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現代数学解説
文献あり

超微分における接線,高次導関数

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$$\newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{ilim}[1]{\displaystyle \lim_{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}} $$

この記事は, 7777777 氏によるタグ 超微分 に関連しています.
前に書いた 「超微分可能なら連続」と超微分における接線の考察 の記事が7777777氏の記事【 超微分の記事まとめ 】で載せてくださっているため,「読者に任せる」と書いて丸投げした節,『超微分について思ふこと』を真面目に書いていく.
超微分の定義,定理等は7777777氏の記事【 超微分の定義と定理 】や【 超微分の記事まとめ 】を参照してください.
追記:定義2における必要な仮定を追加

接線のような

$\mathbb{R}_{>0}:=(0,\infty)$とする.関数$ f:\mathbb{R}_{>0} \supset(\alpha, \beta ) \rightarrow \mathbb{R}$$(\alpha, \beta ) $上で$f>0$かつ微分可能とする. ラグ / Lagu 氏の記事【 超微分で微分っぽいことをする 】から$(\alpha, \beta ) $上超微分可能であることに注意する.
ここで関数$F:(\log(\alpha), \log(\beta) )\rightarrow \mathbb{R}$$F(x):=\log(f(e^x))$で定義する.$F$$(\log(\alpha), \log(\beta) )$上微分可能である.

任意の$a\in (\alpha, \beta)$に対し$F$$\log(a)$における微分係数$F'(\log(a))$と,$f$$a$における超微分係数$f^`(a)$は一致する.

証明は7777777氏の記事【超微分の定義と定理】の定理2から明らかである.
導出のIdeaは4を参照して欲しい.
超微分における接線を定義しよう.

Idea

43も同時に参照してもらいたい.変換$E:(x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow(e^x,e^y)\in\mathbb{R}_{>0}\times\mathbb{R}_{>0}$は全単射である.
$f$のグラフ$\Gamma(f):=\{(x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}|y=f(x)\}$$F$のグラフ$\Gamma(F)$の間には$\Gamma(F)=E^{-1}(\Gamma(f))$という関係がある.このことから,$a\in (\alpha, \beta)$に対し$F$$\log(a)$における接線$l$の像$E(l)$が超微分における接線といえそうだ.このことを定式化しよう.

記号は上記のものとする.曲線$E(l)$
$y= \left( \frac{x}{a} \right) ^{f^`(a)}f(a)$
とかけ,点$a$$f$に接する.

このことははラグ / Lagu氏の記事3の定義1,「接冪」と同じである(!).ゆえに微分における接線の超微分バージョンをこれで定義してよいだろう.

3接冪

$f$$ a>0$ で超微分可能であるとき,以下の関数を$ f$$a$における接冪と呼ぶ.
$y= f(a) \left( \frac{x}{a} \right) ^{f^`(a)}$

高次導関数のような

$C^1$級,$C^n$級,$C^\infty$級のようなものを超微分の場合で,定義してみる.
$I\subset \mathbb{R}_{>0}$は開区間とする.

関数$ f:I \rightarrow \mathbb{R}$$I $上で$f>0$かつ超微分可能とする.$f^`$$I$上連続なとき,$f$$I$$ \mathscr{P}^1 $級という.
さらに$f^`$$I$上超微分可能かつ$f^`>0$ならその超導関数$(f^`)^`$が定まる.これを$ \frac{\mathrm{q}^2f}{\mathrm{q}x^2} $と書き,2次超導関数と呼ぶ.$\frac{\mathrm{q}^2f}{\mathrm{q}x^2} $$I$上連続なとき,$f$$I$$ \mathscr{P}^2 $級であるという.
同様に繰り返して,$f$$n$回超微分可能のとき,$n$次超導関数が定義できる.これを$ \frac{\mathrm{q}^nf}{\mathrm{q}x^n} $と書き,それが$I$上連続ならば,$f$$I$$ \mathscr{P}^n $級という.
$f$$I$上何回でも超微分可能なとき,$f$$I$$ \mathscr{P}^\infty $級という.

  1. $$ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)^`=f^`(x)-g^`(x) $$
  2. $f$が2回超微分可能なとき, $f$は2回微分可能で,
    $$ \frac{\mathrm{q}^2f}{\mathrm{q}x^2}=1+ \frac{xf''(x)}{f'(x)}-\frac{xf'(x)}{f(x)} $$

(2)は厳密には$f$にもう少し条件が必要なことに注意する.また,(2)の一般化は和の超微分が含まれるため表すことはできないだろう.→(2)の一般化は「超導関数の変換公式」を使えば可能であるが,複雑なため読者に任せる.

あとがき

超微分における高次導関数を導入したので超微分におけるテイラーの定理を考えたいところだが少し難点がある.
超微分における平均値の定理,超・Lagrangeの平均値の定理はラグ / Lagu氏によって定式化されている.しかし,通常のテイラーの定理のようにそのまま$n$次に拡張しようとすると定理1,定理2のideaに反してしまう.
なので超微分におけるテイラーの定理は少し工夫する必要がある.例えば通常のテイラーの定理を$E$で変換するというもの.しかし,$n=1$のときに超・Lagrangeの平均値になるとは言えないだろう.
$\Gamma(F)=E^{-1}(\Gamma(f))$という関係や,定理1から通常の微分と同様に話を進める可能性はあるので,解決策は必ずあるだろう.

参考文献

投稿日:20日前
更新日:17日前

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「ツクツクボーシ、ツクツクボーシ」 ほら、カエルが鳴いてるよ 春の訪れを感じながら 落ち葉で黄色くなった道を歩いてく

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