\frac{t}{t-1}} \end{align}
を得る. ここで, BrafmanによるLegendre多項式の母関数
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c,1-c)_n}{n!^2}P_n(x)t^n&=\F21{c,1-c}{1}{\frac{1-t-\sqrt{1-2xt+t^2}}2}\F21{c,1-c}{1}{\frac{1+t-\sqrt{1-2xt+t^2}}2} \end{align}
において, $c=\frac 13$としたものは
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(3n)!}{n!^3}\left(\frac t{27}\right)^n\F21{-n,n+1}{1}{x}\\ &=\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{1-t-\sqrt{(1-t)^2+4xt}}2}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{1+t-\sqrt{(1-t)^2+4xt}}2} \end{align}
と書き換えられる. ここで,
\begin{align} t\mapsto \frac{27t(1-t)}{(1+t)^3},\quad x\mapsto\frac{t}{t-1} \end{align}
とすると, 以下を得る.

これは$\displaystyle u=\frac{t}{(1+t)^2}$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\binom{2n}nu^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\\ &=\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{1-27u\sqrt{1-4u}-(1-9u)\sqrt{1-36u}}2}\\ &\qquad\cdot\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{\frac{1+27u\sqrt{1-4u}-(1-9u)\sqrt{1-36u}}2} \end{align}
と表すことができる. ここから上手く超幾何関数の変換公式を適用することによって 前の記事 の定理2を導くことができるかどうかは気になるところである.

Apéry数の母関数

定理1の左辺は 前の記事 と全く同様に
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\binom{2n}n\left(\frac{t}{(1+t)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\\ &=(1+t)\sum_{0\leq n}(-t)^n\sum_{k=0}^n\frac{(-n,n+1)_k}{k!^2}\sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{2j}j \end{align}
と展開できる. ここで, 係数はVandermondeの恒等式より
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{(-n,n+1)_k}{k!^2}\sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{2j}j\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{2j}j\frac{1}{j!^2}\sum_{k=j}^n\frac{(-n,n+1)_k}{(k-j)!^2}\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{2j}j\frac{(-n,n+1)_j}{j!^2}\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(j-n,n+j+1)_k}{k!^2}\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{2j}j\frac{(-n,n+1)_j}{j!^2}\frac{(-n-j)_{n-j}}{(1)_{n-j}}\\ &=(-1)^n\sum_{j=0}^n\binom nj^2\binom{n+j}j^2 \end{align}
となってApéry数に一致するから, 定理1は以下のように書き換えられる.