文献あり

超微分における接線，高次導関数

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この記事は， 7777777 氏によるタグ超微分に関連しています．
前に書いた「超微分可能なら連続」と超微分における接線の考察の記事が7777777氏の記事【超微分の記事まとめ】で載せてくださっているため，「読者に任せる」と書いて丸投げした節，『超微分について思ふこと』を真面目に書いていく．
超微分の定義，定理等は7777777氏の記事【超微分の定義と定理】や【超微分の記事まとめ】を参照してください．
追記：定義2における必要な仮定を追加

接線のような

$R_{> 0} := (0, \infty)$ とする．関数 $f : R_{> 0} \supset (α, β) \to R$ は $(α, β)$ 上で $f > 0$ かつ微分可能とする．ラグ / Lagu 氏の記事【超微分で微分っぽいことをする】から $(α, β)$ 上超微分可能であることに注意する．
ここで関数 $F : (\log (α), \log (β)) \to R$ を $F (x) := \log (f (e^{x}))$ で定義する． $F$ は $(\log (α), \log (β))$ 上微分可能である．

任意の $a \in (α, β)$ に対し $F$ の $\log (a)$ における微分係数 $F^{'} (\log (a))$ と， $f$ の $a$ における超微分係数 $f^{‘} (a)$ は一致する．

証明は7777777氏の記事【超微分の定義と定理】の定理2から明らかである．
導出のIdeaは4を参照して欲しい．
超微分における接線を定義しよう．

Idea

4と3も同時に参照してもらいたい．変換 $E : (x, y) \in R \times R \to (e^{x}, e^{y}) \in R_{> 0} \times R_{> 0}$ は全単射である．
$f$ のグラフ $Γ (f) := {(x, y) \in R_{> 0} \times R_{> 0} | y = f (x)}$ と $F$ のグラフ $Γ (F)$ の間には $Γ (F) = E^{- 1} (Γ (f))$ という関係がある．このことから， $a \in (α, β)$ に対し $F$ の $\log (a)$ における接線 $l$ の像 $E (l)$ が超微分における接線といえそうだ．このことを定式化しよう．

記号は上記のものとする．曲線 $E (l)$ は
$y = {(\frac{x}{a})}^{f^{‘} (a)} f (a)$
とかけ，点 $a$ で $f$ に接する．

このことははラグ / Lagu氏の記事3の定義1，「接冪」と同じである(!)．ゆえに微分における接線の超微分バージョンをこれで定義してよいだろう．

3接冪

$f$ が $a > 0$ で超微分可能であるとき，以下の関数を $f$ の $a$ における接冪と呼ぶ．
$y = f (a) {(\frac{x}{a})}^{f^{‘} (a)}$

高次導関数のような

$C^{1}$ 級， $C^{n}$ 級， $C^{\infty}$ 級のようなものを超微分の場合で，定義してみる．
$I \subset R_{> 0}$ は開区間とする．

関数 $f : I \to R$ は $I$ 上で $f > 0$ かつ超微分可能とする． $f^{‘}$ が $I$ 上連続なとき， $f$ は $I$ 上 $P^{1}$ 級という．
さらに $f^{‘}$ が $I$ 上超微分可能かつ $f^{‘} > 0$ ならその超導関数 $(f^{‘})^{‘}$ が定まる．これを $\frac{q^{2} f}{q x^{2}}$ と書き，2次超導関数と呼ぶ． $\frac{q^{2} f}{q x^{2}}$ が $I$ 上連続なとき， $f$ は $I$ 上 $P^{2}$ 級であるという．
同様に繰り返して， $f$ が $n$ 回超微分可能のとき， $n$ 次超導関数が定義できる．これを $\frac{q^{n} f}{q x^{n}}$ と書き，それが $I$ 上連続ならば， $f$ は $I$ 上 $P^{n}$ 級という．
$f$ が $I$ 上何回でも超微分可能なとき， $f$ は $I$ 上 $P^{\infty}$ 級という．

${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{‘} = f^{‘} (x) - g^{‘} (x)$
$f$ が2回超微分可能なとき， $f$ は2回微分可能で，
$\frac{q^{2} f}{q x^{2}} = 1 + \frac{x f^{″} (x)}{f^{'} (x)} - \frac{x f^{'} (x)}{f (x)}$

(2)は厳密には $f$ にもう少し条件が必要なことに注意する．また，(2)の一般化は和の超微分が含まれるため表すことはできないだろう．→(2)の一般化は「超導関数の変換公式」を使えば可能であるが，複雑なため読者に任せる．

あとがき

超微分における高次導関数を導入したので超微分におけるテイラーの定理を考えたいところだが少し難点がある．
超微分における平均値の定理，超・Lagrangeの平均値の定理はラグ / Lagu氏によって定式化されている．しかし，通常のテイラーの定理のようにそのまま $n$ 次に拡張しようとすると定理1，定理2のideaに反してしまう．
なので超微分におけるテイラーの定理は少し工夫する必要がある．例えば通常のテイラーの定理を $E$ で変換するというもの．しかし， $n = 1$ のときに超・Lagrangeの平均値になるとは言えないだろう．
$Γ (F) = E^{- 1} (Γ (f))$ という関係や，定理1から通常の微分と同様に話を進める可能性はあるので，解決策は必ずあるだろう．