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超微分における接線，高次導関数

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この記事は， 7777777 氏によるタグ超微分に関連しています．
前に書いた「超微分可能なら連続」と超微分における接線の考察の記事が7777777氏の記事【超微分の記事まとめ】で載せてくださっているため，「読者に任せる」と書いて丸投げした節，『超微分について思ふこと』を真面目に書いていく．
超微分の定義，定理等は7777777氏の記事【超微分の定義と定理】や【超微分の記事まとめ】を参照してください．
追記：定義2における必要な仮定を追加

接線のような

$\mathbb{R}_{>0}:=(0,\infty)$とする．関数$ f:\mathbb{R}_{>0} \supset(\alpha, \beta ) \rightarrow \mathbb{R}$は$(\alpha, \beta ) $上で$f>0$かつ微分可能とする．ラグ / Lagu 氏の記事【超微分で微分っぽいことをする】から$(\alpha, \beta ) $上超微分可能であることに注意する．
ここで関数$F:(\log(\alpha), \log(\beta) )\rightarrow \mathbb{R}$を$F(x):=\log(f(e^x))$で定義する．$F$は$(\log(\alpha), \log(\beta) )$上微分可能である．

任意の$a\in (\alpha, \beta)$に対し$F$の$\log(a)$における微分係数$F'(\log(a))$と，$f$の$a$における超微分係数$f^`(a)$は一致する．

証明は7777777氏の記事【超微分の定義と定理】の定理2から明らかである．
導出のIdeaは4を参照して欲しい．
超微分における接線を定義しよう．

Idea

4と3も同時に参照してもらいたい．変換$E:(x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow(e^x,e^y)\in\mathbb{R}_{>0}\times\mathbb{R}_{>0}$は全単射である．
$f$のグラフ$\Gamma(f):=\{(x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}|y=f(x)\}$と$F$のグラフ$\Gamma(F)$の間には$\Gamma(F)=E^{-1}(\Gamma(f))$という関係がある．このことから，$a\in (\alpha, \beta)$に対し$F$の$\log(a)$における接線$l$の像$E(l)$が超微分における接線といえそうだ．このことを定式化しよう．

記号は上記のものとする．曲線$E(l)$は
$y= \left( \frac{x}{a} \right) ^{f^`(a)}f(a)$
とかけ，点$a$で$f$に接する．

このことははラグ / Lagu氏の記事3の定義1，「接冪」と同じである(!)．ゆえに微分における接線の超微分バージョンをこれで定義してよいだろう．

3接冪

$f$が$ a>0$ で超微分可能であるとき，以下の関数を$ f$ の$a$における接冪と呼ぶ．
$y= f(a) \left( \frac{x}{a} \right) ^{f^`(a)}$

高次導関数のような

$C^1$級，$C^n$級，$C^\infty$級のようなものを超微分の場合で，定義してみる．
$I\subset \mathbb{R}_{>0}$は開区間とする．

関数$ f:I \rightarrow \mathbb{R}$は$I $上で$f>0$かつ超微分可能とする．$f^`$が$I$上連続なとき，$f$は$I$上$ \mathscr{P}^1 $級という．
さらに$f^`$が$I$上超微分可能かつ$f^`>0$ならその超導関数$(f^`)^`$が定まる．これを$ \frac{\mathrm{q}^2f}{\mathrm{q}x^2} $と書き，2次超導関数と呼ぶ．$\frac{\mathrm{q}^2f}{\mathrm{q}x^2} $が$I$上連続なとき，$f$は$I$上$ \mathscr{P}^2 $級であるという．
同様に繰り返して，$f$が$n$回超微分可能のとき，$n$次超導関数が定義できる．これを$ \frac{\mathrm{q}^nf}{\mathrm{q}x^n} $と書き，それが$I$上連続ならば，$f$は$I$上$ \mathscr{P}^n $級という．
$f$が$I$上何回でも超微分可能なとき，$f$は$I$上$ \mathscr{P}^\infty $級という．

$$ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)^`=f^`(x)-g^`(x) $$
$f$が2回超微分可能なとき， $f$は2回微分可能で，
$$ \frac{\mathrm{q}^2f}{\mathrm{q}x^2}=1+ \frac{xf''(x)}{f'(x)}-\frac{xf'(x)}{f(x)} $$

(2)は厳密には$f$にもう少し条件が必要なことに注意する．また，(2)の一般化は和の超微分が含まれるため表すことはできないだろう．→(2)の一般化は「超導関数の変換公式」を使えば可能であるが，複雑なため読者に任せる．

あとがき

超微分における高次導関数を導入したので超微分におけるテイラーの定理を考えたいところだが少し難点がある．
超微分における平均値の定理，超・Lagrangeの平均値の定理はラグ / Lagu氏によって定式化されている．しかし，通常のテイラーの定理のようにそのまま$n$次に拡張しようとすると定理1，定理2のideaに反してしまう．
なので超微分におけるテイラーの定理は少し工夫する必要がある．例えば通常のテイラーの定理を$E$で変換するというもの．しかし，$n=1$のときに超・Lagrangeの平均値になるとは言えないだろう．
$\Gamma(F)=E^{-1}(\Gamma(f))$という関係や，定理1から通常の微分と同様に話を進める可能性はあるので，解決策は必ずあるだろう．